Compton olayı ve de Broglie dalga boyu

Seda dişçide panoramik röntgen çektirdikten sonra bekleme salonunda AYT kitabını açıyor. Sayfada bir X ışını demetinin grafit bir bloğa gönderildiği, bloktan yana saçılan ışının dalga boyunun gelen ışınınkinden uzun ölçüldüğü yazıyor; kitap bunu, fotonun bir elektrona çarpıp onu yerinden fırlatmasıyla açıklıyor. Seda sayfanın kenarına itirazını not ediyor: «Çarpışmada korunan şey momentumdu, momentum da kütleyle hızın çarpımı. Fotonun kütlesi sıfır; ışık hızıyla da gitse sıfır çarpı hız yine sıfır eder. Momentumu olmayan bir şey bir elektronu nasıl itebilir?» Biraz sonra bir sonraki sayfada daha tuhaf bir cümleye rastlıyor: elektronların da bir dalga boyu varmış. Seda'nın itirazı nerede yanılıyor, kitabın iddiası neye dayanıyor?

• Fotonun momentumunu p = h / λ bağıntısıyla hesaplar, Compton saçılmasını enerji ve momentum korunumuna dayanan bir çarpışma olarak açıklarsın.
• Dalga boyu kaymasını saçılma açısına göre karşılaştırır, verilen h / (m · c) değeriyle saçılan fotonun dalga boyunu ve elektrona aktarılan enerjiyi bulursun.
• Bir taneciğin de Broglie dalga boyunu λ = h / (m · v) ile, gerilimle hızlandırılmış elektronunkini λ = h / √(2 · m · e · V) ile hesaplarsın.
• Elektron kırınımını, elektron mikroskobunun ilkesini ve gündelik cisimlerde dalga davranışının görülmemesini dalga boyunun büyüklüğüyle gerekçelendirirsin.

İki dersin araçlarını birleştirmek

«Fotoelektrik olay» dersinde ışığın enerjisini h · f büyüklüğündeki paketler hâlinde taşıdığını gördük. «Çarpışmalar ve patlamalar» dersinden de iki cisim çarpıştığında toplam momentumun korunduğunu, esnek çarpışmada kinetik enerjinin de korunduğunu biliyoruz. Bu derste önce bu iki aracı birleştirip fotonu bir elektrona bilardo topu gibi çarptıracağız; sonra aynı sabiti maddeye uygulayıp elektronun dalga boyunu hesaplayacağız. Hesaplarda, aksi söylenmedikçe, ışık hızı 3 · 10⁸ m/s, elektronun kütlesi 9 · 10⁻³¹ kg ve yükü 1,6 · 10⁻¹⁹ C, Planck sabiti de 6,6 · 10⁻³⁴ joule saniye alınacak.

Kütlesi olmayanın momentumu

Seda'nın itirazındaki p = m · v, kütlesi olan ve ışıktan çok yavaş giden cisimler için yazılmış bir bağıntıdır; foton bu tanıma girmez. Işığın momentum taşıdığı fotondan önce de biliniyordu: elektromanyetik dalga kuramı, ışığın çarptığı yüzeye bir basınç uyguladığını öngörür. Foton için momentum, enerjinin ışık hızına bölümüdür:

p = E / c = h · f / c = h / λ

Birim denetimi: J·s / m = kg·m²/s / m = kg·m/s, yani gerçekten momentum birimi. Dalga boyu 6,6 · 10⁻¹¹ m olan bir X ışını fotonunun momentumu 6,6 · 10⁻³⁴ / 6,6 · 10⁻¹¹ = 10⁻²³ kg·m/s'dir. 660 nm'lik kırmızı ışığın bir fotonu için aynı hesap 10⁻²⁷ kg·m/s verir. Dalga boyu kısaldıkça momentum büyür: bu X ışını fotonu, kırmızı ışık fotonunun on bin katı momentum taşır.

Compton'un gözlemi

1923'te Arthur Compton, tek dalga boylu bir X ışını demetini grafit bir bloğa gönderdi ve bloktan çeşitli açılarla saçılan ışınların dalga boyunu ölçtü. Saçılan ışında iki tepe buldu. Birinin dalga boyu gelen ışınınkiyle aynıydı; öbürününki daha uzundu ve saçılma açısı büyüdükçe bu fark da büyüyordu.

Dalga modeli ikinci tepeyi açıklayamaz. Elektromanyetik dalga bir elektrona ulaştığında onu kendi frekansıyla titreştirir. Titreşen elektron da çevresine aynı frekansta dalga yayar. Yani klasik beklentiye göre saçılan ışığın frekansı ve dalga boyu değişmemeliydi.

Saçılmayı çarpışma olarak okumak

Compton'un açıklaması fotonu bir tanecik saymaktır. Grafitteki dış elektronlar atomlarına gevşek bağlıdır; bağlanma enerjileri X ışını fotonunun enerjisinin yanında çok küçük kalır. Bu yüzden foton, durgun ve serbest bir elektrona çarpıyormuş gibi davranır. Çarpışmada elektron geri teper ve kinetik enerji kazanır; bu enerjinin kaynağı fotondur:

E_foton = E′_foton + E_k,elektron

Enerjisi azalan fotonun frekansı düşer, dalga boyu uzar, çünkü E = h · c / λ. Momentum da vektörel olarak korunur: gelen fotonun momentumu, saçılan fotonun momentumuyla elektronun momentumunun vektörel toplamına eşittir. İki korunum yasası birlikte çözülünce dalga boyundaki artış saçılma açısı θ'ya bağlı tek bir bağıntıya iner:

Δλ = λ′ − λ = (h / (m · c)) · (1 − cos θ)

Bağıntıdaki h / (m · c) çarpanı elektronun kütlesinden gelir ve değeri yaklaşık 2,4 · 10⁻¹² m'dir; buna Compton dalga boyu denir. Açıya göre kayma şöyle değişir:

θ = 0° demek, fotonun yolunu hiç değiştirmemesi, yani elektrona çarpmamış olması demektir; kayma da doğal olarak sıfırdır. θ = 180°'de foton geldiği yöne döner, elektron en büyük itmeyi alır ve en çok enerjiyi o kazanır. Bağıntının şaşırtıcı yanı, kaymanın gelen ışının dalga boyuna da hedefin cinsine de bağlı olmamasıdır; yalnız açıya bağlıdır. Değişmeyen tepe ise atomuna sıkıca bağlı iç elektronlardan gelir. O durumda foton bütün atomu iter; formüldeki m yerine binlerce kat büyük bir kütle girer ve kayma ölçülemeyecek kadar küçülür.

Sayıyla görelim. λ = 1,2 · 10⁻¹¹ m'lik foton 90° saçılırsa λ′ = 1,2 · 10⁻¹¹ + 0,24 · 10⁻¹¹ = 1,44 · 10⁻¹¹ m olur. Foton enerjisi dalga boyuyla ters orantılı olduğundan saçılan fotonun enerjisi gelenin 1,2 / 1,44 = 5/6'sıdır; kalan altıda bir elektrona geçer. Joule olarak gelen foton h · c / λ = 1,98 · 10⁻²⁵ / 1,2 · 10⁻¹¹ = 1,65 · 10⁻¹⁴ J taşır, saçılan foton 1,375 · 10⁻¹⁴ J, elektron 2,75 · 10⁻¹⁵ J. Aynı foton geri saçılsaydı λ′ = 1,68 · 10⁻¹¹ m olur, elektronun payı 2/7'ye çıkardı.

Deneyin neden X ışınıyla yapıldığı da buradan anlaşılır. Kayma en çok 4,8 · 10⁻¹² m'dir. 500 nm'lik görünür ışıkta 90°'deki kayma dalga boyunun yalnız 4,8 · 10⁻⁶'sı kadardır; aynı kayma 1,2 · 10⁻¹¹ m'lik X ışınında yüzde yirmilik bir değişme demektir.

Fotoelektrik olay ışığın enerjisini paketler hâlinde verdiğini göstermişti. Compton olayı bu paketlerin momentum da taşıdığını ve bir bilardo topu gibi çarpıştığını gösterdi. Işığın tanecik doğasının ikinci kanıtı budur.

de Broglie: soruyu tersine çevirmek

Dalga sanılan ışık tanecik gibi çarpışabiliyorsa tanecik sanılan elektron dalga gibi davranabilir mi? Louis de Broglie 1924'teki doktora tezinde bu simetriyi önerdi: fotonun momentumunu dalga boyuna bağlayan bağıntı her taneciğe uygulanabilir. Momentumu p olan bir taneciğe eşlik eden dalganın boyu

λ = h / p = h / (m · v)

olur ve bu büyüklüğe de Broglie dalga boyu denir. Kütle ya da hız büyüdükçe dalga boyu kısalır.

Gerilimle hızlandırılan elektron

Elektrik ünitesinde, iki levha arasında hızlanan yükleri incelerken durgun bir elektronun V potansiyel farkından geçince e · V kadar kinetik enerji kazandığını gördük. Kinetik enerjiyi momentumla yazarsak ½ · m · v² = p² / (2 · m), dolayısıyla p = √(2 · m · e · V) ve

λ = h / √(2 · m · e · V)

125 V ile hızlandırılan bir elektron için 2 · m · e · V = 3,6 · 10⁻⁴⁷ ve p = 6 · 10⁻²⁴ kg·m/s olur; dalga boyu 6,6 · 10⁻³⁴ / 6 · 10⁻²⁴ = 1,1 · 10⁻¹⁰ m çıkar. Bu, kristallerde komşu atomlar arasındaki uzaklıkla aynı mertebededir. Dalga boyu gerilimin kareköküyle ters orantılıdır: gerilim 500 V'a çıkarılırsa dalga boyu yarıya, 5,5 · 10⁻¹¹ m'ye iner. Bu hesapta elektronun hızı yaklaşık 6,7 · 10⁶ m/s, yani ışık hızının yüzde ikisi kadardır; ½ · m · v² bağıntısını rahatça kullanabiliriz.

Elektron kırınımı

«Tek yarıkta kırınım» dersinde kırınımın, aralık dalga boyuyla karşılaştırılabilir olduğunda belirginleştiğini gördük. 10⁻¹⁰ m'lik bir dalga için böyle bir aralığı elle açmak mümkün değildir, ama doğa onu hazır sunar: kristaldeki düzenli atom sıraları bir kırınım ağı gibi davranır. Davisson ile Germer 1927'de bir nikel kristaline elektron demeti gönderdi ve kristalden yansıyan elektronların her yöne eşit dağılmadığını, belirli doğrultularda yoğunlaştığını gördü. Bu, «Işıkta çift yarık deneyi» dersindeki aydınlık saçakların elektron karşılığıdır. Desenden hesaplanan dalga boyu, h / p'nin verdiği değerle uyuştu. Elektronun dalga davranışı böylece deneyle doğrulandı.

Top neden kırınım yapmaz?

de Broglie bağıntısı yalnız atom altı taneciklere ayrılmış değildir; her cisme uygulanır. Kütlesi 0,5 kg kabul edilen bir top 20 m/s ile gidiyorsa momentumu 10 kg·m/s, dalga boyu 6,6 · 10⁻³⁵ m'dir. Bu uzunluk, 10⁻¹⁵ m mertebesindeki bir atom çekirdeğinden bile 10¹⁹ kattan fazla küçüktür. Top 1 m genişliğindeki bir kapı aralığından geçerken aralığın dalga boyuna oranı 10³⁴'ün üzerindedir; kırınımla yanlara yayılma hiçbir aletle ölçülemeyecek kadar küçük kalır. Topun dalga özelliği vardır, ama görünmez; gündelik cisimlerde klasik mekaniğin yeterli olmasının nedeni budur.

Elektron mikroskobu

Bir ışık mikroskobu, kırınım yüzünden dalga boyu mertebesinden çok küçük ayrıntıları ayırt edemez: ışık küçük bir ayrıntının kenarından geçerken yanlara yayılır ve iki yakın nokta tek bir lekede birleşir. Gözümüzün gördüğü ışık 400–700 nm aralığında kalır. Kilovoltlarla hızlandırılmış bir elektronun dalga boyu ise bunun on binlerce kat altına iner. Elektron mikroskobu bu kısa dalga boyunu kullanır: elektronlar yüklü olduğu için elektrik ve manyetik alanlar mercek gibi davranıp demeti odaklar, görüntü bir ekranda ya da algılayıcıda oluşur. Dalga boyu kısaldıkça kırınım bulanıklığı azalır ve çok daha ince ayrıntılar seçilir.

Dalga-parçacık ikiliği

Artık iki yönlü bir tablo elimizde. Işık, çift yarıkta ve tek yarıkta dalga gibi; fotoelektrik olayda ve Compton saçılmasında tanecik gibi davranır. Elektron, levhalar arasında tanecik gibi ivmelenir; kristalden geçerken dalga gibi kırınım yapar. Hangi yönün görüneceğini deney belirler; iki tablo birbirini çürütmez, aynı nesnenin iki yüzüdür. İki yüzü birbirine bağlayan da aynı sabittir: E = h · f ve p = h / λ.

Bu dersin bütün hesaplarında elektronu ışığa göre yavaş saydık. Gerilim yüz bin volt mertebesine çıktığında elektronun kazandığı enerji m · c² değerinin beşte biri kadar olur ve ½ · m · v² hızı belirgin biçimde yanlış verir. «Özel görelilik» dersi bu sınırın ötesine geçiyor: ışık hızının ölçen herkes için aynı çıkmasından yola çıkıp hızlı giden saatlerin yavaşladığını, boyların hareket doğrultusunda kısaldığını görecek, kinetik enerjiyi de durgun enerji m · c² üzerinden yeniden yazacağız.

Örnek 1 — X ışını fotonunun momentumu

Soru: Dalga boyu 3,3 · 10⁻¹¹ m olan bir X ışını fotonunun momentumu kaç kg·m/s'dir? (Işık hızını 3 · 10⁸ m/s, h'yi 6,6 · 10⁻³⁴ J·s alın.)

• A) p = 6 · 10⁻¹⁵
• B) p = 2 · 10⁻²³
• C) p = 0
• D) p = 6,7 · 10⁻³²
• E) p = 2,2 · 10⁻⁴⁴

Çözüm: Foton için p = h / λ = 6,6 · 10⁻³⁴ / 3,3 · 10⁻¹¹ = 2 · 10⁻²³ kg·m/s. A fotonun enerjisidir (h · c / λ, joule); momentumu bulmak için onu c'ye bölmek gerekirdi. D, h / λ'yı bir kez daha c'ye bölmekten, E ise h ile λ'yı çarpmaktan gelir. C, p = m · v'yi fotona uygulayan öğrencinin cevabıdır. Cevap: B.

Örnek 2 — 90° saçılan foton

Soru: Dalga boyu 1,2 · 10⁻¹¹ m olan bir foton durgun, serbest bir elektrondan 90° açıyla saçılıyor. h / (m · c) = 2,4 · 10⁻¹² m alınırsa saçılan fotonun dalga boyu ve elektrona aktarılan enerjinin gelen foton enerjisine oranı nedir?

• A) λ′ = 1,2 · 10⁻¹¹ m; elektrona enerji aktarılmaz
• B) λ′ = 0,96 · 10⁻¹¹ m; foton enerji kazanır
• C) λ′ = 1,68 · 10⁻¹¹ m; elektrona 2/7'si geçer
• D) λ′ = 1,44 · 10⁻¹¹ m; elektrona 1/6'sı geçer
• E) λ′ = 1,44 · 10⁻¹¹ m; elektrona 1/5'i geçer

Çözüm: cos 90° = 0 olduğundan Δλ = 2,4 · 10⁻¹² m ve λ′ = 1,44 · 10⁻¹¹ m. Foton enerjisi dalga boyuyla ters orantılıdır: E′ / E = 1,2 / 1,44 = 5/6, elektronun payı 1 − 5/6 = 1/6. E, enerji farkını saçılan fotonun enerjisine bölen öğrencinin sonucudur. C 180°'ye, B kaymayı çıkarmaya aittir. Cevap: D.

Örnek 3 — 125 V ile hızlandırılan elektron

Soru: Durgun bir elektron 125 V potansiyel farkıyla hızlandırılıyor. h = 6,6 · 10⁻³⁴ J·s, elektronun yükü 1,6 · 10⁻¹⁹ C ve kütlesi 9 · 10⁻³¹ kg, ışık hızı 3 · 10⁸ m/s iken elektronun de Broglie dalga boyu kaç metredir?

• A) λ = 1,1 · 10⁻¹⁰ m
• B) λ = 1,56 · 10⁻¹⁰ m
• C) λ = 4,4 · 10⁻²⁰ m
• D) λ = 1,8 · 10¹³ m
• E) λ = 9,9 · 10⁻⁹ m

Çözüm: Kinetik enerji e · V = 2 · 10⁻¹⁷ J. Momentum p = √(2 · m · e · V) = √(3,6 · 10⁻⁴⁷) = 6 · 10⁻²⁴ kg·m/s, dalga boyu λ = h / p = 1,1 · 10⁻¹⁰ m. B, kinetik enerjiyi ½ · m · v² yerine m · v² yazıp 2 çarpanını kaybetmekten; C, gerilimi joule sanıp e'yi atlamaktan; D, karekökü unutmaktan gelir. E, elektrona fotonun E = h · c / λ bağıntısını uygulayan öğrencinin bulduğu değerdir; elektronun enerjisi p · c değil p² / (2 · m)'dir. Cevap: A.

Örnek 4 — Kapıdan geçen top

Soru: Kütlesi 0,5 kg olan bir top 20 m/s süratle 1 m genişliğindeki bir kapı aralığından geçiyor. h değerini 6,6 · 10⁻³⁴ J·s kabul ederek topun de Broglie dalga boyu ve kırınım için hangisi doğrudur?

• A) λ = 1,32 · 10⁻³³ m; kapıda belirgin kırınım görülür
• B) λ = 6,6 · 10⁻³⁵ m; bağıntı yalnız atom altı taneciklere uygulandığı için bu değer anlamsızdır
• C) λ = 1,5 · 10³⁴ m; kırınım çok güçlü olur
• D) λ = 6,6 · 10⁻³⁵ m; top aralıktan geçince yanlara yayılır
• E) λ = 6,6 · 10⁻³⁵ m; yanlara yayılma ölçülemeyecek kadar küçüktür

Çözüm: p = 0,5 · 20 = 10 kg·m/s, λ = 6,6 · 10⁻³⁵ m. Aralık bu dalga boyundan 10³⁴ kattan fazla geniştir; kırınım ancak aralık dalga boyu mertebesindeyken belirgin olur. Topun dalga boyu vardır, ama etkisi ölçülemez; B'deki «anlamsız» sözü bu yüzden yanlıştır. A hızı unutup h'yi yalnız kütleye bölmekten, C ise bağıntıyı ters çevirmekten gelir. Cevap: E.

• Fotonun momentumunu sıfır sanmak. p = m · v yalnız kütleli ve yavaş cisimler içindir; fotonun momentumu p = h / λ = E / c'dir ve kütlesi sıfır olsa da sıfır değildir.
• Compton kaymasını hedefe ya da gelen dalga boyuna bağlamak. Serbest elektrondan saçılmada kayma yalnız saçılma açısına bağlıdır; grafit yerine başka bir madde ya da başka bir X ışını kullanmak Δλ'yı değiştirmez.
• 90°'nin üstünde cos θ'nın işaretini kaçırmak. cos 120° = −0,5 olduğundan 1 − cos θ = 1,5'tir; işareti atlayan öğrenci kaymayı 0,5 Compton dalga boyu bulur.
• Aynı dalga boyunu aynı enerji sanmak. Dalga boyları eşit bir foton ile bir elektronun momentumları eşittir, ama fotonun enerjisi p · c, elektronunki p² / (2 · m)'dir; ikisi çok farklıdır.
• Gerilimi enerji yerine koymak. V volt, enerji e · V joule'dür; λ = h / √(2 · m · e · V) içindeki e atlanırsa sonuç anlamsız küçüklükte çıkar.
• Gündelik cisimlerin dalga boyu yok sanmak. Bağıntı her cisme uygulanır; topun dalga boyu vardır ama 10⁻³⁴ m mertebesinde olduğu için hiçbir aralıkta kırınımı gözlenemez.