Öklid bağıntıları

Dik üçgen biçiminde bir arsanın dik köşesinden, karşıdaki uzun kenara en kısa yoldan bir çit çekilecek. Çitin uzun kenarı 3 metre ve 27 metre uzunluğunda iki parçaya ayırdığı biliniyor; çitin kendi uzunluğu ise bilinmiyor. İlk akla gelen Pisagor teoremidir, ama çit iki küçük dik üçgenin ortak kenarıdır ve iki küçük üçgende de birer bilinmeyen kenar daha vardır: tek bir denklemle iki bilinmeyen çözülemez. Yine de cevap kesindir: çit 9 metredir, çünkü 3 · 27 = 81 ve 81'in karekökü 9'dur. Bu kısayol, dik üçgende dik köşeden hipotenüse inen yüksekliğin ürettiği üç dik üçgen arasındaki ilişkilerden gelir. Bir önceki derste Pisagor teoremini ve tersini gördük. Bu derste o teoremden türeyen Öklid bağıntılarını kanıtlıyor, hangi bağıntının hangi durumda kullanılacağını ayırt etmeyi ve yükseklik ile kenarlar arasında hızlı geçiş yapmayı öğreniyoruz.

• Dik üçgende hipotenüse inen yüksekliğin hipotenüsü ayırdığı parçalarla bağıntısını (h² = p · k) kullanırsın.
• Dik kenarları hipotenüs ve izdüşümleri cinsinden bulursun (c² = p · a, b² = k · a).
• Alan bağıntısıyla (b · c = a · h) hipotenüse inen yüksekliği hesaplarsın.
• Verilenlere göre doğru bağıntıyı seçer, bağıntıları Pisagor teoremiyle birlikte zincirlersin.

Kurulum ve adlandırma

Bu derste her zaman aynı şekil kullanılır: ABC üçgeninde dik açı A köşesindedir, yani m(A) = 90°'dir. A'dan hipotenüs BC'ye bir dikme inilir ve dikme ayağına H denir. Böylece büyük üçgenin içinde iki küçük dik üçgen oluşur: ABH ve AHC. Uzunluklar için kısa adlar kullanılır: hipotenüs a = BC, dik kenarlar c = AB ve b = AC, yükseklik h = AH. Yükseklik hipotenüsü iki parçaya ayırır: B tarafındaki parça p = BH, C tarafındaki parça k = HC'dir ve p + k = a olur. Bu iki parçaya, dik kenarların hipotenüs üzerindeki izdüşümleri denir: BH, AB kenarının; HC ise AC kenarının izdüşümüdür. Bağıntıları doğru kullanmanın ilk koşulu, her dik kenarın kendi izdüşümüyle eşleştirilmesidir: AB, B'ye bitişik olan BH ile; AC, C'ye bitişik olan HC ile gider.

Yükseklik bağıntısı

Hipotenüse inen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerindeki iki parçanın çarpımına eşittir:

h² = p · k

Bu bağıntı yalnızca Pisagor teoremiyle kanıtlanabilir. ABH üçgeninde c² = h² + p², AHC üçgeninde b² = h² + k² yazılır. Büyük üçgende b² + c² = a² = (p + k)² olduğundan, iki eşitlik toplanıp yerine konunca 2h² + p² + k² = p² + 2pk + k² bulunur. p² ve k² sadeleşir ve h² = pk kalır. Kancadaki çit bu bağıntının ta kendisidir: p = 3 ve k = 27 için h² = 81, h = 9 metredir. Yüksekliğin, parçaların geometrik ortası olduğu da söylenir.

Dik kenar bağıntıları

Her dik kenarın karesi, kendi izdüşümü ile hipotenüsün çarpımına eşittir:

c² = p · a ve b² = k · a

Kanıt yine kısadır: c² = h² + p² = pk + p² = p(p + k) = p · a. Aynı adımlar AC için k ile yapılır. Kancadaki arsada hipotenüs 30 metredir; AB² = 3 · 30 = 90 ve AC² = 27 · 30 = 810 bulunur. Bu iki bağıntı, bir dik kenar ile izdüşümü verildiğinde hipotenüsü, ya da hipotenüs ile izdüşüm verildiğinde dik kenarı tek adımda verir. İki bağıntı taraf tarafa bölünürse c²/b² = p/k çıkar: dik kenarların kareleri oranı, izdüşümlerin oranına eşittir.

Alan bağıntısı

Dik üçgenin alanı iki yoldan yazılabilir. Dik kenarlardan biri taban, öteki yükseklik alınırsa alan b · c/2'dir. Hipotenüs taban, AH yükseklik alınırsa alan a · h/2'dir. İki ifade aynı alanı gösterdiği için

b · c = a · h

olur. Bu bağıntı, iki dik kenar bilindiğinde hipotenüse inen yüksekliği bulmanın en hızlı yoludur: önce Pisagor teoremiyle a bulunur, sonra h = b · c/a hesaplanır. Kancadaki arsada b · c = √810 · √90 = 270 ve a · h = 30 · 9 = 270'tir; iki taraf tutar. Alan bağıntısı bir ilerideki adımda bir başka eşitlik daha verir: h = bc/a yazılıp kareler alınırsa 1/h² = 1/b² + 1/c² bulunur. Bu biçim, yalnızca dik kenarlar verildiğinde hipotenüsü hesaplamadan yüksekliğe gitmeyi sağlar.

Benzerlikle görmek

Bağıntıların arkasında bir benzerlik vardır. ABC, HBA ve HAC üçgenlerinin üçü de diktir ve her biri büyük üçgenle bir dar açıyı paylaşır: ABH, B açısını; AHC, C açısını paylaşır. İki açısı eşit olan üçgenler aynı biçimdedir ve kenarları orantılıdır. Örneğin HBA ile HAC üçgenlerinde BH/AH = AH/HC orantısı, h² = p · k bağıntısına dönüşür. Benzerlik ayrıntılı olarak sonraki modülde işlenecek; burada bağıntıların rastlantı olmadığını, üç benzer üçgenin farklı kenar çiftlerini karşılaştırmasından doğduğunu görmek yeterlidir.

Hangi bağıntı, ne zaman?

Soruda hipotenüs üzerindeki iki parça ve yükseklikten ikisi verilmişse yükseklik bağıntısı kullanılır. Bir dik kenar ile onun izdüşümü, ya da hipotenüs ile bir izdüşüm verilmişse dik kenar bağıntısı kullanılır. İki dik kenar verilmiş ve yükseklik isteniyorsa alan bağıntısı kullanılır. Bunların hiçbiri doğrudan uymuyorsa küçük dik üçgenlerden birinde Pisagor teoremi uygulanır ve eksik bir kenar bulunarak bağıntılardan birine geçilir. Çoğu zor soru, bir bağıntıyla bir uzunluk bulup ikinci bir bağıntıya ya da Pisagor teoremine taşımaktan oluşur.

Sonucu denetlemek

Öklid bağıntılarında bir hesap hatası çoğu zaman sonuçlardan biri açıkça imkânsız olduğu için fark edilir. Hipotenüs her zaman iki dik kenardan uzundur; her dik kenar da kendi izdüşümünden ve yükseklikten uzundur, çünkü küçük dik üçgenlerde hipotenüs rolündedir. Yükseklik, hipotenüsün yarısını aşamaz: iki parçanın çarpımı, toplamları sabitken parçalar eşit olduğunda en büyük olur. Bulunan değerler bu sıralamaları bozuyorsa bağıntı yanlış kenara uygulanmıştır. En sık karışıklık, bir dik kenarı öteki kenarın izdüşümüyle eşleştirmektir; bu durumda kenar beklenenden kısa ya da uzun çıkar ve sıralama denetimi hatayı hemen gösterir.

Denklem kurma

Parçalar cebirsel ifadelerle verildiğinde yükseklik bağıntısı ikinci dereceden bir denklem verir. BH = x, HC = x + 3 ve AH = 2 ise x(x + 3) = 4 yazılır; çarpanlara ayırma x = 1 sonucunu verir ve negatif kök atılır. Parçalar bir oranla verilmişse p = mt ve k = nt yazılır ve h² = mn · t² denkleminden t bulunur. Sonuçta bulunan uzunlukların hepsinin pozitif olduğu ve hipotenüsün en uzun kenar kaldığı denetlenir.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri hipotenüse inen yüksekliği, hipotenüs üzerindeki bir parçayı, bir dik kenarı ya da hipotenüsü, üçgenin alanını ya da çevresini, ifadeyle verilen parçalarda bilinmeyeni ister.

Örnek 1 — Yükseklik

Soru: m(A) = 90° olan ABC üçgeninde AH ⊥ BC, BH = 2 ve HC = 8'dir. AH kaç birimdir?

• A) 2√5
• B) 3√2
• C) 4
• D) 4√2
• E) 8

Çözüm: h² = 2 · 8 = 16 olduğundan AH = 4. Cevap: C.

Örnek 2 — Dik kenar

Soru: m(A) = 90° olan ABC üçgeninde AH ⊥ BC, BH = 3 ve BC = 12'dir. AB kaç birimdir?

• A) 6
• B) 3√5
• C) 4√3
• D) 7,5
• E) 2√6

Çözüm: AB'nin izdüşümü BH'dir: AB² = 3 · 12 = 36 ve AB = 6. Cevap: A.

Örnek 3 — Alan bağıntısı

Soru: Dik kenarları 12 ve 16 cm olan dik üçgende hipotenüse inen yükseklik kaç cm'dir?

• A) 11,2
• B) 8,4
• C) 7,2
• D) 9,6
• E) 13,6

Çözüm: Hipotenüs 20 cm'dir. b · c = a · h eşitliğinden h = 192/20 = 9,6. Cevap: D.

Örnek 4 — Denklem

Soru: m(A) = 90° olan ABC üçgeninde AH ⊥ BC, AH = 4, BH = x ve HC = x + 6'dır. BC kaç birimdir?

• A) 16
• B) 13
• C) 11
• D) 7
• E) 10

Çözüm: x(x + 6) = 16 denkleminden x = 2; BC = 2 + 8 = 10. Cevap: E.

• Dik kenarı yanlış izdüşümle eşleştirmek. AB, B'ye bitişik olan BH ile; AC, HC ile gider.
• c² = p · a yerine c² = p · k yazmak. Dik kenar bağıntısında çarpan hipotenüsün tamamıdır.
• Yüksekliği parçaların toplamının yarısı sanmak. h², parçaların çarpımıdır.
• Alan bağıntısında hipotenüsü bulmayı atlamak. h = bc/a için önce a hesaplanır.
• Negatif kökü parça uzunluğu saymak. Uzunluklar pozitiftir.