Açıortay ve dış açı kalıpları

Bir sınav sorusunda ABC üçgeni çizilmiş, B ve C açılarının açıortayları üçgenin içinde bir noktada kesişiyor ve yalnızca m(A) = 64° verilmiş. B ile C'nin ayrı ayrı ölçüleri bilinmediği hâlde soru, iki açıortayın arasındaki açıyı istiyor. İlk bakışta eksik bilgi varmış gibi görünür. Oysa cevap 122°'dir ve B ile C hangi değerleri alırsa alsın değişmez: B'yi büyütüp C'yi küçültseniz de iki yarının toplamı aynı kalır. Bu dersin konusu, bu tür "bilgi eksik gibi görünen ama cevabı sabit olan" durumlardır. Bir önceki derste üçgende iç açılar toplamını ve dış açı kuralını gördük. Bu derste bu iki kuraldan türeyen ve sınavda sürekli karşımıza çıkan kalıpları işliyoruz: açıortayların kesişim açıları, yükseklik ile açıortay arasındaki açı, içbükey dörtgende uç açısı, kelebek biçimi ve yıldız.

• İki iç, bir iç ile bir dış ya da iki dış açıortayın kesişim açısını tepe açısından bulursun.
• Bir üçgende aynı köşeden çizilen yükseklik ile açıortay arasındaki açıyı hesaplarsın.
• İçbükey dörtgende (ok ucu) ve ters açıyı paylaşan iki üçgende (kelebek) bilinmeyen açıyı bulursun.
• Her kalıbı iç açılar toplamı ve dış açı kuralından türetebilir, kalıbı unuttuğunda yeniden kurarsın.

İki iç açıortay

ABC üçgeninde B ve C açılarının açıortayları I noktasında kesişsin. BIC üçgeninin B ve C köşelerindeki açılar m(B)/2 ve m(C)/2'dir. Bu üçgenin iç açılar toplamından m(BIC) = 180 − (m(B) + m(C))/2 bulunur. m(B) + m(C) = 180 − m(A) yazılınca kalıp ortaya çıkar:

m(BIC) = 90° + m(A)/2

m(A) = 60° ise iki iç açıortayın arasındaki açı 120°'dir. Sonuç her zaman 90°'den büyüktür; bu, yanlış seçenekleri elemek için iyi bir denetimdir. Üç iç açıortay aynı noktada kesişir; bu nokta üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir ve ilerideki derslerde yeniden karşımıza çıkacaktır.

Bir iç ve bir dış açıortay

B'nin iç açıortayı ile C'deki dış açının açıortayı E noktasında kesişsin. C'deki dış açı m(A) + m(B)'dir ve yarısı (m(A) + m(B))/2'dir. Bu yarı, BEC üçgeninin C'deki dış açısıdır; dış açı kuralına göre B'deki m(B)/2 ile E'deki açının toplamına eşittir. m(B)/2 iki taraftan sadeleşir:

m(BEC) = m(A)/2

Tepe açısı 90° olan bir üçgende bu açı 45°'dir. Bu kalıp, sorunun bir iç ve bir dış açıortaydan söz ettiğini fark etmeyi gerektirir; çizimde E noktası üçgenin dışında, C'nin ötesinde kalır.

İki dış açıortay

B ve C'deki dış açıların açıortayları F noktasında kesişsin. BFC üçgeninin B ve C köşelerindeki açılar (180 − m(B))/2 ve (180 − m(C))/2'dir. İç açılar toplamından m(BFC) = (m(B) + m(C))/2 bulunur, bu da şuna eşittir:

m(BFC) = 90° − m(A)/2

Tepe açısı 40° ise iki dış açıortayın arasındaki açı 70°'dir. Üç kalıp birlikte bir düzen oluşturur: iç-iç için 90 + A/2, iç-dış için A/2, dış-dış için 90 − A/2. İlk ikisinin farkı her zaman 90°'dir.

Yükseklik ile açıortay arasındaki açı

A köşesinden BC'ye çizilen yükseklik AH, A açısının açıortayı AD olsun. H ile D arasındaki açı, B ve C açılarının farkının yarısıdır:

m(HAD) = |m(B) − m(C)|/2

Bunu görmek için ABH dik üçgeninde m(BAH) = 90 − m(B) yazılır; m(BAD) ise m(A)/2'dir. Farkları alınıp m(A) = 180 − m(B) − m(C) yerine konunca sonuç çıkar. m(B) = 70° ve m(C) = 40° ise açı 15°'dir. Üçgen ikizkenarsa (m(B) = m(C)) yükseklik ile açıortay çakışır ve açı 0° olur.

İçbükey dörtgen: ok ucu

ABC üçgeninin içinde bir D noktası alınıp B ve C ile birleştirilirse ABDC bir ok ucuna benzer. D'deki açı için şu kalıp geçerlidir:

m(BDC) = m(A) + m(ABD) + m(ACD)

Kanıt için AD doğru parçası D'nin ötesine uzatılır. D'deki açı iki parçaya ayrılır ve her parça, oluşan küçük üçgenlerin birinde dış açıdır: üst parça m(BAD) ile m(ABD)'nin, alt parça m(CAD) ile m(ACD)'nin toplamıdır. İki parça toplanınca A'nın iki parçası birleşir. m(A) = 50°, m(ABD) = 15° ve m(ACD) = 25° ise m(BDC) = 90°'dir.

Kelebek

İki doğru parçası AC ile BD bir E noktasında kesişsin. ABE ve CDE üçgenleri E'de ters açıları paylaşır ve ters açılar eşit olduğu için iki üçgenin kalan açılarının toplamları da eşittir:

m(A) + m(B) = m(C) + m(D)

Burada açılar, ilgili üçgenlerdeki köşe açılarıdır. ABE'de açılar 40° ve 80° ise CDE'deki iki açının toplamı da 120°'dir. Kalıp, ters açıyı hiç hesaplamadan bilinmeyen açıyı verir.

Yıldız

Beş köşeli bir yıldızın (düzgün olması gerekmez) beş uç açısının toplamı 180°'dir. Kanıt, ok ucu ve dış açı kurallarıyla iki uçtaki açıları bir üçgenin dış açısına toplamaktan geçer; sonunda beş uç açısı tek bir üçgenin üç iç açısına dönüşür. Bu yüzden dört uç açısı bilinen bir yıldızda beşincisi 180'den çıkarılarak bulunur.

Kalıbı şekilden tanımak

Sınav sorularında kalıbın adı verilmez; şeklin ya da metnin içinden çıkarılması gerekir. İki açıortayın kesiştiği nokta üçgenin içindeyse iki iç açıortay söz konusudur ve aranan açı geniştir. Kesişim noktası bir kenarın uzantısının ötesindeyse açıortaylardan en az biri dış açıya aittir; bu durumda önce hangi köşede dış açının ikiye bölündüğü belirlenir. Üçgenin içinde, köşelerden ikisine bağlanmış bir nokta görülüyorsa ok ucu kalıbı düşünülür. İki doğru parçasının çapraz kesiştiği ve uçlarının birleştirilerek iki üçgen oluşturduğu bir çizim kelebektir. Bir köşeden hem yükseklik hem açıortay çiziliyorsa aradaki küçük açı sorulmaktadır. Metinde "iç" ya da "dış" sözcüğü geçmiyorsa açıortayın iç açıya ait olduğu varsayılır.

Kalıp mı, türetme mi?

Bu kalıpların hepsi iki kuraldan, iç açılar toplamı ile dış açı kuralından türer. Sınav sırasında bir kalıbı hatırlamakta tereddüt edilirse, çizim üzerinde bilinen açılara harf verilip ilgili küçük üçgende bu iki kural uygulanır; bir dakika içinde kalıp yeniden kurulur. Ezberlenmiş bir kalıbı yanlış durumda kullanmak, örneğin iç-dış açıortaya iç-iç kalıbını uygulamak, türetmekten çok daha pahalıdır. Bu nedenle önce soruda hangi açıortayların söz konusu olduğu, hangi açının istendiği netleştirilir.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri iki açıortayın kesişim açısını ya da bu açıdan tepe açısını; yükseklik ile açıortay arasındaki açıyı; içbükey dörtgende uç açısını ya da eksik bir parçayı; kelebek biçiminde eksik açıyı; yıldızın eksik uç açısını ister.

Örnek 1 — İki iç açıortay

Soru: Tepe açısı 80° olan ABC üçgeninde B ve C açılarının açıortayları I noktasında kesişiyor. m(BIC) kaçtır?

• A) 40
• B) 115
• C) 130
• D) 140
• E) 120

Çözüm: m(BIC) = 90 + 80/2 = 130°. Cevap: C.

Örnek 2 — İç ve dış açıortay

Soru: Tepe açısı m(A) = 70° olan ABC üçgeninde B'nin iç açıortayı ile C'deki dış açının açıortayı E noktasında kesişiyor. m(BEC) kaçtır?

• A) 35
• B) 125
• C) 55
• D) 70
• E) 145

Çözüm: İç ve dış açıortayın arasındaki açı tepe açısının yarısıdır: 70/2 = 35°. Cevap: A.

Örnek 3 — Ok ucu

Soru: ABC üçgeninin içindeki bir D noktası için m(A) = 45°, m(ABD) = 20° ve m(ACD) = 35°'dir. m(BDC) kaçtır?

• A) 80
• B) 135
• C) 95
• D) 110
• E) 100

Çözüm: m(BDC) = 45 + 20 + 35 = 100°. Cevap: E.

Örnek 4 — Kelebek

Soru: AC ve BD doğru parçaları E noktasında kesişiyor. ABE üçgeninde m(A) = 62° ve m(B) = 48°, CDE üçgeninde m(C) = 57°'dir. m(D) kaçtır?

• A) 57
• B) 53
• C) 70
• D) 63
• E) 43

Çözüm: Ters açıları paylaşan iki üçgende kalan açıların toplamları eşittir: 62 + 48 = 57 + m(D) ve m(D) = 53°. Cevap: B.

• İç-dış açıortaya 90 + A/2 uygulamak. İç-dış kalıbı A/2'dir; iç-iç kalıbıyla farkı 90°'dir.
• Dış açıortaylar için A/2 yazmak. İki dış açıortayın arası 90 − A/2'dir.
• Ok ucunda yalnızca iki açıyı toplamak. m(BDC), tepe açısı dahil üç açının toplamıdır.
• Kelebekte ters açıyı hesaplamaya çalışmak. Kalan açıların toplamlarını eşitlemek yeter.
• Yükseklik-açıortay açısında farkın tamamını almak. Açı, farkın yarısıdır.