Benzerlik uygulamaları

Bir merdivenin basamakları birbirine paraleldir. Merdivene yaslanmış iki eğik tahta düşünün: biri dik, öteki daha yatık duruyor. Basamaklar her iki tahtayı da keser, ama tahtalardan birinde basamaklar arası parçalar 20 cm iken ötekinde 25 cm çıkabilir. Parçaların uzunluğu tahtaya göre değişir; oranları ise değişmez. Birinci tahtada iki ardışık parça 20 ve 30 cm ise ikinci tahtada da karşılık gelen parçalar 2'ye 3 oranındadır. Paralel doğruların kesenler üzerinde ayırdığı parçaların bu davranışı, bir önceki derste gördüğümüz benzerliğin en çok kullanılan sonucudur. Bu derste benzerliği araç olarak kullanıyoruz: temel orantı teoremini ve paralel doğrular arasındaki kesenleri, iki paralel arasında çapraz kesişen doğruların oluşturduğu kelebek biçimini, kenar orta noktalarını birleştiren doğru parçasını, açıortay uzunluğu bağıntısının kanıtını ve bir üçgenin içine yerleştirilen kareyi işliyoruz.

• Temel orantı teoremini (DE ∥ BC ⇒ AD/DB = AE/EC) ve tersini kullanırsın.
• Paralel doğruların kesenler üzerinde ayırdığı parçaları ve kelebek biçiminde oluşan benzer üçgenleri orantıyla çözersin.
• Kenar orta noktalarını birleştiren doğru parçasının karşı kenara paralel ve onun yarısı olduğunu kullanırsın.
• Açıortay uzunluğu bağıntısını benzerlikle kanıtlar, üçgen içine yerleştirilen karenin kenarını bulursun.

Temel orantı teoremi

Kenara paralel bir doğrunun üçgenden kestiği küçük üçgenin büyüğe benzediğini bir önceki derste gördük: DE ∥ BC iken ADE ∼ ABC'dir ve köşeden başlayan parçalar tüm kenarlarla aynı oranı kurar. Bu oranlardan kenar üzerindeki parçaların oranı da çıkar:

AD/DB = AE/EC

Kanıt kısadır: AD/AB = AE/AC eşitliğinde her iki tarafta paydadan payı çıkarırsak AD/(AB − AD) = AE/(AC − AE) bulunur, bu da AD/DB = AE/EC'dir. Bu sonuca temel orantı teoremi denir. Teoremin tersi de doğrudur: bir doğru üçgenin iki kenarını aynı oranda bölüyorsa üçüncü kenara paraleldir. Bu yüzden bir soruda AD/DB = AE/EC olduğu görülürse, DE ∥ BC kabul edilip benzerlik kullanılabilir. Dikkat edilecek nokta, DE/BC oranının parça oranına değil, AD/AB oranına eşit olmasıdır.

Paralel doğrular ve kesenler

Teorem bir üçgen olmadan da geçerlidir. Birbirine paralel üç doğru, iki keseni kesiyorsa, kesenlerin paralel doğrular arasında kalan parçaları orantılıdır. Birinci kesende parçalar a ve b, ikincide c ve d ise a/b = c/d olur. Kanıt, kesenlerden birine paralel yardımcı bir doğru çizip iki benzer üçgen elde etmekten geçer. Kancadaki merdiven basamakları bu durumun gündelik bir örneğidir. Kesenler paralel doğrulardan birinin üzerinde kesişiyorsa şekil temel orantı teoreminin üçgenine döner.

Kelebek biçimi

AB ve CD birbirine paralel iki doğru parçası, AD ile BC de E noktasında kesişen iki doğru parçası olsun. ABE ve DCE üçgenlerinde E'deki açılar ters açı olduğu için eşittir; AB ∥ CD olduğundan iç ters açılar da eşittir. AA kuralına göre ABE ∼ DCE'dir ve

AB/DC = AE/DE = BE/CE

olur. Bu biçime kelebek denir. Oranın sırası yine eşit açılara göre kurulur: A, D'ye; B, C'ye karşılık gelir. Bir çapraz doğru parçasının tamamı verilmişse, örneğin AD, parçaları oranla paylaştırılır. Kelebek üçgenlerinin alanları da benzerlik oranının karesi oranındadır.

Kenar orta noktalarını birleştiren doğru parçası

ABC üçgeninde D, AB'nin; E, AC'nin orta noktası olsun. AD/AB = AE/AC = 1/2 olduğundan, temel orantı teoreminin tersi gereği DE ∥ BC'dir ve ADE ∼ ABC olur; oran 1/2 olduğundan DE = BC/2 bulunur. Bu doğru parçasına orta taban denir. Üç kenarın orta noktaları birleştirilirse oluşan küçük üçgenin kenarları büyük üçgenin kenarlarının yarısıdır; çevresi de yarısıdır. Alanı ise dörtte biridir ve büyük üçgen dört eş üçgene ayrılır.

Açıortay uzunluğunun kanıtı

Açıortay teoremi dersinde AD² = AB · AC − BD · DC bağıntısını kanıtsız kullanmıştık; şimdi benzerlikle kanıtlayabiliriz. AD açıortayı D'nin ötesine uzatılsın ve bu doğru üzerinde, m(AEC) = m(ABC) olacak biçimde bir E noktası alınsın. ABD ve AEC üçgenlerinde A'daki açılar eşittir (açıortay) ve B ile E'deki açılar eşittir; AA kuralına göre benzerdirler ve AB/AE = AD/AC, yani AB · AC = AD · AE olur. BDA ve EDC üçgenlerinde de D'deki açılar ters açı olarak eşittir ve B ile E'deki açılar eşittir; bu üçgenler de benzerdir ve BD/ED = AD/DC, yani BD · DC = AD · DE olur. AE = AD + DE yazılınca AB · AC = AD² + AD · DE = AD² + BD · DC bulunur ve bağıntı kanıtlanmış olur.

Dik üçgende benzerlik

Dik köşeden karşıdaki uzun kenara bir dikme inildiğinde büyük dik üçgen iki küçük dik üçgene ayrılır; üçü de AA kuralıyla birbirine benzerdir. Öklid bağıntıları dersinde bu bağıntıları Pisagor teoremiyle kanıtlamıştık; benzerlik aynı sonuçları tek bir oranla verir. Örneğin iki küçük üçgendeki oran, dikme uzunluğunun karesinin uzun kenar üzerindeki iki parçanın çarpımına eşit olduğunu doğrudan verir.

Üçgen içine yerleştirilen kare

Bir karenin bir kenarı ABC üçgeninin BC tabanı üzerinde, öteki iki köşesi AB ve AC kenarları üzerinde olsun. Karenin üst kenarı BC'ye paraleldir ve A ile birlikte ABC'ye benzer küçük bir üçgen oluşturur. Taban a, A'dan inen yükseklik h, karenin kenarı x ise küçük üçgenin tabanı x, yüksekliği h − x olur ve benzerlik x/a = (h − x)/h eşitliğini verir. Buradan x = a · h/(a + h) bulunur. Aynı yol, kare yerine dikdörtgen yerleştirildiğinde de çalışır.

Hangi benzerliği aramalı?

Bu dersin sorularında ilk iş, şekildeki benzer üçgen çiftini bulmaktır. Bir kenara paralel doğru varsa küçük üçgen büyüğe benzerdir. İki paralel doğru parçası çapraz doğrularla birleşiyorsa kelebek vardır. Bir dik köşeden karşı kenara dikme inilmişse üç benzer dik üçgen vardır. Ortak bir açı ile eşit verilen bir açı varsa ters yerleşmiş benzerlik aranır. Benzer çift bulunduktan sonra köşeler, açıları eşit olanlar karşılık gelecek biçimde eşleştirilir ve oran tek satırda yazılır. Çoğu zor soru, iki ayrı benzerliğin art arda kullanılmasından oluşur; birinden bulunan uzunluk ötekinde bilinen kenar olur.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri temel orantı teoreminde ya da paralel kesenlerde eksik parçayı, kelebek biçiminde eksik bir uzunluğu ya da üçgen alanını, orta tabanın uzunluğunu ve ilgili alanları, açıortay uzunluğunu, dik üçgende yüksekliğin ayırdığı parçaları ve üçgen içine yerleştirilen karenin kenarını ister.

Örnek 1 — Temel orantı

Soru: Bir üçgenin iki kenarını kesen bir doğru üçüncü kenara paraleldir. Doğru, kenarlardan birini köşeden 6 ve 3 birimlik parçalara, ötekini köşeden 8 birim uzakta kesiyor. Öteki kenarın kalan parçası kaçtır?

• A) 4
• B) 18
• C) 5
• D) 2,25
• E) 12

Çözüm: Parçalar orantılıdır: 6/3 = 8/x ve x = 4. Cevap: A.

Örnek 2 — Kelebek

Soru: AB ∥ CD, AD ile BC doğru parçaları E'de kesişiyor. AB = 5, CD = 15 ve AD = 12 ise AE kaçtır?

• A) 4
• B) 9
• C) 3
• D) 2,4
• E) 6

Çözüm: AE/ED = AB/DC = 1/3 olduğundan AD dört parçaya bölünür; AE = 12/4 = 3. Cevap: C.

Örnek 3 — Açıortay uzunluğu

Soru: Kenarları AB = 3, AC = 6, BC = 6 verilen bir üçgende A köşesinin açıortayı karşı kenarda D noktasına ulaşıyor. AD kaçtır?

• A) 3,5
• B) 2√5
• C) √14
• D) √10
• E) 2√3

Çözüm: BD = 2 ve DC = 4 bulunur; AD² = 18 − 8 = 10. Cevap: D.

Örnek 4 — Orta taban

Soru: ABC üçgeninde D ve E sırasıyla AB ve AC'nin orta noktalarıdır. DE = 11 ise BC kaçtır?

• A) 11
• B) 22
• C) 33
• D) 5,5
• E) 16,5

Çözüm: Orta taban karşı kenarın yarısıdır; BC = 2 · 11 = 22. Cevap: B.

• DE/BC'yi AD/DB'ye eşitlemek. Parçalar birbiriyle, tam kenarlar tam kenarla oranlanır; DE/BC = AD/AB.
• Kelebekte köşeleri çapraz eşleştirmeyi unutmak. A, D'ye; B, C'ye karşılık gelir.
• Orta taban üçgeninin alanını yarı sanmak. Alan dörtte birdir.
• Kare probleminde yüksekliği unutmak. Küçük üçgenin yüksekliği h − x'tir.
• Paralel kesenlerde parçaları kesenler arasında karıştırmak. Oran aynı kesen üzerindeki parçalarla kurulur.