Kenarortay ve ağırlık merkezi

Kalın bir kartondan düzgün bir üçgen kesin ve onu bir kalemin sivri ucunda dengede tutmaya çalışın. Rastgele bir noktaya koyduğunuzda üçgen hemen bir yana devrilir. Oysa her köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren üç doğru çizerseniz bu üç doğrunun tek bir noktada kesiştiğini görürsünüz; kalemi tam o noktaya koyduğunuzda karton üçgen dengede durur. Bu noktaya ağırlık merkezi, köşeyi karşı kenarın ortasına birleştiren doğru parçalarına kenarortay denir. Ağırlık merkezinin dengeyi sağlamasının geometrik bir karşılığı vardır: kenarortaylar üçgeni eşit alanlı parçalara böler ve ağırlık merkezi her kenarortayı aynı oranda keser. Bir önceki derste açıortayın karşı kenarı bir oranda böldüğünü gördük. Bu derste kenarortayların bu ortak oranını kanıtlıyor, kenarortay uzunluğunu kenarlardan hesaplıyor ve ağırlık merkezinin üçgeni nasıl eşit alanlara ayırdığını işliyoruz.

• Kenarortayların ağırlık merkezinde kesiştiğini ve ağırlık merkezinin her kenarortayı köşeden itibaren 2'ye 1 oranında böldüğünü kullanırsın.
• Kenarortay uzunluğunu kenarlardan, kenarları kenarortaydan hesaplarsın.
• Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın hipotenüsün yarısı olduğunu ve eşkenar üçgendeki özel durumu uygularsın.
• Kenarortayların ve ağırlık merkezinin üçgeni ayırdığı eşit alanlı parçaları kullanırsın.

Kenarortay

Bir üçgenin bir köşesini karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir. ABC üçgeninde D, BC kenarının orta noktası ise AD, A köşesinden çizilen kenarortaydır ve uzunluğu Va ile gösterilir. Her üçgenin üç kenarortayı vardır. Kenarortay karşı kenarı tam ortasından keser, ama genellikle köşedeki açıyı ikiye bölmez ve karşı kenara dik değildir. Yalnızca ikizkenar üçgende tepeden çizilen kenarortay aynı zamanda açıortay ve yükseklik olur.

Kenarortay alanı ikiye böler

ABD ve ADC üçgenlerinin tabanları BD ve DC eşittir; A'dan tabana indirilen dikme ise her ikisi için aynı uzunluktadır. Bu yüzden alanları eşittir: her kenarortay üçgeni eşit alanlı iki üçgene ayırır. Bu basit gözlem, ağırlık merkezinin bütün özelliklerinin kaynağıdır.

Ağırlık merkezi ve 2'ye 1 oranı

Üç kenarortay tek bir noktada kesişir; bu noktaya ağırlık merkezi denir ve G ile gösterilir. Ağırlık merkezi her kenarortayı köşeden itibaren 2'ye 1 oranında böler:

AG = 2 · GD, yani AG = (2/3) · AD ve GD = (1/3) · AD

Kanıt alanla yapılır. AD ve BE kenarortayları G'de kesişsin. AD kenarortay olduğu için ABD ve ACD üçgenlerinin alanları eşittir; aynı nedenle GBD ve GCD üçgenlerinin alanları da eşittir. Farkları alınınca ABG ile ACG üçgenlerinin alanları eşit çıkar. BE kenarortayıyla aynı akıl yürütme, ABG ile CBG üçgenlerinin alanlarının eşit olduğunu verir. Demek ki ABG, ACG ve BCG üçgenlerinin her biri toplam alanın üçte biridir. BGD üçgeni BCG'nin yarısı, yani toplamın altıda biridir. ABG ile BGD üçgenlerinin B'den AD doğrusuna inen yüksekliği ortaktır ve alanları 2'ye 1 oranındadır; tabanları AG ile GD de 2'ye 1 oranında olmalıdır. Üçüncü kenarortayın da G'den geçtiği aynı alan eşitliklerinden çıkar.

Altı eşit parça

Üç kenarortay üçgeni altı küçük üçgene ayırır ve kanıtta gördüğümüz gibi bu altı üçgenin alanları eşittir; her biri toplam alanın altıda biridir. Ağırlık merkezini iki köşeye birleştiren üçgenler, örneğin BGC, toplamın üçte biridir. Alan sorularında önce istenen parçanın kaç tane küçük üçgenden oluştuğu sayılır, sonra toplam alan altıya bölünüp bu sayıyla çarpılır. Kanca deneyindeki denge de buradan gelir: ağırlık merkezinden geçen her kenarortayın iki yanında eşit alan, yani eşit ağırlık vardır.

Kenarortay uzunluğu

Kenarları a = BC, b = AC ve c = AB olan üçgende A'dan çizilen kenarortay için şu bağıntı geçerlidir:

b² + c² = 2 · Va² + a²/2, yani 4 · Va² = 2b² + 2c² − a²

Kanıt Pisagor teoremiyle yapılır. A'dan BC'ye dikme AH çizilsin ve D ile H arasındaki uzaklık x olsun. Bu durumda BH = a/2 − x ve HC = a/2 + x olur. AB² = AH² + (a/2 − x)² ve AC² = AH² + (a/2 + x)² toplanınca b² + c² = 2(AH² + x²) + a²/2 bulunur. AH² + x² ise ADH dik üçgeninde AD²'dir. Bağıntı, üç kenar bilindiğinde kenarortayı, iki kenar ve kenarortay bilindiğinde üçüncü kenarı verir.

Dik ve eşkenar üçgende

Dik üçgende hipotenüsün orta noktasını dik köşeye birleştiren doğru parçası hipotenüsün yarısı kadardır; bunu özel üçgenler dersinde dikdörtgen yardımıyla gördük. Kenarortay bağıntısı aynı sonucu verir: dik açı A'da ise b² + c² = a² olduğundan 2 · Va² = a²/2 ve Va = a/2. Bu durumda ağırlık merkezinin dik köşeye uzaklığı hipotenüsün üçte biri, hipotenüsün orta noktasına uzaklığı altıda biridir.

Eşkenar üçgende kenarortay yükseklikle çakışır ve a√3/2 uzunluğundadır. Ağırlık merkezi köşelere (2/3) · a√3/2 = a√3/3, kenarlara a√3/6 uzaklıktadır. İkizkenar üçgende tepeden inen kenarortay da yüksekliktir ve önce Pisagor teoremiyle bulunur.

Denklem kurma

Kenarortay parçaları ifadeyle verilmişse AG = 2 · GD eşitliği yazılır ve çözülür. Kenarortaylar dik kesişiyorsa ağırlık merkezinde oluşan küçük dik üçgenlerde Pisagor teoremi kullanılır: örneğin BE ve CF kenarortayları G'de dik kesişiyorsa BG ve CG, kenarortayların üçte ikisidir ve BGC dik üçgeninin dik kenarlarıdır. Bu üçgenin alanı toplam alanın üçte biri olduğu için, toplam alan da hemen bulunur.

Koordinatlarla ağırlık merkezi

Köşelerin koordinatları biliniyorsa ağırlık merkezi hesap yapmadan yazılır: G'nin apsisi üç köşenin apsislerinin ortalaması, ordinatı üç köşenin ordinatlarının ortalamasıdır. Bunun nedeni yine 2'ye 1 oranıdır. Kenarın orta noktası iki köşenin ortalamasıdır; ağırlık merkezi ise karşı köşeden bu orta noktaya giden yolun üçte ikisindedir ve bu iki adım birleşince üç köşenin ortalaması elde edilir. Örneğin köşeleri (0, 0), (6, 0) ve (0, 9) olan üçgenin ağırlık merkezi (2, 3) noktasıdır. Bu sonuç analitik geometri modülünde yeniden kullanılacaktır.

Kenarortayı ötekilerden ayırmak

Bir üçgende köşeden karşı kenara çizilen üç önemli doğru parçası vardır: yükseklik karşı kenara diktir, açıortay köşedeki açıyı ikiye böler, kenarortay ise karşı kenarı ortalar. Genel bir üçgende bu üçü farklı doğrulardır. Bir soruda hangisinin verildiğini doğru okumak, hangi kuralın uygulanacağını belirler: açıortayda kenar oranı, kenarortayda 2'ye 1 oranı ve eşit alanlar, yükseklikte Pisagor teoremi kullanılır.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri kenarortay parçalarından birini, kenarortay uzunluğunu ya da bir kenarı, ağırlık merkezinin bir köşeye ya da kenarın ortasına uzaklığını, kenarortayların ve ağırlık merkezinin oluşturduğu parçaların alanını, dik kesişen kenarortaylarda bir kenarı ya da alanı ister.

Örnek 1 — 2'ye 1 oranı

Soru: ABC üçgeninde AD kenarortayının uzunluğu 18 cm, G ağırlık merkezidir. AG kaç cm'dir?

• A) 4,5
• B) 9
• C) 12
• D) 13,5
• E) 16

Çözüm: AG kenarortayın üçte ikisidir: 18 · 2/3 = 12. Cevap: C.

Örnek 2 — Kenarortay uzunluğu

Soru: Kenarları BC = 6, AC = 5 ve AB = 7 olan üçgende A'dan çizilen kenarortay kaç birimdir?

• A) 2√7
• B) 6
• C) 3√3
• D) 5
• E) √37

Çözüm: 4 · Va² = 2 · 25 + 2 · 49 − 36 = 112, Va² = 28 ve Va = 2√7. Cevap: A.

Örnek 3 — Altı eşit parça

Soru: Alanı 30 birimkare olan ABC üçgeninin ağırlık merkezi G'dir. ABG üçgeninin alanı kaçtır?

• A) 2,5
• B) 20
• C) 6
• D) 15
• E) 10

Çözüm: ABG, altı eşit parçadan ikisini kapsar; 30 · 2/6 = 10. Cevap: E.

Örnek 4 — Dik üçgende

Soru: Dik açısı A'da olan ABC üçgeninde BC = 30 ve G ağırlık merkezidir. AG kaç birimdir?

• A) 15
• B) 10
• C) 20
• D) 5
• E) 22,5

Çözüm: A'dan çizilen kenarortay hipotenüsün yarısı olan 15'tir; AG bunun üçte ikisi, 10. Cevap: B.

• 2'ye 1 oranını ters kurmak. Uzun parça köşe tarafındadır: AG = 2 · GD.
• Kenarortayı açıortay sanmak. Kenarortay kenarı ortalar, açıyı genellikle ikiye bölmez.
• Kenarortay bağıntısında a'yı yanlış seçmek. a, kenarortayın kestiği kenardır.
• Altı parçanın eşit olmadığını düşünmek. Kenarortayların ayırdığı altı üçgenin alanları eşittir.
• Dik üçgende her kenarortayı hipotenüsün yarısı sanmak. Bu yalnızca hipotenüse ait kenarortay içindir.