Siyah cisim ışıması

Ocak ayının ayaz bir gecesinde Kevser, komşuları Korkut Bey'in çatı katındaki küçük teleskopla göğe bakıyor. Avcı takımyıldızında iki parlak yıldız gözüne çarpıyor: biri belirgin biçimde turuncu-kırmızı, öbürü mavimsi beyaz. Kevser hiç duraksamıyor: «Kırmızı olan daha sıcak. Musluğun kırmızı ucundan sıcak su, mavi ucundan soğuk su akar; hava durumu haritasında da sıcak bölgeler kırmızıya boyanır.» Korkut Bey cevap vermek yerine odadaki eski elektrikli ısıtıcının düğmesini çeviriyor. Telleri önce hiç parlamıyor, ama yaklaştırılan el sıcaklığı hemen duyuyor. Biraz sonra teller koyu kırmızı yanmaya başlıyor, ardından turuncuya dönüyor. «Isıtıcı ısındıkça kırmızıdan uzaklaşıyor» diyor Korkut Bey. «Senin renk koduna göre soğuyor olması gerekmez mi?» Renk sıcaklık hakkında gerçekten bir şey söylüyorsa, hangi yönde söylüyor?

• İdeal siyah cismi tanımlar, bir cismin yaydığı ışımanın tayfının sıcaklıkla nasıl değiştiğini grafik betimlemesinden yorumlarsın.
• Wien yer değiştirme yasasıyla tepe dalga boyundan sıcaklığı ya da sıcaklıktan tepe dalga boyunu hesaplarsın.
• Stefan-Boltzmann yasasını oranla kullanarak sıcaklığı ya da yüzey alanı değişen bir cismin yayma gücünü karşılaştırırsın.
• Klasik fiziğin kısa dalga boylarındaki çıkmazını ve Planck'ın enerjiyi kuantumlu kabul ederek bu çıkmazı nasıl aştığını açıklarsın.

Renk kodu bir uzlaşmadır, ışıma ise bir ölçü

Musluktaki kırmızı ve mavi işaretler insanların üzerinde anlaştığı bir semboldür; suyun kendisi o renkte değildir. Kevser'in sorusu ise bambaşka bir şeyle ilgili: sıcak bir cismin kendiliğinden yaydığı ışığın rengi. Isıtıcının telinde gördüğü sıra, koyu kırmızıdan turuncuya, bu sorunun cevabını veriyor. Cisim ısındıkça yaydığı ışık kırmızıdan uzaklaşıp kısa dalga boylarına doğru kayar. Yani ışımada kırmızı daha soğuk, mavimsi beyaz daha sıcak bir yüzeyin işaretidir; Kevser'in kodu fizikte tersine çalışır.

Her sıcak cisim ışıma yapar

TYT'deki «Enerji iletim yolları» dersinde ısının üçüncü aktarım yolu olarak ışımayı görmüş, sıcaklığı mutlak sıfırın üstünde olan her cismin ışıma yaptığını söylemiştik. Bunun nedenini artık açıklayabiliriz. «Isı ve sıcaklık» dersine göre sıcaklık, maddeyi oluşturan taneciklerin titreşim ve hareket enerjisinin bir ölçüsüdür. Taneciklerin içindeki yüklü parçacıklar da bu titreşime katılır ve durmadan ivmelenir. «Elektromanyetik dalgalar» dersindeki kurala göre ivmeli yük elektromanyetik dalga yayar. Demek ki her cisim, yalnız sıcaklığı yüzünden sürekli bir ışıma salar; buna ısıl ışıma (thermal radiation) denir.

Oda sıcaklığındaki bir masa da ışıma yapar, ama yaydığı dalgaların neredeyse tamamı kızılötesi bölgededir ve gözümüz onları görmez. Kancadaki ısıtıcı tel de parlamaya başlamadan önce elin sezdiği ışımayı yayıyordu. Isıtıcı yeterince ısınınca ışımanın küçük bir payı görünür bölgeye taşar ve tel ancak o zaman göze kırmızı görünür.

Bohr modelini ve enerji seviyelerini işlediğimiz önceki dersteki seyreltik gaz tüpü ise yalnız belirli çizgilerde ışık veriyordu. Fark, ışıyan maddenin yoğunluğundan gelir. Gazda atomlar birbirinden uzaktır ve her biri kendi enerji seviyeleri arasındaki geçişlere uygun dalga boylarını yayar. Katı bir telde ya da yoğun bir gazda ise sayısız yüklü parçacık birbirini sürekli etkiler; titreşimler her frekansta mümkündür ve ortaya kesintisiz bir şerit, yani sürekli tayf çıkar. Bu şeritteki enerjinin dalga boylarına nasıl paylaştırıldığı artık atomun türüne değil, neredeyse yalnız sıcaklığa bağlıdır. Bohr'un hesabında hazır kullandığımız h sabitinin doğduğu yer de bu paylaşımın açıklanması olacak.

İdeal siyah cisim

Gerçek yüzeyler ışımanın bir kısmını soğurur, bir kısmını yansıtır; yansıyan pay rengine, cilasına, malzemesine göre değişir. Bu ayrıntılardan kurtulmak için fizikçiler bir ideal tanımlar: üzerine düşen her dalga boyundaki ışımanın tamamını soğuran, hiçbir şey yansıtmayan cisme ideal siyah cisim (blackbody) denir. Böyle bir cismin yaydığı ışımanın dağılımı malzemeye bağlı değildir; yalnız sıcaklığına bağlıdır. Bu da onu ışıma yasalarını incelemek için en temiz düzenek yapar.

İdeal siyah cisme en yakın düzenek bir kovuktur: iç duvarları her yerde aynı sıcaklıkta tutulan kapalı bir kutunun duvarına küçük bir delik açılır. Delikten giren ışın içeride duvardan duvara sekerken her çarpmada biraz daha soğurulur ve delikten geri çıkma şansı neredeyse hiç kalmaz. Dışarıdan bakan için delik, üzerine gelen ışımayı yutan bir yüzey gibi davranır. Kutu ısıtılırsa delikten çıkan ışıma da tam bir siyah cisim ışımasıdır.

«Siyah» adı yanıltıcı olmasın. Soğuk bir siyah cisim gerçekten karanlık görünür, çünkü yansıttığı ışık yoktur. Isındıkça ise kendi ışığıyla parlar: Güneş'in yüzeyi bir siyah cisme oldukça yakın davranır ve gördüğümüz en parlak cisimdir.

Işıma eğrisini sözle okumak

Siyah cismin yaydığı gücün dalga boyuna göre nasıl dağıldığını bir grafik gösterir. Yatay eksende dalga boyu soldan sağa artar, düşey eksende o dalga boyu çevresinde yayılan ışımanın şiddeti vardır. Eğri çok kısa dalga boylarında sıfıra yakın başlar, hızla yükselip bir tepeye ulaşır, sonra uzun dalga boylarına doğru yavaşça azalan bir kuyruk bırakır. Tepenin bulunduğu dalga boyuna tepe dalga boyu denir ve λ_max ile gösterilir.

Aynı grafiğe daha yüksek sıcaklık için ikinci bir eğri çizildiğinde yeni eğrinin bütün dalga boylarında eskisinin üstünde kaldığı görülür; eğrinin altındaki alan, yani cismin yaydığı toplam güç, belirgin biçimde büyür. Üstelik yükselen eğrinin tepesi sola, kısa dalga boyuna doğru kaymıştır. Eğriler hiçbir yerde kesişmez; sıcak cismin eğrisi kızılötesinde de soğuk cismin eğrisinin üstünde kalır.

Kızgın demir ve akkor tel

Bu değişimler demircinin ocağında ya da elektrikli ısıtıcıda gözle izlenebilir. Isıtılan demir önce hiç parlamaz; ışımasının tepesi kızılötesinin derinlerindedir. Isındıkça eğrinin kısa dalga boylu ucu görünür bölgenin kırmızı kenarına girer ve demir koyu kırmızı parlar. Isınma sürdükçe görünür bölgeye düşen pay artar, sarı ve yeşil dalga boyları da katılır; renk turuncuya, sonra sarımsı beyaza döner. Çok yüksek sıcaklıkta görünür bölgenin bütün renkleri birlikte güçlü yayıldığı için cisim beyazımsı görünür. Akkor ampulün teli de bu ilkeyle ışık verir. Bu tür bir telin yaydığı ışımanın tepesi kızılötesinde kaldığı için harcanan enerjinin büyük kısmı ışık olarak değil ısı olarak çevreye yayılır.

Wien yer değiştirme yasası

Tepenin kayması nicel bir kurala bağlıdır. Tepe dalga boyu ile mutlak sıcaklığın çarpımı sabittir:

λ_max · T = b

Burada T kelvin cinsinden mutlak sıcaklıktır ve b, Wien sabiti olarak bilinir; sorularda yuvarlanmış değeri b = 2,9 · 10⁻³ m·K verilir. Sıcaklık iki katına çıkarsa tepe dalga boyu yarıya iner. Yasanın biriminin m·K olması, sonucun metre çıkması için sabitin kelvine bölünmesi gerektiğini hatırlatır.

Yüzey sıcaklığı yaklaşık 5800 K olan Güneş için tepe dalga boyu 2,9 · 10⁻³ / 5800 = 5 · 10⁻⁷ m, yani 500 nm civarına düşer; bu değer görünür bölgenin ortalarındadır. 290 K'lik bir oda duvarının tepe dalga boyu ise 2,9 · 10⁻³ / 290 = 10⁻⁵ m = 10 μm'dir ve kızılötesindedir. Isıl kameraların kızılötesine duyarlı yapılmasının nedeni budur: oda sıcaklığındaki cisimler en çok o bölgede ışır.

Yıldızların rengi

Kancadaki iki yıldıza dönelim. Bir yıldızın yüzeyi yaklaşık olarak siyah cisim gibi ışıdığından rengi yüzey sıcaklığı hakkında bilgi verir. Tepesi kırmızı tarafa yakın olan yıldız, Wien yasasına göre daha soğuktur; mavimsi beyaz görünen yıldızın tepesi kısa dalga boylarına kaymıştır ve yüzeyi daha sıcaktır. İki yıldızın tepe dalga boyları oranı biliniyorsa sıcaklıkları oranı da bilinir: tepe dalga boyu üç kat uzun olan yıldızın yüzey sıcaklığı üçte biridir. Kevser'in kırmızı yıldızı soğuk olan, mavimsi beyaz olanı sıcak olandır.

Stefan-Boltzmann yasası: toplam güç

Eğrinin altındaki alanın sıcaklıkla nasıl büyüdüğünü Stefan-Boltzmann yasası verir. Yüzey alanı A, mutlak sıcaklığı T olan bir siyah cismin yaydığı toplam güç:

P = σ · A · T⁴

σ, Stefan-Boltzmann sabitidir; bu derste sayısal değerine gerek yok, çünkü sorular oranla çözülür. Belirleyici olan dördüncü kuvvettir. Mutlak sıcaklık iki katına çıkarsa güç 2⁴ = 16 katına çıkar; üç katına çıkarsa 81 katına. Yüzey alanı iki katına çıkarsa güç yalnız iki katına çıkar. Küre biçimli bir yıldızda alan yarıçapın karesiyle büyüdüğünden yarıçapı iki katı olan bir yıldızın alanı dört katıdır.

Oran kurarken sıcaklıklar mutlaka kelvine çevrilir. 27 °C'deki bir levha 327 °C'ye ısıtılırsa sıcaklık 300 K'den 600 K'ye ikiye katlanır; güç de 16 katına çıkar. Celsius değerlerini oranlayan öğrenci 327 / 27 oranının dördüncü kuvvetiyle yirmi bin katı aşan saçma bir sonuca varır.

Klasik fiziğin çıkmazı

On dokuzuncu yüzyılın sonunda fizikçiler bu eğriyi klasik fizikle, yani elektromanyetizma ve ısı kuramının bilinen kurallarıyla açıklamaya çalıştı. Kovuğun içini her biri kendi frekansında titreşen yüklerle dolu sayıp enerjinin bu titreşimler arasında eşit paylaşıldığını kabul eden hesap, uzun dalga boylarında ölçümlerle uyuşuyordu. Kısa dalga boylarında ise felakete dönüştü: kısa dalga boylu titreşim türlerinin sayısı sınırsız arttığı için hesap, dalga boyu kısaldıkça şiddetin durmadan büyümesini ve toplam yayılan enerjinin sonsuz olmasını öngörüyordu. Kancadaki ısıtıcı bu öngörüye göre her an morötesi ve ötesinde sınırsız enerji saçmalıydı. Gözlenen eğri ise tepeden sonra kısa dalga boylarına doğru sıfıra iner. Bu uyumsuzluk sonradan morötesi felaketi (ultraviolet catastrophe) adıyla anıldı.

Planck'ın kuantum varsayımı

1900'de Max Planck, ölçülen eğriyi bütün dalga boylarında doğru veren bir bağıntı buldu. Bunun için cüretli bir varsayım yapması gerekti: f frekansıyla titreşen bir yük her enerjiyi alamaz, yalnız h · f büyüklüğündeki bir enerji paketinin tam katlarını alabilir:

E = n · h · f (n sıfır ya da pozitif bir tam sayı)

Formüldeki h harfi Planck sabitini gösterir ve sorularda değeriyle verilir. h · f büyüklüğündeki en küçük pakete kuantum (quantum) denir. Varsayımın eğriyi nasıl düzelttiğini görmek kolaydır. Düşük frekanslı titreşimler için paket küçüktür ve bu titreşimler kolayca enerji alır. Frekans büyüdükçe tek bir paket bile pahalılaşır; belli bir sıcaklıkta taneciklerin titreşim enerjisi bu kadar büyük bir paketi ancak nadiren karşılayabilir. Bu yüzden çok yüksek frekanslı titreşimlerin çoğu hiç uyarılmaz ve eğri kısa dalga boylarında sönümlenir. Sıcaklık yükseldikçe daha büyük paketler karşılanabilir hâle gelir; tepe kısa dalga boyuna kayar. Kuantum fikri, fiziğin enerjiye sürekli bir nicelik gözüyle baktığı dönemi kapatan ilk adım oldu.

Soru çözerken

Önce bütün sıcaklıkları kelvine çevir. Tepe dalga boyu ya da renk sorulduysa Wien yasasını kullan: sıcaklık ile tepe dalga boyu ters orantılıdır, çarpımları sabittir. Toplam güç sorulduysa Stefan-Boltzmann yasasını oranla kur: güç, alanla doğru orantılı, sıcaklığın dördüncü kuvvetiyle orantılıdır; küre yarıçapı verildiyse alan için karesini al. İki yasayı birleştiren sorularda tepe dalga boyu oranından sıcaklık oranını bulup sonra dördüncü kuvvete yükselt. Kuantum sorularında izin verilen enerjilerin h · f'nin tam katları olduğunu denetle.

Planck kuantumu kovuğun duvarlarındaki titreşen yüklere, yani ışığı yayan maddeye uygulamıştı; ışığın kendisini hâlâ sürekli bir dalga sayıyordu. «Fotoelektrik olay» dersinde metal bir yüzeye düşen ışığın elektron sökmesini inceleyecek, sökülen elektronların enerjisinin ışığın parlaklığına değil frekansına bağlı çıkmasının, ışığın da h · f büyüklüğündeki paketler hâlinde taşındığı fikrini nasıl zorunlu kıldığını göreceğiz.

Örnek 1 — Güneş'in tepe dalga boyu

Soru: Güneş'in yüzey sıcaklığını yaklaşık 5800 K, Wien sabitini b = 2,9 · 10⁻³ m·K alınız. Güneş ışımasının tepe dalga boyu yaklaşık kaçtır?

• A) λ_max = 50 nm
• B) λ_max = 500 nm
• C) λ_max = 16,8 m
• D) λ_max = 5000 nm
• E) λ_max = 0,5 nm

Çözüm: λ_max = b / T = 2,9 · 10⁻³ / 5800 = 5 · 10⁻⁷ m = 500 nm. Sabiti sıcaklıkla çarpan öğrenci birimi bile tutmayan 16,8 m'yi bulur. 50 nm ve 5000 nm, metreden nanometreye geçerken üsü bir basamak kaydırmaktan gelir; 0,5 nm ise üsü üç basamak kaydırmanın sonucudur. Cevap: B.

Örnek 2 — Akkor telin gücü

Soru: İdeal siyah cisim gibi davrandığı kabul edilen bir telin sıcaklığı 1200 K'den 1800 K'ye çıkarılıyor. Telin yüzey alanı değişmediğine göre yaydığı toplam güç kaç katına çıkar?

• A) kat = 3/2
• B) kat = 9/4
• C) kat = 27/8
• D) kat = 81/16
• E) kat = 600

Çözüm: Sıcaklık oranı 1800 / 1200 = 3/2'dir. Güç sıcaklığın dördüncü kuvvetiyle orantılı olduğundan oran (3/2)⁴ = 81/16 ≈ 5,06 olur. 3/2 doğru orantı sanmaktan, 9/4 kareyle, 27/8 küple kurmaktan gelir; 600 ise oran yerine farkı almaktır. Cevap: D.

Örnek 3 — İki yıldızın gücü

Soru: X yıldızının ışıma tepesi 400 nm'de, Y yıldızınınki 800 nm'dedir. Y'nin yarıçapı X'inkinin 4 katıdır. İkisi de siyah cisim gibi ışıdığına göre Y'nin yaydığı toplam gücün X'inkine oranı kaçtır?

• A) P_Y / P_X = 1
• B) P_Y / P_X = 1/16
• C) P_Y / P_X = 16
• D) P_Y / P_X = 1/4
• E) P_Y / P_X = 4

Çözüm: Wien yasasına göre tepe dalga boyu iki katı olan Y'nin sıcaklığı X'inkinin yarısıdır; bu yüzden birim alan başına gücü (1/2)⁴ = 1/16'sıdır. Yarıçap 4 katı olduğundan yüzey alanı 4² = 16 katıdır. İki etki birbirini dengeler: P_Y / P_X = 16 · 1/16 = 1. Alanı hesaba katmayan öğrenci 1/16, alanı yarıçapla doğru orantılı alan öğrenci 4 · 1/16 = 1/4 bulur. Cevap: A.

Örnek 4 — İzin verilen enerji

Soru: Bir kovuğun duvarındaki bir titreşen yükün frekansı 6 · 10¹³ Hz'dir. Planck sabiti için h = 6,6 · 10⁻³⁴ J·s kullanınız. Planck'ın varsayımına göre bu titreşimin enerjisi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

• A) E = 1,98 · 10⁻²⁰ J
• B) E = 5,94 · 10⁻²⁰ J
• C) E = 7,92 · 10⁻²⁰ J
• D) E = 9,9 · 10⁻²⁰ J
• E) E = 1,0 · 10⁻²⁰ J

Çözüm: Bir kuantum h · f = 6,6 · 10⁻³⁴ · 6 · 10¹³ = 3,96 · 10⁻²⁰ J'dür. İzin verilen enerjiler bunun tam katlarıdır. 7,92 · 10⁻²⁰ J, n = 2'ye karşılık gelir. 1,98 yarım, 5,94 bir buçuk, 9,9 iki buçuk kuantumdur; 1,0 · 10⁻²⁰ J ise kuantumdan küçüktür ve tam kat değildir. Cevap: C.

• Musluk renk kodunu ışımaya taşımak. Işımada kırmızı daha soğuk, mavimsi beyaz daha sıcak bir yüzeyi gösterir; sıcaklık arttıkça tepe dalga boyu kısalır.
• Sıcaklığı Celsius ile oranlamak. Wien ve Stefan-Boltzmann yasalarında T mutlak sıcaklıktır; 27 °C'den 327 °C'ye çıkış iki kat artıştır, on iki kat değil.
• Gücü sıcaklıkla doğru orantılı sanmak. Güç T⁴ ile büyür; sıcaklık iki katına çıkınca güç 16 katına çıkar. Kare ya da küp almak tipik çeldiricidir.
• Yarıçap ile alanı karıştırmak. Küre biçimli bir cisimde alan yarıçapın karesiyle orantılıdır; yarıçap iki katına çıkınca güç dört katına çıkar.
• Siyah cismin siyah görüneceğini düşünmek. İdeal siyah cisim yalnız soğukken karanlıktır; ısınınca kendi ışığıyla parlar, Güneş buna yakın davranır.
• Soğuk cisimlerin ışıma yapmadığını sanmak. Mutlak sıfırın üstündeki her cisim ışıma yapar; oda sıcaklığında bu ışıma kızılötesindedir ve göze görünmez.