Eşlik ve benzerlik

Bir fotoğrafçı 10 × 15 cm'lik bir baskıyı vitrin için büyütüyor ve her kenarı üç katına çıkarıyor. Yeni baskıdaki yüzler aynı biçimde kalır; bir kişinin gözleri arasındaki uzaklık da, burnunun uzunluğu da, karenin köşegeni de tam üç katına çıkmıştır. Ama baskıyı kaplamak için gereken kâğıt üç katı değil dokuz katıdır. Büyütme işlemi açıları değiştirmez, bütün uzunlukları aynı sayıyla çarpar ve alanı bu sayının karesiyle çarpar. Geometride bu ilişkiye benzerlik denir. Büyütme oranı 1 olduğunda, yani hiçbir şey büyümeyip yalnızca yer değiştirdiğinde ise iki şekil eştir. Önceki iki derste açıortay ve kenarortayın kenarları hangi oranda böldüğünü gördük. Bu derste iki üçgenin ne zaman eş, ne zaman benzer olduğunu söyleyen kuralları, benzerlik oranının uzunluklara, çevreye ve alana nasıl yansıdığını ve bir kenara paralel çizilen doğrunun ürettiği benzer üçgenleri işliyoruz.

• İki üçgenin eş olduğunu KAK, AKA ve KKK kurallarıyla gösterir, karşılık gelen elemanları eşleştirirsin.
• Benzerliği AA, KAK ve KKK kurallarıyla tanır, benzerlik oranını doğru köşe sırasıyla yazarsın.
• Benzer üçgenlerde uzunlukların, çevrenin ve yüksekliklerin k, alanların k² oranında olduğunu kullanırsın.
• Bir kenara paralel doğrunun ve eşleşen bir açının oluşturduğu benzer üçgenlerde eksik uzunluğu bulursun.

Eşlik

Üç kenarı ve üç açısı karşılıklı olarak eşit olan iki üçgene eş üçgenler denir ve ABC ≅ DEF biçiminde yazılır. Yazımdaki harf sırası önemlidir: A ile D, B ile E, C ile F karşılık gelir; AB kenarı DE'ye, BC kenarı EF'ye eşittir. Eşliği göstermek için altı eşitliğin hepsine gerek yoktur. Şu üç kuraldan biri yeterlidir:

• KAK (kenar-açı-kenar): iki kenar ve bu kenarların arasındaki açı eşitse üçgenler eştir.
• AKA (açı-kenar-açı): iki açı ve bu açıların arasındaki kenar eşitse üçgenler eştir. Üçgende iki açı bilinince üçüncü de belli olduğundan, iki açı ve herhangi bir karşılık gelen kenar da yeterlidir.
• KKK (kenar-kenar-kenar): üç kenar eşitse üçgenler eştir.

Üç açının eşitliği eşlik için yetmez: açıları aynı olan bir küçük ve bir büyük üçgen eş değildir. İki kenar ve bu kenarların arasında olmayan bir açı da genel olarak yetmez, çünkü aynı verilerle iki farklı üçgen çizilebilir.

Eşlikten sonuç çıkarmak

Eşlik çoğu zaman tek başına istenmez; bir kenarın ya da açının eşitliğini kanıtlamak için ara adım olarak kullanılır. İki üçgenin eş olduğu gösterildiğinde, şekilde doğrudan görülemeyen karşılık gelen kenarlar ve açılar da eşit olur. İkizkenar üçgende tepeden inen yüksekliğin tabanı ortalaması, karede köşegenlerin eşit olması ya da paralelkenarda karşılıklı kenarların eşitliği bu yolla gösterilir. Bu tür akıl yürütmede önce hangi iki üçgenin karşılaştırılacağı seçilir, sonra hangi kuralın elde olduğu belirlenir.

Benzerlik ve benzerlik oranı

Açıları karşılıklı eşit, karşılık gelen kenarları aynı oranda olan iki üçgene benzer üçgenler denir ve ABC ∼ DEF biçiminde yazılır. Bu durumda

AB/DE = BC/EF = AC/DF = k

olur ve k sayısına benzerlik oranı denir. Eşlik, benzerliğin k = 1 olan özel durumudur. Benzerlikte de harf sırası her şeydir: oranı kurmadan önce hangi köşenin hangi köşeye karşılık geldiği, eşit açılara bakılarak belirlenir. En sık hata, köşeleri eşit açılara göre değil, şekildeki görünüşlerine göre eşleştirmektir.

Benzerlik kuralları

İki üçgenin benzer olduğunu göstermek için de bütün eşitliklere gerek yoktur:

• AA (açı-açı): iki açı karşılıklı eşitse üçgenler benzerdir; üçüncü açılar da kendiliğinden eşit olur.
• KAK: iki kenar aynı oranda ve aralarındaki açılar eşitse üçgenler benzerdir.
• KKK: üç kenar aynı oranda ise üçgenler benzerdir.

Sınavda en çok kullanılan kural AA'dır. İki açının eşitliği çoğu zaman paralel doğrulardan, ortak bir açıdan ya da ters açılardan gelir. Kenarları 4, 6, 8 olan bir üçgen ile kenarları 10, 15, 20 olan bir üçgen KKK kuralıyla benzerdir; oran 2/5'tir.

Oranın yansıması

Benzer üçgenlerde yalnızca kenarlar değil, bütün uzunluklar aynı k oranındadır: karşılık gelen yükseklikler, kenarortaylar, açıortaylar ve çevreler de k oranındadır. Çevre için bu, kenarların toplamının da aynı oranda olmasından gelir.

Alanlarda ise oran k²'dir. Bir üçgenin alanı tabanı ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısı olduğundan, benzer üçgende hem taban hem yükseklik k katına çıkar; çarpım k² katına çıkar. Benzerlik oranı 2/5 olan iki üçgenin alanları 4/25 oranındadır. Ters yönde, alanlar oranı biliniyorsa kenar oranı onun kareköküdür. Kancadaki baskının kâğıdının dokuz katına çıkmasının nedeni budur.

Kenara paralel doğru

ABC üçgeninde D noktası AB üzerinde, E noktası AC üzerinde ve DE ∥ BC olsun. Paralel doğrularda yöndeş açılar eşit olduğundan m(ADE) = m(ABC) ve m(AED) = m(ACB) olur; A açısı ortaktır. AA kuralına göre ADE ∼ ABC'dir ve

AD/AB = AE/AC = DE/BC

yazılır. Burada dikkat edilecek nokta, oranın tüm kenarlarla kurulmasıdır: AD/AB doğrudur, AD/DB ise DE/BC'ye eşit değildir. Kenar üzerindeki parçaların oranı AD/DB = AE/EC eşitliğiyle ayrıca kullanılabilir; bu eşitlik temel orantı teoremi olarak bir sonraki derste ayrıntılı işlenecektir. Paralel doğrunun kestiği küçük üçgen ile kalan yamuğun alanları da benzerlikten bulunur: küçük üçgenin alanı büyüğün k²'si, yamuk ise farkıdır.

Ters yerleşmiş benzer üçgenler

Bazen D ve E noktaları kenarlar üzerindedir ama DE, BC'ye paralel değildir; bunun yerine m(ADE) = m(ACB) verilir. A açısı ortak olduğu için ADE ile ACB yine AA kuralıyla benzerdir, ama köşeler çapraz eşleşir: D, C'ye; E, B'ye karşılık gelir. Oran AD/AC = AE/AB = DE/CB biçiminde yazılır. Bu yerleşimde oranı paralel durumdaki gibi kurmak en yaygın hatadır; köşeleri eşit açılara göre eşleştirmek bu hatayı önler.

Günlük hayatta benzerlik

Güneş ışınları birbirine paralel geldiği için, aynı anda ölçülen bir direk ile gölgesi ve bir çubuk ile gölgesi benzer dik üçgenler oluşturur. Bu yüzden boyu bilinen bir çubuğun gölgesi ölçülerek bir ağacın ya da binanın yüksekliği bulunur. Harita ölçekleri, maketler ve fotoğraf büyütmeleri de benzerliğin uygulamalarıdır: uzunluklar ölçek oranında, alanlar ölçeğin karesi oranında değişir.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri eşlik ya da benzerlik kuralını belirlemeyi, benzer üçgenlerde eksik kenarı, çevreyi, yüksekliği ya da alanı, kenara paralel doğrunun oluşturduğu üçgen ve yamukta uzunluk ya da alanı, ters yerleşmiş benzer üçgenlerde bir kenarı ve gölge problemlerinde bir yüksekliği ister.

Örnek 1 — Benzerlik oranı

Soru: ABC ∼ DEF ve AB = 4, DE = 10, AC = 6'dır. DF kaç birimdir?

• A) 12
• B) 2,4
• C) 15
• D) 16
• E) 20

Çözüm: Oran AB/DE = 4/10'dur; DF = 6 · 10/4 = 15. Cevap: C.

Örnek 2 — Paralel doğru

Soru: ABC üçgeninde DE ∥ BC, D AB üzerinde, E AC üzerindedir. AD = 2, DB = 3 ve DE = 4 ise BC kaç birimdir?

• A) 6,4
• B) 10
• C) 9
• D) 7,5
• E) 12

Çözüm: AD/AB = 2/5 olduğundan DE/BC = 2/5 ve BC = 10. Oran AD/DB ile kurulmaz. Cevap: B.

Örnek 3 — Alan oranı

Soru: Benzerlik oranı 2/5 olan iki üçgenden büyüğünün alanı 50 birimkaredir. Küçüğünün alanı kaçtır?

• A) 32
• B) 10
• C) 25
• D) 4
• E) 8

Çözüm: Alanlar k² = 4/25 oranındadır: 50 · 4/25 = 8. Cevap: E.

Örnek 4 — Eşlik kuralı

Soru: ABC ve DEF üçgenlerinde m(A) = m(D), AB = DE ve m(B) = m(E)'dir. Üçgenlerin eşliği hangi kuralla gösterilir?

• A) AKA
• B) KAK
• C) KKK
• D) AA
• E) Eş değildir

Çözüm: İki açı ve aralarındaki kenar eşittir: AKA. AA yalnızca benzerlik verir. Cevap: A.

• Kenarları konuma göre eşleştirmek. Köşeler eşit açılara göre eşleştirilir.
• Paralel doğruda AD/DB oranını DE/BC'ye eşitlemek. Doğru oran AD/AB'dir.
• Alan oranını k almak. Alanlar k² oranındadır.
• Üç açının eşitliğini eşlik sanmak. AAA yalnızca benzerlik verir.
• Ters yerleşimde paralel durum gibi oran kurmak. D, C'ye; E, B'ye karşılık gelir.