Doğruda açılar

Bir makası yavaşça açtığınızı düşünün. İki bıçak vidanın olduğu noktada kesişir ve dört açı oluşturur: parmaklarınızın tarafındaki açı, kesilen kâğıdın tarafındaki açı ve iki yanda kalan iki açı. Parmak tarafını genişlettiğinizde ağız tarafı da tam olarak aynı miktarda genişler; yandaki iki açı ise aynı anda daralır. Makası ne kadar açarsanız açın bu ilişki bozulmaz. Bunun nedeni bir kural ezberi değil, düz bir çizginin 180° olmasıdır. Geometrinin ilk modülüne bu basit gözlemle giriyoruz: bir doğru ve bir nokta etrafındaki açılar, sabit toplamlar sayesinde birbirini belirler. Bu derste açının ölçüsünü ve çeşitlerini, derece ile dakika arasındaki geçişi, tümler ve bütünler açıları, kesişen iki doğrunun oluşturduğu ters açıları ve bir nokta etrafındaki açıların toplamını işliyoruz. Bütün bunlar sonraki derslerde paralel doğrular ve üçgenler için kullanacağımız araçlardır.

• Açıları ölçülerine göre dar, dik, geniş, doğru ve tam açı olarak sınıflandırırsın.
• Derece, dakika ve saniye arasında dönüşüm yapar; açı ölçülerini toplar ve çıkarırsın.
• Tümler ve bütünler açılarla ilgili denklemleri kurup çözersin.
• Kesişen iki doğruda ters açıların eşitliğini, bir nokta etrafındaki açıların toplamının 360° olduğunu kullanırsın.

Açı ve ölçüsü

Başlangıç noktaları ortak olan iki ışının birleşimine açı denir. Ortak noktaya açının köşesi, ışınlara kolları adı verilir. Köşesi O olan ve kolları OA ile OB ışınları olan açı AOB biçiminde yazılır ve ölçüsü m(AOB) ile gösterilir; köşe harfi her zaman ortadadır. Açının ölçüsü, kolların birbirinden ne kadar açıldığını anlatır ve kolların uzunluğuna bağlı değildir. Kolları uzatmak açıyı büyütmez. Ölçü birimi derecedir: bir tam dönüş 360 dereceye bölünmüştür.

Açı çeşitleri

Açılar ölçülerine göre adlandırılır. Ölçüsü 0° ile 90° arasında olan açıya dar açı, tam 90° olana dik açı, 90° ile 180° arasında olana geniş açı denir. Kolları zıt yönlü iki ışın olan açının ölçüsü 180°'dir ve buna doğru açı denir; bir doğru üzerindeki herhangi bir nokta, doğruyu böyle bir açıyla ikiye ayırır. Kolları çakışık olan ve bir tam dönüşü gösteren açı ise tam açıdır, ölçüsü 360°'dir. Sınav sorularında açının türü çoğu zaman bir ipucu olarak verilir: "geniş açı" ifadesi, bulunacak değerin 90'dan büyük olması gerektiğini söyler ve yanlış kökleri elemeye yarar.

Derece, dakika, saniye

Derecenin alt birimleri dakika ve saniyedir: 1° = 60' ve 1' = 60". Saatteki saat-dakika-saniye ilişkisinin aynısıdır. Açı ölçüleri toplanırken dakikalar dakikalarla toplanır; toplam 60'ı geçerse her 60 dakika bir dereceye çevrilir. 15°40' ile 20°35' toplanınca 35°75' bulunur; 75' = 1°15' olduğundan sonuç 36°15'tir. Çıkarmada üstteki dakika alttakinden küçükse bir derece 60 dakikaya bozulur. 90° − 25°10' hesabında 90° önce 89°60' olarak yazılır; sonuç 64°50' olur. Bir açıyı bir sayıya bölerken de artan dereceler dakikaya çevrilip bölmeye devam edilir.

Komşu açılar

Köşeleri ve birer kolları ortak olan, iç bölgeleri ise kesişmeyen iki açıya komşu açılar denir. AOB ve BOC açıları OB kolunu paylaşıyorsa komşudur ve m(AOC) = m(AOB) + m(BOC) olur. Komşu açılar aynı köşeden yan yana açılan iki dilim gibidir. Sorularda büyük bir açı küçük parçalara bölünmüşse bu toplama ilişkisi ilk kurulacak denklemdir.

Tümler ve bütünler açılar

Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıya tümler açılar, ölçüleri toplamı 180° olan iki açıya bütünler açılar denir. 25°'lik açının tümleri 65°, 152°'lik açının bütünleri 28°'dir. Bir açının ölçüsü x ise tümleri 90 − x, bütünleri 180 − x'tir; tümler açı yalnızca dar açılar için tanımlıdır. Buradan dikkat çekici bir sonuç çıkar: aynı açının bütünleri ile tümleri arasındaki fark, açı ne olursa olsun 90°'dir. İki açının tümler ya da bütünler olması için komşu olmaları gerekmez; yalnızca ölçülerinin toplamına bakılır. Komşu ve bütünler iki açının dış kolları ise bir doğru oluşturur.

Kesişen doğrular ve ters açılar

İki doğru bir noktada kesiştiğinde dört açı oluşur. Bunlardan karşılıklı duran iki açıya ters açılar denir ve ters açıların ölçüleri eşittir. Nedeni kancadaki makastadır: bir açı ile yanındaki açı bir doğru üzerinde durduğu için bütünlerdir; karşıdaki açı da aynı yan açının bütünleridir. Aynı açının bütünleri olan iki açı eşit olmak zorundadır. Bu yüzden dört açıdan birini bilmek dördünü de bilmek demektir: biri 63° ise karşısındaki 63°, iki yanındakiler 117°'dir. İki doğru dik kesişirse dört açının dördü de 90° olur.

Bir nokta etrafındaki açılar

Bir noktadan çıkan ışınlar düzlemi dilimlere ayırıyorsa bu dilimlerin açılarının toplamı tam açıya, yani 360°'ye eşittir. Bir doğru üzerindeki bir noktadan aynı tarafa çıkan ışınların oluşturduğu açılar ise 180°'yi tamamlar. Açılar bir oranla verilmişse oranların toplamı kadar eşit parça düşünülür ve 360 ya da 180 bu parça sayısına bölünür. Açılar cebirsel ifadelerle verilmişse ifadeler toplanıp 360'a ya da 180'e eşitlenir.

Açıortay

Bir açıyı iki eş parçaya bölen ışına o açının açıortayı denir. Komşu ve bütünler iki açının açıortayları birbirine diktir: açıların ölçüleri ne olursa olsun yarılarının toplamı 180'in yarısı, yani 90°'dir. Benzer biçimde komşu ve tümler iki açının açıortayları arasındaki açı 45°'dir. Bu kalıplar, bir soruda verilen ölçüleri hesaplamadan sonuca gitmeyi sağlar; yine de sonucu bir kez ölçülerle denetlemek iyi bir alışkanlıktır.

Denklem kurma

Bu dersteki problemlerin büyük çoğunluğu aynı üç adımla çözülür. Önce aranan açıya bir değişken verilir. Sonra sorudaki ilişki, tümler için 90, bütünler için 180, bir nokta etrafı için 360 ya da ters açılar için eşitlik kullanılarak bir denkleme çevrilir. "Bir açının bütünleri, tümlerinin üç katıdır" cümlesi 180 − x = 3(90 − x) denklemine dönüşür. Son olarak denklem çözülür ve sorunun gerçekten neyi istediğine bakılır: x mi, açının kendisi mi, tümleri mi? Çözümün sonunda bulunan açıların hepsinin pozitif olduğu ve tümler açılarda 90°'yi aşmadığı kontrol edilmelidir.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri bir açının tümlerini ya da bütünlerini, iki açı arasındaki ilişkiden açının kendisini, ters açılar ile bir nokta etrafındaki açılardan bilinmeyeni, derece ve dakika cinsinden toplam ya da farkı, açıortaylar arasındaki açıyı ister.

Örnek 1 — Bütünler ile tümler farkı

Soru: 48°'lik bir açının bütünleri ile tümleri arasındaki fark kaç derecedir?

• A) 42
• B) 132
• C) 90
• D) 180
• E) 84

Çözüm: Bütünleri 132°, tümleri 42°'dir; fark 90°. Fark her dar açı için 90°'dir. Cevap: C.

Örnek 2 — Ters açılar

Soru: Kesişen iki doğrunun oluşturduğu ters açılardan birinin ölçüsü 4x − 15, diğerininki 2x + 35 derecedir. Bu açıların ölçüsü kaçtır?

• A) 25
• B) 85
• C) 95
• D) 75
• E) 65

Çözüm: Ters açılar eşittir: 4x − 15 = 2x + 35 ve x = 25. Açı 4 · 25 − 15 = 85°. Cevap: B.

Örnek 3 — Dakikalı çıkarma

Soru: 52°36' − 18°49' işleminin sonucu nedir?

• A) 34°13'
• B) 33°13'
• C) 34°47'
• D) 33°47'
• E) 34°27'

Çözüm: 36' içinden 49' çıkmaz; 52°36' = 51°96' yazılır. 51° − 18° = 33°, 96' − 49' = 47'. Cevap: D.

Örnek 4 — Bir nokta etrafında

Soru: Bir noktadan çıkan dört ışının oluşturduğu açılar 3x, 2x + 20, 4x − 10 ve x + 50 derecedir. En büyük açı kaç derecedir?

• A) 110
• B) 90
• C) 80
• D) 120
• E) 100

Çözüm: Toplam 10x + 60 = 360 ve x = 30. Açılar 90, 80, 110 ve 80; en büyüğü 110°. Cevap: A.

• Tümleri 180'den, bütünleri 90'dan çıkarmak. Tümler 90'a, bütünler 180'e tamamlar.
• Ters açıları bütünler sanmak. Karşılıklı açılar eşittir; yan yana olanlar bütünlerdir.
• Dakikada 100'lük düşünmek. 1° = 60'; 75' bir derece on beş dakikadır.
• x'i bulup durmak. Soru açının kendisini ya da tümlerini isteyebilir.
• Bir nokta etrafını 180 saymak. Tam dönüş 360°, doğru üzerindeki yarım dönüş 180°'dir.