Kinetik teori ve Graham yasası

Zeynep bir deneme sınavında şu soruya takıldı: 27 °C'de ayrı kaplarda bulunan H₂ ve O₂ gazlarından hangisinin tanecikleri daha büyük ortalama kinetik enerjiye sahiptir? Fizikte «İş-enerji teoremi» dersini yeni bitirmişti, ½ m v² aklının en önündeydi. Hesabı hemen kurdu: oksijen molekülü hidrojeninkinden on altı kat ağır, o hâlde enerjisi de on altı kat büyük olmalı. İşaretledi, geçti. Anahtar «ikisi eşit» diyordu. Zeynep'in formülü doğruydu; atladığı şey formüldeki ikinci değişkendi. Kütleyi büyütürken hızı sabit tutmuştu, oysa aynı sıcaklıkta hafif hidrojen molekülleri oksijeninkilerden dört kat hızlı koşar. Bu derste kütle ile hız arasındaki bu takası gazların tanecik modelinden çıkarıyor, sonra onu bir hesap aracına çeviriyoruz: hangi gazın daha çabuk kaçtığını, bir cam borunun neresinde iki gazın buluştuğunu bulacağız.

• Kinetik molekül teorisinin ideal gaz varsayımlarını sayar, gerçek gazdan nerede ayrıldıklarını belirtirsin.
• Ortalama kinetik enerjinin yalnız mutlak sıcaklığa bağlı olduğunu kullanarak farklı gazların hızlarını v ∝ √(T / M) ile karşılaştırırsın.
• Graham yasasıyla efüzyon hızı, efüzyon süresi ve mol kütlesi arasında oran kurar, cam boruda buluşma noktasını hesaplarsın.
• Boyle, Charles ve Gay-Lussac davranışlarını tanecik çarpışmalarıyla nitel olarak açıklarsın.

Modelin dört varsayımı

«İdeal gaz denklemi» dersinde P, V, n ve T'yi tek bir eşitlikte topladık ve gazı «ideal» saydık. O sıfatın arkasında bir tanecik modeli durur: kinetik molekül teorisi. Teori bir gazı şöyle düşünür:

• Tanecik hacmi ihmal edilir. Gaz taneciklerinin kendi hacmi, kabın hacmi yanında sıfır sayılır; gazın kapladığı yer neredeyse tamamen boşluktur.
• Hareket sürekli ve rastgeledir. Tanecikler her yöne doğrusal yollarla ilerler, yalnız çarpışınca yön değiştirir.
• Çarpışmalar esnektir. Tanecikler birbirine ya da çepere çarptığında toplam kinetik enerji kaybolmaz; bir tanecik yavaşlarsa öteki hızlanır.
• Tanecikler arasında çekim ya da itme yoktur. İki çarpışma arasında her tanecik ötekilerden habersizmiş gibi hareket eder.

Dört kabulün hepsini taşıyan varsayımsal gaz ideal gaz adını alır. Gerçek gazlar yüksek sıcaklıkta ve düşük basınçta bu modele çok yaklaşır; tanecikler birbirinden uzak ve hızlı olduğunda hacim de çekim de önemsizleşir. Düşük sıcaklıkta ve yüksek basınçta ise ilk ve son varsayım zayıflar. Bu sapmanın ayrıntısı «Gerçek gazlar» dersine kalıyor.

Ortalama kinetik enerji yalnız sıcaklığı izler

Kinetik teorinin en güçlü sonucu şudur: bir gazın taneciklerinin ortalama kinetik enerjisi, yalnız mutlak sıcaklıkla doğru orantılıdır. Ne gazın cinsi ne basıncı ne hacmi bu ortalamayı değiştirir. Aynı sıcaklıktaki hidrojen, helyum, oksijen ve kükürt dioksit taneciklerinin ortalama kinetik enerjileri birbirine eşittir.

Orantı kelvinle kurulur. 127 °C'de duran bir gazı 527 °C'ye getirmek mutlak sıcaklığı 400 K'den 800 K'e taşır; ortalama kinetik enerji de iki katına çıkar. Celsius sayılarına bakan göz dört katın üstünde bir artış görür, gaz ise yalnız ikiye katlanmış bir sıcaklık hisseder. Ortalama enerji tanecik başınadır: aynı sıcaklıkta 2 mol gazın toplam kinetik enerjisi, 1 mol gazınkinin iki katıdır, ama tanecik başına ortalama değişmez.

Hafif tanecik neden hızlıdır?

Zeynep'in formülüne dönelim. Tanecik başına ortalama kinetik enerji ½ m v²'dir ve aynı sıcaklıkta iki gaz için bu değer aynıdır. O hâlde kütle büyüdükçe v² küçülmek zorundadır. Mol kütlesi M ile tanecik kütlesi orantılı olduğundan hız için şu ilişki çıkar:

v ∝ √(T / M)

Buradaki v, taneciklerin ortalama hızını temsil eder (kesin adıyla kare ortalama karekök hızı). İki gaz için oran:

v₁ / v₂ = √( (T₁ / M₁) ÷ (T₂ / M₂) )

Aynı sıcaklıkta T'ler sadeleşir. S = 32, O = 16, C = 12, H = 1 değerleriyle CH₄ (16 g/mol) ve SO₂ (64 g/mol) karşılaştırıldığında v(CH₄) / v(SO₂) = √(64 / 16) = 2 bulunur: kütle dört kat, hız iki kat. Kütle oranını doğrudan hız oranı sanmak bu derste en çok puan götüren hatadır; karekökü unutmayın.

Bu takas, ideal gaz denkleminde gazın adının neden geçmediğini de açıklar. Aynı hacim, sıcaklık ve mol sayısında bir CO₂ molekülü çepere bir H₂ molekülünden daha seyrek ulaşır, ama her vuruşu daha ağırdır. Hafif H₂ ise sık ve hafif vurur. Çeperdeki etki taneciğin kütlesiyle hızının karesinin çarpımını, yani kinetik enerjisini izlediği için aynı sıcaklıkta bu iki durum aynı basıncı verir.

Sıcaklıklar farklıysa oranın iki çarpanı birbirini dengeleyebilir. He (4 g/mol) 27 °C'de, CH₄ ise 927 °C'de olsun. Kelvinle T / M değerleri 300 / 4 = 75 ve 1200 / 16 = 75 olur; iki gazın ortalama hızı eşittir. Aynı hesap Celsius sayılarıyla yapılırsa eşitlik kaybolur ve yanlış bir oran çıkar.

Bütün tanecikler aynı hızda değildir

«Ortalama» sözcüğü önemlidir. Bir gaz örneğinde bazı tanecikler çok yavaş, bazıları çok hızlıdır; sayısı en fazla olan tanecikler ortadaki bir hız aralığında toplanır. Tanecik sayısını hıza karşı gösteren bir dağılım eğrisi düşünün. Sıcaklık artınca eğrinin tepesi daha yüksek hızlara kayar, eğri yayılır ve genişler, tepe de biraz alçalır; çünkü tanecik sayısı aynıdır ve daha geniş bir hız aralığına dağılmıştır. Isınan gazda hâlâ yavaş tanecikler vardır, yalnız oranları azalmıştır. Aynı sıcaklıkta hafif bir gazın eğrisi de ağır gazınkinden daha sağa yayılır.

Difüzyon ve efüzyon

TYT'deki «Gazların genel özellikleri» dersinde kokunun odaya yayılmasını difüzyon diye adlandırdık: bir gazın tanecikleri, rastgele hareketle başka bir gazın içine karışarak dağılır. Yolda başka taneciklerle sayısız kez çarpıştığı için ilerleme zikzaklıdır.

Efüzyon ise bir gazın çok küçük bir delikten, tanecikleri delikten tek tek geçecek biçimde boş ya da düşük basınçlı bir bölgeye kaçmasıdır. Şişirilmiş bir balonun gözeneklerinden gaz sızarak birkaç gün içinde sönmesi efüzyona yakın bir örnektir. Helyumla şişirilen balon havayla şişirilenden daha çabuk söner, çünkü helyum atomları azot ve oksijen moleküllerinden çok daha hızlıdır.

Graham yasası

Thomas Graham'ın adını taşıyan yasa, bu kaçış hızını mol kütlesine bağlar. Sıcaklıkları ve basınçları aynı olan iki gazın efüzyon hızları mol kütlelerinin kareköküyle ters orantılıdır:

r₁ / r₂ = √(M₂ / M₁)

Bu, aynı sıcaklıktaki v ∝ √(1 / M) ilişkisinin doğrudan sonucudur; daha hızlı tanecik deliğe daha sık ulaşır. Yasa efüzyon için kesindir. Difüzyonda tanecikler sürekli çarpıştığı için aynı oran yaklaşık bir tahmin verir; soru kitaplarında ikisine de uygulanır.

Aynı basınç ve sıcaklıkta bir gazın yoğunluğu, d = P · M / (R · T) bağıntısına göre mol kütlesiyle doğru orantılıdır. Bu yüzden Graham yasası yoğunluklarla da yazılır: r₁ / r₂ = √(d₂ / d₁). Ortak koşulda metandan dört kat yoğun olan SO₂, metandan iki kat yavaş kaçar.

Hızla süre ters orantılıdır. Eşit hacimlerin kaçma süreleri için:

t₁ / t₂ = √(M₁ / M₂)

Ağır gazın süresi uzundur. Aynı koşullarda eşit hacim He 10 saniyede kaçıyorsa SO₂'nin süresi 10 × √(64 / 4) = 40 saniyedir. Yasa ters yönde de çalışır: süre ya da hız oranı ölçülürse bilinmeyen bir gazın mol kütlesi bulunur. Oranın karesi alınır, bilinen mol kütlesiyle çarpılır.

Cam boruda buluşma

Graham yasasının en bilinen düzeneği, iki ucu aynı anda tıkanan yatay bir cam borudur. Öğretmenin çeker ocakta hazırladığı bu düzenekte bir uca derişik amonyak çözeltisine, öbür uca derişik hidroklorik asit çözeltisine batırılmış pamuk konur. Çözeltilerden yükselen NH₃ ve HCl gazları borunun içinde birbirine doğru yayılır. Karşılaştıkları yerde NH₃ + HCl → NH₄Cl tepkimesiyle katı amonyum klorür oluşur ve borunun iç yüzeyinde beyaz bir halka belirir.

Halkanın yeri hız oranından gelir. İki gaz aynı süre yol aldığı için aldıkları yolların oranı hızlarının oranına eşittir. N = 14, H = 1, Cl = 35,5 alınırsa NH₃ 17, HCl 36,5 g/mol olur; NH₃'ün hızı HCl'ninkinin √(36,5 / 17) ≈ 1,47 katıdır. 100 cm'lik boruda toplam yol hız oranına göre bölüştürülür ve halka NH₃ ucundan yaklaşık 59 cm uzakta, yani HCl ucuna daha yakın oluşur. Hafif gaz daha uzun yol alır; halka ağır gazın ucuna yakın düşer. Gerçek bir boruda hava tanecikleri de yolu kalabalıklaştırdığı için halka bu hesaptan biraz sapabilir; hesap ideal bir tahmindir.

Gaz yasalarının tanecik dilinde okunuşu

Kinetik teori, önceki derslerde deneyle verilen gaz yasalarının nedenini de söyler. Basınç, taneciklerin çepere çarpmalarından doğar ve iki şeye bağlıdır: birim zamanda kaç çarpma olduğuna ve her çarpmanın ne kadar sert olduğuna.

• Boyle (sabit T ve n): Hacim yarıya inince sıcaklık sabit kaldığı için tanecikler hızlanmaz; ama aynı tanecikler yarı hacimde toplandığından çeperin birim alanına birim zamanda iki kat çarpma düşer. Basınç iki katına çıkar.
• Gay-Lussac (sabit V ve n): Isınan tanecikler hızlanır; her çarpma çepere daha sert vurur, çarpmalar da sıklaşır ve basınç artar.
• Charles (sabit P ve n): Isınan taneciklerin artan çarpma etkisini dengelemek için piston geri itilir; hacim büyür ve çarpma sıklığı düşerek basınç eski değerine iner.
• Avogadro (sabit P ve T): Daha çok tanecik daha çok çarpma demektir; basıncın değişmemesi için hacim mol sayısıyla birlikte büyür.

Son maddedeki ince nokta, sonraki adımın kapısını aralar. Çarpmaları sayan basınç, çarpan taneciğin kimliğine bakmaz; aynı sıcaklıkta bir helyum atomu da bir oksijen molekülü de çepere ortalama olarak aynı enerjiyle vurur. Peki bir kapta iki ya da üç farklı gaz birlikte bulunursa toplam basınç bu gazlar arasında nasıl paylaşılır, her gazın payı neye göre belirlenir? «Gaz karışımları ve kısmi basınç» dersi bu payı mol kesriyle ölçüyor.

Örnek 1 — Enerji eşit, hız değil

Soru: 27 °C'de ayrı kaplarda bulunan He ve SO₂ gazları için hangisi doğrudur? (He = 4, S = 32, O = 16 alınız.)

• A) SO₂ taneciklerinin ortalama kinetik enerjisi He'nin on altı katıdır.
• B) Ortalama kinetik enerjiler eşittir; He atomlarının ortalama hızı SO₂ moleküllerininkinin dört katıdır.
• C) Ortalama kinetik enerjiler eşittir; ortalama hızlar da eşittir.
• D) He'nin ortalama kinetik enerjisi büyüktür, çünkü He daha hızlıdır.
• E) Ortalama kinetik enerjiler eşittir; He'nin ortalama hızı SO₂'ninkinin on altı katıdır.

Çözüm: Sıcaklıklar aynı olduğu için tanecik başına ortalama kinetik enerji iki gazda eşittir; A ve D bu yüzden elenir. Hız oranı √(64 / 4) = √16 = 4'tür. C, eşit enerjiyi eşit hız sanır; E ise karekökü atlayıp kütle oranını hız oranı diye yazar. Cevap: B.

Örnek 2 — Sıcaklık kütleyi dengeliyor

Soru: He gazı 27 °C'de, CH₄ gazı 927 °C'de bulunuyor. He atomlarının ortalama hızının CH₄ moleküllerininkine oranı kaçtır? (Atom kütleleri: He = 4, C = 12, H = 1.)

• A) oran = 1/2
• B) oran ≈ 0,34
• C) oran = 2
• D) oran = 4
• E) oran = 1

Çözüm: Sıcaklıklar kelvine çevrilir: 300 K ve 1200 K. CH₄'ün mol kütlesi 12 + 4 = 16 g/mol. T / M değerleri He için 300 / 4 = 75, CH₄ için 1200 / 16 = 75'tir; karekökleri eşit olduğundan oran 1'dir. Sıcaklığı unutup yalnız mol kütlesine bakan C'yi bulur. Celsius sayılarıyla hesap yapan 27 / 4 ile 927 / 16'yı karşılaştırır ve yaklaşık 0,34'e, yani B'ye ulaşır. Cevap: E.

Örnek 3 — Süreden mol kütlesine

Soru: Sıcaklık ve basınç değişmeden, aynı küçük delikten eşit hacimde X gazının efüzyonu O₂ gazınınkinin iki katı sürüyor. X'in mol kütlesi kaç g/mol'dür? (O = 16 alınız.)

• A) M = 128
• B) M = 64
• C) M = 8
• D) M = 16
• E) M = 256

Çözüm: Süreler mol kütlelerinin kareköküyle doğru orantılıdır: t(X) / t(O₂) = √(M / 32) = 2. Karesi alınınca M / 32 = 4, M = 128 g/mol bulunur. B, karekökü unutup süre oranını doğrudan kütle oranı sayar. C ve D, ilişkiyi ters kurar: süresi uzun gazı hafif sanır. Cevap: A.

Örnek 4 — Beyaz halka nerede?

Soru: 100 cm uzunluğundaki yatay bir cam borunun iki ucundan aynı anda NH₃ ve HCl gazları salınıyor. Gazların karşılaştığı yerde NH₄Cl katısından beyaz bir halka oluşuyor. Graham yasasına göre halka nerede beklenir? (H = 1, N = 14, Cl = 35,5 alınız.)

• A) Borunun tam ortasında, iki uçtan 50'şer cm uzakta
• B) NH₃ ucundan yaklaşık 32 cm uzakta
• C) HCl ucundan yaklaşık 59 cm uzakta
• D) NH₃ ucundan yaklaşık 59 cm uzakta
• E) NH₃ ucundan yaklaşık 68 cm uzakta

Çözüm: NH₃ 17, HCl 36,5 g/mol'dür. Hız oranı v(NH₃) / v(HCl) = √(36,5 / 17) ≈ 1,47. İki gaz aynı süre yol aldığı için NH₃'ün yolu 100 × 1,47 / 2,47 ≈ 59 cm olur. E, karekök almadan kütle oranıyla bölüştürür (100 × 36,5 / 53,5 ≈ 68). B oranı ters kurar, C ise doğru sayıyı yanlış uçtan ölçer. A, iki gazın aynı hızda olduğunu varsayar. Cevap: D.

• Aynı sıcaklıkta ağır gazın tanecik enerjisini büyük sanmak. ½ m v²'de kütle büyürken hız küçülür; aynı sıcaklıkta ortalama kinetik enerji bütün gazlarda eşittir.
• Kütle oranını hız oranı diye yazmak. Hız mol kütlesinin kareköküyle ters orantılıdır: dört kat ağır gaz iki kat yavaştır, dört kat değil.
• Oranı Celsius sayılarıyla kurmak. Hem enerji hem hız oranında T kelvin olmalıdır; 127 °C'den 527 °C'ye ısınan gazın enerjisi yalnız iki katına çıkar.
• Hız oranıyla süre oranını aynı yönde kurmak. Hızlı gazın süresi kısadır: t₁ / t₂ = √(M₁ / M₂), hız oranının tersidir.
• Cam boruda halkayı hafif gazın ucuna yakın sanmak. Hafif gaz daha uzun yol alır; buluşma ağır gazın ucuna yakın olur.
• Isınan gazda bütün taneciklerin aynı ölçüde hızlandığını düşünmek. Dağılım sağa kayar ve genişler; yavaş tanecikler azalır ama yok olmaz.