İçeriğe geç
← OkulYKS Akademileri

YKS Matematik · Açıortay, Kenarortay, Benzerlik, Alan · MAT-G03-L01

Açıortay teoremi

TYTAYTher yıl mutlaka soru çıkan konu· 8 bölüm

1Kanca

Bir köyden iki kasabaya düz yollar gidiyor: birinci kasaba 5 km, ikinci kasaba 8 km uzakta. Köyde, iki yol arasındaki açıyı tam ikiye bölen bir patika açılıyor ve bu patika iki kasabayı birleştiren düz yolu bir noktada kesiyor. Kesişim noktası iki kasabanın tam ortasında mı olur? Olmaz. Patika, yakın kasabaya daha yakın bir yerden geçer ve kasabalar arasındaki yolu tam olarak 5'e 8 oranında böler. Köyden kasabalara giden yolların uzunlukları ne olursa olsun bu oran korunur. Bu, açıortay teoreminin söylediği şeydir: bir üçgende bir açının açıortayı karşı kenarı, o açıyı oluşturan iki kenarın oranında böler. Önceki modülde kenarları dik üçgen bağıntılarıyla hesapladık. Bu modül oranlarla başlıyor. Bu derste iç ve dış açıortay teoremlerini alan yoluyla kanıtlıyor, açıortayın uzunluğunu buluyor ve açıortayın ayırdığı üçgenlerin alanlarını karşılaştırıyoruz.

2Hedefler

  • Açıortay üzerindeki her noktanın açının kollarına eşit uzaklıkta olduğunu kullanırsın.
  • İç açıortayın karşı kenarı komşu kenarlar oranında böldüğünü kanıtlar, parçaları hesaplarsın.
  • Dış açıortayın karşı kenarın uzantısını aynı oranda böldüğünü kullanır, iç ve dış açıortay ayaklarını birlikte bulursun.
  • Açıortay uzunluğunu AD² = AB · AC − BD · DC bağıntısıyla hesaplar, açıortayın ayırdığı üçgenlerin alanlarını karşılaştırırsın.

3Konu anlatımı

Açıortay üzerindeki noktalar

Açıortayın, açıyı iki eşit parçaya ayıran ışın olduğunu ilk geometri modülünde gördük. Açıortayın en önemli özelliği şudur: açıortay üzerindeki her nokta, açının iki koluna eşit uzaklıktadır. Bir P noktasından iki kola dikmeler inildiğinde iki dik üçgen oluşur. Bu üçgenlerin hipotenüsü, köşeden P'ye uzanan ortak doğru parçasıdır ve köşedeki dar açıları eşittir; dolayısıyla iki üçgen aynı biçim ve büyüklüktedir ve P'den kollara inen dikmeler eşittir. Tersi de doğrudur: bir açının iç bölgesinde iki kola eşit uzaklıktaki her nokta açıortay üzerindedir. Bu özellik, açıortay teoreminin kanıtındaki anahtar adımdır.

İç açıortay teoremi

ABC üçgeninde A açısının açıortayı BC kenarını D noktasında kessin. Teorem şunu söyler:

BD/DC = AB/AC

Kanıt alanla yapılır. ABD ve ADC üçgenleri A köşesini paylaşır ve tabanları aynı doğru üzerindedir; A köşesinden BC doğrusuna çizilen dikme ikisi için de ortaktır. Bu yüzden alanlarının oranı tabanlarının oranına, yani BD/DC'ye eşittir. Öte yandan aynı iki üçgenin alanlarını AB ve AC tabanlarına göre de yazabiliriz. D açıortay üzerinde olduğu için AB ve AC kenarlarına uzaklıkları eşittir; bu uzaklıklar iki üçgende yükseklik rolü oynar. Böylece alanların oranı AB/AC'ye de eşittir. İki oran aynı büyüklüğü gösterdiğinden BD/DC = AB/AC bulunur.

Teoremi kullanırken oranı parçalarla yazmak kolaylık sağlar. AB = 4 ve AC = 6 ise BD = 4k ve DC = 6k denir; BC = 10k olur ve BC biliniyorsa k bulunur. Bu yolla iki parça aynı anda hesaplanır. Teorem, kısa kenara bitişik parçanın kısa olduğunu da söyler: açıortay, karşı kenarın orta noktasından kısa kenar tarafına kayar. AB = AC ise iki parça eşittir ve açıortay aynı zamanda kenarortaydır; bu, ikizkenar üçgendeki sonucun yeniden elde edilişidir.

Dış açıortay teoremi

A köşesindeki dış açının açıortayı BC doğrusunu, BC kenarının uzantısı üzerindeki bir E noktasında kessin. Bu durumda da aynı oran geçerlidir:

EB/EC = AB/AC

Kanıt yine alanla yapılır: ABE ve ACE üçgenleri A'dan BC doğrusuna inen ortak yüksekliği paylaşır, bu yüzden alanları oranı EB/EC'dir; E, dış açının açıortayı üzerinde olduğu için AB ve AC doğrularına eşit uzaklıktadır ve alanların oranı AB/AC'ye de eşittir. E noktası her zaman kısa kenarın ucunun ötesine düşer: AB > AC ise E, C'nin ötesindedir. AB = AC olduğunda dış açıortay BC'ye paraleldir ve onu kesmez. Dış açıortay sorularında EB = EC + BC (ya da EC = EB + BC) eşitliği orana eklenir ve bir denklem kurulur.

İç ve dış açıortay birlikte

Aynı köşedeki iç ve dış açıortaylar birbirine diktir, çünkü yan yana duran iki bütünler açının yarılarının toplamı 90°'dir. İki açıortayın BC doğrusunu kestiği D ve E noktaları birlikte istendiğinde önce iç açıortay teoremiyle D, sonra dış açıortay teoremiyle E bulunur; DE uzunluğu, D'nin ve E'nin C'ye uzaklıklarının toplamıdır. Bu yapıda ADE üçgeni A'da dik açılıdır ve Pisagor teoremi de kullanılabilir.

Açıortayın uzunluğu

İç açıortayın uzunluğu için şu bağıntı kullanılır:

AD² = AB · AC − BD · DC

Bağıntının kanıtı benzerlik gerektirdiği için bu modülün ilerleyen derslerinde ele alınacak; burada kullanımı yeterlidir. Hesap iki adımdan oluşur: önce açıortay teoremiyle BD ve DC bulunur, sonra bağıntıya yerleştirilir. AB = AC ise bağıntı, ikizkenar üçgende yükseklik için bulduğumuz AD² = AB² − BD² sonucuna döner. Bu, bağıntıyı hatırlamak için iyi bir denetimdir.

Açıortay ve alan

İç açıortayın ayırdığı ABD ve ADC üçgenlerinin alanları oranı, kanıtta gördüğümüz gibi AB/AC'dir. Bu yüzden ABC üçgeninin alanı biliniyorsa her parçanın alanı oranla paylaştırılır: AB = 6 ve AC = 10 ise alan 6'ya 10 oranında, yani 3'e 5 oranında bölünür. Alan sorularında önce bu oranı yazmak, yükseklik hesaplamaktan çok daha hızlıdır.

Dik üçgende açıortay

Dik üçgenlerde açıortay teoremi Pisagor teoremiyle birlikte kullanılır. Önce eksik kenar Pisagor teoremiyle bulunur, sonra açıortayın kestiği kenar komşu kenarlar oranında bölünür. Dik açının açıortayı söz konusuysa bölünen kenar hipotenüstür; dar açılardan birinin açıortayı söz konusuysa bölünen kenar bir dik kenardır ve oranın bir terimi hipotenüs olur.

Sonucu denetlemek

Açıortay sorularında bulunan parçaları denetlemenin iki kısa yolu vardır. Birincisi, parçaların toplamının bilinen kenara eşit olup olmadığına bakmaktır; iç açıortayda BD + DC = BC, dış açıortayda EB ile EC'nin farkı BC olmalıdır. İkincisi, büyüklük sırasına bakmaktır: daha uzun komşu kenara bitişik parça da daha uzun çıkmalıdır. Bu sıralama bozulmuşsa oran ters kurulmuştur. Açıortay uzunluğu hesaplandığında sonuç, iki komşu kenarın kısasından küçük olmalıdır; aksi hâlde BD ile DC'nin çarpımı ya da kenarların çarpımı yanlış yazılmıştır.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri iç açıortayın ayırdığı parçalardan birini, kenarlardan birini ya da çevreyi; dış açıortayın uzantı üzerinde ayırdığı parçayı; iç ve dış açıortay ayakları arasındaki uzaklığı; açıortayın uzunluğunu; açıortayın ayırdığı üçgenlerin alanını ya da alan oranını ister.

4Çözümlü örnekler

Örnek 1 — İç açıortay

Soru: ABC üçgeninde AB = 4, AC = 6, BC = 5 ve AD, A açısının açıortayıdır (D, BC üzerinde). BD kaç birimdir?

  • A) 2,8
  • B) 3,2
  • C) 2
  • D) 1,5
  • E) 4

Çözüm: BD = 4k, DC = 6k ve 10k = 5 olduğundan k = 0,5; BD = 2. Cevap: C.

Örnek 2 — Dış açıortay

Soru: ABC üçgeninde AB = 10, AC = 6, BC = 8'dir. A'daki dış açının açıortayı BC'nin uzantısını E'de kesiyor. EC kaç birimdir?

  • A) 18
  • B) 12
  • C) 16
  • D) 4,8
  • E) 9

Çözüm: EB/EC = 10/6 ve EB = EC + 8. 6(EC + 8) = 10 · EC eşitliğinden EC = 12. Cevap: B.

Örnek 3 — Açıortay uzunluğu

Soru: ABC üçgeninde AB = 4, AC = 6, BC = 5 ve AD açıortaydır. AD kaç birimdir?

  • A) 3√2
  • B) 2√6
  • C) 4
  • D) 3√3
  • E) √30

Çözüm: BD = 2, DC = 3 bulunur. AD² = 24 − 6 = 18 ve AD = 3√2. Cevap: A.

Örnek 4 — Alan paylaşımı

Soru: ABC üçgeninde AB = 6, AC = 10 ve alan 48 birimkaredir. AD açıortay olduğuna göre ABD üçgeninin alanı kaçtır?

  • A) 30
  • B) 27
  • C) 16
  • D) 18
  • E) 20

Çözüm: Alanlar 6'ya 10, yani 3'e 5 oranındadır. ABD'nin payı 48 · 3/8 = 18. Cevap: D.

5Tuzaklar

  • Oranı ters kurmak. BD, AB'ye bitişiktir; BD/DC = AB/AC.
  • Açıortayın karşı kenarı ortaladığını sanmak. Bu yalnızca AB = AC iken doğrudur.
  • Dış açıortayın ayağını yanlış uca koymak. E, kısa kenarın ucunun ötesine düşer.
  • Açıortay uzunluğunda çarpımı toplamla karıştırmak. AD² = AB · AC − BD · DC.
  • Alan oranında tabanları BD ve DC ile değil kenarlarla eşleştirmeyi unutmak. İki oran da aynı değeri verir.

6Tekrar kartı

  • Açıortay üzerindeki nokta kollara eşit uzaklıkta.
  • İç açıortay: BD/DC = AB/AC.
  • Dış açıortay: EB/EC = AB/AC; E kısa kenarın ötesinde.
  • İç ve dış açıortay birbirine dik.
  • AD² = AB · AC − BD · DC.
  • Alan(ABD)/Alan(ADC) = AB/AC.

7Alıştırma

  1. Bütün sorularda AD, A açısının iç açıortayıdır ve D, BC üzerindedir; aksi belirtilmedikçe.

  2. Soru 1 · Kolay

    Kenarları AB = 6, AC = 9, BC = 10 olan üçgende BD kaç birimdir?

    1. A)5
    2. B)4
    3. C)7
    4. D)3,6
    5. E)7,2
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. BD = 6k, DC = 9k ve 15k = 10; BD = 4.

  3. Soru 2 · Kolay

    AB ile AC sırasıyla 8 ve 12 birim, BD ise 4 birimdir. DC uzunluğunu bulunuz.

    1. A)9
    2. B)7,5
    3. C)12
    4. D)6
    5. E)2
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Oran 8'e 12 olduğundan DC = 4 · 12/8 = 6.

  4. Soru 3 · Kolay

    Bir üçgenin AB, AC ve BC kenarları 5, 7 ve 6 birimdir. DC kaç birimdir?

    1. A)3,5
    2. B)5,6
    3. C)7
    4. D)4,8
    5. E)2
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. 12k = 6 olduğundan k = 0,5; DC = 7k = 3,5.

  5. Soru 4 · Kolay

    Bir açının açıortayı üzerindeki P noktasının bir kola uzaklığı 3 cm'dir. P'nin öteki kola uzaklığı kaç cm'dir?

    1. A)6
    2. B)1,5
    3. C)12
    4. D)2
    5. E)3
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. Açıortay üzerindeki her nokta iki kola eşit uzaklıktadır.

  6. Soru 5 · Orta

    ABC üçgeninde BD = 4, DC = 6 ve AB + AC = 20'dir. AB kaç birimdir?

    1. A)14
    2. B)11
    3. C)8
    4. D)7
    5. E)16
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. AB/AC = 4/6 olduğundan AB = 20 · 4/10 = 8.

  7. Soru 6 · Orta

    ABC üçgeninde AB = 6, AC = 4 ve BC = 5'tir. A'daki dış açının açıortayı BC'nin uzantısını E'de kesiyor. EC kaç birimdir?

    1. A)10
    2. B)15
    3. C)7,5
    4. D)12
    5. E)2
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. EB/EC = 6/4 ve EB = EC + 5; 4(EC + 5) = 6 · EC ve EC = 10.

  8. Soru 7 · Orta

    ABC üçgeninde AB = 6, AC = 9 ve BC = 10'dur. AD kaç birimdir?

    1. A)3√6
    2. B)6
    3. C)5
    4. D)√30
    5. E)2√7
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. BD = 4, DC = 6; AD² = 54 − 24 = 30.

  9. Soru 8 · Orta

    ABC üçgeninde AB = x, AC = x + 4, BD = 3 ve DC = 5'tir. Üçgenin çevresi kaçtır?

    1. A)30
    2. B)24
    3. C)28
    4. D)21
    5. E)33
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. 5x = 3(x + 4) eşitliğinden x = 6; kenarlar 6, 10, 8 ve çevre 24.

  10. Soru 9 · Orta

    ABC üçgeninde AB = 10 ve AC = 15'tir. ABD ve ADC üçgenlerinin alanları oranı kaçtır?

    1. A)3/2
    2. B)4/9
    3. C)3/4
    4. D)9/4
    5. E)2/3
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. Alanlar oranı AB/AC = 10/15 = 2/3'tür.

  11. Soru 10 · Orta

    ABC üçgeninde AB = 12, AC = 8 ve üçgenin alanı 60 birimkaredir. ABD üçgeninin alanını hesaplayınız.

    1. A)24
    2. B)40
    3. C)36
    4. D)30
    5. E)45
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Alanlar 12'ye 8 oranında paylaşılır; ABD'nin payı 60 · 12/20 = 36.

  12. Soru 11 · Orta

    A köşesi dik olan bir üçgende dik kenarlardan AB 6, AC 8 birimdir. BD kaç birimdir?

    1. A)30/7
    2. B)40/7
    3. C)5
    4. D)24/7
    5. E)4
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. BC = 10; BD = 10 · 6/14 = 30/7.

  13. Soru 12 · Zor

    ABC üçgeninde AB = 12, AC = 8 ve BC = 10'dur. A'daki iç açıortay BC'yi D'de, dış açıortay BC'nin uzantısını E'de kesiyor. DE kaç birimdir?

    1. A)20
    2. B)30
    3. C)24
    4. D)16
    5. E)28
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. BD = 6, DC = 4; EB/EC = 3/2 ve EB = EC + 10 olduğundan EC = 20; DE = 4 + 20 = 24.

  14. Soru 13 · Zor

    B açısı dik olan ABC üçgeninin AB ve BC kenarları 8 ve 6'dır. A açısının açıortayı BC'yi D'de kesiyor. BD kaç birimdir?

    1. A)3
    2. B)5/2
    3. C)8/3
    4. D)4
    5. E)1,5
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. AC = 10; BD/DC = 8/10 olduğundan BD = 6 · 8/18 = 8/3.

  15. Soru 14 · Zor

    ABC üçgeninde BD = 4, DC = 6 ve AD = 6'dır. AB kaç birimdir?

    1. A)4√2
    2. B)2√10
    3. C)3√10
    4. D)8
    5. E)2√15
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. AB = 2k, AC = 3k için 6k² − 24 = 36 ve k = √10; AB = 2√10.

  16. Soru 15 · Zor

    ABC üçgeninde BD ile DC 3'e 5 oranındadır, BC = 8 ve üçgenin çevresi 40'tır. AB kaç birimdir?

    1. A)20
    2. B)15
    3. C)9
    4. D)12
    5. E)16
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. AB + AC = 32 ve AB/AC = 3/5 olduğundan AB = 32 · 3/8 = 12.

8Ustalık kapısı

5 soru, 5 dakika. 4 ya da 5 doğru yaptıysan sıradaki derse, «Kenarortay ve ağırlık merkezi» dersine geç. 3 ve altındaysan 3. ve 4. bölümü yeniden oku, sonra kapıyı bir kez daha çöz.

  1. Soru 1 · Orta

    ABC üçgeninde AB = 10, AC = 15, BC = 20 ve AD, A açısının açıortayıdır. BD kaç birimdir?

    1. A)8
    2. B)10
    3. C)12
    4. D)6
    5. E)7,5
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. BD = 10k, DC = 15k ve 25k = 20; BD = 8.

  2. Soru 2 · Orta

    ABC üçgeninde AB = 9, AC = 6 ve A'nın açıortayı BC'yi D'de kesiyor; BD = 6'dır. DC uzunluğunu bulunuz.

    1. A)9
    2. B)6
    3. C)5,4
    4. D)4,5
    5. E)4
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. Oran 9'a 6 olduğundan DC = 6 · 6/9 = 4.

  3. Soru 3 · Zor

    AB = 8, AC = 12, BC = 10 verilen bir üçgende AD, A'nın açıortayıdır. AD kaç birimdir?

    1. A)4√6
    2. B)8
    3. C)6√2
    4. D)2√15
    5. E)9
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. BD = 4, DC = 6; AD² = 96 − 24 = 72 ve AD = 6√2.

  4. Soru 4 · Zor

    ABC üçgeninde AB = 9, AC = 6 ve BC = 4'tür. A'daki dış açının açıortayı BC'nin uzantısını E'de kesiyor. EC kaç birimdir?

    1. A)12
    2. B)6
    3. C)11
    4. D)8
    5. E)4,8
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. EB/EC = 9/6 ve EB = EC + 4; 6(EC + 4) = 9 · EC ve EC = 8.

  5. Soru 5 · Zor

    ABC üçgeninde AB = 15, AC = 10, alan 75 birimkare ve AD, A açısının açıortayıdır. ADC üçgeninin alanı kaçtır?

    1. A)45
    2. B)30
    3. C)25
    4. D)37,5
    5. E)50
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Alanlar 15'e 10 oranında paylaşılır; ADC'nin payı 75 · 10/25 = 30.

G03 — Açıortay, Kenarortay, Benzerlik, Alan

Modülün bütün dersleri bitince işaretle; modül 1, 3, 7 ve 21. günlerde YKS ana sayfasındaki tekrar listesine döner.