İdeal gaz denklemi

Tuna deneme sınavında şu soruya geldi: 2 atm basınç altında ve 300 K sıcaklıkta 24,6 litre yer kaplayan oksijen kaç moldür? Kalemini kâğıda koymadan cevabı bildiğini düşündü, çünkü TYT'den beri defterinin kenarında «mol = hacim / 22,4» yazıyordu. 24,6'yı 22,4'e böldü, 1,1'e yakın bir sayı buldu ve seçeneklerde ona en yakın olanı işaretledi. Sınavdan sonra öğretmeni aynı soruyu tahtada iki satırda çözdü ve 2 mol buldu; Tuna'nın bölme işleminde bir hata yoktu. Hata, 22,4 sayısının yanında sessizce taşıdığı iki koşuldaydı: 1 atm basınç ve 0 °C sıcaklık. Sıcaklık 273 K'den 300 K'e çıkınca bir mol gaz daha geniş yer tutar, basınç iki katına çıkınca sıkışır. Tuna'nın aradığı şey her koşulda geçerli bir hacim değil, 22,4'ü de içinde saklayan tek bir denklemdi.

• P · V = n · R · T denklemini doğru birim takımıyla kurup bilinmeyen tek niceliği hesaplarsın.
• Kütle ya da yoğunluk verisinden gazın mol kütlesini bulur, aynı koşuldaki gazların yoğunluklarını mol kütleleriyle karşılaştırırsın.
• Sabit hacimli bir kaba gaz eklendiğinde ya da kaptan gaz kaçtığında mol ve kütle değişimini hesaplarsın.
• Bir tepkimede oluşan ya da harcanan gazın hacmini normal koşulların dışında bulursun.

Dört yasadan tek denkleme

«Gaz yasaları» dersindeki birleşik yasa bir başlangıç ile bir son durumu karşılaştırıyordu: P · V / (n · T) oranı ilk durumda neyse son durumda da oydu ve eşitliğin iki yanından sadeleşip gidiyordu. Avogadro yasası bu oranın helyumda da kükürt dioksitte de aynı çıktığını söylediğine göre, oranın kendisi bir evrensel sabittir. Ona R adını verip eşitliği bir kez yazmak, ikinci duruma duyulan ihtiyacı ortadan kaldırır:

P · V = n · R · T

Artık tek bir ölçüm yeter: basınç, hacim ve sıcaklık biliniyorsa mol sayısı hemen hesaplanır. Bu eşitliğe tam uyan gaza ideal gaz denir. Oda sıcaklığına yakın sıcaklıklarda ve birkaç atmosferlik basınçlarda helyum, hidrojen, azot ve oksijen eşitliğe çok yakın davranır. İdeal sıfatının tanecik düzeyindeki anlamını sonraki ders, sapmaların ne zaman büyüdüğünü «Gerçek gazlar» dersi açıyor; bu derste bütün gazlar ideal sayılacak.

R'nin değeri nereden gelir?

Sabitin sayısal değeri normal koşullardan okunur. Normal koşullarda (NK; sıcaklık 0 °C, basınç 1 atm; bazı kaynaklarda NŞA) bir mol gazın hacmi 22,4 L'dir. Denklem R'ye göre çözülüp bu değerler yerine yazılınca:

R = P · V / (n · T) = (1 atm · 22,4 L) / (1 mol · 273 K) = 22,4/273 ≈ 0,082 L·atm/(mol·K)

R'nin birimi, denklemin hangi birim takımıyla kurulacağını da söyler: basınç atm, hacim litre, miktar mol, sıcaklık kelvin. Soruda 0,082 verildiyse 300 K, 400 K gibi sıcaklıklarda R · T çarpımı temiz çıkar: 0,082 · 300 = 24,6 ve 0,082 · 400 = 32,8. Soru 22,4/273 yazımını tercih ettiyse 273 K ile katlarında 273 sadeleşir; 273 K'de R · T = 22,4, 546 K'de ise 44,8 olur. İki yazım aynı sabitin iki görünüşüdür; hangisinin işe yarayacağını sorudaki sıcaklık belirler.

22,4 litre denklemin bir satırıdır

Denklemi hacme göre düzenleyelim: V = n · R · T / P. Bir mol gaz için 273 K ve 1 atm yazılırsa sonuç 22,4 L çıkar. Demek ki «Mol kavramı» dersinde ezberlenen değer, denklemin özel bir hâlidir. Koşullardan biri değişince hacim de değişir:

Dördüncü satırda sıcaklık iki katına çıkmış, basınç da iki katına çıkmış; etkiler birbirini götürünce yine 22,4 L kalmıştır. Bir soruda 22,4 L görmek, koşulların normal olduğunu kendi başına kanıtlamaz. Tablonun son satırı oda koşulları diye anılır: basınç yine 1 atm, sıcaklık 25 °C; bir molün hacmi burada yaklaşık 24,5 L'dir. Kancadaki soru da böyle çözülür: n = (2 · 24,6) / (0,082 · 300) = 49,2 / 24,6 = 2 mol.

Kütleden mol kütlesine

«Mol kavramı» dersindeki n = m / M bağıntısı denkleme yerleştirilince gazın kütlesi de hesaba girer:

P · V = (m / M) · R · T

Bu biçim, tartılmış bir gazın kimliğini bulmaya yarar. Terazide 1,6 gram gelen bir gaz örneği 0 °C sıcaklık ve 0,5 atm basınçta 2,24 L yer kaplasın. R = 22,4/273 seçilirse 273 K'de R · T = 22,4 olur ve n = 0,5 · 2,24 / 22,4 = 0,05 mol bulunur. Mol kütlesi 1,6 / 0,05 = 32 g/mol'dür. O = 16 verilmişse aday O₂'dir; seçeneklerde mol kütlesi 32 olan ikinci bir gaz yoksa kimlik kesinleşir. Hesabın son adımı seçenekleri bu gözle okumaktır.

Gazın yoğunluğu

Yoğunluk birim hacmin kütlesidir, d = m / V. Denklemdeki m / V oranı yalnız bırakılırsa:

d = P · M / (R · T)

Sıvıların yoğunluğu tablolarda tek bir sayıyla verilebilir; gazınki ise basınçla artar, sıcaklıkla azalır. Sabit basınçta ısıtılan hava genleşir, aynı kütle daha büyük bir hacme yayılır ve yoğunluğu düşer. P / T oranı korunduğu sürece yoğunluk da korunur: CO₂'nin normal koşullardaki yoğunluğu 44 / 22,4 ≈ 1,96 g/L'dir ve 273 °C ile 2 atm'de de aynı değeri alır.

Aynı sıcaklık ve basınçta P / (R · T) çarpanı bütün gazlar için ortaktır. Geriye yalnız mol kütlesi kalır:

d₁ / d₂ = M₁ / M₂ (aynı P ve T'de)

Aynı koşulda SO₂ (M = 64) metandan (M = 16) dört kat yoğundur. Bir soru bilinmeyen gazın yoğunluğunu tanıdık bir gazınkine oranla verirse mol kütlesi bu orandan tek çarpmayla okunur. Oran yalnız ortak koşulda geçerlidir; iki gazdan biri daha sıcaksa önce d = P · M / (R · T) ile ayrı ayrı hesaplamak gerekir.

Kaba gaz eklemek, kaptan gaz kaçırmak

Kapağı vidalı çelik bir kapta V değişmez. Denklem P / (n · T) = R / V biçiminde yazılırsa sağ taraf bu kap için sabittir. Basınç, mol sayısı ve sıcaklık birlikte değişebilir; yol, önce başlangıçtaki mol sayısını sonra son durumdakini bulmaktır. Aradaki fark eklenen ya da kaçan gazdır.

8,2 L'lik sabit hacimli bir kapta, 300 K sıcaklıkta ve 6 atm basınçta oksijen bulunsun (O = 16). Başlangıçta n = 6 · 8,2 / 24,6 = 2 mol, yani 64 gram O₂ vardır. Kap 400 K'e, yani 127 °C'ye ısıtılırken vana açılıyor ve basınç 4 atm'de kalıyor. Son durumda n = 4 · 8,2 / 32,8 = 1 mol'dür; dışarı kaçan oksijen 1 mol, yani 32 gramdır. Sıcaklık artışını görmeyen öğrenci basıncın üçte ikiye düştüğüne bakıp gazın üçte ikisinin kaldığına karar verir ve kaçan kütleyi yaklaşık 21,3 gram bulur. Gaz eklemede yol değişmez; tek fark son mol sayısının ilkinden büyük çıkmasıdır.

Tepkimede oluşan gazın hacmi

«Mol-kütle-hacim hesapları» dersindeki sıra burada da işler: denklem denkleştirilir, verilen madde mole çevrilir, katsayı oranından gazın mol sayısı bulunur. Yalnız son adım genişler. Normal koşullarda mol 22,4 ile çarpılıyordu; başka koşulda hacim V = n · R · T / P ile hesaplanır.

Hidrojen peroksit bozunurken oksijen açığa çıkar: 2H₂O₂ → 2H₂O + O₂. 6,8 gram H₂O₂ (H = 1, O = 16; M = 34 g/mol) tamamen bozunursa 0,2 mol H₂O₂'den 0,1 mol O₂ oluşur. Bu oksijen 127 °C ve 0,82 atm'de toplanırsa V = 0,1 · 0,082 · 400 / 0,82 = 4 L yer kaplar; normal koşullarda ise 2,24 L olurdu. Fark, sıcaklığın yükselmesinden ve basıncın 1 atm'nin altında kalmasından gelir. 127 °C'de su da gaz hâlindedir; soru yalnız oksijenin hacmini istediği için su buharı hesaba katılmaz.

Birim denetimi

R = 0,082 seçilince denkleme giren her sayı aynı birim takımında olmalıdır. Yanlış cevapların çoğu üç dönüşümden birinin unutulmasıyla doğar:

Üç dönüşüm birlikte yapılınca 27 °C ve 380 mmHg'de 492 mL hacim kaplayan gaz için n = 0,5 · 0,492 / 24,6 = 0,01 mol bulunur. Mililitre litreye çevrilmezse sonuç bin kat büyür; bir şırınga dolusu gazdan 10 mol çıkması unutulan birimi hemen ele verir. Sıcaklıkta hata daha sinsidir: kelvine çevrilmeyen 0 °C paydayı sıfırlar, eksi bir Celsius değeri ise eksi mol sayısı üretir.

Denklemde gazın adı geçmez

P · V = n · R · T içinde gazın türüne bağlı bir nicelik yoktur. Basıncı, hacmi ve sıcaklığı eşit iki kaptan birinde hidrojen, ötekinde karbon dioksit bulunsa mol sayıları eşittir; gazın kimliği hesaba yalnız M üzerinden, kütle ya da yoğunluk sorulduğunda girer. Oysa bir CO₂ molekülü bir H₂ molekülünden yirmi kattan da ağırdır. Bu kadar farklı kütleler çepere nasıl aynı basıncı uygular? Sıradaki ders bu soruyu kinetik teoriyle yanıtlayacak: aynı sıcaklıkta her gazın tanecik başına ortalama kinetik enerjisi eşittir, ağır tanecik bu eşitliği daha yavaş hareket ederek sağlar. Hızla mol kütlesi arasındaki bu karekök bağıntısı Graham yasası adıyla bir hesap aracına dönüşecek; küçük bir delikten hangi gazın daha çabuk kaçtığı (efüzyon) ondan okunacak.

Örnek 1 — Üç birim birden

Soru: −23 °C'de, 1520 mmHg basınç altında 410 mL hacim kaplayan oksijen gazının kütlesi kaç gramdır? (O = 16 ve R = 0,082 L·atm/(mol·K) alınız.)

• A) m = 2,56 g
• B) m = 1,28 g
• C) m = 1280 g
• D) m = 0,59 g
• E) m = 972,8 g

Çözüm: Önce birimler denkleme uygun hâle getirilir: 1520 / 760 = 2 atm, 410 mL = 0,41 L, −23 + 273 = 250 K. Mol sayısı n = 2 · 0,41 / (0,082 · 250) = 0,82 / 20,5 = 0,04 mol'dür. O₂'nin mol kütlesi 32 g/mol olduğundan kütle 0,04 · 32 = 1,28 gramdır. C seçeneği mililitreyi litreye çevirmeyen, E seçeneği basıncı mmHg ile bırakan öğrencinin sonucudur. D seçeneği hacmi 22,4'e bölerek bulunur; koşullar normal olmadığı için geçersizdir. Cevap: B.

Örnek 2 — Tartılan gazın kimliği

Soru: Kütlesi 11 gram olan bir gaz örneği 273 °C'de ve 2 atm basınçta 5,6 L'lik bir hacmi dolduruyor. Bu gaz aşağıdakilerden hangisi olabilir? (S = 32, O = 16, N = 14, C = 12, H = 1 ve R = 22,4/273 alınız.)

• A) SO₂
• B) CH₄
• C) NO
• D) CO₂
• E) O₂

Çözüm: 273 °C, 546 K eder; bu sıcaklıkta R · T = (22,4/273) · 546 = 44,8 olur. Mol sayısı n = 2 · 5,6 / 44,8 = 0,25 mol'dür. Mol kütlesi 11 / 0,25 = 44 g/mol bulunur; seçeneklerde bu değere sahip tek gaz CO₂'dir. Sıcaklığı kelvine çevirmeyip 273 yazan öğrenci 0,5 mol ve 22 g/mol bulur; seçeneklerde böyle bir gaz yoktur ve bu, hesabın yeniden gözden geçirilmesi gerektiğinin işaretidir. Cevap: D.

Örnek 3 — Yoğunluk ve mol kütlesi

Soru: 27 °C'de ve 1,23 atm basınçta kükürt dioksit gazının yoğunluğu kaç g/L'dir? (O = 16, S = 32 ve R = 0,082 L·atm/(mol·K) alınız.)

• A) d = 3,2 g/L
• B) d = 0,8 g/L
• C) d = 35,6 g/L
• D) d = 2,86 g/L
• E) d = 1,6 g/L

Çözüm: SO₂'nin mol kütlesi 32 + 2 · 16 = 64 g/mol'dür. d = P · M / (R · T) = 1,23 · 64 / (0,082 · 300) = 78,72 / 24,6 = 3,2 g/L. B seçeneği aynı koşuldaki metanın yoğunluğudur; mol kütlesi dörtte biri olan gazın yoğunluğu da dörtte birdir. C seçeneği 27'yi kelvin sanmaktan, D seçeneği ise normal koşulların 64 / 22,4 değerini bu koşula taşımaktan gelir. Cevap: A.

Örnek 4 — Vanadan kaçan azot

Soru: Hacmi 8,2 L olan çelik bir kaptaki azot gazı 27 °C'de 9 atm basınç yapıyor. Kap 127 °C'ye ısıtılırken bir emniyet vanası basıncı 6 atm'de tutacak kadar gazı dışarı bırakıyor. Kaptan kaç gram azot kaçmıştır? (N = 14 ve R = 0,082 L·atm/(mol·K) alınız.)

• A) m = 28 g
• B) m = 84 g
• C) m = 14 g
• D) m = 21 g
• E) m = 42 g

Çözüm: Başlangıçta n = 9 · 8,2 / 24,6 = 3 mol vardır. Son durumda n = 6 · 8,2 / (0,082 · 400) = 49,2 / 32,8 = 1,5 mol kalır. Kaçan 1,5 mol N₂, 1,5 · 28 = 42 gramdır. Isınmayı görmezden gelip son durumu da 300 K ile hesaplayan öğrenci 2 mol kaldığını sanır ve 28 gram bulur. B seçeneği kaptaki azotun başlangıçtaki kütlesidir. Cevap: E.

• 22,4 L'yi her koşulda 1 mol saymak. Bu değer yalnız normal koşullara aittir; başka koşulda mol sayısı n = P · V / (R · T) ile bulunur.
• Sıcaklığı Celsius ile yazmak. Denklemdeki T kelvindir; 27 °C yerine 27 yazmak sonucu on kattan fazla saptırır, 0 °C ise paydayı sıfırlar.
• R = 0,082 ile mmHg ya da mL kullanmak. Bu sabit atm ve litre ister; 760'a ve 1000'e bölmeyi atlamak sonucu yüzlerce ya da bin kat büyütür.
• Sabit hacimli kapta basınç oranını mol oranı sanmak. Sıcaklık da değişiyorsa iki durum için mol sayısını ayrı ayrı hesaplamak gerekir.
• Yoğunluğu gaza özgü sabit bir sayı sanmak. Gaz yoğunluğu basınç ve sıcaklıkla değişir; d₁ / d₂ = M₁ / M₂ eşitliği yalnız aynı P ve T'de kurulabilir.