Özel görelilik

Taylan, babasıyla havalimanının dış hatlar katında uzun yürüyen bandın üstünde ilerliyor. Yandaki zeminde yürüyenleri birer birer geride bırakınca «Bağıl hareket» dersindeki kuralı hatırlıyor: yere göre hızı, kendi adımlarının hızı ile bandın hızının toplamı. Telefonunun fenerini yakıp önüne tutuyor ve aklı uzay gemilerine kayıyor: «Bant yerine ışık hızının yüzde altmışıyla giden bir gemi düşünelim. Gemiden ileri yakılan fenerin ışığı, dışarıda bekleyen birine göre ışık hızının 1,6 katıyla gider. Kural aynı, yalnız sayılar büyük.» Babası, okulda bu toplamanın ışıkta tutmadığını öğrendiğini söylüyor. Taylan ikna olmuyor: hızlar bir bantta toplanıyorsa uzayda neden toplanmasın?

• Einstein'ın iki önermesini ifade eder, ışık için Galile hız toplamasının neden geçersiz kaldığını açıklarsın.
• Işık saatinden zaman genişlemesi bağıntısını çıkarır, öz zamanı ve öz uzunluğu doğru gözlemciye bağlayarak Δt = γ · Δt₀ ve L = L₀ / γ ile hesap yaparsın.
• Durgun enerjiyi E₀ = m · c² ile, göreli kinetik enerjiyi E_k = (γ − 1) · m · c² ile bulursun.
• Kararsız bir parçacığın ömrünü ve aldığı yolu iki ayrı gözlemcinin gözünden tutarlı biçimde yorumlarsın.

Yürüyen banttan ışığa

«Bağıl hareket ve nehir problemleri» dersinde hızları vektör olarak topladık: kıyıya göre hız, teknenin suya göre hızı ile akıntı hızının toplamıydı. Bu kurala Galile hız toplaması denir ve gündelik hızlarda ölçümle kusursuz uyuşur. Taylan'ın hesabı da bu kuralın doğrudan uygulamasıdır. Sorun, kuralın ışığa uygulandığında deneyle çatışmasıdır.

«Elektromanyetik dalgalar» dersinde ışığın bir elektromanyetik dalga olduğunu ve boşluktaki hızının c = 3 · 10⁸ m/s olduğunu gördük. On dokuzuncu yüzyılın fizikçileri ses gibi bu dalganın da bir ortamda yayıldığını varsaydı ve bu ortama esir adını verdi. Esir varsa, onun içinde hareket eden Dünya'daki bir gözlemci ışığın hızını yöne göre farklı ölçmeliydi: akıntıya karşı kürek çeken tekne gibi. Michelson ile Morley'nin hassas ışık deneyleri bu farkı aradı, ama esir rüzgârı bulunamadı. Işığın hızı, ölçen kim olursa olsun aynı çıkıyordu.

Einstein'ın iki önermesi

Albert Einstein 1905'te bu çelişkiyi esiri savunarak değil, kuralı değiştirerek çözdü. Kuramını iki önermeye dayandırdı:

1. Fizik yasaları bütün eylemsiz (ivmesiz) çerçevelerde aynıdır. Sabit hızla giden kapalı bir vagondaki hiçbir deney, vagonun hareket edip etmediğini söyleyemez.
2. Işığın boşluktaki hızı, kaynağın ve gözlemcinin hareketinden bağımsız olarak her eylemsiz gözlemci için c'dir.

İkinci önerme Taylan'ın sorusunu doğrudan yanıtlar. Gemideki astronot da dışarıdaki gözlemci de fenerin ışığını c ile ölçer; 1,6c diye bir sonuç yoktur. Hızlar ışıkta toplanmıyorsa, toplamayı mümkün kılan gizli varsayımlardan biri yanlış olmalıdır: iki gözlemcinin zamanı ve uzunluğu aynı ölçtüğü varsayımı. Görelilik bu varsayımı bırakır. Kütlesi olan hiçbir cisim c'ye ulaşamaz, iki hız birleştirildiğinde de sonuç c'yi aşmaz; bu birleştirmenin formülüne bu derste girmeyeceğiz.

Eşzamanlılık da göreli

Sabit hızla giden bir vagonun tam ortasında bir lamba bir kez yanıp sönsün. Vagondaki yolcuya göre ışık iki uca eşit yol alır ve ön duvara da arka duvara da aynı anda varır. Perondaki gözlemci ise ışığı yine c ile yayılırken görür, ama ışık yoldayken arka duvar ona doğru yaklaşır, ön duvar ondan kaçar. Bu gözlemciye göre ışık önce arka duvara ulaşır. Birine göre eşzamanlı olan iki olay, ötekine göre eşzamanlı değildir. İkisinin de ölçümü doğrudur; «gerçekte hangisi önce oldu» sorusunun gözlemciden bağımsız bir yanıtı yoktur.

Işık saati ve zaman genişlemesi

Birbirine bakan, d kadar aralıklı iki paralel ayna düşünelim; bir ışık atması aralarında gidip gelsin. Saatle birlikte duran gözlemci için bir gidiş-dönüş Δt₀ = 2d / c sürer. Şimdi saat, aynaların yüzeyine paralel, yani atmanın gidip geldiği doğrultuya dik bir yönde v hızıyla hareket etsin. Yerdeki gözlemciye göre atma dik değil, eğik bir yol çizer: atma karşı aynaya varana dek aynalar yana kaymıştır. Yarım turda atmanın yolu c · Δt / 2, aynaların kayması v · Δt / 2, aynalar arası uzaklık d'dir ve bu üçü bir dik üçgen kurar:

(c · Δt / 2)² = d² + (v · Δt / 2)²

Buradan Δt = Δt₀ / √(1 − v² / c²) çıkar. Paydadaki kökün tersine göreli çarpan (Lorentz çarpanı) denir:

γ = 1 / √(1 − v² / c²), böylece Δt = γ · Δt₀

γ hiçbir zaman 1'den küçük olmaz. Soruların sevdiği değerler şunlardır:

Δt₀ öz zamandır: iki olayın aynı noktada gerçekleştiği çerçevede, yani olaylarla birlikte duran tek bir saatle ölçülen süre. Öz zaman her zaman en kısa ölçümdür. Gemi 0,6c ile giderken astronotun saatinde 48 dakika süren bir uyku, yerdeki gözlemciye göre 1,25 · 48 = 60 dakika sürer. Durum simetriktir: astronot da yerdeki saatin kendi saatinden yavaş işlediğini ölçer.

Gündelik hızlarda etki görünmez. 300 m/s ile giden bir uçak için v / c = 10⁻⁶ olur ve γ − 1 yaklaşık 5 · 10⁻¹³ çıkar. Etki yine de ölçülebilir: GPS uydularının saatleri yere göre hızla hareket ettikleri için yerdeki saatlerden farklı işler. Bu küçük fark günler boyu birikip konum hesabını bozacağından sistem göreli düzeltmeyle çalışır; hızdan gelen etki bu düzeltmenin parçalarından biridir.

Uzunluk büzülmesi

Bir cismin kendisiyle birlikte duran gözlemcinin ölçtüğü boyu öz uzunluktur (L₀). Cisme göre v hızıyla hareket eden gözlemci, hareket doğrultusundaki boyu daha kısa ölçer:

L = L₀ / γ

Büzülme yalnız hareket doğrultusundadır; ona dik boyutlar değişmez. 0,8c ile giden, öz boyu 150 m olan bir gemiyi yerdeki gözlemci 90 m ölçer, geminin yüksekliği ise aynı kalır.

İki etki birbirini tamamlar. Öz ömrü 2 · 10⁻⁸ s olan varsayımsal bir parçacık laboratuvarda 0,6c ile ilerlesin. Laboratuvar saatiyle ömür uzayıp 2,5 · 10⁻⁸ s olur; parçacık bozunmadan önce 1,8 · 10⁸ · 2,5 · 10⁻⁸ = 4,5 m yol alır. Parçacığın kendi çerçevesinde ömür 2 · 10⁻⁸ s'dir, ama laboratuvarın 4,5 m'lik bölümü ona 3,6 m görünür; o sürede geçtiği uzaklık da tam 3,6 m'dir. İki gözlemci, parçacığın nerede bozunduğu konusunda anlaşır. Atmosferin üst katmanlarında oluşan müonlar da yeryüzüne, zaman genişlemesi olmasa ulaşabilecek olandan çok daha fazla sayıda ulaşır.

Kütle ve enerji

Görelilik enerjiye de dokunur. Duran bir cismin bile kütlesinden gelen bir enerjisi vardır:

E₀ = m · c²

c² çok büyük olduğundan küçük bir kütle dev bir enerjiye karşılık gelir: 1 g için E₀ = 10⁻³ · 9 · 10¹⁶ = 9 · 10¹³ J. Hareket eden cismin toplam enerjisi E = γ · m · c²'dir; bunun durgun enerjiyi aşan kısmı kinetik enerjidir:

E_k = (γ − 1) · m · c²

0,6c'de E_k = 0,25 · m · c² olur; klasik ½ · m · v² ise 0,18 · m · c² verirdi. Hız küçüldükçe iki ifade birbirine yaklaşır ve gündelik hızlarda klasik formül fark edilmeyecek kadar az hata yapar. v, c'ye yaklaşırken γ sınırsız büyür; kütleli bir cismi c'ye çıkarmak sonsuz enerji isterdi.

Kütle-enerji eşdeğerliğinin en çarpıcı uygulaması atom çekirdeklerindedir. Bir tepkimede ürünlerin toplam kütlesi başlangıçtakinden az çıkıyorsa, aradaki fark Δm · c² kadar enerji olarak açığa çıkar. Kendiliğinden parçacık ya da ışınım salarak dönüşen çekirdeklerde açığa çıkan enerji de bu kütle farkından gelir. «Radyoaktivite ve yarılanma» dersinde hangi çekirdeklerin kararsız olduğunu, alfa, beta ve gama ışımalarını ve bir örnekteki çekirdeklerin yarısının bozunması için geçen yarılanma süresini işleyeceğiz.

Örnek 1 — Gemiden yakılan fener

Soru: Yere göre 0,6c hızla giden bir uzay gemisinden hareket yönünde bir ışık atması gönderiliyor. Yerdeki gözlemci bu atmanın hızını ne ölçer?

• A) 1,6c
• B) 0,4c
• C) c
• D) 1,25c
• E) 0,6c

Çözüm: Einstein'ın ikinci önermesine göre ışığın boşluktaki hızı kaynağın hareketinden bağımsızdır; her eylemsiz gözlemci c ölçer. A, Galile hız toplamasını ışığa uygulayan Taylan'ın sonucudur; B hızları çıkarmaktan, D hızı γ ile çarpmaktan gelir. Cevap: C.

Örnek 2 — Gemideki yemek

Soru: Yere göre 0,8c ile giden bir gemide bir yemek, geminin saatine göre 30 dakika sürüyor. Yerdeki gözlemciye göre yemek kaç dakika sürer?

• A) Δt = 18 dk
• B) Δt = 24 dk
• C) Δt = 37,5 dk
• D) Δt = 50 dk
• E) Δt = 30 dk

Çözüm: Yemek gemide tek bir yerde başlayıp bittiğinden 30 dakika öz zamandır. v = 0,8c için γ = 1 / √(1 − 0,64) = 1 / 0,6 = 5/3. Δt = 5/3 · 30 = 50 dk. A, öz zamanı γ'ya bölen; B, 0,8 ile çarpan; C, 0,8'e bölen öğrencinin sonucudur. Cevap: D.

Örnek 3 — Varsayımsal parçacığın yolu

Soru: Öz ömrü 2 · 10⁻⁸ s olan varsayımsal bir parçacık laboratuvarda 0,6c hızla ilerliyor (c = 3 · 10⁸ m/s). Laboratuvara göre bozunmadan önce kaç metre yol alır?

• A) 4,5 m
• B) 3,6 m
• C) 6 m
• D) 2,88 m
• E) 7,5 m

Çözüm: γ = 1,25 olduğundan laboratuvardaki ömür 2,5 · 10⁻⁸ s'dir. Hız 1,8 · 10⁸ m/s; yol 1,8 · 10⁸ · 2,5 · 10⁻⁸ = 4,5 m. B zaman genişlemesini unutan, D ömrü γ'ya bölen, C ve E hız yerine c kullanan öğrencinin sonucudur. Cevap: A.

Örnek 4 — Göreli kinetik enerji

Soru: Kütlesi 2 · 10⁻²⁷ kg olan varsayımsal bir parçacık 0,8c hızla gidiyor (c = 3 · 10⁸ m/s). Parçacığın kinetik enerjisi kaç joule'dür?

• A) E_k = 5,76 · 10⁻¹¹ J
• B) E_k = 1,2 · 10⁻¹⁰ J
• C) E_k = 3 · 10⁻¹⁰ J
• D) E_k = 1,8 · 10⁻¹⁰ J
• E) E_k = 7,68 · 10⁻¹¹ J

Çözüm: Durgun enerji m · c² = 2 · 10⁻²⁷ · 9 · 10¹⁶ = 1,8 · 10⁻¹⁰ J. γ = 5/3 olduğundan E_k = (5/3 − 1) · 1,8 · 10⁻¹⁰ = 1,2 · 10⁻¹⁰ J. A klasik ½ · m · v² ile bulunur ve bu hızda belirgin biçimde eksik kalır; C toplam enerji, D durgun enerjidir. Cevap: B.

• Işığa Galile hız toplaması uygulamak. Kaynak ya da gözlemci ne hızla giderse gitsin ışığın boşluktaki hızı c ölçülür; 1,6c gibi sonuçlar ikinci önermeye aykırıdır.
• Öz zamanı yanlış gözlemciye vermek. Öz zaman, iki olayın aynı yerde olduğu çerçevenin saatidir. Gemideki bir süreç için öz zaman gemidekine, Dünya'da kalan bir saat için yerdekine aittir.
• γ ile bölmek ve çarpmak arasında yön karıştırmak. Hareket eden saatin süresi uzar (γ ile çarpılır), hareket eden cismin boyu kısalır (γ'ya bölünür). Sonucun öz değerden büyük mü küçük mü olması gerektiğini önce sor.
• Bütün boyutları büzmek. Büzülme yalnız hareket doğrultusundadır; dik boyutlar aynı kalır.
• Yüksek hızda ½ · m · v² kullanmak. Göreli hızlarda kinetik enerji (γ − 1) · m · c²'dir; klasik formül eksik sonuç verir.
• Kütleyi gram bırakmak. E₀ = m · c²'de kütle kilogram, c metre bölü saniye olmalıdır; aksi hâlde sonuç 10³ kat şaşar.