Üçgende açı-kenar bağıntıları ve eşitsizlik

Elinizde 4 cm, 5 cm ve 10 cm uzunluğunda üç çubuk var ve uçlarından birleştirerek bir üçgen kurmak istiyorsunuz. 4 ve 5 cm'lik çubukları 10 cm'lik çubuğun iki ucuna takıp serbest uçlarını birbirine yaklaştırdığınızda, ikisi yan yana uzansa bile toplam 9 cm eder ve öteki uca bir türlü yetişmez. Üçgen kurulamaz. Çubuklardan birini 12 cm'lik bir çubukla değiştirseniz durum daha da kötüleşir; 7 cm'lik bir çubuk alırsanız bu kez üçgen rahatça kapanır. Hangi uzunlukların üçgen oluşturduğunu bir ölçü belirler: her kenar, öteki iki kenarın toplamından kısa, farkından uzun olmalıdır. Önceki derslerde kenar uzunluklarını Pisagor teoremi ve özel üçgenlerle tam olarak hesapladık. Bu derste tam değer yerine sınırlar arıyoruz: üçgen eşitsizliğini, açılar ile kenarlar arasındaki sıralama ilişkisini ve bir üçgenin en büyük açısının türünü yalnızca kenarlardan anlamayı işliyoruz.

• Açı sırası ile kenar sırası arasında iki yönde geçiş yaparsın.
• Üçgen eşitsizliğiyle verilen uzunlukların üçgen oluşturup oluşturmadığına karar verir, bir kenarın alabileceği tam sayı değerleri sayarsın.
• Kenarları verilen bir üçgenin en büyük açısının türünü kareleri karşılaştırarak belirlersin.
• Ortak kenarlı üçgenlerde ve ifadeyle verilen kenarlarda eşitsizlikleri birleştirirsin.

Açı ile kenar arasındaki sıralama

Bir önceki modülde gördüğümüz kural bu dersin temelidir: üçgende açılar ne sırayla büyüyorsa, karşılarındaki kenarlar da aynı sırayla uzar. ABC üçgeninde A köşesinin karşısındaki kenar a = BC, B'ninki b = AC, C'ninki c = AB ile gösterilir. Böylece açılar için yazılan her sıralama, harfleri küçültülerek kenarlar için de yazılabilir; tersi de geçerlidir. Eşit açıların karşısında eşit kenarlar vardır; ikizkenar ve eşkenar üçgenler bu kuralın özel durumlarıdır. Açılardan ikisi verilmişse önce üçüncüsü bulunur, sonra üç açı sıralanır ve kenarlar aynı sırayla yazılır. Açıları 25° ve 100° verilen bir üçgende üçüncü açı 55°'dir; en uzun kenar 100°'lik açıya, en kısa kenar 25°'lik açıya bakar. Kenarları adlandırırken açının köşe harfini içermeyen kenarı seçmek gerekir; en sık hata, A açısının karşısındaki kenarı AB ya da AC sanmaktır. Kuralın nedeni sezgiyle de görülebilir: iki kenar arasındaki açı açıldıkça bu iki kenarın uçları birbirinden uzaklaşır, yani karşıdaki kenar uzar.

Üçgen eşitsizliği

Üç uzunluğun bir üçgen oluşturabilmesi için her birinin öteki ikisinin toplamından küçük olması gerekir. Kanca deneyindeki 4, 5 ve 10'da 4 + 5 = 9 < 10 olduğundan üçgen kurulamaz. Kısa bir denetim yeterlidir: en uzun kenar, öteki ikisinin toplamından küçükse üç uzunluk bir üçgen oluşturur; öteki iki eşitsizlik kendiliğinden sağlanır. En uzun kenar toplama eşitse üç nokta aynı doğru üzerine düşer ve üçgen yerine bir doğru parçası elde edilir.

Aynı kural bir kenarın aralığını verir. İki kenarı b ve c olan bir üçgende üçüncü kenar a için

|b − c| < a < b + c

yazılır. İki kenarı 6 ve 11 olan bir üçgende üçüncü kenar 5 ile 17 arasındadır; eşitlikler dahil değildir. Kenarın tam sayı olduğu söylenmişse aralıktaki tam sayılar sayılır: 6'dan 16'ya kadar 11 değer vardır. Sayarken uç değerlerin dışarıda kaldığını unutmamak gerekir.

Ortak kenarlı üçgenler

Bir dörtgenin köşegeni ya da iki üçgenin ortak kenarı, iki ayrı üçgen eşitsizliğine aynı anda uymak zorundadır. Her üçgen için ayrı bir aralık bulunur ve iki aralığın kesişimi alınır. Örneğin bir köşegen bir üçgende 3 ile 11 arasında, öteki üçgende 5 ile 15 arasında olmalıysa, ortak değerleri 5 ile 11 arasındadır. Aynı fikir, kenarların bir değişkenle ifade edildiği sorularda da kullanılır: üç eşitsizlik ayrı ayrı yazılır, her biri çözülür ve çözüm kümelerinin kesişimi alınır.

Açı ve eşitsizliği birleştirmek

Bazı sorular hem bir açı sıralaması hem de üçgen eşitsizliği verir. Örneğin bir kenarın, belirli bir açının en büyük açı olmasını sağlayacak biçimde seçilmesi istenir. Bu durumda açı sıralaması önce bir kenar sıralamasına çevrilir; bu, aralığın bir ucunu daraltır. Ardından üçgen eşitsizliği öteki ucu belirler. İki koşulun birlikte sağladığı değerler sayılır. Böyle sorularda her koşulu ayrı bir satıra yazmak ve sonunda kesişimi almak, hangi sınırın hangi koşuldan geldiğini karıştırmayı önler.

Kenarlardan açının türü

Kenarları bilinen bir üçgenin en büyük açısının türü, Pisagor teoreminin genişletilmesiyle bulunur. En uzun kenar c, ötekiler a ve b ise:

• c² = a² + b² ise en büyük açı diktir,
• c² < a² + b² ise en büyük açı dardır ve üçgen dar açılıdır,
• c² > a² + b² ise en büyük açı geniştir ve üçgen geniş açılıdır.

Sezgi şöyledir: iki kenarı sabit tutup aralarındaki açıyı açtıkça karşıdaki kenar uzar; dik açıda tam Pisagor değerine ulaşır, geniş açıda onu aşar. Kenarları 4, 5 ve 6 olan üçgende 36 < 16 + 25 olduğundan üçgen dar açılıdır. Bu denetim yalnızca en uzun kenar için yapılır, çünkü öteki iki açı zaten dardır.

Tür ve aralık birlikte

Bir üçgenin geniş ya da dar açılı olması istenip bir kenar bilinmeyen bırakılırsa iki koşul birlikte uygulanır. Bilinmeyen kenar en uzun kenarsa, geniş açılı üçgen için karesi öteki iki karenin toplamından büyük olmalı, ama üçgen eşitsizliği gereği öteki ikisinin toplamından da küçük kalmalıdır. Bilinmeyen kenar en uzun değilse koşul en uzun bilinen kenar için yazılır. Bu tür sorularda olası her durumu ayrı ele almak ve hangi kenarın en uzun olduğunu her durumda yeniden belirlemek gerekir.

İkizkenar üçgende kenar seçimi

İki farklı uzunluk verilip ikizkenar üçgen kurulması istendiğinde, hangi uzunluğun iki kez kullanılacağına üçgen eşitsizliği karar verir. Kısa uzunluk iki kez kullanılırsa toplamları uzun kenara yetmeyebilir; bu durumda tek seçenek uzun uzunluğu iki kez kullanmaktır. İki seçenek de eşitsizliği sağlıyorsa iki farklı üçgen vardır ve soru genellikle hangisinin istendiğini ek bir bilgiyle belirtir.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri verilen uzunlukların üçgen oluşturup oluşturmadığını, bir kenarın alabileceği tam sayı değerlerin sayısını, en büyük ya da en küçük değerini, açılardan kenar sıralamasını, kenarlardan üçgenin türünü, ortak kenarlı ya da ifadeyle verilen üçgenlerde değer aralığını ve en küçük ya da en büyük çevreyi ister.

Örnek 1 — Tam sayı değerler

Soru: Bir üçgenin iki kenarı 2 ve 9 birimdir. Üçüncü kenar tam sayı ise kaç farklı değer alabilir?

• A) 6
• B) 7
• C) 3
• D) 11
• E) 5

Çözüm: 7 < x < 11 olduğundan x ∈ {8, 9, 10}; 3 değer. Cevap: C.

Örnek 2 — Açılardan kenarlara

Soru: Bir ABC üçgeninin A açısı 80°, B açısı 55°'dir. Kenarların sıralaması nedir?

• A) c > b > a
• B) a > b > c
• C) b > a > c
• D) a > c > b
• E) a = b > c

Çözüm: m(C) = 45° olur. Açılar A, B, C sırasıyla küçüldüğünden karşı kenarlar a > b > c. Cevap: B.

Örnek 3 — Üçgenin türü

Soru: Kenarları 5, 7 ve 8 birim olan bir üçgenin en büyük açısı nasıldır?

• A) Dik
• B) Geniş
• C) Tam 60°
• D) Dar
• E) Belirlenemez

Çözüm: En uzun kenar 8'dir: 64 < 25 + 49 = 74 olduğundan en büyük açı dardır. Cevap: D.

Örnek 4 — İkizkenar üçgen

Soru: Kenarlarından ikisi 4 ve 10 birim olan bir ikizkenar üçgenin çevresi kaçtır?

• A) 24
• B) 22
• C) 28
• D) 14
• E) 20

Çözüm: 4, 4, 10 üçgen oluşturmaz (8 < 10). Kenarlar 10, 10, 4 olur; çevre 24. Cevap: A.

• Aralığın uçlarını saymak. Üçgen eşitsizliği kesindir; |b − c| ve b + c dahil değildir.
• Açının karşısındaki kenarı yanlış adlandırmak. A köşesine bakan kenar BC'dir.
• Tür denetimini en uzun olmayan kenarla yapmak. Kare karşılaştırması en uzun kenar için yapılır.
• İkizkenarda kısa kenarı iki kez almak. Önce üçgen eşitsizliği denetlenir.
• Ortak kenarda tek aralıkla yetinmek. İki üçgenin aralıklarının kesişimi alınır.