Vektör sezgisi

İki kişi bir dolabı aynı yöne itiyor; biri 300 newtonluk, öteki 200 newtonluk kuvvet uyguluyor. Dolaba etki eden toplam kuvvet 500 newtondur. Şimdi aynı iki kişi dolabı karşı yönlerden itsin: toplam kuvvet artık 100 newtondur ve dolap güçlü olanın ittiği yöne kayar. Bir de birinin doğuya, ötekinin kuzeye ittiğini düşünelim: dolap ne doğuya ne kuzeye, ikisinin arasında bir yöne gider ve toplam kuvvet 500 de 100 de değildir. Aynı iki sayı, yönleri değiştikçe farklı sonuçlar verir. Kuvvet gibi büyüklükler yalnızca "ne kadar" ile değil, "hangi yöne" ile de anlatılır; bunlara vektörel büyüklük denir. Önceki derslerde formülleri ve birimleri gördük. Bu derste vektörleri sezgi düzeyinde tanıyoruz: oklarla göstermeyi, aynı ve zıt yönlü vektörleri toplamayı, dik vektörlerde Pisagor bağıntısını, bileşkenin hangi aralıkta kalacağını ve bir vektörü bileşenlerine ayırmayı öğreniyoruz.

• Vektörel büyüklüğü skaler büyüklükten ayırır, vektörü okla gösterirsin.
• Aynı yönlü, zıt yönlü ve dik iki vektörün bileşkesini bulursun.
• İki vektörün bileşkesinin alabileceği en küçük ve en büyük değeri yazarsın.
• Kareli düzlemde ve özel dik üçgenlerde vektörleri bileşenlerine ayırıp toplarsın.

Büyüklük ve yön

Kütle, zaman, sıcaklık ve enerji gibi büyüklükler yalnızca bir sayı ve birimle tam olarak anlatılır: 5 kilogram, 20 saniye. Bunlara skaler büyüklük denir. Kuvvet, hız, ivme ve yer değiştirme ise yönleri söylenmeden eksik kalır: "10 newtonluk kuvvet" dediğimizde nereye doğru ittiğini bilmeden etkisini bilemeyiz. Bunlara vektörel büyüklük denir.

Vektör bir okla gösterilir. Okun uzunluğu vektörün büyüklüğünü, ucunun gösterdiği yer yönünü verir. Aynı büyüklükte ve aynı yönde olan iki vektör, düzlemde nerede çizilmiş olursa olsun eşittir; bu sayede bir vektör yönü ve uzunluğu korunarak kaydırılabilir. Aynı büyüklükte fakat ters yönde olan vektör, ilk vektörün zıttıdır ve başına eksi işareti konarak yazılır.

Aynı ve zıt yönlü vektörler

Aynı doğrultuda ve aynı yönde iki vektör toplanırken büyüklükleri toplanır; bileşke de aynı yöndedir. Zıt yönlü iki vektör toplanırken büyüklükler çıkarılır ve bileşke, büyük olanın yönündedir. Kancadaki dolap bu iki durumu gösterir: aynı yönde itince 500, ters yönde itince 100 newton. Zıt yönlü ve eşit büyüklükte iki vektörün bileşkesi sıfırdır.

Yol ve yer değiştirme

Vektör ile skaler arasındaki farkın en çok sınandığı yer, yol ile yer değiştirme ayrımıdır. Bir koşucu 400 metrelik bir pistte tam bir tur atıp başladığı yere döndüğünde 400 metre yol almıştır; yol skalerdir ve hareketin uzunluğunu sayar. Ama yer değiştirmesi sıfırdır, çünkü yer değiştirme başlangıç noktasından son noktaya çizilen vektördür ve iki nokta aynıdır. Yer değiştirme her zaman alınan yoldan küçük ya da ona eşittir; eşitlik yalnızca düz bir doğru boyunca, geri dönmeden yapılan harekette sağlanır.

Tek doğru üzerinde işaret

Vektörlerin hepsi aynı doğru üzerindeyse yön, bir işaretle anlatılabilir. Doğrunun bir yönü pozitif seçilir, örneğin sağ ya da yukarı; öbür yön negatif olur. Böylece vektörler işaretli sayılar gibi toplanır: sağa 7 ile sola 3, +7 + (−3) = +4 eder ve sonuç sağa 4 birimdir. Bu yöntem, sonraki ünitelerde hareket ve kuvvet sorularında sürekli kullanılır; işaretin hangi yönü gösterdiğini her soruda baştan belirlemek hatayı önler.

Uç uca ekleme

Farklı doğrultulardaki vektörler uç uca eklenerek toplanır. Birinci vektör çizilir, ikinci vektör yönü ve uzunluğu korunarak birincinin ucuna taşınır; birinci vektörün başlangıcından ikincinin ucuna çizilen ok, bileşkedir. Daha çok vektör de aynı yolla ardı ardına eklenir. Eklenen vektörler kapalı bir çokgen oluşturup başladıkları noktaya dönüyorsa bileşke sıfırdır. Aynı sonuç iki vektörü aynı başlangıçtan çizip bir paralelkenara tamamlayarak da bulunur; bileşke, paralelkenarın ortak başlangıçtan çıkan köşegenidir.

Dik vektörler

İki vektör birbirine dikse uç uca eklendiğinde bir dik üçgen oluşur: vektörler dik kenarlar, bileşke hipotenüstür. Bu yüzden bileşkenin büyüklüğü Pisagor bağıntısıyla bulunur. Örneğin doğuya 20 ve kuzeye 21 birimlik iki vektörün bileşkesi √(400 + 441) = 29 birimdir; büyüklükleri toplamak 41 gibi yanlış bir sonuç verirdi. Matematik akademisinde öğrendiğin Pisagor üçlüleri burada da hesabı kısaltır.

Bileşkenin aralığı

İki vektörün arasındaki açı değiştikçe bileşkenin büyüklüğü de değişir. Vektörler aynı yöndeyse bileşke en büyük değerini, büyüklüklerin toplamını alır. Zıt yöndeyse en küçük değerini, büyüklüklerin farkını alır. Arada kalan her açı için bileşke bu iki değer arasında bir değerdir. Büyüklükleri a ve b olan iki vektör için

|a − b| ≤ bileşke ≤ a + b

yazılır. Bu aralık, seçenekler arasından olamayacak değerleri hesap yapmadan elemeye yarar. Açı büyüdükçe bileşke küçülür: dik açıdaki bileşke, aynı yön ile zıt yön arasındaki bir değerdir.

Eşit büyüklükteki iki vektör

Büyüklükleri eşit iki vektör paralelkenar kuralıyla toplandığında paralelkenar bir eşkenar dörtgen olur ve bileşke açıortay doğrultusundadır. Bazı açılar özel sonuç verir. Aralarındaki açı 120° ise eşkenar dörtgenin köşegeni bir kenarına eşit çıkar: bileşke, vektörlerden biriyle aynı büyüklüktedir. Açı 90° ise bileşke, büyüklüğün √2 katıdır. Açı 60° ise bileşke, büyüklüğün √3 katıdır. Bu sonuçlar geometrideki eşkenar üçgen ve özel dik üçgenlerden çıkar.

Bileşenlere ayırma

Bileşke bulmanın tersi de yapılabilir: bir vektör, toplamı kendisini veren iki dik vektöre ayrılabilir. Bunlara vektörün bileşenleri denir; çoğunlukla biri yatay, öteki düşey seçilir. Vektör hipotenüs, bileşenler dik kenarlardır. Vektörün yatayla yaptığı açı özel bir açıysa bileşenler geometrideki özel üçgenlerden okunur. 30-60-90 üçgeninde 30°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısı, 60°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün √3/2 katıdır; 45-45-90 üçgeninde iki dik kenar eşittir ve hipotenüsün √2/2 katıdır. Kenarları 3, 4 ve 5 ile orantılı bir dik üçgende ise bileşenler büyüklüğün 3/5 ve 4/5 katıdır.

Kareli düzlemde vektörler

Sınavda vektörler sıkça kareli bir düzlem üzerinde çizilir. Bu durumda her vektörün sağa-sola ve yukarı-aşağı kaç kare ilerlediği sayılır; bu iki sayı vektörün bileşenleridir. Vektörleri toplamak için yatay bileşenler kendi aralarında, düşey bileşenler kendi aralarında toplanır; sağa ve yukarı pozitif, sola ve aşağı negatif alınır. Bulunan bileşke bileşenlerden Pisagor bağıntısıyla büyüklüğe çevrilir. Bu yöntem, uç uca çizim yapmadan, yalnızca sayarak sonuca ulaştırır.

Örnek 1 — Zıt yönlü kuvvetler

Soru: Bir cisme doğuya doğru 8 N, batıya doğru 3 N büyüklüğünde iki kuvvet etki ediyor. Bileşke kuvvet hangisidir?

• A) 11 N, doğuya
• B) 5 N, batıya
• C) 5 N, doğuya
• D) 11 N, batıya
• E) 24 N, doğuya

Çözüm: Zıt yönlü kuvvetlerde büyüklükler çıkarılır; bileşke 8 − 3 = 5 N ve büyük kuvvetin yönünde, doğuya. Cevap: C.

Örnek 2 — Kareli düzlem

Soru: Kareli bir düzlemde birinci vektör 2 kare sağa ve 3 kare yukarı, ikinci vektör 1 kare sağa ve 3 kare aşağı uzanıyor. Bileşkenin büyüklüğü kaç birimdir?

• A) 3
• B) 7
• C) 2√3
• D) 9
• E) √13

Çözüm: Yatay bileşenler toplamı 2 + 1 = 3, düşey bileşenler toplamı 3 − 3 = 0'dır; bileşke 3 birimdir. Cevap: A.

Örnek 3 — Bileşenler

Soru: Büyüklüğü 10√2 N olan bir kuvvet yatayla 45°'lik açı yapıyor. Yatay bileşeni kaç newtondur?

• A) 5√2
• B) 20
• C) 10√2
• D) 5
• E) 10

Çözüm: 45-45-90 üçgeninde dik kenarlar hipotenüsün √2/2 katıdır: 10√2 · √2/2 = 10. Cevap: E.

Örnek 4 — Bileşkenin aralığı

Soru: Büyüklükleri 5 N ve 7 N olan iki kuvvetin bileşkesi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

• A) 1 N
• B) 9 N
• C) 13 N
• D) 15 N
• E) 0

Çözüm: Bileşke 7 − 5 = 2 ile 7 + 5 = 12 arasında olmalıdır; seçeneklerden yalnız 9 bu aralıktadır. Cevap: B.

• Vektörleri her durumda toplamak. Zıt yönlülerde büyüklükler çıkarılır.
• Dik vektörlerin büyüklüklerini toplamak. Dik vektörlerin bileşkesi Pisagor bağıntısıyla bulunur.
• Bileşkenin her iki vektörden büyük olacağını sanmak. Açı büyüdükçe bileşke küçülür; vektörlerden küçük de olabilir.
• Kareli düzlemde yön işaretini unutmak. Sola ve aşağı ilerleyen bileşenler negatif alınır.
• Bileşeni yanlış dik kenara yazmak. Açının karşısındaki kenar ile komşu kenar karıştırılmamalıdır.