Grafik okuma: eğim ve alan

Bir aracın hız göstergesi on saniye boyunca kaydediliyor ve kayıt bir grafiğe dökülüyor: yatay eksende saniyeler, dikey eksende hız. Grafik bir doğru parçası gibi yükseliyor, sonra düz gidiyor. Bu tek çizgiden iki farklı soru cevaplanabilir. Araç ne kadar hızlı hızlandı? Bunu çizginin dikliği söyler. Araç bu sürede ne kadar yol aldı? Bunu çizginin altında kalan bölgenin alanı söyler. Aynı grafiğe iki farklı bakış, iki farklı fiziksel büyüklük verir. Fizik sorularının önemli bir kısmı grafiklerle sorulur ve bu soruları çözmenin anahtarı iki sorudur: eğim neyi gösteriyor, alan neyi gösteriyor? Matematik akademisinde eğimi bir değişim hızı olarak, yol-zaman grafiğinde eğimin hızı verdiğini görmüştük. Bu oryantasyon ünitesinin son konu dersinde bu fikri genelleştiriyor; eğimin ve alanın anlamını birimlerden çıkarmayı, eksenin altında kalan alanı yorumlamayı ve en sık kullanılan grafik türlerini okumayı öğreniyoruz.

• Bir grafiğin eğiminin ve altındaki alanın hangi büyüklüğü verdiğini eksen birimlerinden çıkarırsın.
• Konum-zaman grafiğinden hızı, hız-zaman grafiğinden ivmeyi ve yer değiştirmeyi bulursun.
• Eksenin altında kalan alanı negatif alarak yer değiştirme ile alınan yolu ayırırsın.
• Kütle-hacim ve kuvvet-yol grafiklerinden özkütleyi ve yapılan işi hesaplarsın.

Eğim: bölüm

Bir grafikte iki nokta arasındaki eğim, dikey eksendeki değişimin yatay eksendeki değişime bölümüdür. Bu bölüm hangi büyüklüğü verir? Cevap birimlerdedir. Eğimin birimini bulmak için dikey eksendeki birim, yataydaki birime bölünür. Konum-zaman grafiğinde dikey eksen metre, yatay eksen saniyedir; eğimin birimi m/s olur, yani eğim hızdır. Hız-zaman grafiğinde eğimin birimi (m/s)/s = m/s² olur; eğim ivmedir. Kütle-hacim grafiğinde eğimin birimi g/cm³ ya da kg/m³'tür; eğim özkütledir.

Bu kural, hiç görmediğin bir grafiğin eğiminin ne anlama geldiğini de söyler. Önceki derste türetilmiş birimleri tanımlardan kurmuştuk; burada aynı yolu tersinden kullanıyoruz: birimden büyüklüğe.

Eğimin dili

Grafik bir doğruysa eğim her yerde aynıdır ve gösterdiği büyüklük sabittir. Konum-zaman grafiği eğik bir doğruysa cisim sabit hızla gider; yatay bir doğruysa konumu değişmiyordur, yani cisim durmaktadır. Hız-zaman grafiği yatay bir doğruysa hız sabittir ve ivme sıfırdır; eğik bir doğruysa hız düzgün biçimde değişir ve ivme sabittir. Eğim pozitifse dikey eksendeki büyüklük artar, negatifse azalır. İki cismin konum-zaman grafikleri aynı eksenlerde çiziliyse daha dik olan, daha hızlı olandır.

Alan: çarpım

Grafiğin altında, yatay eksene kadar kalan bölgenin alanı, iki eksendeki büyüklüklerin çarpımına karşılık gelir. Alanın birimi, dikey eksen birimi ile yatay eksen biriminin çarpımıdır. Hız-zaman grafiğinde alanın birimi (m/s) · s = m olur; alan yer değiştirmedir. İvme-zaman grafiğinde alanın birimi (m/s²) · s = m/s olur; alan hızdaki değişimdir. Kuvvet-yol grafiğinde alanın birimi N · m = J olur; alan yapılan iştir.

Alan geometrideki şekillerle hesaplanır. Yatay bir doğrunun altı dikdörtgendir; sıfırdan başlayıp düzgün artan bir doğrunun altı üçgendir; bir değerden başka bir değere düzgün değişen bir doğrunun altı yamuktur. Karmaşık bir grafik bu şekillere bölünür ve alanlar toplanır. Kareli kâğıt üzerinde çizilmiş bir grafikte her karenin hangi değere karşılık geldiği bulunup kareler sayılarak da alan hesaplanabilir.

Eksenin altındaki alan

Hız-zaman grafiğinde hız negatif olabilir; bu, cismin seçilen pozitif yönün tersine gittiği anlamına gelir. Grafiğin yatay eksenin altında kalan kısmının alanı negatif alınır ve ters yöndeki yer değiştirmeyi gösterir. Bu yüzden toplam yer değiştirme, eksenin üstündeki alanlardan altındaki alanların çıkarılmasıyla bulunur. Alınan yol ise yönden bağımsızdır; bütün alanların mutlak değerleri toplanır. Önceki derste yol ile yer değiştirmenin farkını görmüştük; hız-zaman grafiği bu farkı doğrudan gösterir.

Grafikler arasında geçiş

Bir hareket farklı grafiklerle anlatılabilir ve bu grafikler birbirine eğim ve alan üzerinden bağlıdır. Konum-zaman grafiğinin eğimi hız-zaman grafiğini, hız-zaman grafiğinin eğimi ivme-zaman grafiğini verir. Tersine, ivme-zaman grafiğinin alanı hızdaki değişimi, hız-zaman grafiğinin alanı konumdaki değişimi verir. Bir grafikten ötekine geçerken önce eğimin ya da alanın hangi aralıkta sabit kaldığına bakmak işi kolaylaştırır.

Görünen diklik yanıltabilir

İki grafik farklı ölçeklerle çizilmişse, daha dik görünen çizgi daha büyük eğime sahip olmayabilir. Eğim, çizginin kâğıttaki açısından değil, eksenlerde okunan değerlerden hesaplanır. Aynı eksenlerde ve aynı ölçekle çizilmiş grafiklerde diklik karşılaştırılabilir; ölçekler farklıysa sayılar okunup bölünür. Bu uyarı, sınavda iki ayrı grafiğin yan yana verildiği sorularda özellikle önemlidir.

Grafikten ortalama hız

Hız-zaman grafiğinde bir zaman aralığındaki ortalama hız, o aralıktaki toplam yer değiştirmenin süreye bölünmesiyle bulunur. Yer değiştirme alandan okunduğu için ortalama hız, alanın süreye bölümüdür. Örneğin 4 saniyelik bir aralıkta grafiğin altındaki alan 36 metreyse, bu aralıktaki ortalama hız 9 m/s'dir; hızın aralık içinde nasıl değiştiği bu sonucu etkilemez. Konum-zaman grafiğinde ise ortalama hız, aralığın başındaki ve sonundaki noktaları birleştiren doğrunun eğimidir; aradaki inişler ve çıkışlar bu değeri etkilemez.

Eğri grafikler

Grafik bir doğru değil de bir eğriyse, eğim noktadan noktaya değişir. Bir noktadaki eğim, o noktada eğriye çizilen teğet doğrunun eğimidir ve o andaki değeri verir; konum-zaman grafiğinde bu, anlık hızdır. TYT sorularının çoğu doğru parçalarından oluşan grafiklerle kurulur, ama eğrinin dikleştiği yerde büyüklüğün arttığını, yataylaştığı yerde azaldığını okumak bu sorularda da işe yarar.

Okumada dikkat edilecekler

Grafik sorularında ilk iş eksenleri okumaktır: hangi büyüklük, hangi birimle, hangi ölçekle? Aynı biçimdeki iki çizgi, eksenleri farklıysa bambaşka hareketleri anlatır: konum-zaman grafiğinde yatay bir doğru durmayı, hız-zaman grafiğinde yatay bir doğru sabit hızla gitmeyi gösterir. Eksen birimlerinde bir önek ya da farklı bir birim varsa, örneğin dakika ya da kilometre, sonuç gerekiyorsa SI'ya çevrilir. Grafik kesitlere bölünüyorsa her kesitin eğimi ve alanı ayrı ayrı hesaplanır.

Kütle-hacim grafiği

Aynı maddeden yapılmış cisimlerin kütle-hacim grafiği başlangıç noktasından geçen bir doğrudur; eğimi maddenin özkütlesidir. Farklı maddelerin doğruları aynı eksenlerde çizildiğinde daha dik olan doğru, daha yoğun maddeye aittir. Bu grafiğin altındaki alanın ise anlamlı bir fiziksel karşılığı yoktur; her grafikte hem eğimin hem alanın bir anlam taşıması gerekmez. Bu yüzden birim denetimi yalnızca anlamı bulmaya değil, anlamsız bir hesabı fark etmeye de yarar.

Örnek 1 — Konum-zaman eğimi

Soru: Doğrusal yolda giden bir cismin konum-zaman grafiği bir doğrudur: 2. saniyede 3 m, 6. saniyede 27 m konumundadır. Cismin hızı kaç m/s'dir?

• A) 4,5
• B) 24
• C) 6
• D) 13
• E) 4

Çözüm: Eğim (27 − 3)/(6 − 2) = 24/4 = 6 m/s. Cevap: C.

Örnek 2 — Hız-zaman alanı

Soru: Duruştan harekete geçen bir cismin hızı 6 saniyede düzgün biçimde 10 m/s'ye çıkıyor. Bu sürede yer değiştirmesi kaç metredir?

• A) 30
• B) 120
• C) 16
• D) 3/5
• E) 45

Çözüm: Hız-zaman grafiğinin altı bir üçgendir: (1/2) · 6 · 10 = 30 m. Cevap: A.

Örnek 3 — Eksenin altındaki alan

Soru: Bir cismin hızı 0–4 s arasında +5 m/s, 4–6 s arasında −5 m/s'dir. 0–6 s arasındaki yer değiştirmesi kaç metredir?

• A) 30
• B) 0
• C) 20
• D) 25
• E) 10

Çözüm: Üstteki alan 20 m, alttaki alan 10 m'dir; yer değiştirme 20 − 10 = 10 m. Cevap: E.

Örnek 4 — Eğimin anlamı

Soru: Dikey ekseni kütle, yatay ekseni hacim olan bir grafikte doğrunun eğimi hangi büyüklüğü verir?

• A) Ağırlık
• B) Özkütle
• C) Basınç
• D) Hacim değişimi
• E) Kuvvet

Çözüm: Eğimin birimi kütle bölü hacimdir; bu özkütlenin birimidir. Cevap: B.

• Eğim ile alanı karıştırmak. Eğim bölümdür, alan çarpımdır; birimler hangisinin ne olduğunu söyler.
• Konum-zaman ile hız-zaman grafiğini karıştırmak. Yatay doğru birinde durmayı, ötekinde sabit hızı gösterir.
• Eksenin altındaki alanı pozitif saymak. Yer değiştirmede bu alan çıkarılır; yolda mutlak değeri eklenir.
• Birimleri çevirmeden hesaplamak. Eksende dakika ya da kilometre varsa SI'ya geçilir.
• Her grafikte alanın anlamlı olduğunu sanmak. Kütle-hacim grafiğinin alanının fiziksel bir karşılığı yoktur.