Paralel doğrularda açılar

Bir tren yolunun iki rayını, raylara eğik gelen bir yaya geçidi çizgisi kesiyor. Geçit çizgisinin üst rayla yaptığı açıyı bir iletkiyle ölçtüğünüzde, alt rayla yaptığı açıyı ölçmenize gerek kalmaz: raylar paralel olduğu için çizgi ikisine de aynı eğimle gelir ve alt raydaki dört açı üst raydakilerin tıpatıp kopyasıdır. Raylardan biri hafifçe eğilseydi bu kopyalama bozulur, iki rayda farklı açılar ölçülürdü. Yani paralellik, açıların eşit çıkmasının hem nedeni hem de sınavıdır. Bir önceki derste tek bir noktada kesişen iki doğrunun açılarını gördük: ters açılar eşit, yan yana açılar bütünler. Bu derste aynı fikri iki paralel doğruya ve onları kesen bir doğruya taşıyoruz; sekiz açının hangilerinin eşit, hangilerinin bütünler olduğunu, paralel doğrular arasında kırılan çizgilerdeki açı kurallarını ve kolları paralel açıları işliyoruz.

• İki paralel doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu yöndeş, iç ters ve dış ters açıların eşit olduğunu kullanırsın.
• Kesenin aynı tarafındaki iç açıların bütünler olduğunu kullanır, iki doğrunun paralel olup olmadığını açılardan karar verirsin.
• Paralel doğrular arasında kırılan bir çizgide bilinmeyen açıyı bulursun.
• Kolları paralel iki açının eşit ya da bütünler olduğunu ayırt edersin.

Kesen ve sekiz açı

Aynı düzlemde olup hiç kesişmeyen iki doğruya paralel doğrular denir ve d₁ ∥ d₂ biçiminde yazılır. Bu iki doğruyu kesen üçüncü bir doğruya kesen adı verilir. Kesen her doğruyla bir kesişim noktası oluşturur ve her noktada dört açı vardır; toplam sekiz açı elde edilir. Bir önceki dersten bildiğimiz gibi her noktadaki dört açının karşılıklı olanları eşit, yan yana olanları bütünlerdir. Paralellik bu iki dörtlüyü birbirine bağlar: üstteki dörtlü alttaki dörtlüyle aynıdır. Sonuç olarak sekiz açıda yalnızca iki farklı ölçü vardır: dört dar açı birbirine, dört geniş açı birbirine eşittir ve bir dar açı ile bir geniş açı her zaman bütünlerdir. Kesen bir doğruyla 65° yapıyorsa dört açı 65°, dört açı 115°'dir. Kesen paralellere dik gelirse sekiz açının hepsi 90° olur.

Yöndeş açılar

Kesenin aynı tarafında olan ve paralel doğrulardan birinde aynı konumda bulunan iki açıya yöndeş açılar denir: biri üst doğrunun üstünde ve kesenin sağındaysa, öteki de alt doğrunun üstünde ve kesenin sağındadır. Yöndeş açılar, bir açının kesen boyunca kaydırılarak öteki doğruya taşınmış hâlidir; paralel doğrularda ölçüleri eşittir. Kancadaki ray örneği tam olarak yöndeş açıların eşitliğidir.

İç ters ve dış ters açılar

İki paralel doğrunun arasında kalan bölgeye iç bölge, dışında kalan bölgelere dış bölge denir. İç bölgede, kesenin farklı taraflarında bulunan iki açıya iç ters açılar denir. Yöndeş açıların eşitliği ile ters açıların eşitliği birleştirilince iç ters açıların da eşit olduğu çıkar. Kesenin farklı taraflarında, dış bölgede bulunan iki açı dış ters açılardır ve onlar da eşittir. Harflerle düşünmek işi kolaylaştırır: iç ters açılar, Z harfinin iki köşesindeki açılara benzer.

Aynı taraftaki iç açılar

İç bölgede ve kesenin aynı tarafında bulunan iki açının ölçüleri eşit değildir; bunlar bütünlerdir, toplamları 180°'dir. Bu çiftlere karşı durumlu açılar da denir ve U harfinin iki iç köşesine benzerler. Nedeni basittir: bu açılardan biri, ötekinin iç tersinin yanındaki açıdır. Aynı kural dış bölgede kesenin aynı tarafında kalan iki açı için de geçerlidir.

Paralellik testi

Bu kuralların tersleri de doğrudur. İki doğruyu kesen bir doğru için yöndeş açılar eşitse, ya da iç ters açılar eşitse, ya da aynı taraftaki iç açıların toplamı 180°'yse, bu iki doğru paraleldir. Bu yüzden bir soruda "d₁ ∥ d₂ olması için x kaç olmalıdır?" diye sorulursa, verilen açılar arasında eşitlik ya da bütünlerlik denklemi kurulur. Aynı taraftaki iç açılar 80° ve 95° ölçülüyorsa toplam 175° olduğundan doğrular paralel değildir; o tarafta, uzatıldıklarında birbirine yaklaşır ve bir noktada kesişirler.

Paralel doğrular arasında kırık çizgi

Sınavın en sevdiği kalıplardan biri, iki paralel doğru arasında bir P noktasında kırılan çizgidir. Çizgi d₁ üzerindeki A noktasından P'ye, oradan d₂ üzerindeki B noktasına gider. A noktasında AP ile d₁'in P'ye doğru uzanan kolu arasındaki açıya α, B noktasında BP ile d₂'nin P'ye doğru uzanan kolu arasındaki açıya β diyelim. Bu durumda P'deki açı α + β'dır. Kanıt için P'den paralellere bir paralel doğru çizilir. Bu yardımcı doğru P'deki açıyı ikiye böler: üst parça α ile iç ters, alt parça β ile iç terstir. Örneğin α = 25° ve β = 45° ise P'deki açı 70°'dir.

Açılar A ve B'de P'nin ters yönündeki kollarla ölçülmüşse, her biri önce 180°'den çıkarılarak α ve β'ya çevrilir. Bu durumda üç açının toplamı 360°'dir: paralellerin içinde birbirine bakan bu üç açı, bir U biçimi çizer.

Çizgi birden fazla noktada kırılıyorsa her kırılma noktasından bir yardımcı paralel çizilir ve aynı fikir genelleşir: açıklığı bir yöne bakan açıların toplamı, öteki yöne bakan açıların toplamına eşittir. Tek kırılmalı durumda α ile β aynı yöne, P'deki açı öteki yöne bakar; kural α + β = m(APB) eşitliğine döner. Üç kırılmalı bir çizgide sağa bakan açılar 35°, 25° ve 45°, sola bakan açılardan biri 60° ise ötekisi 105 − 60 = 45°'dir.

Kolları paralel açılar

İki açının kolları karşılıklı olarak paralelse bu açılar ya eşittir ya da bütünlerdir. İki açı da dar ya da ikisi de genişse eşittirler; biri dar, öteki genişse bütünlerdirler. Sınav sorusu çoğu zaman bu ayrımı açıkça söylemez: bir açının ötekinin üç katı olduğu söylenmişse açılar eşit olamaz, öyleyse bütünlerdir. Önce hangi durumun mümkün olduğuna karar verip sonra denklem kurmak, iki denklemden yanlış olanı seçme hatasını önler.

Denklem kurma

Paralel doğru sorularında açılar çoğunlukla cebirsel ifadelerle verilir. Çözümün ilk adımı iki açının hangi ilişkide olduğunu belirlemektir: eşit mi, bütünler mi? İki açı da dar ya da ikisi de geniş görünüyorsa eşitlik, biri dar biri geniş görünüyorsa bütünlerlik kurulur. Denklem çözüldükten sonra bulunan değer ifadelere yerleştirilir ve açıların pozitif, dar-geniş durumunun tutarlı olduğu kontrol edilir. Soru x'i değil açının kendisini ya da onun bütünlerini istiyor olabilir; son adımda sorunun kökü yeniden okunmalıdır.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri yöndeş, iç ters ya da dış ters açılardan bilinmeyeni; aynı taraftaki iç açılardan küçük ya da büyük açıyı; iki doğrunun paralel olması için gereken değeri; kırık çizgide tepe açısını ya da eksik açıyı; kolları paralel açıların ölçüsünü ister.

Örnek 1 — İç ters açılar

Soru: d₁ ∥ d₂ doğrularını bir kesen kesiyor. Oluşan iç ters açılardan biri 6x − 14, diğeri 4x + 16 derecedir. Bu açılardan her biri kaç derecedir?

• A) 15
• B) 104
• C) 76
• D) 66
• E) 86

Çözüm: İç ters açılar eşittir: 6x − 14 = 4x + 16 ve x = 15. Açı 6 · 15 − 14 = 76°. Cevap: C.

Örnek 2 — Aynı taraftaki iç açılar

Soru: d₁ ∥ d₂ doğrularını kesen bir doğrunun aynı tarafındaki iki iç açısının ölçüleri 2 ile 7 orantılıdır. Küçük açının ölçüsü nedir?

• A) 40
• B) 160
• C) 20
• D) 36
• E) 50

Çözüm: Bu açılar bütünlerdir; dokuz parça 180°, her parça 20°. Küçük açı iki parça: 40°. Cevap: A.

Örnek 3 — Kırık çizgi

Soru: d₁ ∥ d₂ arasında bir P noktası, d₁ üzerindeki A ve d₂ üzerindeki B noktasıyla birleştiriliyor. PA, d₁'in P'ye doğru uzanan koluyla 29°; PB, d₂'nin P'ye doğru uzanan koluyla 53° yapıyor. m(APB) kaçtır?

• A) 24
• B) 98
• C) 62
• D) 82
• E) 72

Çözüm: P'den paralellere çizilen yardımcı doğru açıyı 29° ve 53°'lik parçalara ayırır: 82°. Cevap: D.

Örnek 4 — Kolları paralel açılar

Soru: Kolları karşılıklı paralel olan iki açıdan biri dar, diğeri geniştir ve geniş açı dar açının 2 katıdır. Geniş açı kaç derecedir?

• A) 90
• B) 150
• C) 135
• D) 100
• E) 120

Çözüm: Biri dar, biri geniş olduğundan bütünlerdirler: x + 2x = 180, x = 60. Geniş açı 120°. Cevap: E.

• Aynı taraftaki iç açıları eşit sanmak. Bunlar bütünlerdir; eşit olanlar iç ters açılardır.
• Kırık çizgide açıyı yanlış koldan ölçmek. α ve β, P'ye doğru uzanan kollarla ölçülür; ters koldan verilmişse 180'den çıkarılır.
• Kolları paralel açıları her zaman eşit saymak. Biri dar biri genişse bütünlerdir.
• Paralel olmayan doğrularda eşitlik kullanmak. Kurallar yalnızca d₁ ∥ d₂ iken geçerlidir.
• x'i bulup soruyu bitmiş saymak. Açının kendisi ya da bütünleri istenebilir.