Dik üçgen ve Pisagor teoremi

Bir inşaat ustası yeni bir odanın iki duvarının birbirine tam dik olup olmadığını gönye kullanmadan denetlemek istiyor. Köşeden başlayarak bir duvar boyunca 3 metre, öteki duvar boyunca 4 metre ölçüp iki ucu işaretliyor, sonra iki işaret arasındaki uzaklığı ölçüyor. Uzaklık tam 5 metre çıkarsa köşe diktir; 5'ten azsa köşe dar, fazlaysa geniş açılıdır. Usta bunu bir kuraldan değil alışkanlıktan bilir, ama arkasında geometrinin en çok kullanılan teoremi yatar: dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir ve 9 + 16 = 25'tir. Önceki modülde üçgenin açılarını inceledik. Bu modülde kenarlara geçiyoruz ve ilk durak dik üçgen: Pisagor teoremini kanıtlıyor, onunla eksik kenarları buluyor, tersini kullanarak bir üçgenin dik olup olmadığına karar veriyor ve sınavda zaman kazandıran Pisagor üçlülerini tanıyoruz.

• Dik üçgende hipotenüsü ve dik kenarları ayırt eder, Pisagor teoremiyle eksik kenarı bulursun.
• Teoremin tersini kullanarak kenarları verilen bir üçgenin dik olup olmadığına ve dik açının hangi köşede olduğuna karar verirsin.
• 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 üçlülerini ve katlarını tanıyarak hesabı kısaltırsın.
• Ardışık dik üçgenlerde, dikdörtgen köşegeninde ve günlük durumlarda teoremi uygularsın.

Dik üçgenin elemanları

Bir açısı 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik açının karşısındaki kenar hipotenüs, dik açıyı oluşturan iki kenar dik kenarlardır. Bir önceki modülden en büyük açıyla en uzun kenarın karşılıklı durduğunu biliyoruz; dik açı üçgenin en büyük açısı olduğundan hipotenüs her zaman en uzun kenardır. İki dar açı tümlerdir. Bir soruda dik açının yeri "m(B) = 90°" ya da "AB ⊥ BC" biçiminde verilir; ikisi de hipotenüsün AC olduğunu söyler. Hipotenüsü doğru belirlemek, teoremi kullanmanın ilk adımıdır.

Pisagor teoremi

Dik kenarları a ve b, hipotenüsü c olan her dik üçgende

a² + b² = c²

eşitliği geçerlidir. Kanıtın en kısa yolu bir alan hesabıdır. Kenarı a + b olan bir kare çizilir ve içine, köşeleri karenin kenarlarına değecek biçimde dört özdeş dik üçgen yerleştirilir. Üçgenlerin hipotenüsleri ortada kenarı c olan bir kare oluşturur. Büyük karenin alanı iki yoldan yazılır: (a + b)² ve c² + 4 · (ab/2). Eşitlik açılınca a² + 2ab + b² = c² + 2ab olur ve 2ab iki taraftan sadeleşir. Dik kenarları 12 ve 35 olan bir üçgende hipotenüsün karesi 144 + 1225 = 1369'dur; hipotenüs 37'dir.

Eksik kenarı bulmak

Hipotenüs bilinmiyorsa dik kenarların kareleri toplanır ve karekök alınır. Bir dik kenar bilinmiyorsa hipotenüsün karesinden bilinen dik kenarın karesi çıkarılır. En yaygın hata, hipotenüs bilinmeyen değilken kareleri toplamaktır; bu yüzden önce hangi kenarın hipotenüs olduğu işaretlenir. Sonuç her zaman tam sayı çıkmaz: dik kenarları 1 ve 3 olan bir üçgenin hipotenüsü √10'dur. Kök içindeki sayı, önceki modüllerdeki gibi tam kare çarpanına ayrılarak sadeleştirilir; √72 = 6√2 gibi.

Teoremin tersi

a, b, c kenarlı bir üçgenin en uzun kenarı c ise ve a² + b² = c² sağlanıyorsa üçgen diktir ve dik açı c'nin karşısındadır. Kancadaki ustanın yaptığı denetim budur. Eşitlik sağlanmıyorsa üçgen dik değildir: c² daha küçükse en büyük açı dar, daha büyükse geniştir. Bu yöntem, kenarları verilen bir üçgende dik açının hangi köşede olduğunu bulmayı da sağlar: dik açı, en uzun kenarın karşısındaki köşededir. Denetimi yaparken en uzun kenarın sağ tarafta olduğundan emin olmak gerekir.

Pisagor üçlüleri

a² + b² = c² eşitliğini sağlayan pozitif tam sayı üçlülerine Pisagor üçlüleri denir. Sınavda en sık görülenler 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 ve 7-24-25'tir. Bir üçlünün her elemanı aynı pozitif sayıyla çarpılınca yine bir üçlü elde edilir: 6-8-10, 9-12-15, 10-24-26, 0,3-0,4-0,5 gibi. Bu yüzden iki kenar verildiğinde önce ortak çarpanlarına bakmak işe yarar. Dik kenarları 18 ve 24 olan üçgen, 3-4-5'in 6 katıdır ve hipotenüs hesap yapmadan 30 bulunur. Üçlüyü tanıyamazsanız teorem her zaman çalışır; üçlüler yalnızca bir kısayoldur.

Dikdörtgen ve ardışık üçgenler

Dikdörtgenin köşegeni onu iki dik üçgene ayırır; kenarları a ve b olan dikdörtgenin köşegeni √(a² + b²)'dir. Bir ayrıtı a olan karenin köşegeni ise a√2'dir. Bazı sorular, bir dik üçgenin hipotenüsü ikinci bir dik üçgenin dik kenarı olacak biçimde art arda kurulur. Bu durumda teorem sırayla uygulanır ve her adımda bulunan hipotenüs bir sonraki adıma taşınır. Bir yürüyüş rotası gibi önce bir yöne, sonra ona dik yöne giden hareketlerde de aynı yapı vardır: aynı yöndeki adımlar toplanır, iki dik yön birer dik kenar olur.

Koordinat düzleminde uzaklık

Pisagor teoremi, koordinat düzleminde iki nokta arasındaki uzaklığın da temelidir. (1, 2) ile (7, 10) noktalarını birleştiren doğru parçası, yatay kenarı 7 − 1 = 6, dikey kenarı 10 − 2 = 8 birim olan bir dik üçgenin hipotenüsüdür; uzaklık √(36 + 64) = 10 birimdir. Yani iki nokta arasındaki uzaklık, apsisler farkının karesi ile ordinatlar farkının karesinin toplamının kareköküdür. Farkların işareti önemli değildir, çünkü kareleri alınır. Bu formül analitik geometri modülünde ayrıntılı işlenecek; burada yalnızca kaynağının dik üçgen olduğunu görmek yeterlidir.

Hesabı kısaltmak

Büyük sayıların karesini almak zaman kaybettirir. İki kenarın ortak bir çarpanı varsa önce bu çarpan dışarı alınır, küçük üçgende hesap yapılır, sonra sonuç aynı çarpanla büyütülür. Dik kenarları 33 ve 44 olan bir üçgende ortak çarpan 11'dir; geriye 3-4-5 kalır ve hipotenüs 55 bulunur. Kareler farkı gerektiğinde a² − b² = (a − b)(a + b) özdeşliği çarpmayı kolaylaştırır: 61² − 11² = 50 · 72 = 3600 olduğundan dik kenar 60 bulunur. Ondalık kenarlarda da aynı yol izlenir; sayılar önce 10 ya da 100 ile çarpılıp tam sayıya çevrilir.

Denklem kurma

Kenarlar cebirsel ifadelerle verildiğinde teorem bir denkleme dönüşür. Dik kenarları x ile x + 2, hipotenüsü 10 olan bir dik üçgende x² + (x + 2)² = 100 yazılır ve ikinci dereceden denklem x = 6 verir. Negatif kök atılır, çünkü kenar uzunluğu pozitiftir. Hipotenüs ile bir dik kenarın farkı verilmişse, c² − a² = (c − a)(c + a) çarpanlarına ayırması denklemi çok kısaltır: bu fark diğer dik kenarın karesine eşittir.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri dik üçgende eksik kenarı, dikdörtgen ya da karede köşegeni, kenarları verilen bir üçgenin dik olup olmadığını ve dik açının yerini, ardışık dik üçgenlerde son kenarı, kenarları ifadeyle verilen dik üçgende bilinmeyeni, çevreyi ya da alanı ister.

Örnek 1 — Hipotenüs

Soru: Dik kenarları 12 cm ve 16 cm olan bir dik üçgenin hipotenüsü kaç cm'dir?

• A) 28
• B) 22
• C) 18
• D) 20
• E) 24

Çözüm: 144 + 256 = 400 ve √400 = 20. Üçgen 3-4-5'in 4 katıdır. Cevap: D.

Örnek 2 — Dik kenar

Soru: Hipotenüsü 10 birim, bir dik kenarı 6 birim olan dik üçgenin diğer dik kenarı kaç birimdir?

• A) 4
• B) 8
• C) 2√34
• D) 16
• E) 6

Çözüm: 100 − 36 = 64 ve √64 = 8. Kareler toplanmaz, çıkarılır. Cevap: B.

Örnek 3 — Köklü sonuç

Soru: Dik kenarları 2 ve 3 birim olan dik üçgenin hipotenüsü kaç birimdir?

• A) 5
• B) √5
• C) √13
• D) 2√3
• E) √6

Çözüm: 4 + 9 = 13; hipotenüs √13'tür. Kenarların toplamı olan 5 yanlış bir kısayoldur. Cevap: C.

Örnek 4 — Teoremin tersi

Soru: ABC üçgeninde AB = 9, BC = 40 ve AC = 41'dir. Bu üçgenin hangi açısı diktir?

• A) A
• B) B
• C) C
• D) Dik açısı yoktur
• E) Belirlenemez

Çözüm: 81 + 1600 = 1681 = 41² olduğundan üçgen diktir. Dik açı en uzun kenar AC'nin karşısında, yani B'dedir. Cevap: B.

• Hipotenüsü yanlış kenar seçmek. Hipotenüs dik açının karşısındaki, en uzun kenardır.
• Dik kenarı bulurken kareleri toplamak. Bilinmeyen dik kenarsa hipotenüsün karesinden çıkarılır.
• Kenarları doğrudan toplamak. a + b ≠ c; işlem karelerle yapılır.
• Teoremin tersinde en uzun kenarı sola yazmak. Denetimde c en uzun kenar olmalıdır.
• Negatif kökü kenar saymak. Uzunluk pozitiftir; negatif çözüm atılır.