Eşkenar üçgen

Masanın üstüne aynı büyüklükte üç bozuk para koyun ve her birini öteki ikisine değecek biçimde birbirine yaslayın. Paraların merkezlerini birleştirdiğinizde ortaya çıkan üçgenin her kenarı iki yarıçapın toplamıdır; üç kenar da eşittir. Paraları ne kadar itip çekerseniz çekin, birbirlerine değdikleri sürece bu üçgen hep aynı biçimde kalır: üç açısı da 60°'dir. Eşkenar üçgen, tek bir uzunluğun bütün şekli belirlediği tek üçgendir. Kenarı bilen yüksekliği, alanı, çevreyi ve içindeki her önemli uzunluğu bilir. Önceki derslerde ikizkenar üçgeni ve 30-60-90 üçgenini gördük; eşkenar üçgen ikisinin buluştuğu yerdir. Bu derste eşkenar üçgenin yükseklik ve alan formüllerini türetiyor, içindeki bir noktadan kenarlara inen dikmelerin toplamının neden sabit olduğunu gösteriyor ve eşkenar üçgenin kare ile birlikte kullanıldığı açı sorularını çözüyoruz.

• Eşkenar üçgende yüksekliği a√3/2, alanı a²√3/4 olarak türetir ve kullanırsın.
• Kenar, yükseklik, alan ve çevreden biri verildiğinde ötekileri bulursun.
• İç bölgedeki bir noktadan kenarlara inen dikmelerin toplamının yüksekliğe eşit olduğunu kullanırsın.
• Eşkenar üçgenin kare ya da başka bir eşkenar üçgenle birleştiği şekillerde açı ve uzunluk hesaplarsın.

Tanım ve açılar

Üç kenarı eşit olan üçgene eşkenar üçgen denir. Eşkenar üçgen, her kenar çifti açısından ikizkenar olduğu için her iki açısı eşittir; buradan üç açının birbirine eşit olduğu ve her birinin 180/3 = 60° tuttuğu çıkar. Tersi de doğrudur: üç açısı eşit olan üçgen eşkenardır. Bir başka kısa yol daha vardır: açılarından biri 60° olan ikizkenar üçgen eşkenardır. Tepe açısı 60° ise taban açıları (180 − 60)/2 = 60° olur; taban açılarından biri 60° ise tepe açısı 180 − 120 = 60° kalır. Bu yüzden bir soruda iki eşit kenar ve aralarında ya da tabanda 60°'lik bir açı görüldüğünde, üçüncü kenar da hemen eşit kabul edilir.

Yükseklik

Kenarı a olan eşkenar üçgende bir köşeden karşı kenara inen yükseklik, ikizkenar üçgende olduğu gibi karşı kenarı ortalar ve tepe açısını ikiye böler. Böylece eşkenar üçgen, her biri 30-60-90 üçgeni olan iki yarıya ayrılır. Bu dik üçgenlerde hipotenüs a, kısa kenar a/2'dir; yükseklik 60°'lik açıya baktığı için

h = a√3/2

olur. Pisagor teoremi de aynı sonucu verir: h² = a² − a²/4 = 3a²/4. Kenarı 2 olan bir eşkenar üçgenin yüksekliği √3'tür. Ters yönde kenar a = 2h/√3 ile bulunur ve payda kökten kurtarılarak sadeleştirilir.

Alan

Alan, taban ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır: a · (a√3/2)/2. Sadeleşince

Alan = a²√3/4

bulunur. Kenarı 2 olan eşkenar üçgenin alanı √3'tür. Alan verildiğinde √3/4 ile bölünerek a² bulunur ve karekök alınır. Yükseklik verildiğinde alan h²/√3 biçiminde de yazılabilir, ama çoğu zaman önce kenarı bulmak daha az hata yaptırır. Eşkenar üçgende bütün büyüklükler a cinsinden yazıldığı için, soruda verilen büyüklük ne olursa olsun ilk adım a'yı bulmaktır.

Özel doğruların çakışması

Eşkenar üçgende her köşeden çizilen yükseklik, kenarortay ve açıortay çakışır; üçü de karşı kenarı ortalar, köşe açısını ikiye böler ve karşı kenara diktir. Üç köşeden çizilen bu doğrular üçgenin içinde tek bir noktada kesişir. Bu nokta ağırlık merkezi, iç teğet çemberin merkezi ve çevrel çemberin merkezi olarak da adlandırılır; eşkenar üçgende bunlar aynı noktadır. Kenarortayın bu noktada hangi oranda bölündüğü, kenarortay ve ağırlık merkezi konusunda ayrıca işlenecektir.

İçteki bir noktadan dikmeler

Eşkenar üçgenin içinde herhangi bir P noktası alınıp üç kenara dikmeler inilirse, dikmelerin uzunlukları toplamı P'nin yerinden bağımsızdır ve her zaman yüksekliğe eşittir. Kanıt alanla yapılır. P'yi köşelere birleştiren doğru parçaları üçgeni üç küçük üçgene ayırır. Her birinin tabanı a, yüksekliği ilgili dikmedir. Alanlar toplanınca a · d₁/2 + a · d₂/2 + a · d₃/2 = a · h/2 bulunur ve a sadeleşince d₁ + d₂ + d₃ = h kalır. Bu sonuç bir önceki dersteki ikizkenar üçgen kuralının eşkenar üçgendeki karşılığıdır. İki dikme verildiğinde üçüncüsü yükseklikten çıkarılarak, dikmelerin toplamı verildiğinde ise kenar yükseklikten bulunur.

Kenar üzerindeki bir nokta

Bir kenar üzerindeki P noktasının karşı köşeye uzaklığı için, bir önceki dersteki AP² = AB² − BP · PC bağıntısı aynen kullanılır; eşkenar üçgen ikizkenar üçgenin özel bir durumudur. Alternatif olarak yükseklik çizilir, P'nin kenarın orta noktasına uzaklığı bulunur ve Pisagor teoremi uygulanır. İki yol aynı sonucu verir; birincisi daha kısadır.

Kare ve eşkenar üçgen

Sınavda eşkenar üçgen sık sık bir kareyle birlikte verilir: karenin bir kenarı üzerine içe ya da dışa doğru bir eşkenar üçgen kurulur. Kurulan üçgenin kenarı karenin kenarına eşit olduğu için, eşkenar üçgenin tepesi karenin öteki köşeleriyle birleştirildiğinde yeni ikizkenar üçgenler oluşur. Çözüm her zaman aynıdır: eşit kenarlar işaretlenir, köşedeki açı 90° ile 60°'nin farkı ya da toplamı olarak yazılır, sonra ikizkenar üçgenin taban açıları hesaplanır. Üçgen içe kurulmuşsa köşede 90 − 60 = 30°, dışa kurulmuşsa 90 + 60 = 150° bulunur.

İki eşkenar üçgen

İki eşkenar üçgen bir kenarı paylaşacak biçimde yan yana konursa, ortak kenarın iki ucundaki açılar 120°'ye ulaşır ve şekil bir eşkenar dörtgen olur. Bu dörtgenin kısa köşegeni ortak kenarın kendisidir; uzun köşegeni ise iki üçgenin ortak kenara inen yüksekliklerinden kurulur ve onların yardımıyla hesaplanır. Bu yapı, düzgün altıgenin altı eşkenar üçgenden oluşmasının da temelidir.

Ölçüler arasında oran

Eşkenar üçgende bütün uzunluklar kenarla doğru orantılıdır, alan ise kenarın karesiyle büyür. Kenar iki katına çıkarsa yükseklik ve çevre de iki katına çıkar, ama alan dört katına çıkar. Kenar üç katına çıkarsa alan dokuz katına çıkar. Bu yüzden iki eşkenar üçgenin alanları oranı, kenarlarının oranının karesidir. Yükseklik ile kenarın oranı her eşkenar üçgende aynıdır: h/a = √3/2. Bir soruda kenar ile yükseklik arasında gidip gelmek gerektiğinde bu sabit oran akılda tutulursa, her seferinde 30-60-90 üçgenini yeniden kurmaya gerek kalmaz.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri eşkenar üçgende yüksekliği, alanı, çevreyi ya da kenarı; iç noktadan kenarlara inen dikmelerden birini; kenar üzerindeki bir noktanın karşı köşeye uzaklığını; kare ya da başka bir eşkenar üçgenle birleşen şekillerde açıyı veya köşegeni ister.

Örnek 1 — Alan

Soru: Kenarı 16 cm olan bir eşkenar üçgen kaç cm² alan kaplar?

• A) 128
• B) 32√3
• C) 64√3
• D) 128√3
• E) 48√3

Çözüm: a²√3/4 = 256√3/4 = 64√3. Cevap: C.

Örnek 2 — Yükseklikten kenara

Soru: Yüksekliği 15 birim olan eşkenar üçgenin kenarı kaç birimdir?

• A) 10√3
• B) 30
• C) 15√3
• D) 5√3
• E) 7,5

Çözüm: a√3/2 = 15 eşitliğinden a = 30/√3 = 10√3. Cevap: A.

Örnek 3 — İç noktadan dikmeler

Soru: Kenarı 6 birim olan eşkenar üçgenin içindeki bir noktanın iki kenara uzaklıkları 1 ve 2 birimdir. Üçüncü kenara uzaklığı kaç birimdir?

• A) 3√3 − 1
• B) 2√3
• C) 3√3 − 2
• D) 6 − √3
• E) 3√3 − 3

Çözüm: Yükseklik 3√3'tür; dikmelerin toplamı yüksekliğe eşit olduğundan üçüncü dikme 3√3 − 3. Cevap: E.

Örnek 4 — Kare içinde eşkenar üçgen

Soru: ABCD karesinin içinde, AB kenarı üzerine ABE eşkenar üçgeni kuruluyor. m(AED) kaç derecedir?

• A) 60
• B) 75
• C) 45
• D) 30
• E) 90

Çözüm: AE = AB = AD ve m(DAE) = 90 − 60 = 30. ADE'nin eşit iki açısı (180 − 30)/2 = 75'tir. Cevap: B.

• Yüksekliği a√3 sanmak. Eşkenar üçgende yükseklik a√3/2'dir.
• Alanı a²√3/2 yazmak. Alan a²√3/4'tür.
• İç noktadan dikmeler toplamını kenara eşitlemek. Toplam yüksekliğe eşittir.
• Kare sorularında köşedeki açıyı 60° almak. İçe kurulan üçgende kalan açı 30°, dışa kurulanda 150°'dir.
• Kenarı bulmadan formüle girmek. Önce a bulunur, sonra istenen büyüklük hesaplanır.