Bohr modeli ve enerji seviyeleri

İlkay ile kuzeni Hasret kış akşamı mahallelerindeki bir kunduracının vitrininin önünde duruyor. Vitrinin üstünde cam borulardan kıvrılmış bir yazı kırmızı-turuncu parlıyor. Hasret'in resim dersindeki mozaik için biriktirdiği kırık CD parçalarından biri İlkay'ın elinde; parlak yüzü ışığı renklere ayırıyor. İlkay tahminini baştan söylüyor: «Borunun içinde sıradan, beyaz bir ışık yanıyor, cam da kırmızıya boyalı. Beyaz ışıkta her renk var; CD'de kırmızıdan mora uzanan kesintisiz bir şerit göreceğiz, yalnız kırmızı ucu daha parlak olacak.» CD'yi tabelaya çevirdiğinde şerit çıkmıyor: aralarında karanlık boşluklar bulunan birkaç ince renkli çizgi beliriyor, çoğu kırmızı ve turuncu. Dükkânın tavanından sarkan akkor ampule çevirince ise kesintisiz şerit hemen görünüyor. Tabelanın ışığı neden bütün renkleri değil de yalnız birkaç seçilmiş rengi taşıyor?

• Bohr'un varsayımlarını açısal momentumun kuantumlanmasına bağlayarak hidrojende yörünge yarıçaplarını ve enerji seviyelerini hesaplarsın.
• İki seviye arasındaki geçişte yayılan ya da soğurulan fotonun enerjisini, frekansını ve dalga boyunu bulur, çizgiyi Lyman, Balmer ya da Paschen serisine yerleştirirsin.
• Elektron çarpışmasıyla ve fotonla uyarılmayı ayırt eder, iyonlaşma enerjisini ve gözlenebilecek çizgi sayısını belirlersin.
• Tek elektronlu iyonlarda seviye enerjilerini Z² ile ölçekler, modelin nerede yetersiz kaldığını açıklarsın.

Bohr'un üç kabulü

«Atom modelleri» dersinde Rutherford'un gezegen benzeri atomunun iki açığını gördük: ivmeli elektron ışıyarak çekirdeğe düşmeliydi, tayf da sürekli olmalıydı. Niels Bohr 1913'te önerdiği modelde klasik fizikten aldığı parçaları korudu ve üzerine üç kabul ekledi.

1. Kararlı yörüngeler. Elektron çekirdek çevresinde ancak belirli çember yörüngelerde dolanabilir; bu yörüngelerden birindeyken ivmeli olduğu hâlde ışıma yapmaz, enerjisi sabit kalır.
2. Kuantumlu açısal momentum. İzin verilen yörüngeler, elektronun açısal momentumunun h / 2π'nin tam katı olduğu yörüngelerdir: m · v · r = n · h / 2π, n = 1, 2, 3, … Burada h Planck sabitidir (h ≈ 6,6 · 10⁻³⁴ J·s). «Açısal momentum» dersinde noktasal bir cismin çembersel yoldaki açısal momentumunu L = m · v · r diye yazmıştık; Bohr bu büyüklüğün her değeri alamayacağını, basamak basamak arttığını söyledi.
3. Işıma yalnız geçişte. Elektron bir yörüngeden ötekine atladığında atom, iki seviyenin enerji farkı kadar enerji taşıyan tek bir ışık paketi, yani bir foton yayar ya da soğurur: E_foton = E_üst − E_alt = h · f.

n sayısına baş kuantum sayısı denir; n = 1 en içteki yörüngedir.

Yarıçap ve hız basamakları

Coulomb çekiminin merkezcil kuvveti sağladığı eşitlik, k · e² / r² = m · v² / r, Bohr modelinde de geçerlidir. Bu eşitlik tek başına r'yi belirlemez; her yarıçapa uygun bir hız bulunur. İkinci kabul eklenince seçenekler daralır. Açısal momentum koşulundan v = n · h / (2π · m · r) yazılıp kuvvet eşitliğine konursa yarıçap için n² ile orantılı bir sonuç çıkar:

r_n = n² · r₁, hidrojen için r₁ ≈ 0,53 · 10⁻¹⁰ m

r₁'e Bohr yarıçapı denir. İkinci yörünge 4 r₁ ≈ 2,12 · 10⁻¹⁰ m, üçüncüsü 9 r₁ ≈ 4,77 · 10⁻¹⁰ m uzaktadır; yörüngeler dışa doğru giderek seyrekleşir. Hız ise n ile ters orantılıdır: v_n = v₁ / n, v₁ ≈ 2,2 · 10⁶ m/s. Bu, önceki dersteki v ∝ 1 / √r ilişkisiyle uyumludur: r dokuz katına çıkınca hız üçte birine iner. Bir tam dolanmanın süresi 2π · r / v olduğundan n³ ile büyür.

Enerji seviyeleri

«Atom modelleri» dersinde dolanan elektronun toplam enerjisini E = − k · e² / (2r) bulmuştuk. r₁ = 0,53 · 10⁻¹⁰ m konunca bu ifade 2,17 · 10⁻¹⁸ J verir. Elektronvolta çevirmek için 1,6 · 10⁻¹⁹ J'lük birime bölünür ve yaklaşık 13,6 eV bulunur. Yarıçap n² ile büyüdüğü için enerji n² ile küçülür:

E_n = − 13,6 eV / n²

Eksi işaret elektronun bağlı olduğunu söyler: onu çekirdekten sonsuza götürüp durgun bırakmak için dışarıdan enerji vermek gerekir. En düşük seviye (n = 1) temel hâl, üstündekiler uyarılmış hâllerdir. Seviyeler yukarı çıktıkça birbirine sıkışır ve sıfıra yaklaşır. Kinetik enerji her seviyede − E_n'e, potansiyel enerji 2 · E_n'e eşittir; n = 2'de E_k = 3,4 eV ve E_p = − 6,8 eV olur.

Elektronu bulunduğu seviyeden koparmak için gereken en küçük enerji iyonlaşma enerjisidir. Temel hâldeki hidrojen için 13,6 eV, n = 2'deki için 3,4 eV'tur. Bazı kaynaklarda ve sorularda aynı tablo temel hâl sıfır alınarak verilir: 0; 10,2; 12,09; 12,75; 13,06 eV ve iyonlaşma 13,6 eV. İki gösterimde seviyeler arasındaki farklar aynıdır; soruda hangi başlangıç noktası seçildiğine bakmak yeter.

Geçişin rengi

Elektron üst seviyeden alt seviyeye indiğinde aradaki fark tek bir foton olarak çıkar. Fotonun frekansı E = h · f'ten, dalga boyu da «Elektromanyetik dalgalar» dersindeki c = λ · f'ten gelir:

E_foton = E_üst − E_alt = h · f = h · c / λ

Hesabı kısaltan bir çarpım: h · c ≈ 1240 eV·nm. Enerji eV, dalga boyu nm cinsinden alınırsa λ = 1240 / E olur. Hidrojende n = 3'ten n = 2'ye geçişte fark 3,4 − 1,51 = 1,89 eV, dalga boyu da yaklaşık 656 nm'dir; bu kırmızı bir çizgidir. Joule ile çalışılacaksa eV önce 1,6 · 10⁻¹⁹ ile çarpılır; aksi hâlde frekans yaklaşık 6 · 10¹⁸ kat büyük çıkar.

Ters yönde de aynı kural işler: alt seviyedeki elektron yukarı çıkmak için tam fark kadar enerji almalıdır.

Seriler ve çizgi sayısı

Aynı alt seviyede biten geçişler bir seri oluşturur:

Balmer serisinin dört çizgisi görünür bölgeye düşer (yaklaşık 656, 486, 434 ve 410 nm); çizgiler sıklaşarak 365 nm civarındaki seri sınırına, yani morötesine yaklaşır. Bir serinin içinde en uzun dalga boyunu komşu seviyeden gelen geçiş, en kısasını sonsuzdan gelen verir.

n. seviyeye çıkmış hidrojen atomlarıyla dolu bir gaz düşünelim. Elektron aşağı inerken tek atlamada da, basamak basamak da inebilir; her seviye çifti ayrı bir çizgi verir. n seviyeden ikişer seçmenin sayısı kadar, yani en çok n · (n − 1) / 2 farklı çizgi gözlenir. n = 4 için 6, n = 5 için 10 çizgi. Tek bir atom aynı anda bunların hepsini yaymaz; çok sayıda atom farklı yollar seçer.

Fotonla mı, elektronla mı uyarmak?

Atomu uyarmanın iki yolu sınavda ayrı kurallarla çalışır.

Fotonla uyarılma: Foton ya bütünüyle soğurulur ya hiç soğurulmaz. Temel hâldeki hidrojene gelen 12,09 eV'luk foton elektronu n = 3'e çıkarır; 11 eV'luk ya da 12,5 eV'luk foton hiçbir farka eşit olmadığı için atomdan etkilenmeden geçer. Tek istisna iyonlaşmadır: enerjisi 13,6 eV'u aşan foton da soğurulur, elektron atomdan kopar ve fazlayı kinetik enerji olarak taşır.

Elektronla uyarılma: Hızlı bir elektron atoma çarptığında enerjisinin yalnız gereken kadarını bırakabilir, kalanıyla yoluna devam eder. 11 eV'luk bir elektron temel hâldeki hidrojeni n = 2'ye çıkarabilir ve 0,8 eV ile uzaklaşır; atomu hiç uyarmadan 11 eV ile de geçebilir. Bir elektronun ulaşabileceği en yüksek seviye, kinetik enerjisine sığan en büyük farktır.

Kancadaki tabela buradan açıklanır. Borunun içinde, saydam camda neon gazı vardır ve kırmızı-turuncu renk boyadan değil gazdan gelir. Uçlara uygulanan gerilim boru içindeki elektronları hızlandırır; elektronlar neon atomlarına çarparak onları belirli seviyelere çıkarır, atomlar da yalnız kendi seviye farklarına karşılık gelen fotonları yayar. CD'nin gösterdiği çizgiler bu farkların listesidir. Akkor ampulün telinde ise yalıtılmış atomlar değil sıkı paketlenmiş, ısınmış bir katı vardır; o bütün renkleri birlikte verir.

Tek elektronlu iyonlar ve modelin sınırı

Bohr'un hesabı çekirdek yükünün Z · e olduğu, çevresinde yalnız bir elektron dolanan her iyona uyar: He⁺ (Z = 2), Li²⁺ (Z = 3). Çekim Z katına çıktığı için yörüngeler küçülür, enerji ise Z² ile derinleşir:

r_n = n² · r₁ / Z, E_n = − 13,6 eV · Z² / n²

He⁺'nın temel hâlden iyonlaşma enerjisi 13,6 · 4 = 54,4 eV'tur. Bu ölçekleme ilginç bir çakışma da doğurur: He⁺'da 4 → 2 geçişinin enerjisi, hidrojenin 2 → 1 geçişininkiyle aynı, 10,2 eV'tur.

Model iki elektronlu nötr helyumda bile çizgileri doğru veremez; elektronlar birbirini de ittiği için hesap bozulur. Hidrojende de çizgilerin parlaklık farklarını açıklamaz ve elektronu kesin bir çemberde gösterir; bugünkü modelde elektronun yeri olasılıklarla anlatılır. Yine de seviyelerin kesikli olduğu ve ışığın h · f'lik paketlerle alınıp verildiği fikri kalıcı oldu. h sabiti ise atom fiziğinden doğmadı; Bohr'dan önce, ısınmış cisimlerin ışımasıyla uğraşan fizikçilerin hesabında ortaya çıkmıştı. Kancadaki akkor ampul o türden bir kaynaktır: kesintisiz şeridin en parlak bölgesi telin sıcaklığına göre kayar, klasik hesap ise kısa dalga boylarında sınırsız enerji öngörür. «Siyah cisim ışıması» dersinde bu kaymanın kuralını ve ısınan cismin titreşen yüklerinin enerjiyi neden yalnız h · f'lik paketlerin tam katları hâlinde alabildiğini göreceğiz.

Örnek 1 — Üçüncü yörünge

Soru: Hidrojen atomunda elektron n = 3 seviyesindedir. r₁ = 0,53 · 10⁻¹⁰ m ve E₁ = − 13,6 eV alınız. Bu seviyenin yörünge yarıçapı ve enerjisi hangi seçenekte birlikte doğru verilmiştir?

• A) r = 1,59 · 10⁻¹⁰ m, E = − 4,53 eV
• B) r = 4,77 · 10⁻¹⁰ m, E = − 4,53 eV
• C) r = 4,77 · 10⁻¹⁰ m, E = − 1,51 eV
• D) r = 1,59 · 10⁻¹⁰ m, E = − 1,51 eV
• E) r = 4,77 · 10⁻¹⁰ m, E = + 1,51 eV

Çözüm: Yarıçap n² ile büyür: r₃ = 9 · 0,53 · 10⁻¹⁰ = 4,77 · 10⁻¹⁰ m. Enerji n² ile küçülür: E₃ = − 13,6 / 9 ≈ − 1,51 eV. A ile D'deki yarıçap n²'yi n sanmaktan, A ile B'deki enerji 13,6'yı 3'e bölmekten gelir. E'deki artı işaret bağlı elektronun enerjisinin eksi olduğunu unutur. Cevap: C.

Örnek 2 — Mavi-yeşil bir Balmer çizgisi

Soru: Hidrojende elektron n = 4'ten n = 2'ye iniyor. E_n = − 13,6 / n² eV ve h · c = 1240 eV·nm alınız. Yayılan fotonun dalga boyu yaklaşık kaç nanometredir?

• A) λ ≈ 365 nm
• B) λ ≈ 486 nm
• C) λ ≈ 1459 nm
• D) λ ≈ 292 nm
• E) λ ≈ 656 nm

Çözüm: E₄ = − 0,85 eV, E₂ = − 3,4 eV; fark 2,55 eV. λ = 1240 / 2,55 ≈ 486 nm. Yalnız E₄'ün büyüklüğünü kullanan öğrenci C'ye, yalnız E₂'ninkini kullanan A'ya ulaşır; iki enerjiyi toplayıp 4,25 eV bulan D'yi seçer. E ise 3 → 2 geçişinin çizgisidir. Cevap: B.

Örnek 3 — Aynı enerji, iki farklı mermi

Soru: Varsayımsal bir X atomunun seviyeleri temel hâl sıfır alınarak 0, 3, 5 ve 6 eV, iyonlaşma enerjisi 7,5 eV olarak veriliyor. Temel hâldeki X atomlarına bir deneyde 5,5 eV'luk elektronlar, başka bir deneyde 5,5 eV'luk fotonlar gönderiliyor. Hangisi doğrudur?

• A) İkisi de atomu 5 eV'luk seviyeye çıkarır, fazlası ısıya dönüşür.
• B) Foton atomu 5 eV'luk seviyeye çıkarır, elektron soğurulmaz.
• C) Elektron atomu iyonlaştırır, foton atomdan etkilenmeden geçer.
• D) İkisi de soğurulmaz, çünkü 5,5 eV hiçbir seviyeye eşit değildir.
• E) Elektron atomu 3 ya da 5 eV'luk seviyeye çıkarıp 2,5 ya da 0,5 eV ile yoluna devam edebilir; foton soğurulmaz.

Çözüm: Foton ancak bir farka tam eşitse soğurulur; 3, 5 ve 6 eV'tan hiçbiri 5,5 değildir, 7,5 eV'luk iyonlaşma eşiğine de ulaşmaz. Elektron ise enerjisinin bir kısmını bırakabilir: 3 eV bırakırsa 2,5 eV, 5 eV bırakırsa 0,5 eV kalır; 6 eV'u karşılayamaz. D, elektronu da foton gibi «ya hep ya hiç» kuralına bağlar; B kuralları ters çevirir. Cevap: E.

Örnek 4 — İkinci seviyedeki helyum iyonu

Soru: He⁺ iyonunda (Z = 2) elektron n = 2 seviyesindedir. E₁(H) = − 13,6 eV alınız. Elektronu bu seviyeden koparmak için gereken en küçük enerji kaç eV'tur?

• A) E_iy = 13,6 eV
• B) E_iy = 54,4 eV
• C) E_iy = 6,8 eV
• D) E_iy = 40,8 eV
• E) E_iy = 3,4 eV

Çözüm: E₂(He⁺) = − 13,6 · 2² / 2² = − 13,6 eV; koparmak için 13,6 eV gerekir. B temel hâlden iyonlaşmadır, D ise 2 → 1 geçişinin enerjisidir. Z'yi kare almadan çarpan öğrenci C'yi, iyonu hidrojen sanan E'yi bulur. Cevap: A.

• Seviye enerjisini foton enerjisi sanmak. Foton iki seviyenin farkını taşır; n = 4'ten n = 2'ye inişte 0,85 ya da 3,4 eV değil, 2,55 eV'luk foton çıkar.
• Yarıçapı n ile, hızı n² ile değiştirmek. Yarıçap n², hız 1 / n, dolanma süresi n³ ile ölçeklenir; enerji 1 / n² ile.
• Fotonla ve elektronla uyarmayı aynı kurala bağlamak. Foton yalnız tam bir farkı ya da iyonlaşmayı karşılarsa soğurulur; elektron gereken kadarını bırakıp kalanıyla gider.
• eV'u joule'e çevirmeden h = 6,6 · 10⁻³⁴ J·s ile bölmek. Önce 1,6 · 10⁻¹⁹ ile çarp; h · c = 1240 kısayolu yalnız eV ve nm birlikte kullanılınca geçerlidir.
• Tek elektronlu iyonda Z'yi kare almamak. He⁺'da enerjiler 4, Li²⁺'da 9 katına çıkar; yarıçap ise Z ile bölünür, Z² ile değil.
• Balmer serisinin bütünüyle görünür olduğunu sanmak. Dört çizgisi görünür bölgededir, seri sınırına yakın çizgileri morötesindedir; Lyman tümüyle morötesi, Paschen kızılötesidir.