Atom modelleri

Duru, teyzesi Ebru'nun evinde yemek masasına serilmiş gazetelerin başında oturmuş, eski bir ayna çerçevesinin yaldızlanmasını izliyor. Ebru altın varağı fırçayla kaldırıp tutkallı oymaya bırakırken varak Duru'nun nefesiyle bile titriyor; bir kitap sayfasından çok daha ince. Akşam fizik kitabını açan Duru, alfa taneciklerinin tam da böyle ince bir altın levhaya gönderildiği deneyi okuyor ve ilk cümlede takılıyor: taneciklerin çoğu levhadan neredeyse hiç sapmadan geçmiş. Duru'ya göre bu olamaz: «Varak ne kadar ince olursa olsun, içinde yüzlerce kat altın atomu üst üste dizili. Atomlar bilye gibi doluysa arada geçecek delik yok; tanecikler ya sekmeli ya saplanmalı.» Üstelik kitap, birkaç taneciğin geldiği yöne geri döndüğünü de yazıyor. Altın bu kadar «geçirgense» bazı taneciği geri fırlatan ne?

• Dalton, Thomson ve Rutherford modellerini tarihsel sırayla açıklar, her birini terk ettiren gözlemi eşleştirirsin.
• Altın levha deneyinin sonuçlarından çekirdeğin küçük, yoğun ve artı yüklü olduğu sonucunu Coulomb itmesine dayanarak gerekçelendirirsin.
• Alfa taneciğinin çekirdeğe en çok yaklaşma uzaklığını enerji korunumuyla, çekirdek çevresinde dolanan elektronun hızını Coulomb kuvveti ile merkezcil kuvveti eşitleyerek hesaplarsın.
• Rutherford modelinin kararlılık ve kesikli tayf sorunlarını ivmeli yükün ışıması üzerinden açıklarsın.

Kimyadaki sıra, fizikteki soru

TYT Kimya'daki «Atom modelleri» dersinde Dalton'dan Bohr'a uzanan sırayı ve her modelin hangi olguyu açıklayamadığını gördün. Bu derste aynı sıraya bir fizikçinin sorularıyla dönüyoruz: atomun içinde hangi kuvvet etkiyor, ne kadar büyük, enerji nereye gidiyor? Gerekli araçların hepsi elimizde. «Coulomb yasası» dersinden F = k · q₁ · q₂ / d², «Elektriksel potansiyel ve iş» dersinden E_p = k · q₁ · q₂ / d, «Düzgün çembersel hareket» dersinden F = m · v² / r. Bu derste aksi söylenmedikçe k = 9 · 10⁹ N·m²/C² ve temel yük e = 1,6 · 10⁻¹⁹ C alınacak.

Dalton: içi dolu, bölünmez küre

On dokuzuncu yüzyılın başında John Dalton, kimyasal tepkimelerdeki kütle ilişkilerini açıklamak için maddenin bölünemeyen atomlardan oluştuğunu öne sürdü. Bu modelde atom içi dolu, iç yapısı olmayan bir küredir; Duru'nun kafasındaki bilye budur. Modelin fizik açısından en zayıf yeri elektriktir. Sürtünmeyle yüklenen cisimler ve iletkenlerden geçen akım, maddenin içinde yerinden oynayabilen yüklü parçalar bulunduğunu gösteriyordu; iç yapısı olmayan bir kürede böyle parçalara yer yoktur.

Thomson: elektron ve üzümlü kek

1897'de J. J. Thomson, katot ışınlarının elektrik ve manyetik alanda saptığını göstererek bunların eksi yüklü tanecikler olduğunu ortaya koydu ve yükünün kütlesine oranını ölçtü. Bu tanecik elektrondur. Kütlesi en hafif atom olan hidrojeninkinin yaklaşık 1800'de biri kadardır ve hangi metalden elde edilirse edilsin aynıdır. Demek ki atom bölünebilir ve her atom elektron içerir.

Atom bir bütün olarak yüksüz olduğuna göre, elektronların eksi yükünü dengeleyen bir artı yük de bulunmalıdır. Thomson'un modelinde bu artı yük atomun bütün hacmine düzgün biçimde yayılmıştır, elektronlar da içine kekin üzümleri gibi gömülüdür.

Bu modelin fizik açısından taşıdığı bir öngörü var. Artı yük atomun her yanına yayıldığı için atomun içinde hiçbir yerde yük birikmesi yoktur; içeriden geçen artı yüklü bir tanecik ancak zayıf ve birbirini büyük ölçüde götüren kuvvetler hisseder. Hızlı bir tanecik böyle bir atomdan yalnız küçük bir açıyla sapabilir. Yolunu tersine çevirecek kadar büyük bir itme hiçbir yerde oluşmaz.

Altın levha deneyi

Rutherford'un yönetiminde Hans Geiger ile Ernest Marsden bu öngörüyü sınadı. Radyoaktif bir kaynaktan çıkan alfa tanecikleri çok ince bir altın levhaya gönderildi; levhayı geçen ya da ondan saçılan tanecikler, çinko sülfür kaplı bir ekrana çarptıklarında oluşan küçük ışık parıltılarından sayıldı. Altın, dövülerek çok ince levha hâline getirilebildiği için seçilmişti.

Alfa taneciği bir helyum çekirdeğidir: iki proton ve iki nötrondan oluşur, yükü +2e'dir, kütlesi elektronunkinin yaklaşık 7300 katıdır. Sonuçlar üç gruba ayrıldı:

Geri dönüşü Thomson modeli açıklayamaz, çünkü yayılmış bir artı yük yeterince büyük kuvvet doğurmaz. Coulomb kuvveti uzaklığın karesiyle ters orantılıdır: aynı yük, çok küçük bir bölgeye sıkıştırılıp tanecik ona çok yaklaşabilirse kuvvet çok büyür. Elektronlar bu işi göremez. Kütleleri alfa taneciğininkinin binlerce kat altında olduğundan, bir bovling topunun önündeki pinpon topları gibi kenara itilirler ve taneciğin yönünü pek değiştiremezler. Taneciği geri çeviren şey ağır olmalıdır.

Rutherford 1911'de bu bulguları şöyle yorumladı: atomun artı yükü ve kütlesinin neredeyse tamamı, merkezdeki çok küçük ve yoğun bir çekirdekte toplanmıştır; elektronlar çekirdeğin çevresindeki geniş boşlukta bulunur. Çekirdeğe yakın geçen az sayıdaki tanecik büyük açıyla sapar. Büyük sapmaların seyrek görülmesi de çekirdeğin, atomun kesitinin çok küçük bir parçasını kapladığını gösterir. Atom yarıçapı 10⁻¹⁰ m mertebesindeyken çekirdeğinki 10⁻¹⁵ ile 10⁻¹⁴ m arasındadır. Duru'nun varağı kadar ince bir levhada bile üst üste yüzlerce atom katmanı vardır, ama bir alfa taneciği için bu katmanlar büyük ölçüde boşluktur.

En çok yaklaşma uzaklığı

Bir alfa taneciği çekirdeğe doğru tam merkezden geliyorsa Coulomb itmesi onu sürekli yavaşlatır. Çekirdek çok ağır olduğu için yerinde duruyor kabul edilir. Tanecik bir noktada bir an durur ve geri döner; o anda kinetik enerjisinin tamamı elektriksel potansiyel enerjiye dönüşmüştür. Başlangıçta tanecik çok uzakta olduğundan potansiyel enerjisi sıfır alınır:

E_k = k · q_α · q_ç / d_min

Burada q_α = 2e, Z protonlu bir çekirdek için q_ç = Z · e'dir. Sayıyla deneyelim. Kalay çekirdeğinde 50 proton vardır. Kinetik enerjisi 7,2 MeV olan bir alfa taneciği (1 MeV = 1,6 · 10⁻¹³ J) için E_k = 1,152 · 10⁻¹² J'dir. Pay k · 2e · 50e = 9 · 10⁹ · 100 · 2,56 · 10⁻³⁸ = 2,304 · 10⁻²⁶ J·m olur; bölünce d_min = 2 · 10⁻¹⁴ m çıkar. Bu uzaklık atom yarıçapının beş binde biridir.

Formülden okunacak ilişkiler: d_min kinetik enerjiyle ters, iki yükün çarpımıyla doğru orantılıdır. Taneciğin kütlesi formülde yer almaz; aynı enerjiyle gelen bir protonun yükü alfanınkinin yarısı olduğundan o, çekirdeğe yarı uzaklığa kadar sokulur. Tanecik merkezden kaymış bir doğrultuda geliyorsa durmadan yön değiştirir ve d_min kadar yaklaşamaz; tam merkezden geliş en küçük uzaklığı verir.

Bu hesabın bir yan ürünü daha var. Tanecik Coulomb yasasına uyarak geri döndüyse çekirdeğe değmemiştir; o hâlde çekirdeğin yarıçapı d_min'den büyük olamaz. Çekirdeğin boyutu için ilk üst sınırlar böyle bir akıl yürütmeyle elde edildi.

Gezegen benzeri atom: kuvvet ve hız

Rutherford modelinde elektron çekirdeğin çevresinde dolanır. En basit örnek hidrojendir: bir proton ve onun çevresinde r yarıçaplı çemberde dolanan bir elektron. Elektronu çembersel yolda tutan merkezcil kuvveti çekirdeğin Coulomb çekimi sağlar:

k · e² / r² = m · v² / r, buradan v = √(k · e² / (m · r))

Elektronun kütlesini 9 · 10⁻³¹ kg alalım. k · e² = 2,304 · 10⁻²⁸ N·m² olduğundan k · e² / m = 256 m³/s² çıkar. Yörünge yarıçapını 1 · 10⁻¹⁰ m varsayarsak elektrona etki eden çekim 2,304 · 10⁻⁸ N, hızı da v = √(256 / 10⁻¹⁰) = 1,6 · 10⁶ m/s bulunur. Yarıçap büyüdükçe hız √r ile ters orantılı küçülür; yarıçap dört katına çıkarsa hız yarıya iner.

Kütle çekiminin bu tabloda neden hiç anılmadığını hesaplamak kolay. Proton ile elektron arasındaki Coulomb çekiminin kütle çekimine oranı k · e² / (G · m_p · m_e) biçimindedir; G = 6,67 · 10⁻¹¹ N·m²/kg², m_p = 1,67 · 10⁻²⁷ kg, m_e = 9,1 · 10⁻³¹ kg alınırsa oran yaklaşık 2,3 · 10³⁹ çıkar. Coulomb çekimi de kütle çekimi de 1 / r² ile zayıfladığından bu oran r'ye bağlı değildir.

Enerjiye de bakalım. Kuvvet eşitliğini r / 2 ile çarparsak elektronun kinetik enerjisi E_k = ½ · m · v² = k · e² / (2r) olur. Potansiyel enerji, yükler zıt işaretli olduğundan E_p = − k · e² / r'dir. Toplam enerji E = − k · e² / (2r) çıkar: eksi işaretli ve büyüklükçe kinetik enerjiye eşit. Elektron enerji kaybederse E daha da eksiye gider, bu da r'nin küçülmesi demektir; küçülen r'de kinetik enerji ve hız ise artar.

Modeli çökerten iki gözlem

«Elektromanyetik dalgalar» dersinde ivmeli hareket eden yükün çevresine elektromanyetik dalga yaydığını gördük. Düzgün çembersel hareket yapan elektronun sürati sabit olsa da hızının yönü sürekli döndüğü için her an merkeze doğru bir ivmesi vardır. Klasik fiziğe göre böyle bir elektron durmadan ışıma yapmalı, enerji kaybetmeli ve yukarıdaki enerji ilişkisine göre giderek daralan bir sarmal çizerek çok kısa sürede çekirdeğe düşmelidir. Oysa atomlar kararlıdır; madde kendiliğinden çökmüyor.

İkinci sorun ışığın kendisinde. Daralan yörüngede dolanma frekansı da sürekli artar; elektron sarmal boyunca yayılan ışığın frekansını kesintisiz biçimde değiştirmeli ve atomun tayfı (spektrum) bütün renkleri kapsayan sürekli bir bant olmalıdır. Gözlem bunun tersini söyler: ince bir tüpe doldurulmuş hidrojen gazı elektrikle uyarıldığında yaydığı ışık bir prizmadan geçirilince yalnız belirli renklerde ince çizgiler görülür. Bu kesikli tayf, her elementte kendine özgüdür.

Rutherford'un çekirdeği bugün hâlâ geçerlidir; terk edilen, elektronun klasik fiziğe göre dolandığı fikridir. 1913'te Niels Bohr çekirdeği ve Coulomb çekimini olduğu gibi tuttu, ama elektrona yalnız belirli yörüngelerde bulunma izni verdi ve bu yörüngelerdeki elektronun ışıma yapmadığını kabul etti. Bu izinli yörüngelerin yarıçaplarını ve enerjilerini «Bohr modeli ve enerji seviyeleri» dersinde hesaplayacak, bir elektronun iki seviye arasında yaptığı geçişin hidrojen tayfındaki tek bir çizgiye nasıl karşılık geldiğini göreceğiz.

Örnek 1 — Geri dönen tanecikler

Soru: Altın levha deneyinde alfa taneciklerinin çok küçük bir kısmının geldiği yöne geri dönmesinden doğrudan hangi sonuç çıkarılır?

• A) Atomun hacminin büyük kısmı boştur.
• B) Atomun artı yükü ve kütlesinin neredeyse tamamı çok küçük bir bölgede toplanmıştır.
• C) Elektronlar artı yüklüdür ve alfa taneciklerini iter.
• D) Atom bölünemeyen, içi dolu bir küredir.
• E) Alfa tanecikleri levhadaki elektronlara çarpıp geri seker.

Çözüm: Geri dönüş için çok büyük bir itme gerekir; Coulomb kuvveti ancak artı yük küçük bir bölgede toplanır ve tanecik ona çok yaklaşırsa bu büyüklüğe ulaşır. Taneciği geri çevirebilmesi için bu bölgenin alfa taneciğinden ağır olması da gerekir. A doğru bir sonuçtur, ama taneciklerin çoğunun geçmesinden çıkar, geri dönüşten değil. Elektronlar eksi yüklüdür ve alfa taneciğine göre çok hafiftir; C ile E bu yüzden düşer. Cevap: B.

Örnek 2 — Altın çekirdeğine merkezden

Soru: Kinetik enerjisi 7,9 MeV olan bir alfa taneciği bir altın çekirdeğine (79 proton) tam merkezden yaklaşıyor. Çekirdek hareketsiz kabul ediliyor; Coulomb sabiti 9 · 10⁹ N·m²/C², temel yükün değeri 1,6 · 10⁻¹⁹ C, 1 MeV de 1,6 · 10⁻¹³ J'dir. Taneciğin çekirdek merkezine en çok yaklaştığı uzaklık kaç metredir?

• A) d_min = 1,44 · 10⁻¹⁴ m
• B) d_min = 5,76 · 10⁻¹⁴ m
• C) d_min = 1,7 · 10⁻⁷ m
• D) d_min = 2,88 · 10⁻¹⁴ m
• E) d_min = 4,6 · 10⁻²⁷ m

Çözüm: E_k = 7,9 · 1,6 · 10⁻¹³ = 1,264 · 10⁻¹² J. Pay k · 2e · 79e = 9 · 10⁹ · 158 · 2,56 · 10⁻³⁸ = 3,64 · 10⁻²⁶ J·m. d_min = 3,64 · 10⁻²⁶ / 1,264 · 10⁻¹² = 2,88 · 10⁻¹⁴ m. Alfanın yükünü e alan öğrenci yarı değere (A), enerjiyi MeV'den joule'e çevirmeyen öğrenci anlamsız küçüklükte bir sayıya (E), potansiyel enerji yerine kuvvet formülündeki d²'yi kullanıp karekök alan öğrenci C'ye ulaşır. Cevap: D.

Örnek 3 — Dolanan elektronun hızı

Soru: Rutherford modeline göre hidrojen atomunda elektronun, protonun çevresinde 2,56 · 10⁻¹⁰ m yarıçaplı bir çemberde dolandığını varsayalım. Elektron kütlesini 9 · 10⁻³¹ kg, temel yükün değerini 1,6 · 10⁻¹⁹ C, Coulomb sabitini 9 · 10⁹ N·m²/C² kabul edersek elektron saniyede kaç kilometre yol alır?

• A) 1000 km/s
• B) 1400 km/s
• C) 10⁹ km/s
• D) 710 km/s
• E) 500 km/s

Çözüm: k · e² / r² = m · v² / r eşitliğinden v² = k · e² / (m · r) = 2,304 · 10⁻²⁸ / (9 · 10⁻³¹ · 2,56 · 10⁻¹⁰) = 10¹² m²/s², v = 10⁶ m/s = 1000 km/s. C karekök almayı unutmaktan gelir. B, kinetik enerjiyi potansiyel enerjinin büyüklüğüne (k · e² / r) eşitleyen öğrencinin sonucudur; o eşitlik yanlıştır, çünkü kinetik enerji bunun yarısıdır. Cevap: A.

Örnek 4 — Işıyan elektron ne olur?

Soru: Klasik fiziğe göre çekirdek çevresinde dolanan bir elektron ışıma yaparak enerji kaybediyor. Bu süreçte yörünge yarıçapı, elektronun sürati ve atomun toplam enerjisi nasıl değişir?

• A) Yarıçap büyür, sürat azalır, toplam enerji azalır.
• B) Yarıçap küçülür, sürat azalır, toplam enerji azalır.
• C) Yarıçap değişmez, sürat azalır, toplam enerji azalır.
• D) Yarıçap küçülür, sürat artar, toplam enerji artar.
• E) Yarıçap küçülür, sürat artar, toplam enerji azalır.

Çözüm: Toplam enerji E = − k · e² / (2r) yayılan ışık kadar azalır, yani daha eksi bir değere iner; bunun için r küçülmelidir. Kinetik enerji k · e² / (2r) olduğundan küçülen r'de kinetik enerji ve sürat artar. Enerji kaybeden şeyin yavaşlayacağını düşünen öğrenci B'yi seçer; oysa kinetik enerjideki artış, potansiyel enerjideki düşüşün yalnız yarısıdır, öbür yarısı ışık olarak yayılır. Cevap: E.

• Taneciklerin çoğunun geçmesini çekirdeğin kanıtı sanmak. Çoğunun geçmesi atomun büyük kısmının boş olduğunu, birkaçının geri dönmesi ise yükün ve kütlenin küçük bir çekirdekte toplandığını gösterir; iki gözlemin sonucunu karıştırma.
• Sapmayı elektronlara yüklemek. Elektron alfa taneciğinden binlerce kat hafiftir ve onu çeker; taneciği geri çeviren ağır, artı yüklü çekirdektir.
• En çok yaklaşma uzaklığında d² kullanmak. Enerji korunumu E_k = k · q_α · q_ç / d_min verir; d² kuvvet formülüne aittir.
• Alfa taneciğinin yükünü e almak. Alfa taneciği iki proton taşır, yükü +2e'dir; aynı enerjili proton çekirdeğe yarı uzaklığa kadar yaklaşır.
• Enerji kaybeden elektronun yavaşlayacağını sanmak. Işıyan elektron içe doğru sarmal çizer ve hızlanır; toplam enerjisi azalırken kinetik enerjisi artar.
• Rutherford'un çekirdeğinin de terk edildiğini sanmak. Çekirdek bugün de geçerlidir; açıklanamayan, klasik fiziğe göre dolanan elektronun kararlılığı ve kesikli tayftır.