İkizkenar üçgen

Bir çatı ustası iki eğik kirişi aynı uzunlukta keser, alt uçlarını bir yatay kirişin iki ucuna, üst uçlarını tepede birbirine çakar. Ortaya çıkan üçgen ikizkenardır. Usta tepeden yatay kirişe çekül sarkıttığında çekülün ipi yatay kirişi tam ortasından keser, tepe açısını da iki eşit parçaya böler. Tek bir ip, üç ayrı işi aynı anda yapar: yükseklik, kenarortay ve açıortay olur. İkizkenar üçgeni bu kadar kullanışlı yapan, simetrisidir: tepeden inen bu doğru, üçgeni iki özdeş dik üçgene ayırır ve bir önceki derslerde öğrendiğimiz Pisagor teoremi ile özel üçgenler hemen devreye girer. Bu derste ikizkenar üçgenin açı ve kenar özelliklerini, tepeden inen doğrunun üç rolünü, yükseklik ve alan hesabını, taban üzerindeki bir noktanın tepeye uzaklığını, tabandan eşit kenarlara inen dikmelerin toplamını ve eşit kenarlardan doğan açı zincirlerini işliyoruz.

• İkizkenar üçgende taban açılarının eşitliğini ve tersini kullanır, eşit kenarlardan açı, eşit açılardan kenar çıkarırsın.
• Tepeden tabana inen doğrunun yükseklik, kenarortay ve açıortay olduğunu kullanarak yüksekliği, alanı ve çevreyi bulursun.
• Taban üzerindeki bir P noktası için AP² = AB² − BP · PC bağıntısını ve tabandan eşit kenarlara inen dikmelerin toplamının sabit olduğunu uygularsın.
• Birden fazla ikizkenar üçgenin zincirlendiği şekillerde açıları adım adım bulursun.

Tanım ve açılar

Kenarlarından ikisi aynı uzunlukta olan üçgenlere ikizkenar üçgen adı verilir. Bu derste her zaman AB = AC alınır: A tepe, BC taban, B ve C taban köşeleridir. İkizkenar üçgende taban açıları eşittir, m(B) = m(C). Bu önerme ters yönde de çalışır: açılarından ikisi eşit çıkan bir üçgende bu açıların karşısındaki kenarlar eşittir ve üçgen ikizkenardır. Bu iki yönlü ilişki, sorularda kenar bilgisini açı bilgisine, açı bilgisini kenar bilgisine çevirmeyi sağlar. Tepe açısı t ise her taban açısı (180 − t)/2'dir; taban açıları her zaman dardır. Tepe açısı 60° olursa üçgen eşkenar olur; eşkenar üçgen ayrı bir derste ele alınıyor.

Tepeden inen doğrunun üç rolü

A'dan tabana inen dikme AH olsun. ABH ve ACH dik üçgenlerinde hipotenüsler eşit (AB = AC) ve AH ortak kenardır. Pisagor teoremi BH² = AB² − AH² ve CH² = AC² − AH² verir; sağ taraflar eşit olduğu için BH = CH'dir. Demek ki yükseklik tabanı ortalar, yani aynı zamanda kenarortaydır. İki dik üçgenin üç kenarı da eşit olduğundan açıları da eşittir; m(BAH) = m(CAH) olur ve AH açıortaydır. İkizkenar üçgende tepeden inen yükseklik, kenarortay ve açıortay aynı doğrudur. Bu yüzden soruda bunlardan biri verildiğinde öteki ikisi de hazır kabul edilir: tepe açısı 80° ise AH bu açıyı 40°'lik iki parçaya ayırır.

Yükseklik ve alan

Eşit kenarları a, tabanı t olan ikizkenar üçgende tepeden inen yükseklik, tabanın yarısıyla birlikte bir dik üçgen oluşturur:

h = √(a² − (t/2)²)

Eşit kenarları 5, tabanı 8 olan bir üçgende yükseklik √(25 − 16) = 3, alan 8 · 3/2 = 12'dir. Tabanın yarısının, eşit kenarla birlikte bir Pisagor üçlüsü oluşturup oluşturmadığına bakmak hesabı kısaltır. Ters yönde, alan ve taban verildiğinde önce yükseklik bulunur, sonra eşit kenar hesaplanır. Çevre verilmişse eşit kenarlar 2a + t = çevre eşitliğinden bulunur.

Taban üzerindeki bir nokta

P, BC tabanı üzerinde bir nokta olsun. Tepeye uzaklık AP için şu bağıntı geçerlidir:

AP² = AB² − BP · PC

Kanıt Pisagor teoremiyle yapılır. H tabanın orta noktası olduğundan AB² = AH² + BH² ve AP² = AH² + PH² yazılır. Çıkarınca AB² − AP² = BH² − PH² = (BH − PH)(BH + PH) bulunur. BH − PH ve BH + PH, P'nin B'ye ve C'ye uzaklıklarıdır; çarpımları BP · PC'dir. P tabanın ortasındaysa bağıntı yükseklik formülüne döner, P bir uca yaklaştıkça AP eşit kenara yaklaşır. Bağıntı, taban üzerindeki parçalar ile tepeye uzaklık arasında Pisagor teoremini iki kez yazmadan doğrudan geçiş sağlar.

Tabandan eşit kenarlara inen dikmeler

Taban üzerindeki bir P noktasından AB ve AC kenarlarına dikmeler inilirse, bu iki dikmenin uzunlukları toplamı P'nin yerine bağlı değildir: her zaman B'den AC'ye inen yüksekliğe eşittir. Kanıt alanla yapılır. AP doğru parçası üçgeni ABP ve APC üçgenlerine ayırır. Alanları toplanınca AB · d₁/2 + AC · d₂/2 = Alan(ABC) bulunur. AB = AC olduğundan AB · (d₁ + d₂)/2 = Alan(ABC), yani d₁ + d₂ = 2 · Alan/AB olur ve bu, AB'ye ait yüksekliğin ta kendisidir. Soruda dikmelerden biri verilmişse, öteki bu sabit toplamdan çıkarılarak bulunur.

Açı zincirleri

İkizkenar üçgen sorularının bir bölümü, şeklin içinde yeni ikizkenar üçgenler oluşturan eşit kenarlarla kurulur. Örneğin AB = AC verilmiş, ayrıca taban üzerinde ya da bir kenar üzerinde alınan D noktası için BD = BC ya da AD = DC gibi bir eşitlik eklenmiştir. Çözüm her zaman aynı yoldan gider: eşit kenarların karşısındaki açılar eşit işaretlenir, bilinmeyen açıya bir harf verilir, dış açı kuralı ve iç açılar toplamı kullanılarak açılar o harf cinsinden yazılır ve sonunda bir denklem kurulur. Zincir uzadıkça açılar x, 2x, 3x gibi katlarla ilerler. Bu tür sorularda şekli büyük çizmek ve her yeni eşitliği hemen açılara çevirmek, hatayı en aza indirir.

Özel ikizkenar üçgenler

Bazı ikizkenar üçgenler önceki derslerden tanıdıktır. Tepe açısı 90° olan ikizkenar üçgen 45-45-90 üçgenidir; tepeden inen yükseklik onu iki küçük 45-45-90 üçgenine ayırır ve yükseklik hipotenüsün yarısına eşit olur. Tepesindeki açı 120° olduğunda taban açıları 30°'ye düşer ve üçgen, kenarları a : a : a√3 oranındaki 30-30-120 üçgenine dönüşür. Taban açıları 45° verilmişse tepe açısı diktir; taban açıları 30° verilmişse tepe açısı geniştir ve yükseklik eşit kenarın yarısıdır. Bir soruda tepe açısı bu değerlerden biri olarak verilmişse, önce bu tanıdık yapı aranmalıdır; hesap çoğu zaman tek adıma iner.

Simetriyi kullanmak

İkizkenar üçgen AH doğrusuna göre simetriktir: şeklin sol yarısında bulunan her uzunluk ve açı sağ yarıda bir eşe sahiptir. Bir soruda yalnızca bir taraf hakkında bilgi verilmişse, simetri öteki tarafı da verir. Bu yüzden ikizkenar üçgen sorularında ilk adım çoğu zaman tepeden yüksekliği çizmek ve şekli iki dik üçgene ayırmaktır; ardından Pisagor teoremi, özel üçgen oranları ya da Öklid bağıntıları bu küçük üçgenlere uygulanır.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri ikizkenar üçgende yüksekliği, eşit kenarı, tabanı, alanı ya da çevreyi; taban üzerindeki bir noktanın tepeye uzaklığını ya da tabandaki parçaları; tabandan kenarlara inen dikmelerden birini; eşit kenarların oluşturduğu açı zincirlerinde bilinmeyen açıyı ister.

Örnek 1 — Yükseklik

Soru: AB = AC = 41 ve BC = 18 olan ABC üçgeninde A'dan tabana inen yükseklik kaç birimdir?

• A) 32
• B) 40
• C) 9√21
• D) 38
• E) 23

Çözüm: Yükseklik tabanı ortalar: √(41² − 9²) = √1600 = 40. Cevap: B.

Örnek 2 — Taban üzerindeki nokta

Soru: AB = AC = 9 olan ABC üçgeninde P, BC üzerinde, BP = 3 ve PC = 7'dir. AP kaç birimdir?

• A) 2√15
• B) 8
• C) 3√7
• D) √51
• E) 6

Çözüm: AP² = 81 − 3 · 7 = 60 olduğundan AP = 2√15. Cevap: A.

Örnek 3 — Dikmelerin toplamı

Soru: AB = AC = 15 ve BC = 18 olan ABC üçgeninde P, BC üzerinde bir noktadır. P'den AB ve AC'ye inen dikmelerin toplamı kaç birimdir?

• A) 12
• B) 7,2
• C) 14,4
• D) 10,8
• E) 18

Çözüm: Yükseklik 12, alan 108'dir. Toplam, AB'ye ait yüksekliğe eşittir: 2 · 108/15 = 14,4. Cevap: C.

Örnek 4 — Açı zinciri

Soru: Tepesi A olan ikizkenar ABC üçgeninde D, BC üzerinde ve AD = DC'dir. m(BAD) = 30° ise m(B) kaç derecedir?

• A) 40
• B) 30
• C) 65
• D) 50
• E) 75

Çözüm: m(B) = m(C) = x ve AD = DC olduğundan m(DAC) = x. Tepe açısı 180 − 2x = 30 + x eşitliğinden x = 50. Cevap: D.

• Yüksekliği hesaplarken tabanın tamamını kullanmak. Dik üçgende tabanın yarısı kullanılır.
• Taban açılarını tepe açısıyla karıştırmak. Eşit olanlar eşit kenarların karşısındaki açılardır.
• AP² = AB² − BP · PC yerine BP + PC yazmak. Bağıntıda çarpım vardır.
• Dikmeler toplamını tabana ait yükseklik sanmak. Toplam, eşit kenara ait yüksekliktir.
• Açı zincirinde eşit kenarın karşısındaki açıyı yanlış seçmek. Her eşitlikte karşı açılar işaretlenir.