Tek yarıkta kırınım

Akşam vapurunun arka güvertesinde Sevgül, kıyıdaki tek bir sokak lambasını gözüne yakın tuttuğu iki parmağının arasından seyrediyor. Gözlüğünü unuttuğu günlerden bildiği bir numarayı deniyor: parmaklarını büzüp minik bir delikten bakınca uzaktaki yazılar netleşiyordu. «Parmaklarımı iyice yaklaştırırsam lamba ince, keskin bir çizgiye iner» diyor yanındaki Tayfun'a. Aralık daraldıkça olan bunun tersi: lamba parmaklara dik doğrultuda iki yana uzanıp soluk bir şerit hâline geliyor, şeridin içinde de ince koyu çizgiler beliriyor. Parmaklarını biraz açınca şerit kısalıyor, ışık yeniden toparlanıyor. Daha dar bir aralık neden daha geniş bir ışık bıraksın, o koyu çizgiler nereden geliyor?

• Tek yarık deseninde karanlık saçakların açısını w · sin θ = n · λ koşuluyla bulursun.
• Merkez aydınlık saçağın ve yan aydınlıkların perdedeki genişliğini λ, L ve w'den hesaplarsın.
• Yarık daralınca, ışığın rengi, perdenin yeri ya da ortam değiştiğinde desenin nasıl büyüyüp küçüldüğünü öngörürsün.
• Tek yarık desenini çift yarık deseninden ayırır, açıklığın ayırma gücünü nasıl sınırladığını açıklarsın.

Leğendeki aralıktan ışığın yarığına

Modülün ilk dersinde, su dalgalarında kırınımı ve girişimi incelerken kırınımın ölçüsünü w / λ oranına bağlamıştık: oran küçüldükçe aralıktan çıkan dalga yanlara daha çok açılır. Işıkta aynı oran geçerlidir; değişen yalnız ölçektir. Görünür ışığın dalga boyu 400 nm ile 700 nm arasındadır; nanometre metrenin milyarda biridir. Kapı aralığı ya da pencere, ışığın dalga boyunun milyonlarca katı genişliktedir; bu yüzden gündelik hayatta ışığın keskin gölge bıraktığını görürüz. Aralık milimetrenin onda biri mertebesine indiğinde oran birkaç yüze düşer ve kırınım perdede ölçülebilir hâle gelir. Sevgül'ün parmakları tam olarak bunu yaptı.

Laboratuvarda düzenek şöyle kurulur: tek renkli bir ışık (çoğunlukla bir lazer) genişliği ayarlanabilen dar bir yarıktan geçer ve yarıktan L kadar uzaktaki bir perdeye düşer. Yarığın dar kenarının uzunluğuna, yani genişliğine w diyoruz; desen perdede bu doğrultuda yayılır. Lazerle çalışırken ışına ya da parlak bir yüzeyden yansıyan izine doğrudan bakılmaz; desen yalnız perdede izlenir.

Perdede ne görülür?

Desenin ortasında, yarığın tam karşısında geniş ve parlak bir merkez aydınlık saçak (merkezî maksimum) durur. İki yanında karanlık ve aydınlık saçaklar sırayla dizilir. Yan aydınlıklar merkezden hem dar hem sönüktür: her biri merkezin yarısı genişliğindedir. Birinci yan aydınlığın tepe parlaklığı merkezinkinin yaklaşık yirmide biri kadardır, dışa doğru gidildikçe saçaklar daha da solar. Bu yüzden yarığın gerisine düşen ışığın büyük kısmı merkez saçakta toplanır.

Kancadaki şerit bu desendir. Yarık parmaklar gibi düşey duruyorsa desen yatay doğrultuda yayılır: kırınım, yarığın dar olduğu doğrultuda olur.

Karanlık neden oluşur?

İki kaynaklı leğende karanlık nokta, iki dalganın yol farkının yarım dalga boyu olmasından doğuyordu. Tek yarıkta iki ayrı kaynak yoktur, ama yarığın her noktası kendi dalgacığını yayan bir kaynak gibi davranır. Yarığı zihnimizde üst yarı ve alt yarı diye ikiye bölelim. Perdede θ açısıyla görülen bir noktaya, yarığın en üst kenarından ve tam ortasından çıkan iki dalgacık (w / 2) · sin θ kadar yol farkıyla ulaşır. Bu fark λ / 2 ise o çift birbirini söndürür. Üst yarıdaki her noktanın alt yarıda kendisinden tam w / 2 aşağıda bir eşi vardır ve bütün eşler aynı farkla birbirini götürür. Böylece birinci karanlık saçak için koşul (w / 2) · sin θ = λ / 2, yani w · sin θ = λ olur.

Yarığı dört, altı parçaya bölerek aynı düşünce sürdürülünce genel koşul çıkar:

w · sin θ = n · λ → n. karanlık saçak (n pozitif bir tam sayı)

Burada θ, saçağın yarığın orta dikmesiyle yaptığı açıdır. n = 0 yoktur: θ = 0 doğrultusunda bütün dalgacıklar eşit yollar alıp aynı evrede gelir ve en parlak nokta orasıdır. Koşulun çift yarıktaki aydınlık saçak koşuluna benzemesi kafa karıştırır; burada d değil w vardır ve n · λ bir karanlık verir.

Yan aydınlıkların ortası iki komşu karanlığın yaklaşık tam ortasına düşer; w · sin θ ≈ (n + ½) · λ yazılabilir. Gerçek tepe bu değerden biraz merkeze doğru kaymıştır; bu derste yan aydınlığın yerini değil genişliğini kullanacağız, o yüzden yaklaşım hesapları etkilemez.

sin θ değeri 1'i aşamaz. Bu yüzden n · λ < w koşulunu sağlayan her n bir karanlık verir; her numara merkezin sağında ve solunda birer karanlık oluşturur. Yarık dalga boyundan darsa (w < λ) hiç karanlık oluşmaz; ışık yarığın gerisini düzgünce aydınlatır.

Açıdan perdeye

Perde yarığa göre çok uzakta olduğunda açılar küçük kalır ve sin θ ≈ tan θ yaklaşımı iyi çalışır. tan θ, saçağın merkezden uzaklığının L'ye oranıdır. Buradan n. karanlık saçağın merkezden uzaklığı:

x_n = n · λ · L / w

Ardışık iki karanlık arasındaki uzaklık λ · L / w'dir; yan aydınlıkların genişliği budur. Merkez aydınlık ise iki yandaki birinci karanlıkların arasındaki bütün aralığı kaplar, çünkü n = 0 numaralı bir karanlık yoktur. Merkezin yan saçakların iki katı geniş olmasının nedeni budur:

merkez aydınlık genişliği = 2 · λ · L / w

Sayıyla deneyelim. λ = 600 nm, w = 0,12 mm, L = 2 m olsun. Birinci karanlık için sin θ = λ / w = 1 / 200; açı gerçekten küçüktür. x₁ = 600 · 10⁻⁹ · 2 / (0,12 · 10⁻³) = 0,01 m = 1 cm. Merkez aydınlık 2 cm, her yan aydınlık 1 cm genişliğindedir. Birimleri denetlemek kolaydır: m · m / m sonucu metre verir.

Desen neyle büyür, neyle küçülür?

Merkez genişliği 2 · λ · L / w ifadesinde w kesrin altında durur ve Sevgül'ün şaşkınlığını bu konum açıklar: yarık daraldıkça desen genişler. λ ile L kesrin üstündedir; ikisi büyüdükçe desen de büyür.

Beyaz ışıkta durum çift yarıktakine benzer: merkez beyaz kalır, yanlar renklenir. Tek yarıkta bunu doğrudan formül söyler. Kırmızının dalga boyu (yaklaşık 700 nm) morunkinin (yaklaşık 400 nm) 1,75 katı olduğundan kırmızının birinci karanlığı da merkezden o oranda uzaktadır. Merkez aydınlığın kenarlarında mor çoktan sönmüşken kırmızı hâlâ aydınlıktır; bu yüzden merkezin kenarları kırmızımsı görünür.

Düzenek başka bir ortama girerse

Ortam değişiminin kuralı çift yarıktakiyle aynıdır: frekans korunur, ışık yavaşlar ve yarıkla perde arasında λ' = λ / n_o olur. Tek yarık formülünde λ yerine λ' yazmak yeterlidir; bütün desen n_o oranında küçülür. Yukarıdaki 600 nm'lik örnek, su dolu bir kapta (n_o = 4/3) kurulsaydı λ' = 450 nm çıkar, merkez aydınlık 2 cm'den 1,5 cm'ye inerdi. Kırılma indisi gösterimi saçak numarası n ile karışmasın diye burada n_o yazıldı.

Çift yarıkla yan yana

Bir önceki ders olan «Işıkta çift yarık deneyi», perdede eşit aralıklarla dizilmiş saçaklar göstermişti; saçak aralığı λ · L / d idi. Tek yarığın deseni bu düzenden şu noktalarda ayrılır:

Bir desen sorusunda ilk iş, merkez saçağın yanlardakinden geniş olup olmadığına bakmaktır; genişse tek yarık deseni okunuyordur.

Keskin gölgenin sınırı ve ayırma gücü

Geometrik optikte yarıktan geçen ışık yarık kadar bir leke bırakır. Bu yaklaşım, kırınımın açtığı genişlik yarığın kendisinden küçük kaldıkça doğrudur. 600 nm'lik ışık ve L = 2 m için 2 mm'lik yarıkta kırınım genişliği 1,2 mm çıkar; leke aşağı yukarı yarığın kendisi kadardır ve Sevgül'ün beklentisi burada haklıdır. Yarık 0,12 mm'ye inince kırınım genişliği 2 cm olur, yarığın yüz altmış katından fazla. Demek ki daraltmak lekeyi bir yere kadar küçültür, sonrasında kırınım öne geçer ve desen büyür.

Aynı sınır, bakan her alet için geçerlidir. Göz bebeği, fotoğraf makinesinin diyaframı ya da teleskobun aynası bir açıklıktır ve gelen ışığı az da olsa kırınıma uğratır. Birbirine çok yakın iki noktasal ışık kaynağının her biri görüntüde bir nokta değil küçük bir kırınım lekesi bırakır. Lekeler fazla örtüşürse iki kaynak tek bir leke gibi görünür. Açıklık büyüdükçe ya da dalga boyu kısaldıkça lekeler küçülür ve yakın iki kaynağı ayrı ayrı görme yeteneği, yani ayırma gücü artar. Büyük teleskopların geniş aynalara sahip olmasının bir nedeni budur. Diyaframı en dar ayara getirilmiş bir objektifle çekilen fotoğrafın beklenmedik biçimde yumuşak çıkması da kırınımla ilgilidir.

Soru çözerken

Hesaba başlamadan nanometreyi ve milimetreyi metreye çevir. Açı soruluyorsa w · sin θ = n · λ yeterlidir; perdede uzaklık soruluyorsa x_n = n · λ · L / w kullan. Merkez genişliğinde 2 çarpanını unutma. İki yandaki saçaklar arası uzaklık sorulduğunda numaraları topla, aynı taraftakilerde çıkar. Ortam değiştiyse λ'yı kırılma indisine böl.

Bu derste ışık kaynağı da perde de yerinde duruyordu; perdeye bir saniyede ulaşan dalga tepesi sayısı, kaynağın bir saniyedeki titreşim sayısına eşitti. Kaynak hareket etmeye başlarsa önündeki tepeler birbirine yaklaşır, arkasındakiler aralanır; kaynak aynı frekansla titreşse bile duran bir gözlemciye tepeler başka bir sıklıkla varır. «Doppler olayı» dersinde bu sıklığın kaynağın ve gözlemcinin hızına nasıl bağlandığını hesaplayacak, aynı kaymanın ışıkta bir renk değişimi olarak nasıl okunduğunu göreceğiz.

Örnek 1 — Merkez aydınlığın genişliği

Soru: 0,2 mm genişliğindeki tek yarıktan geçen 500 nm'lik ışık 1,6 m ötedeki perdeye düşüyor. Merkez aydınlık saçağın genişliği kaç milimetredir?

• A) genişlik 0,8 mm
• B) genişlik 4 mm
• C) genişlik 16 mm
• D) genişlik 8 mm
• E) genişlik 2 mm

Çözüm: Merkez aydınlık genişliği 2 · λ · L / w = 2 · 500 · 10⁻⁹ · 1,6 / (0,2 · 10⁻³) = 8 · 10⁻³ m, yani 8 mm. 4 mm, 2 çarpanını unutan öğrencinin bulduğu yan saçak genişliğidir; 0,8 mm milimetreyi metreye çevirirken bir basamak kaydırmaktan gelir. Cevap: D.

Örnek 2 — Kaç karanlık saçak?

Soru: Dalga boyu 0,6 μm olan ışık 2,6 μm genişliğindeki bir yarıktan geçiyor ve yarığın arkası yarım silindir biçimli bir perdeyle çevrilmiş; her açıda saçak görülebiliyor. Desende toplam kaç karanlık saçak vardır?

• A) 8 karanlık saçak
• B) 4 karanlık saçak
• C) 9 karanlık saçak
• D) 5 karanlık saçak
• E) 10 karanlık saçak

Çözüm: sin θ = n · λ / w < 1 olmalı, yani n < w / λ = 4,33. Koşulu sağlayan dört numara vardır: 1'den 4'e kadar. Her numara merkezin sağına ve soluna birer karanlık koyduğundan toplam 8 karanlık vardır. 4 yalnız bir tarafı sayan, 9 ise çift yarıktaki gibi merkezi de katıp tek sayıya ulaşan öğrencinin cevabıdır. Cevap: A.

Örnek 3 — Düzenek suya giriyor

Soru: Havada kurulan bir tek yarık düzeneğinde merkez aydınlık saçağın genişliği 1,2 cm ölçülüyor. Yarık, perde ve ışık kaynağının yeri değiştirilmeden düzeneğin tamamı suyun içine alınıyor; su için n_o = 4/3 alınız. Yeni merkez genişliği kaç santimetredir?

• A) genişlik 1,6 cm
• B) genişlik 1,2 cm
• C) genişlik 0,45 cm
• D) genişlik 0,6 cm
• E) genişlik 0,9 cm

Çözüm: Suda frekans aynı kalır; dalga boyu kısalır ve λ' = λ · 3/4 olur. Genişlik λ ile doğru orantılıdır: 1,2 · 3 / 4 = 0,9 cm. Kırılma indisiyle çarpan öğrenci 1,6 cm bulur; ortamın etkisini görmeyen 1,2 cm'de kalır. Cevap: E.

Örnek 4 — Çift yarıktan tek yarığa

Soru: Bir çift yarık düzeneğinde yarıklar arası uzaklık 0,3 mm iken perdede komşu iki aydınlık saçağın ortaları arası 2 mm ölçülüyor. Aynı ışık ve aynı perde uzaklığıyla çift yarık yerine 0,1 mm genişliğinde tek yarık konuyor. Merkez aydınlık saçak kaç milimetre genişliğinde olur?

• A) genişlik 6 mm
• B) genişlik 12 mm
• C) genişlik 2 mm
• D) genişlik 4 mm
• E) genişlik 0,67 mm

Çözüm: Çift yarıktan λ · L = Δx · d = 2 mm · 0,3 mm = 0,6 mm² bulunur. Tek yarıkta merkez genişliği 2 · λ · L / w = 2 · 0,6 / 0,1 = 12 mm. 6 mm, 2 çarpanını atlayan; 2 mm ise iki desenin aynı aralıkla dizildiğini sanan öğrencinin cevabıdır. Cevap: B.

• Yarık daralınca desenin de daralacağını sanmak. Geniş yarıkta leke yarık kadardır, ama kırınım belirginleştikten sonra merkez genişliği 2 · λ · L / w ile yarık daraldıkça büyür.
• w · sin θ = n · λ koşulunu aydınlık saçak sanmak. Çift yarıkta bu biçim aydınlık verir; tek yarıkta karanlık verir ve n sıfırdan değil birden başlar.
• Merkez genişliğinde 2 çarpanını unutmak. λ · L / w bir yan aydınlığın genişliğidir; merkez, iki yandaki birinci karanlıklar arasında kaldığı için iki katıdır.
• Ortamda dalga boyunu kırılma indisiyle çarpmak. Optikçe yoğun ortamda ışık yavaşlar, frekans aynı kaldığı için dalga boyu kısalır ve desen daralır.
• Merkezi de karanlık saçak sayısına eklemek. Merkez aydınlıktır; karanlıklar her numaradan ikişer olduğu için toplam sayı çifttir.