Doppler olayı

Yağız ile kuzeni Ümran bisiklet turunun dönüşünde bir hemzemin geçitte, inmiş bariyerin önünde bekliyor. Uzaktan bir yük treni geliyor ve makinist kornayı geçide kadar hiç bırakmadan çalıyor. Tren geçip gidince Yağız anlatmaya başlıyor: «Fark ettin mi, tren yaklaştıkça korna gitgide inceldi, tam önümüzdeyken en tiz hâline geldi, sonra birden kalınlaştı.» Ümran o sırada geçişi telefonuyla videoya almıştı. Kaydı açıp gözlerini kapatarak dinliyorlar. Yaklaşma boyunca korna giderek güçleniyor ama perdesi yükselmiyor; kulağa baştan sona aynı tiz ton gibi geliyor. Perdedeki değişimin hepsi, lokomotifin önlerinden geçtiği bir iki saniyeye sığıyor ve ses orada tizden kalına iniyor. Korna neden yaklaşırken tizdi, neden tizleşmeye devam etmedi ve düşüş neden geçiş anına toplandı?

• Hareket eden bir kaynağın önünde ve arkasında dalga boyunu hesaplar, dalga tepelerinin nerede sıkıştığını gösterirsin.
• Kaynağın, gözlemcinin ya da ikisinin birden hareket ettiği durumlarda gözlenen frekansı tek bir işaret kuralıyla bulursun.
• Kaynak yanından geçerken duyulan frekansın değişimini ve kaynak ses hızına yaklaşınca dalga tepelerine ne olduğunu açıklarsın.
• Işıkta maviye ve kırmızıya kaymayı yorumlar, düşük hızlarda Δλ / λ ≈ v / c yaklaşımıyla hızı ya da kaymayı hesaplarsın.

TYT'den kalan bir soru

«Ses dalgaları» dersinde olayın adını koymuştuk: yaklaşan kaynağın sesi ince, uzaklaşanınki kalın duyulur ve kaynağın kendi frekansı bu arada hiç değişmez. O ders bir şeyi açık bıraktı: ne kadar ince, ne kadar kalın? Bu derste o farkı sayıya döküyoruz. Kullanacağımız araçların hepsi tanıdık. v = λ · f ilişkisi ile frekansı kaynağın, yayılma hızını ortamın belirlediği bilgisi «Dalgalarda temel kavramlar» dersinden; dalga leğeni «Su dalgaları» dersinden; bir hızın belli bir doğrultudaki bileşeni de «Vektörlerde toplama ve bileşenler» dersinden geliyor. Yeni olan, kaynağın ya da dinleyenin yerinde durmaması.

Leğende yürüyen kaynak

Önce gözle görülebilen dalgalarla başlayalım. Leğende dalgaların hızı 20 cm/s olsun ve suya batıp çıkan bir uç 5 Hz ile dairesel dalgalar üretsin. Uç yerinde dururken her tepe öncekinden bir periyot, yani 0,2 s sonra çıkar; bu sürede önceki tepe 4 cm uzaklaşmıştır. Halkalar iç içe, eş merkezli ve her yönde 4 cm aralıklıdır.

Şimdi ucu 5 cm/s ile sağa doğru kaydıralım. Her tepe yine kendi çıktığı noktayı merkez alan bir çember olarak yayılır, ama ardışık tepelerin merkezleri artık aynı yerde değildir: iki tepe arasında geçen 0,2 s'de uç 1 cm sağa gitmiştir. Sağ tarafta yeni tepe, öncekinin 4 cm gerisinden değil 4 − 1 = 3 cm gerisinden yola çıkar; tepeler sıkışır. Sol tarafta ise bu aralık 4 + 1 = 5 cm'ye açılır. Genel biçimiyle, hızı v olan bir ortamda v_k hızıyla giden ve f frekansıyla titreşen bir kaynak için:

• hareket yönünde, kaynağın önünde: λ_ön = (v − v_k) / f
• arkasında: λ_arka = (v + v_k) / f

Dalgaların hızı ortama bağlı olduğundan sağda da solda da 20 cm/s'dir. Sağdaki sabit bir noktaya tepeler 20 / 3 ≈ 6,7 Hz sıklıkla, soldaki bir noktaya 20 / 5 = 4 Hz sıklıkla ulaşır. Kaynak hâlâ 5 Hz ile titreşmektedir; değişen, tepelerin bir noktaya varma sıklığıdır.

Ses için aynı resim: hareketli kaynak

Havada ses için de durum aynıdır, yalnız tepelerin yerini sıkışma bölgeleri alır. Rüzgârsız havada ses hızı v, duran bir dinleyiciye v_k hızıyla doğrudan yaklaşan kaynağın frekansı f olsun. Dinleyicinin önündeki dalga boyu kısalmıştır, ses ise havada yine v hızıyla gelir. Duyulan frekans f' = v / λ_ön olur:

f' = f · v / (v − v_k) (kaynak yaklaşıyor)

f' = f · v / (v + v_k) (kaynak uzaklaşıyor)

Ses hızını 340 m/s alalım. Kornası 576 Hz olan bir araç 20 m/s ile yaklaşırken 576 · 340 / 320 = 612 Hz, uzaklaşırken 576 · 340 / 360 = 544 Hz duyulur. Geçişteki düşüş 68 Hz'dir. Kancadaki gözlem de buradan okunur: hız sabitse λ_ön sabittir, dolayısıyla yaklaşma boyunca duyulan frekans yükselmez, baştan sona aynı yüksek değerde kalır. Artan şey gürlüktür, çünkü kaynak yakınlaştıkça kulağa ulaşan dalgaların genliği büyür. Artan gürlük, perdenin de yükseldiği izlenimini kolayca verir; Yağız'ın yanıldığı nokta buydu.

Kaynak durur, dinleyen yürür

Bu kez kaynak yerinde dursun, dinleyici ona v_g hızıyla yaklaşsın. Kaynak yerinde durduğu için havadaki dalga boyu her yönde aynıdır ve λ = v / f ile bulunur; havadaki desen hiç bozulmamıştır. Değişen, dinleyicinin tepelerle karşılaşma sıklığıdır: tepeler ona v hızıyla gelirken o da tepelere v_g hızıyla gider, tepeleri v + v_g hızıyla karşılar. Duyulan frekans bu bağıl hızın dalga boyuna oranıdır:

f' = f · (v + v_g) / v (gözlemci yaklaşıyor)

f' = f · (v − v_g) / v (gözlemci uzaklaşıyor)

500 Hz'lik sabit bir kaynağa 17 m/s ile yaklaşan dinleyici 500 · 357 / 340 = 525 Hz, aynı hızla uzaklaşan 475 Hz duyar. Bu iki durumu karıştırmamak önemlidir: dinleyici hareket ettiğinde havadaki dalga boyu değişmez, kaynak hareket ettiğinde değişir. Bu yüzden eşit hızlar eşit sonuç vermez. 576 Hz'lik kaynağa 20 m/s ile yaklaşan dinleyici yaklaşık 610 Hz duyar; kaynak yaklaşırken bulduğumuz 612 Hz'den biraz azdır. Ses için önemli olan, kaynağın ve dinleyicinin havaya göre hızıdır.

Tek formül, tek işaret kuralı

İki durum tek bir ifadede birleşir:

f' = f · (v ± v_g) / (v ∓ v_k)

Burada v ses hızı, v_g gözlemcinin, v_k kaynağın havaya göre hızıdır. İşaretleri ezberlemek yerine her hız için ayrı ayrı tek soru sorulur: bu hareket kaynağı ve gözlemciyi birbirine yaklaştırıyor mu? Yaklaştırıyorsa o hız frekansı büyütecek işareti alır: payda artı, paydada eksi. Uzaklaştırıyorsa tersi: payda eksi, paydada artı. Kural kısaca şudur: yaklaşma frekansı artırır.

İki işaret birbirinden bağımsız seçilir. Örneğin 600 Hz'lik bir kaynak 40 m/s ile, gözlemci de 20 m/s ile birbirine doğru gidiyorsa ikisi de yaklaştırır: f' = 600 · 360 / 300 = 720 Hz. Aynı yolda aynı yöne giden iki araçta durum karışıktır. 720 Hz'lik korna öndeki araçta ve 20 m/s ile gidiyor, dinleyici arkadaki araçta ve 10 m/s ile onu izliyor olsun. Dinleyicinin hareketi onu kaynağa yaklaştırır (payda +10), kaynağın hareketi ise dinleyiciden uzaklaştırır (paydada +20): f' = 720 · 350 / 360 = 700 Hz. İki araç aynı hızla aynı yöne gitseydi pay ile payda eşitlenir ve f' = f olurdu.

Yanından geçerken: perde neden birden düşer?

Formüldeki hızlar, kaynağı gözlemciye bağlayan doğrultudaki bileşenlerdir. Kaynak gözlemcinin tam üstüne doğru gelmiyorsa, örneğin raydan birkaç metre uzakta duran birinin önünden geçiyorsa, hızın bu doğrultudaki bileşeni önemlidir. Tren uzaktayken bu doğrultu neredeyse rayla çakışır ve bileşen trenin hızına çok yakındır. Tren tam önden geçerken hız, gözlemciye uzanan doğrultuya diktir ve bileşen sıfıra iner; o anda yayılan ses kaynağın kendi frekansıyla ulaşır. Hemen ardından bileşen uzaklaşma yönünde büyür. Bileşenin büyük bölümü, kaynağın gözlemciye en yakın olduğu kısa aralıkta değişir; perde de orada düşer. Gözlemci raya ne kadar yakın durursa düşüş o kadar ani olur.

Geçişten önceki ve sonraki frekansların oranı yalnız hızlara bağlıdır: f_önce / f_sonra = (v + v_k) / (v − v_k). 612 ve 544 Hz için bu oran 9 / 8'dir ve kaynak hızını 20 m/s olarak verir. Oran 1'e ne kadar yakınsa kaynak o kadar yavaştır.

Ses hızına yaklaşan kaynak

λ_ön = (v − v_k) / f ifadesi, kaynak hızlandıkça önündeki tepelerin giderek daraldığını söyler. v_k ses hızına yaklaştıkça bu aralık sıfıra yaklaşır. Kaynağın yaydığı tepeler artık önünden kaçamaz, burnunda üst üste birikir ve orada basıncın birden sıçradığı sıkışık bir bölge oluşur. Hızlanan uçakların aşmak zorunda kaldığı bu engele ses duvarı denir. Kaynak ses hızını aşınca tepeler arkada kalır ve onların zarfı, kaynaktan geriye doğru açılan bir koni biçiminde şok dalgası oluşturur. Bu koni yere ulaştığında kısa ve sert bir patlama sesi duyulur. Doppler formülü v_k < v için kurulmuştur; kaynak ses hızına eriştiğinde ya da onu aştığında kullanılmaz.

Işıkta Doppler: maviye ve kırmızıya kayma

Işık da dalgadır ve hareketli kaynaktan gelen ışığın frekansı da kayar. Bir fark vardır: ışık yayılmak için ortama ihtiyaç duymaz, bu yüzden ışıkta yalnız kaynakla gözlemcinin birbirine göre hızı önemlidir. Yaklaşan bir kaynağın ışığı daha yüksek frekansta, yani daha kısa dalga boyunda gözlenir; görünür ışıkta bu, tayfın mavi ucuna doğru bir kaymadır: maviye kayma. Uzaklaşan kaynağın ışığı daha uzun dalga boyuna, kırmızı uca doğru kayar: kırmızıya kayma.

Bağıl hız v ışık hızı c'nin yanında çok küçükse kaymanın büyüklüğü basit bir yaklaşıklıkla bulunur:

Δf / f ≈ Δλ / λ ≈ v / c

Bu bir yaklaşıklıktır ve yalnız v ≪ c iken geçerlidir; hız ışık hızına yaklaştıkça tam ifadeye, özel göreliliğin sonuçlarına gerek duyulur. Kaymayı ölçmek için yıldızın ya da galaksinin tayfındaki çizgilere bakılır. Belli bir elementin laboratuvarda bilinen dalga boylarında verdiği çizgiler, uzak bir kaynağın ışığında kaymış olarak görünür. Varsayımsal bir örnek: laboratuvarda 600 nm'de ölçülen bir çizgi bir yıldızın ışığında 606 nm'de görünüyorsa Δλ / λ = 0,01'dir. c = 3 · 10⁸ m/s alındığında yıldız 3 · 10⁶ m/s ile uzaklaşmaktadır. Uzak galaksilerin ışığında çizgilerin kırmızıya kaydığı gözlenir; bu, evrenin genişlediğini gösteren kanıtlardan biridir.

Radar ve ultrason: yansıyan dalgadan hız okumak

Doppler olayı hız ölçmenin de yoludur. Trafikte kullanılan radar cihazları araca mikrodalga gönderir. Dalga hareket eden araçtan yansıyıp geri döndüğünde frekansı kaymış olur; yaklaşan araçtan dönen dalganın frekansı artar, uzaklaşandan dönenin azalır. Cihaz gönderdiği ve aldığı frekansı karşılaştırarak aracın hızını bulur. Yansıtıcı yüzey burada iki rol üstlenir: önce gelen dalgayı hareket eden bir gözlemci gibi alır, sonra onu hareket eden bir kaynak gibi geri yollar. Tıpta Doppler ultrason da aynı ilkeyle çalışır: ses ötesi dalgalar damarda akan kan hücrelerinden yansır ve frekans kaymasından kan akışının hızı ve yönü anlaşılır.

Soru çözerken

Önce dalganın türüne bak: ses mi, ışık mı? Seste hızların havaya göre verildiğinden emin ol ve her hız için ayrı soruyu sor: yaklaştırıyor mu, uzaklaştırıyor mu? Gözlemcinin hızı paya, kaynağınki paydaya gider. İstenen dalga boyuysa yalnız kaynağın hareketi onu değiştirir. Işıkta Δλ / λ ≈ v / c ilişkisini kullan ve kaymanın yönünden hareketin yönünü oku. Yansımalı sorularda işlemi iki adımda yap.

Işıkta Doppler'i kurarken ışığın boşlukta da yol aldığını kabul ettik; oysa su dalgası suyu, ses havayı titreştiriyordu. Boşlukta titreşen nedir? «Elektromanyetik dalgalar» dersinde bu sorunun cevabını değişen elektrik ve manyetik alanların birbirini doğurmasında bulacak, böyle bir dalgayı ivmeli bir yükün yaydığını ve radyodan gamaya uzanan tayfın tek bir dalga ailesi olduğunu göreceğiz.

Örnek 1 — Leğende önde ve arkada

Soru: Bir dalga leğenindeki su dalgaları 24 cm/s ile yayılıyor. 4 Hz ile titreşen noktasal bir kaynak, leğende 6 cm/s sabit hızla doğu yönünde ilerliyor. Kaynağın doğusundaki ve batısındaki dalga boyları kaç santimetredir?

• A) doğuda 7,5 cm, batıda 4,5 cm
• B) doğuda 6 cm, batıda 6 cm
• C) doğuda 3 cm, batıda 9 cm
• D) doğuda 4,5 cm, batıda 7,5 cm
• E) doğuda 4,5 cm, batıda 6 cm

Çözüm: Kaynak doğuya gittiği için tepeler doğuda sıkışır. λ_ön = (24 − 6) / 4 = 4,5 cm, λ_arka = (24 + 6) / 4 = 7,5 cm. Kaynağın hareketini yok sayan öğrenci her yerde 24 / 4 = 6 cm bulur; A'yı seçen sıkışmanın yönünü ters almıştır. Kaynağın kaymasını iki kez sayan biri 3 ve 9'a ulaşır. Cevap: D.

Örnek 2 — Geçişten önce ve sonra

Soru: Ses hızını 340 m/s alınız. Bir trenin kornası 570 Hz frekanslıdır. Tren 40 m/s sabit hızla, rayın hemen yanında duran bir gözlemciye doğru gelip yanından geçiyor ve uzaklaşıyor. Gözlemcinin geçişten önce ve sonra duyduğu frekanslar sırasıyla nedir?

• A) önce 570 Hz, sonra 570 Hz
• B) önce 646 Hz, sonra 510 Hz
• C) önce yaklaşık 637 Hz, sonra yaklaşık 503 Hz
• D) önce 510 Hz, sonra 646 Hz
• E) önce 646 Hz, sonra 570 Hz

Çözüm: Kaynak yaklaşırken paydada eksi: 570 · 340 / 300 = 646 Hz. Uzaklaşırken paydada artı: 570 · 340 / 380 = 510 Hz. Kaynağın hızını gözlemci formülündeki gibi paya yazan öğrenci yaklaşık 637 ve 503 Hz bulur; geçişten sonra kornanın kendi frekansına döndüğünü sanan E'yi seçer. Cevap: B.

Örnek 3 — İkisi birden hareketli

Soru: Ses hızını 340 m/s alınız. Paralel raylarda iki tren birbirine doğru geliyor. Birinci tren 30 m/s ile gidiyor ve 620 Hz'lik kornasını çalıyor; ikinci tren 25 m/s ile gidiyor. Trenler henüz karşılaşmadan önce ikinci trendeki yolcu kornayı kaç hertz duyar?

• A) yaklaşık 740 Hz
• B) yaklaşık 528 Hz
• C) 620 Hz
• D) yaklaşık 720 Hz
• E) 730 Hz

Çözüm: İki hareket de kaynakla gözlemciyi yaklaştırır; pay v + v_g, payda v − v_k olur. f' = 620 · 365 / 310 = 730 Hz. İki işareti de ters seçen yaklaşık 528 Hz'e varır. Hızları toplayıp 55 m/s'yi yalnız paydaya yazan yaklaşık 740 Hz, yalnız paya yazan yaklaşık 720 Hz bulur: seste kaynağın ve gözlemcinin hızı ayrı ayrı yerleştirilir. Cevap: E.

Örnek 4 — Kayan bir tayf çizgisi

Soru: Laboratuvarda 500 nm dalga boyunda ölçülen bir tayf çizgisi, bir yıldızın ışığında 501,5 nm'de gözleniyor. Işık hızını 3 · 10⁸ m/s alınız ve Δλ / λ ≈ v / c yaklaşımını kullanınız. Yıldızın Dünya'ya göre hareketi için hangisi doğrudur?

• A) 9 · 10⁵ m/s ile uzaklaşıyor
• B) 9 · 10⁵ m/s ile yaklaşıyor
• C) 4,5 · 10⁵ m/s ile uzaklaşıyor
• D) 9 · 10⁸ m/s ile uzaklaşıyor
• E) 3 · 10⁵ m/s ile yaklaşıyor

Çözüm: Δλ = 1,5 nm, Δλ / λ = 1,5 / 500 = 0,003. v ≈ 0,003 · 3 · 10⁸ = 9 · 10⁵ m/s. Dalga boyu uzadığı için kayma kırmızıya doğrudur, yıldız uzaklaşmaktadır. Kaymanın yönünü ters okuyan B'yi, oranı yarıya bölen C'yi seçer; 9 · 10⁸ m/s ışık hızını aşan, anlamsız bir sonuçtur. Cevap: A.

• Sabit hızla yaklaşan kaynağın sesinin gitgide tizleştiğini sanmak. Doğrudan yaklaşan kaynakta duyulan frekans sabittir ve kaynağınkinden büyüktür; artan, gürlüktür.
• İşaretleri ezberden yerleştirip karıştırmak. Her hız için ayrı sor: yaklaştırıyorsa frekansı artıracak işaret (payda +, paydada −), uzaklaştırıyorsa tersi.
• Gözlemci hareket edince havadaki dalga boyunun da değiştiğini sanmak. Dalga boyunu yalnız kaynağın hareketi değiştirir; gözlemcinin hareketi yalnız karşılaşma sıklığını değiştirir.
• Seste hızları toplayıp tek bir bağıl hız gibi kullanmak. Ses havada yayıldığı için kaynağın hızı paydaya, gözlemcininki paya ayrı ayrı yazılır; bağıl hız yaklaşımı yalnız ışıkta doğrudur.
• Kırmızıya kaymayı «yıldız kırmızı renktedir» diye okumak. Kayma, çizgilerin bilinen yerlerinden uzun dalga boyuna doğru kaymasıdır ve uzaklaşmayı gösterir; yıldızın rengiyle ilgisi yoktur.
• Doppler formülünü ses hızına ulaşmış ya da onu aşmış bir kaynağa uygulamak. v_k ≥ v iken formül geçersizdir; orada tepeler birikir ve şok dalgası oluşur.