30-60-90 ve 45-45-90 üçgenleri

Okul geometri takımındaki iki gönyeye bakın. Biri ikizkenar bir dik üçgendir; açıları 45°, 45° ve 90°'dir. Öteki daha uzun ve incedir; bir dik açısının yanında 30° ve 60°'lik iki açısı vardır. Bu iki üçgen rastgele seçilmemiştir: ikisinde de kenarlar arasındaki oran sabittir ve bir kenarı bilmek, ötekileri hesap makinesi kullanmadan bulmaya yeter. 45-45-90 üçgeninde hipotenüs her zaman dik kenarın √2 katıdır; 30-60-90 üçgeninde ise 30°'nin karşısındaki kenar her zaman hipotenüsün tam yarısıdır. Bir önceki iki derste Pisagor teoremini ve Öklid bağıntılarını gördük. Bu derste o teoremi iki özel üçgene uygulayarak kalıcı oranlar çıkarıyor, bu oranları açıları 30°, 45° ve 60° olan karışık üçgenlere taşıyor ve köklü uzunluklarla rahatça işlem yapmayı öğreniyoruz. Sınavda bu iki üçgen, açısı verilmiş hemen her geometri sorusunun içinde gizlidir.

• 45-45-90 üçgeninde kenarların x, x, x√2 oranında olduğunu kanıtlar ve kullanırsın.
• 30-60-90 üçgeninde kenarların x, x√3, 2x oranında olduğunu kanıtlar ve kullanırsın.
• Açıları 30°, 45°, 60° ve 120° olan üçgenleri bir yükseklik çizerek bu iki özel üçgene ayırırsın.
• Köklü ifadelerle bölme yapar, paydayı kökten kurtararak sonucu sadeleştirirsin.

45-45-90 üçgeni

Bir kareyi köşegeni boyunca ikiye kesince iki tane ikizkenar dik üçgen elde edilir. Açıları 45°, 45° ve 90°'dir, dik kenarları eşittir. Dik kenarlara x denirse Pisagor teoremi hipotenüs için x² + x² = 2x² verir; hipotenüs x√2'dir. Kenarların oranı bu yüzden

x : x : x√2

biçimindedir. Dik kenarı 3 olan bir ikizkenar dik üçgenin hipotenüsü 3√2'dir. Hipotenüs verildiğinde ters yönde gidilir: dik kenar, hipotenüsün √2'ye bölümüdür. Karenin köşegeni de aynı üçgenden gelir; kenarı a olan karenin köşegeni a√2'dir. Bir üçgende iki açının 45° olduğu söylenmişse ya da bir dik üçgenin ikizkenar olduğu belirtilmişse bu oran hemen kullanılabilir.

30-60-90 üçgeni

Kenarı 2x olan bir eşkenar üçgenin bir köşesinden karşı kenara yükseklik inilirse, yükseklik karşı kenarı iki eşit parçaya ayırır ve eşkenar üçgen iki özdeş dik üçgene bölünür. Her yarıda bir dik açı, bir 30° ve bir 60° bulunur. Hipotenüs eşkenar üçgenin kenarı, yani 2x'tir. 30°'nin karşısındaki kenar ise ikiye bölünmüş tabanın yarısı, yani x'tir. Kalan kenar Pisagor teoremiyle bulunur: (2x)² − x² = 3x² olduğundan 60°'nin karşısındaki kenar x√3'tür. Oran

x : x√3 : 2x

biçimindedir ve sırasıyla 30°, 60° ve 90°'nin karşısındaki kenarları gösterir. En çok kullanılan sonuç şudur: 30°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır. Hipotenüsü 20 olan bir 30-60-90 üçgeninde kısa kenar 10, uzun dik kenar 10√3'tür.

Oranı kullanmanın yolu

Her iki üçgende de iş aynı sırayla yapılır. Önce verilen kenarın hangi açının karşısında olduğu belirlenir. Sonra oranın o konumundaki ifade verilen uzunluğa eşitlenir ve x bulunur. Son olarak istenen kenar x cinsinden yazılır. Örneğin 30-60-90 üçgeninde 60°'nin karşısındaki kenar 12 ise x√3 = 12 ve x = 12/√3 olur. Bulunan x'i ezberlenmiş bir sayıyla karıştırmamak için kenarları açılarla birlikte yazmak iyi bir alışkanlıktır: 30° karşısı x, 60° karşısı x√3, 90° karşısı 2x.

Paydayı kökten kurtarmak

Bölmede paydada kök kalırsa sonuç genellikle sadeleştirilir. Pay ve payda aynı kökle çarpılır: 12/√3 = 12√3/3 = 4√3. Benzer biçimde 18/√2 = 18√2/2 = 9√2'dir. Bu işleme paydayı rasyonel yapmak denir. Sınav seçenekleri neredeyse her zaman sadeleştirilmiş biçimde verildiği için, 12/√3 bulup seçeneklerde göremeyen öğrenci doğru sonucu kaçırabilir. Bir başka kısayol: x√3 = 6√3 gibi her iki tarafta aynı kök varsa kök doğrudan sadeleşir ve x = 6 bulunur.

30-30-120 üçgeni

Tepe açısı 120°, taban açıları 30° olan ikizkenar üçgen sınavlarda sık görülür. Tepeden tabana inen yükseklik bu üçgeni iki tane 30-60-90 üçgenine ayırır. Eşit kenarlar a ise yükseklik 30°'nin karşısında kaldığı için a/2'dir; tabanın her yarısı 60°'nin karşısında kaldığı için a√3/2'dir. Taban bu yüzden a√3'tür. Kısacası 30-30-120 üçgeninde kenarlar a : a : a√3 oranındadır. Bu sonuç, bir düzgün altıgenin köşegenlerini hesaplarken de işe yarar.

Karışık açılı üçgenler

Bir üçgenin iki taban açısı 30°, 45° ya da 60° olarak verilmişse, karşı köşeden tabana bir yükseklik çizmek üçgeni iki özel dik üçgene ayırır. Örneğin taban açıları 45° ve 60° olan bir üçgende yükseklik h ise, 45° tarafındaki parça h, 60° tarafındaki parça h/√3 olur ve taban bu iki parçanın toplamıdır. Yükseklik iki parçanın ortak kenarıdır; bu yüzden önce yükseklik bulunur ya da bir harfle adlandırılır, sonra her iki tarafa ayrı ayrı oran uygulanır. Yükseklik verilmemişse, bir kenar verildiği tarafta önce yükseklik hesaplanır ve ardından öteki tarafa geçilir.

Gizli özel üçgeni bulmak

Sınav soruları özel üçgeni her zaman adıyla vermez. Bir dikdörtgende köşegenin bir kenarla 30° ya da 60° yaptığı söylenmişse köşegen hipotenüs olur ve bir 30-60-90 üçgeni ortaya çıkar. Bir karede köşegen çizilmişse ya da iki dik kenarı eşit olan bir dik üçgen verilmişse 45-45-90 üçgeni vardır. Eşkenar üçgende herhangi bir yükseklik iki tane 30-60-90 üçgeni oluşturur. Bir eğik doğrunun yerle ya da duvarla yaptığı açı 30°, 45° ya da 60° olarak verilmişse, o doğrunun uzunluğu hipotenüstür ve yatay ile düşey bileşenler oranlarla bulunur. Bu yüzden açısı verilen bir şekilde ilk iş, bir dik açı arayıp oluşan dik üçgenin açılarını yazmaktır.

Alan ve çevre

Özel üçgenlerin alanı ve çevresi de x cinsinden tek bir ifadeyle yazılır. 45-45-90 üçgeninde alan x²/2, çevre x(2 + √2)'dir. 30-60-90 üçgeninde dik kenarlar x ve x√3 olduğundan alan x²√3/2, çevre x(3 + √3)'tür. Çevre ya da alan verilmişse bu ifade verilen değere eşitlenir ve x bulunur; sonra istenen kenar hesaplanır. Bu yol, kenarları tek tek bulup toplamaktan çok daha kısadır.

Hipotenüse ait kenarortay

Her dik üçgen, köşegeni hipotenüs olan bir dikdörtgenin yarısıdır. Dikdörtgenin köşegenleri eşittir ve birbirini ortalar; bu yüzden dik köşeyi hipotenüsün orta noktasına birleştiren doğru parçası hipotenüsün yarısına eşittir. 30-60-90 üçgeninde bu kenarortay, 60° köşesiyle birlikte bir eşkenar üçgen oluşturur; 30°'nin karşısındaki kenarın neden hipotenüsün yarısı olduğunu buradan da görmek mümkündür.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri özel dik üçgenlerde eksik kenarı, karede ya da dikdörtgende köşegen ve kenarları, 30-30-120 üçgeninde tabanı ya da eşit kenarı, taban açıları özel olan üçgenlerde yükseklik çizerek bir kenarı, bir şeklin çevresini ya da alanını sorar.

Örnek 1 — 30-60-90

Soru: Hipotenüsü 16 cm olan bir 30-60-90 üçgeninde 60°'lik açının karşısında kalan kenar kaç cm'dir?

• A) 8
• B) 16√3
• C) 8√3
• D) 8√2
• E) 4√3

Çözüm: 2x = 16 olduğundan x = 8; 60°'nin karşısı x√3 = 8√3. Cevap: C.

Örnek 2 — 45-45-90

Soru: Dik kenarı 3√2 birim olan bir ikizkenar dik üçgende hipotenüsü hesaplayınız.

• A) 6
• B) 3√2
• C) 6√2
• D) 3
• E) 9

Çözüm: Hipotenüs dik kenarın √2 katıdır: 3√2 · √2 = 6. Cevap: A.

Örnek 3 — 30-30-120

Soru: Tepe açısı 120° olan ikizkenar üçgenin eşit kenarları 10 cm'dir. Taban kaç cm'dir?

• A) 20
• B) 10√2
• C) 15
• D) 5√3
• E) 10√3

Çözüm: Yükseklik üçgeni iki 30-60-90 üçgenine ayırır; tabanın yarısı 5√3, taban 10√3. Cevap: E.

Örnek 4 — Karışık açılar

Soru: ABC üçgeninde m(B) = 45°, m(C) = 30° ve A'dan BC'ye inen yükseklik AH = 6'dır. BC kaç birimdir?

• A) 12
• B) 6 + 6√3
• C) 6√3
• D) 6 + 2√3
• E) 12√3

Çözüm: ABH'de BH = AH = 6; AHC'de AH 30°'nin karşısında olduğundan HC = 6√3. BC = 6 + 6√3. Cevap: B.

• 30-60-90 oranında kenarları yanlış açıya bağlamak. x, 30°'nin; x√3, 60°'nin karşısındadır.
• Hipotenüsü x√3 sanmak. 30-60-90 üçgeninde hipotenüs 2x'tir.
• Paydadaki kökü bırakıp seçeneği bulamamak. 12/√3 = 4√3 olarak sadeleştirilir.
• Karışık üçgende iki tarafa aynı oranı uygulamak. Her taraf kendi açısının oranını kullanır.
• 45-45-90'da dik kenarı hipotenüsün yarısı sanmak. Dik kenar hipotenüsün √2'ye bölümüdür.