Gaz yasaları

Sarp'ın ödev kâğıdındaki soru kısaydı: 20 °C'de 2,93 L hacim kaplayan esnek bir balondaki gaz, basıncı değişmeden 40 °C'ye ısıtılıyor; balonun yeni hacmi nedir? Sarp sıcaklığın iki katına çıktığını gördü, hacmi de ikiyle çarptı ve 5,86 L yazdı. Cevap anahtarında 3,13 L vardı. Sarp önce bir basım hatası aradı; sonra kendi hesabındaki gizli varsayımı fark etti. 20 ile 40 arasındaki «iki kat», Celsius ölçeğinin sıfırı nereye koyduğuna bağlı bir rastlantıydı. Gazın gözünden bakıldığında sıcaklık 293 K'den 313 K'ye, yani yalnız yüzde yedi kadar artmıştı. Gaz yasaları hangi niceliğin hangisiyle, hangi ölçekte ve hangi koşulda orantılı olduğunu söyler; Sarp'ın sorusunun cevabı da oradadır.

• Boyle'un, Charles'ın, Gay-Lussac'ın ve Avogadro'nun yasalarında neyin sabit tutulduğunu ve hangi iki niceliğin nasıl orantılı olduğunu ayırt edersin.
• Birleşik gaz yasasıyla iki durum arasındaki basınç, hacim ya da sıcaklık sorularını kelvin kullanarak çözersin.
• V–T, P–T, P–V ve P–1/V grafiklerinin biçimini tanır, doğrunun eğiminin hangi niceliklerle değiştiğini yorumlarsın.
• Serbest pistonlu kap, sabitlenmiş piston ve esnek balon senaryolarında hangi niceliğin sabit kaldığını belirlersin.

Kontrollü bir deney gibi okumak

Önceki derste bir gazın tek bir andaki durumunu ölçtük: basıncı manometreden, sıcaklığı kelvinle, hacmi kaptan, miktarı molle. Bu derste o durum değişiyor ve soru, değişimin hangi kurala uyduğu. Laboratuvardaki her güvenilir ölçümde olduğu gibi bir gaz deneyinde de yalnız bir nicelik bilerek oynatılır, bir başkasının cevabı izlenir; geri kalan iki nicelik kilitli tutulur. Kilit açılırsa iki etki birbirine karışır ve hiçbir orantı okunamaz. Aşağıdaki yasaların her biri böyle bir kilitli deneyin sonucudur ve adını onu ölçen kişiden alır. Soru çözerken de iş aynı yerden başlar: önce düzenekte neyin değişemediği bulunur, sonra hangi yasanın konuştuğu.

Boyle yasası: sabit miktar, sabit sıcaklık

Ucu kapatılmış bir şırınganın pistonunu yavaşça itin. Kaptaki tanecik sayısı değişmez, sıcaklık da ortamla aynı kalır; değişen yalnız tanecikler için ayrılmış alandır. Hacim yarıya inerse birim hacme düşen tanecik iki katına çıkar ve çepere her saniye iki kat çarpışma düşer. Basınç da iki katına çıkar. 17. yüzyılda Robert Boyle hapsedilmiş bir hava örneğini cıvayla sıkıştırarak bu ters orantıyı ölçtü. Fizik derslerinden tanıdık gelecek bağıntı şudur:

P₁ · V₁ = P₂ · V₂ (n ve T sabit)

2 atm basınçta 6 L hacim kaplayan gaz, sıcaklığı korunarak 3 L'ye sıkıştırılırsa basıncı 2 · 6 / 3 = 4 atm olur. Çarpım her durumda 12 atm·L'dir.

Grafiklerde bu ters orantı üç biçimde görünür. P–V grafiği, eksenlere giderek yaklaşan ama hiçbirine değmeyen bir eğridir (hiperbol). Basınç 1/V'ye karşı çizilirse başlangıç noktasından geçen bir doğru elde edilir. P · V çarpımı basınca karşı çizilirse yatay bir doğru çıkar, çünkü çarpım değişmez. Aynı gaz daha yüksek sıcaklıkta incelenirse P–V eğrisi başlangıç noktasından uzaklaşır: aynı hacimde basınç daha büyüktür.

Charles yasası: sabit miktar, sabit basınç

Bu kez gazı serbestçe kayabilen bir pistonun altına koyup ısıtalım. Tanecikler hızlanır ve çepere daha sert çarpar; içerideki basınç bir an dışarıdakini aşar ve piston yükselir. Hacim büyüdükçe çarpışmalar seyrekleşir, içerideki basınç yeniden dış basınca eşitlenir ve piston yeni yerinde durur. Basınç sonuçta değişmemiş, hacim büyümüştür. Jacques Charles'ın adıyla anılan bu ilişki kelvin sıcaklığıyla doğru orantıdır:

V₁ / T₁ = V₂ / T₂ (n ve P sabit, T kelvin)

Sarp'ın balonunda T₁ = 293 K ve T₂ = 313 K'dir. Yeni hacim 2,93 · 313 / 293 = 3,13 L olur. 40'ı 20'ye bölen öğrenci, orantıyı Celsius değerleriyle kurmuş olur.

Hacim Celsius sıcaklığıyla da doğrusal değişir, ama orantılı değildir. Sabit basınçta hacmin t(°C)'ye karşı grafiği eğik bir doğrudur ve düşey ekseni 0 °C'deki hacimde keser; başlangıç noktasından geçmez. Sıcaklık her 1 °C arttığında hacim, 0 °C'deki değerinin 1/273'ü kadar büyür. Bu doğru kâğıt üzerinde geriye uzatılırsa −273 °C'de yatay ekseni keser; hacim orada sıfıra iner gibi görünür. Gerçek bir gaz o sıcaklığa varmadan sıvılaşır, dolayısıyla uzatma bir ölçüm değil, bir ipucudur: gazların ortak sıfır noktası mutlak sıfırdır. Kelvin ölçeği sıfırını tam oraya koyduğu için V–T(K) grafiği başlangıç noktasından geçen bir doğru olur.

Gay-Lussac yasası: sabit miktar, sabit hacim

Pistonu vidayla sabitleyelim ya da gazı çelik bir tüpe koyalım. Isınan tanecikler yine hızlanır, ama kap genişleyemez; çarpışmalar hem sıklaşır hem sertleşir ve basınç artar. Joseph Louis Gay-Lussac'ın adıyla anılan ilişki:

P₁ / T₁ = P₂ / T₂ (n ve V sabit, T kelvin)

27 °C'de 3 atm basınçtaki bir tüp 127 °C'ye ısınırsa basınç 3 · 400 / 300 = 4 atm olur. Uzun bir yolculuktan sonra araç lastiğinin basıncının yükselmesi ve sprey kutularının ısıdan uzak tutulması bu yasanın gündelik yüzüdür. Grafik dili Charles yasasınınkiyle aynıdır: P–T(K) başlangıç noktasından geçen doğru, P–t(°C) ise −273 °C'ye uzanan eğik doğrudur.

Avogadro yasası: sabit basınç, sabit sıcaklık

«Mol kavramı» dersinde aynı sıcaklık ve basınçta eşit hacimli gazların eşit sayıda tanecik içerdiğini ve normal koşullarda 1 mol gazın 22,4 L kapladığını gördük. Amedeo Avogadro'nun 19. yüzyılın başında ortaya koyduğu bu fikir, bir yasa olarak şöyle yazılır:

V₁ / n₁ = V₂ / n₂ (P ve T sabit)

Esnek bir balonda 2 mol gaz 48 L kaplıyorsa aynı koşullarda 0,5 mol daha eklenince toplam 2,5 mol 60 L kaplar. Yasa gazın cinsine bakmaz; hidrojen de karbon dioksit de mol başına aynı hacmi ister. Bunun bir sonucu tepkimelerde görülür: aynı sıcaklık ve basınçta ölçülen gaz hacimlerinin oranı, denklem katsayılarının oranıdır. N₂ + 3 H₂ → 2 NH₃ tepkimesinde 3 L hidrojen, 1 L azotla birleşip 2 L amonyak verir. Kap sabit hacimliyse aynı fikir basınca taşınır: sabit V ve T'de basınç mol sayısıyla doğru orantılıdır; bir tüpe gaz eklemek basıncını artırır.

Birleşik gaz yasası

Gerçek sorularda iki nicelik birden değişir: balon yükselirken hem dış basınç hem sıcaklık düşer. Yukarıdaki üç ilişki, miktarı sabit bir gaz için bir eşitlikte toplanır:

P₁ · V₁ / T₁ = P₂ · V₂ / T₂ (n sabit)

Sıcaklık sabitse T'ler sadeleşir ve Boyle yasası kalır; basınç sabitse Charles, hacim sabitse Gay-Lussac yasası. Eşitliği kullanırken izlenecek sıra kısadır. Önce bütün sıcaklıklar kelvine çevrilir. Sonra basınç birimlerinin iki tarafta aynı olduğuna bakılır; atm ile mmHg karışmışsa biri ötekine çevrilir. En son değişmeyen nicelik sadeleştirilir ve bilinmeyen yalnız bırakılır.

Örneğin 27 °C'de, 1 atm basınçta 6 L kaplayan gaz 2 atm ve 127 °C'ye getirilirse V₂ = 1 · 6 · 400 / (300 · 2) = 4 L bulunur. Basınç hacmi yarıya indirmeye, ısınma ise 4/3 katına çıkarmaya çalışmış; sonuç iki etkinin çarpımıdır. Miktar da değişiyorsa her iki tarafın paydasına mol sayısı eklenir: P₁ · V₁ / (n₁ · T₁) = P₂ · V₂ / (n₂ · T₂).

Grafikleri okumak

Bir gaz grafiğini okurken önce eksenlere, sonra sabit tutulan niceliklere bakılır. Doğrunun eğimi, sabit tutulan niceliklerin değerine bağlıdır:

Eğimin yönünü ezberlemek gerekmez; grafikte bir sıcaklık seçip iki durumu o sıcaklıkta karşılaştırmak yeter. V–T grafiğinde basınç büyükse gaz aynı sıcaklıkta daha küçük bir hacme sıkışır, yani doğru her noktada daha aşağıdadır ve eğimi küçüktür. Aynı basınçta daha çok gaz varsa her sıcaklıkta hacim büyüktür ve doğru dikleşir. İki doğrunun eğimi oranlanırken yalnız sabit tutulan nicelikler karşılaştırılır.

Piston ve balon senaryoları

Sorularda hangi niceliğin sabit olduğu çoğu zaman düzenekten okunur, cümlede yazmaz.

• Sürtünmesiz, serbest piston. İçerideki gazın basıncı dış basınç ile pistonun ağırlığının uyguladığı basıncın toplamına eşittir ve değişmez. Isıtma ya da gaz ekleme hacmi değiştirir: Charles ve Avogadro.
• Sabitlenmiş piston, çelik tüp, cam balon joje. Hacim sabittir. Isıtma ya da gaz ekleme basıncı değiştirir: Gay-Lussac ve sabit hacimde P ile n orantısı.
• Esnek balon. Balonun içi yaklaşık dış basınçtadır. Balon yükselip dış basınç ve sıcaklık birlikte düşerse birleşik yasa kullanılır.
• Pistonu yavaşça itmek. Gaz ortamla ısı alışverişi yaptığı için sıcaklık sabit sayılır: Boyle.

Bazı sorular iki aşamalıdır: önce piston serbestken gaz ısıtılır, sonra piston sabitlenip gaz soğutulur. Her aşama kendi sabitiyle ayrı ayrı çözülür; bir aşamanın sonu ötekinin başlangıcıdır.

Oranın kendisi

Birleşik yasada P · V / (n · T) oranını hep iki durum arasında kullandık ve sadeleştirip attık. Oysa Avogadro yasası bu oranın gazın cinsine bağlı olmadığını söylüyor. Öyleyse bu oranın bütün gazlar için ortak bir değeri olmalı. O değer bilinirse ikinci bir duruma gerek kalmaz: yalnız bir ölçümden bir gazın mol sayısı, tartılmış bir örneğin mol kütlesi ya da gazın yoğunluğu bulunabilir. Normal koşullar için ezberlenen 22,4 L'nin de bu ortak değerin yalnızca bir görünüşü olduğu ortaya çıkar. Sabitin adını, sayısını ve birimlerini «İdeal gaz denklemi» dersi koyuyor.

Örnek 1 — Şırınga sıkıştırılıyor

Soru: Ucu kapalı bir şırıngada 2 atm basınçta 3 L hacim kaplayan gaz, sıcaklığı değişmeden 1,2 L'ye sıkıştırılıyor. Gazın son basıncı nedir?

• A) P₂ = 0,8 atm
• B) P₂ = 3,2 atm
• C) P₂ = 2 atm
• D) P₂ = 5 atm
• E) P₂ = 7,2 atm

Çözüm: Miktar ve sıcaklık sabit olduğu için Boyle yasası geçerlidir: 2 · 3 = P₂ · 1,2, buradan P₂ = 6 / 1,2 = 5 atm. Hacim 2,5 kat küçülmüş, basınç 2,5 kat büyümüştür. A seçeneği basınçla hacmi doğru orantılı sanan öğrencinin bulduğu 2 · 1,2 / 3 değeridir. Cevap: D.

Örnek 2 — Celsius ile kurulan orantı

Soru: Serbest pistonlu bir kapta 27 °C'de 10 L hacim kaplayan gaz, basıncı değişmeden 177 °C'ye ısıtılıyor. Gazın son hacmi nedir?

• A) V₂ ≈ 65,6 L
• B) V₂ = 15 L
• C) V₂ ≈ 6,7 L
• D) V₂ = 25 L
• E) V₂ = 10 L

Çözüm: Sıcaklıklar kelvine çevrilir: 27 + 273 = 300 K ve 177 + 273 = 450 K. Charles yasasına göre V₂ = 10 · 450 / 300 = 15 L. 177'yi 27'ye bölen öğrenci A seçeneğine varır; C seçeneğinde ise sıcaklık oranı ters çevrilmiştir. Cevap: B.

Örnek 3 — Yükselen balon

Soru: Yerde 1 atm basınç ve 27 °C sıcaklıkta 12 L hacmi olan esnek bir balon, dış basıncın 0,5 atm ve sıcaklığın −23 °C olduğu bir yüksekliğe çıkıyor. Balondan gaz kaçmadığına göre son hacmi nedir?

• A) V₂ = 24 L
• B) V₂ = 10 L
• C) V₂ = 28,8 L
• D) V₂ = 12 L
• E) V₂ = 20 L

Çözüm: T₁ = 300 K, T₂ = 250 K. Birleşik yasadan V₂ = 1 · 12 · 250 / (300 · 0,5) = 20 L. Basıncın yarıya inmesi hacmi iki katına çıkarmaya, soğuma ise 250/300 oranında küçültmeye çalışır. Yalnız basıncı hesaba katan öğrenci 24 L'de, yalnız sıcaklığı hesaba katan 10 L'de kalır; sıcaklık oranını ters çeviren 28,8 L bulur. Cevap: E.

Örnek 4 — İki doğru, bir gaz

Soru: Aynı gazın eşit mol sayılarıyla iki ayrı deneyde sabit basınçta çizilen V–T(K) grafiklerinin ikisi de başlangıç noktasından geçen birer doğrudur. Birinci deneyin doğrusunun eğimi, ikincininkinin üç katıdır. Deneylerdeki basınçlar için hangisi doğrudur?

• A) Birinci deneyin basıncı, ikincininkinin üçte biridir.
• B) Birinci deneyin basıncı, ikincininkinin üç katıdır.
• C) İki basınç eşittir; eğim farkı sıcaklıktan gelir.
• D) Birinci deneyin basıncı, ikincininkinin dokuz katıdır.
• E) Eğimden basınç hakkında bir şey söylenemez.

Çözüm: V–T doğrusunun eğimi V/T oranıdır. Mol sayısı eşit olduğuna göre bu oranı yalnız basınç değiştirir ve basınçla ters orantılıdır: düşük basınçta gaz her sıcaklıkta daha büyük hacim kaplar. Eğimi üç kat olan deneyde basınç üçte birdir. C seçeneği, sıcaklığın bir eksen olduğunu, doğru boyunca zaten değiştiğini gözden kaçırır. Cevap: A.

• Celsius değerleriyle orantı kurmak. 20 °C'den 40 °C'ye ısıtılan gazın hacmi iki katına değil, 313/293 katına çıkar. Charles, Gay-Lussac ve birleşik yasada sıcaklık her zaman kelvindir.
• Boyle yasasını doğru orantı gibi kullanmak. Sabit sıcaklıkta hacim küçülürse basınç büyür; P ile V'nin çarpımı sabittir, oranı değil.
• Hangi niceliğin sabit olduğunu düzenekten okumamak. Serbest piston basıncı, sabitlenmiş piston ve çelik tüp hacmi sabit tutar; soru bunu ayrıca yazmayabilir.
• V–t(°C) grafiğini başlangıçtan geçen doğru sanmak. Celsius ekseninde doğru −273 °C'de sıfıra iner, 0 °C'de değil; başlangıçtan geçen doğru yalnız kelvin ekseninde elde edilir.
• Isınan gazın basıncının her düzenekte arttığını sanmak. Serbest pistonlu kapta ısınma hacmi büyütür; basınç dış basınçta kalır. Basınç ancak hacim kilitliyse yükselir.
• Gaz kaçan ya da eklenen soruda mol sayısını unutmak. Miktar değişiyorsa birleşik yasanın iki tarafına n eklenir; yarısı kaçan gazda basınç, ısınmanın etkisiyle birlikte yarıya da iner.