Üçgende açılar

Kâğıttan bir üçgen kesin ve üç köşesini yırtıp ayırın. Yırttığınız üç köşeyi, sivri uçları aynı noktaya gelecek biçimde bir cetvelin kenarına yan yana dizin. Üçgen ne kadar sivri, ne kadar basık, ne kadar büyük olursa olsun, üç köşe her seferinde cetvelin kenarını tam olarak doldurur: ne bir boşluk kalır ne de biri ötekinin üstüne biner. Bu, üç açının toplamının her zaman bir doğru açıya, yani 180°'ye eşit olduğunu gösterir. Deney bir kanıt değildir, ama ne aradığımızı söyler. Bir önceki derste paralel doğruların kesenle yaptığı açıları gördük; bu derste aynı araçla üçgenin iç açılarının toplamını kanıtlıyoruz. Ardından dış açıyı, dış açıların toplamını, açılarına göre üçgen türlerini, ikizkenar ve eşkenar üçgenin açılarını ve büyük açının karşısındaki kenarın da büyük olduğunu işliyoruz.

• Üçgenin iç açılarının toplamının 180° olduğunu paralel doğrularla gösterir, bilinmeyen açıyı bulursun.
• Bir dış açının, komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olduğunu; dış açılar toplamını 360° alarak eksik açıları bulursun.
• Üçgeni açılarına göre dar, dik ya da geniş açılı olarak sınıflandırır; ikizkenar ve eşkenar üçgenin açı özelliklerini uygularsın.
• Bir üçgende açıların sıralamasından kenarların sıralamasını çıkarırsın.

İç açıların toplamı

Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu şekle üçgen denir. ABC üçgeninin köşelerindeki açılar m(A), m(B) ve m(C) ile gösterilir. Bu üç açının toplamı her üçgende 180°'dir. Kanıt bir önceki dersin aracıyla yapılır: A köşesinden BC kenarına paralel bir d doğrusu çizilir. A noktasında d doğrusu üzerinde üç açı yan yana durur: ortadaki üçgenin A açısıdır, soldaki AB kesenine göre B açısının iç tersidir, sağdaki AC kesenine göre C açısının iç tersidir. Bu üç açı d boyunca birbirini izleyerek doğru açıyı doldurduğu için toplamları 180°'dir. Kanca deneyindeki cetvel kenarı bu d doğrusudur. İki açısı 35° ve 85° olan bir üçgenin üçüncü açısı 180 − 120 = 60°'dir.

Dış açı

Bir üçgenin bir kenarı uzatıldığında, uzantı ile komşu kenar arasında oluşan açıya dış açı denir. Bir köşedeki iç açı ile dış açı yan yana durduğu için bütünlerdir. Dış açının asıl kullanışlı özelliği şudur: bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Nedeni iki toplamın aynı açıya tamamlanmasıdır: C'deki dış açı da, A ile B'nin toplamı da m(C)'yi 180°'ye tamamlar. İç açıları 40° ve 75° olan iki köşenin dışındaki üçüncü köşede dış açı 115°'dir; üçüncü iç açıyı hesaplamadan doğrudan bulunur. Bu özellik bir dış açının, komşu olmayan iç açıların her birinden büyük olduğunu da söyler.

Dış açıların toplamı

Her köşede bir dış açı alınırsa üç dış açının toplamı 360°'dir. Üç köşede iç ve dış açı çiftlerinin toplamı 3 · 180 = 540°'dir; bundan iç açıların toplamı olan 180° çıkarılınca 360° kalır. Bir başka bakışla, üçgenin çevresinde yürüyen biri her köşede dış açı kadar döner ve başladığı yöne dönene kadar tam bir tur atmış olur. Dış açılar bir oranla verilmişse 360 parçalara bölünür, ardından her iç açı 180°'den dış açı çıkarılarak bulunur.

Açılarına göre üçgenler

Üç açısı da dar olan üçgene dar açılı üçgen, bir açısı dik olana dik üçgen, bir açısı geniş olana geniş açılı üçgen denir. Bir üçgende en fazla bir dik ya da bir geniş açı bulunabilir, çünkü iki açının toplamı tek başına 180°'yi bulursa üçüncü açıya yer kalmaz. Bu yüzden her üçgenin en az iki açısı dardır. Dik üçgende iki dar açının toplamı 90°'dir, yani dar açılar tümlerdir. Türü belirlemek için en büyük açıya bakmak yeterlidir: en büyük açı 90°'den küçükse dar açılı, 90°'ye eşitse dik, büyükse geniş açılıdır.

İkizkenar ve eşkenar üçgen

İki kenarı eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir. Eşit kenarların birleştiği köşeye tepe, karşısındaki kenara taban denir. İkizkenar üçgende tabandaki iki açı birbirine eşittir; tersi de doğrudur: iki açısı eşit olan üçgen ikizkenardır. Tepe açısı t ise taban açılarının her biri (180 − t)/2'dir; tepe açısı 30° olan ikizkenar üçgenin taban açıları 75°'dir. Taban açısı verilmişse tepe açısı 180 − 2 · (taban açısı) ile bulunur. Taban açıları her zaman dar olmak zorundadır.

Üç kenarı eşit olan eşkenar üçgende üç açı da eşittir ve her biri 60°'dir. İkizkenar bir üçgenin bir açısı 60° ise o üçgen eşkenardır.

Açı ile kenar arasındaki ilişki

Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur. Bu yüzden açıları sıralamak, kenarları sıralamak demektir. Açıları 30°, 60° ve 90° olan bir üçgende en uzun kenar 90°'nin karşısındaki kenar, en kısa kenar 30°'nin karşısındaki kenardır. Kenar adlandırmasında dikkat edilecek nokta şudur: A açısının karşısındaki kenar BC'dir; kenar, açının köşe harfini içermez. Eşit açıların karşısındaki kenarlar da eşittir; ikizkenar üçgenin tanımı ile taban açıları özelliği bu yolla birbirine bağlanır.

Paralel doğrular ve üçgen

Sınav sorularında üçgen çoğu zaman paralel doğrularla birlikte verilir. Bir köşeden karşı kenara paralel bir doğru geçiyorsa, bu doğrunun kenarlarla yaptığı açılar iç ters açı olarak üçgenin içine taşınır; iç açılar toplamının kanıtında yapılan iş tam olarak budur. Bir üçgenin kenarına paralel bir doğru üçgeni kesiyorsa yöndeş açılar eşit olur ve küçük üçgenin açıları büyük üçgeninkilerle aynı çıkar. Her iki durumda da önce paralellikten gelen eşitlikler işaretlenir, sonra 180° kuralı uygulanır.

Denklem kurma

Açılar x'li ifadelerle verildiğinde bu ifadelerin toplamı 180'e, dış açılar verilmişse 360'a eşitlenir. Bir dış açı ve iki iç açı verilmişse, iç açılar toplamı yerine doğrudan dış açı kuralı kullanılır; bu, bir bilinmeyeni ortadan kaldırır. Oranla verilen açılarda parça sayısı bulunur ve 180 bu sayıya bölünür. Her çözümde bulunan açıların pozitif olduğu ve üçgende en fazla bir tane 90° ya da daha büyük açı bulunduğu kontrol edilmelidir.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri üçgenin eksik iç açısını, bir dış açıyı ya da dış açıdan iç açıyı, oranla ya da ifadeyle verilen açıları, ikizkenar ve eşkenar üçgende tepe ve taban açılarını, üçgenin türünü ve açılardan kenar sıralamasını ister.

Örnek 1 — İfadelerle verilen açılar

Soru: Bir üçgenin açıları x + 20, 2x − 5 ve 3x + 15 derecedir. x kaçtır?

• A) 32
• B) 25
• C) 45
• D) 35
• E) 10

Çözüm: Toplam 6x + 30 = 180 ve x = 25. Açılar 45°, 45° ve 90° olur; üçgen ikizkenar dik üçgendir. Cevap: B.

Örnek 2 — Dış açıdan iç açıya

Soru: Bir üçgenin bir köşesindeki dış açı 128°, bu köşeye komşu olmayan iç açılardan biri 51°'dir. Komşu olmayan diğer iç açı kaç derecedir?

• A) 52
• B) 129
• C) 79
• D) 77
• E) 51

Çözüm: Dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamıdır: 128 − 51 = 77°. Cevap: D.

Örnek 3 — İkizkenar üçgen

Soru: Tepe açısı 34° olan bir ikizkenar üçgenin taban açılarından biri kaç derecedir?

• A) 73
• B) 146
• C) 56
• D) 34
• E) 63

Çözüm: Taban açıları eşittir: (180 − 34)/2 = 73°. Cevap: A.

Örnek 4 — Açıdan kenara

Soru: ABC üçgeninde m(A) = 70° ve m(B) = 44°'dir. En kısa kenar hangisidir?

• A) AB
• B) BC
• C) AB ile BC eşit
• D) Belirlenemez
• E) AC

Çözüm: m(C) = 66°'dir. En küçük açı B'dir ve karşısındaki kenar AC'dir. Cevap: E.

• Dış açıyı iki iç açının farkı sanmak. Dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamıdır.
• Dış açıların toplamını 180 almak. Dış açılar 360°'ye tamamlanır.
• Açının karşısındaki kenarı köşe harfiyle adlandırmak. A'nın karşısı BC'dir.
• İkizkenar üçgende tepe açısını taban açısıyla karıştırmak. Eşit olanlar taban açılarıdır.
• Bir üçgende iki geniş açıya izin vermek. En fazla bir açı 90° ya da daha büyüktür.