Işıkta çift yarık deneyi

Yatılı okulun yurdunda elektriklerin kesildiği bir akşam Reyhan ile oda arkadaşı Petek, telefonlarının fenerlerini dolabın beyaz kapağına tutuyor. İki ışık lekesinin örtüştüğü bölge, lekelerin ikisinden de parlak. Reyhan bunu TYT'deki «Aydınlanma ve gölge» dersine bağlıyor: bir yüzeyi iki kaynak aydınlatınca aydınlanmalar toplanır. Petek ise fenerini AYT kitabının açık sayfasına çeviriyor. Sayfaya göre tek bir lambanın ışığı birbirine çok yakın iki ince yarıktan geçirilip bir perdeye düşürülünce perdede, ortası aydınlık olmak üzere, sıra sıra karanlık şeritler beliriyormuş. Reyhan ikna olmuyor: «Işığın üstüne ışık koyunca karanlık çıkmaz. Bak, dolap kapağında tek bir gölge şerit bile yok.» Dolap kapağında şerit neden yok da perdede var? Varsa, karanlık şeritler perdenin tam olarak neresine düşüyor?

• Perdedeki bir noktanın aydınlık saçakta mı karanlık saçakta mı olduğunu yarıklara olan yol farkından bulur, saçağın numarasını verirsin.
• Dalga boyunu nanometreden metreye çevirerek saçak genişliğini ve n. aydınlık ya da karanlık saçağın merkeze uzaklığını hesaplarsın.
• Dalga boyu, yarık aralığı, perde uzaklığı ya da ortam değişince saçakların nasıl daralıp genişlediğini açıklarsın.
• Beyaz ışıkta ve yarıklardan birinin önüne saydam levha konduğunda desenin nasıl değiştiğini yorumlarsın.

Leğendeki çizgiler perdede şerit olur

Önceki derste iki aynı fazlı kaynağın su yüzeyinde katar ve düğüm çizgileri ürettiğini, bir noktanın hangi çizgide durduğunu yol farkının söylediğini gördük. Işıkta da aynı kurallar işler, yalnız ölçek ve görüntü değişir. Leğende çizgileri yukarıdan bakarak izliyorduk. Işıkta ise yarıkların karşısına bir perde koyarız ve çizgilerin perdeyi kestiği yerleri görürüz. Bir katar çizgisi perdeye bir aydınlık saçak olarak düşer; orada iki dalga birbirini güçlendirir. Bir düğüm çizgisi perdede karanlık saçak bırakır; orada iki dalga birbirini söndürür. L01'deki adlandırma olduğu gibi taşınır: merkezdeki aydınlık saçak K₀, sonra iki yanda sırayla D₁, K₁, D₂, K₂…

TYT'nin ışık derslerinden de iki parça gerekiyor. «Kırılma ve tam yansıma» dersi, ışık bir ortamdan ötekine geçerken frekansın korunduğunu, hızla birlikte dalga boyunun değiştiğini gösterdi. «Prizma ve renkler» dersi de beyaz ışığın renklerden oluştuğunu, görünür ışığın dalga boylarının yaklaşık 400 ile 700 nanometre arasında kaldığını ve kırmızının en uzun, morun en kısa dalga boylu renk olduğunu verdi.

Fenerlerde neden şerit yok?

Reyhan'ın dolap kapağı yanlış bir şey göstermiyor. İki ayrı fenerin ışığı, aralarında sabit bir faz ilişkisi olmadan salınır; bir noktada bir an güçlenme, hemen ardından sönme olur ve bu dağılım gözün izleyemeyeceği hızla değişip durur. Göz yalnızca ortalamayı görür; ortalamada da aydınlanmalar toplanır. Kalıcı bir desen için leğendeki tek motorlu çıtanın karşılığı gerekir: iki kaynağın titreşimi aynı kaynaktan gelmeli. Çift yarık bunu sağlar. Tek bir kaynağın ışığı iki yarığa aynı anda ulaşır, kırınıma uğrayarak her yarıktan yeni bir dalga yayılır ve iki yarık aynı fazlı iki kaynak gibi çalışır. Kaynak yarıkların tam karşısında, iki yarığa eşit uzaklıkta durduğu sürece bu böyledir.

Young'ın deneyi neyi gösterdi?

Thomas Young 19. yüzyılın başında tek bir ışık demetini ikiye ayırıp perdede aydınlık ve karanlık şeritler elde etti; bugün bu deney ders kitaplarında çift yarık düzeneğiyle anlatılır. Deneyin ağırlığı karanlık şeritlerden gelir. Işık yalnız düz çizgide giden tanecik akışı olsaydı, ikinci yarığı açmak perdenin her yerine ışık eklerdi; hiçbir nokta kararmazdı. Oysa bazı noktalarda ikinci yarık açılınca ışık azalıp kayboluyor. Bunu ancak tepe ile çukurun birbirini götürmesi açıklar. Çift yarık deseni ışığın dalga gibi girişim yaptığının doğrudan kanıtıdır ve ışığın dalga boyunu ölçmenin de bir yoludur. Bugün bu deney çoğunlukla lazer ışığıyla yapılır; lazer ışığı hiçbir zaman göze, birinin yüzüne ya da ayna gibi parlak yüzeylere tutulmaz.

Düzenek ve yol farkı

İki yarık arasındaki uzaklığa d, yarıkların bulunduğu levhadan perdeye uzaklığa L diyelim. Perdenin ortası, yani iki yarığa eşit uzaklıktaki nokta O olsun. Perdede O'dan x kadar yukarıdaki bir P noktasına iki yarıktan gelen ışınların aldığı yollar farklıdır. Yarıkları birleştiren doğrunun orta noktasından P'ye çizilen doğru, O'ya giden doğruyla θ açısı yapar. L, d'den binlerce kat büyük olduğu için iki yarıktan P'ye giden ışınlar neredeyse paraleldir ve yollar arasındaki fark yaklaşık d · sin θ kadardır.

Laboratuvar düzeneklerinde θ çok küçüktür: L bir iki metre iken x milimetrelerle ölçülür. Küçük açıda sin θ ile tan θ birbirine çok yakındır ve tan θ = x / L yazılabilir. Böylece yol farkı perdedeki konuma bağlanır:

Δ ≈ d · x / L

Bu ilişki x ile Δ'yı doğrusal bağlar: perdede merkezden iki kat uzaklaşan noktanın yol farkı da iki katına çıkar.

Saçakların yeri

Leğendeki koşullar şimdi perdede okunur. İki yol arasındaki fark λ'nın tam sayı katına eşitse nokta aydınlık, bir tam katın yarım eksiğine eşitse karanlıktır. Δ yerine d · x / L koyup x'i yalnız bırakırsak saçakların konumlarını buluruz:

Birinci karanlık saçak merkezden λ · L / (2d) kadar uzaktadır, yani K₀ ile K₁'in tam ortasında. Her numaradan merkezin iki yanında birer saçak bulunur ve desen merkeze göre simetriktir.

Saçak genişliği

Ardışık iki aydınlık saçağın merkezleri arasındaki uzaklığa saçak genişliği (saçak aralığı) denir. Tablodan Kₙ₊₁ ile Kₙ arasındaki fark hemen okunur:

Δx = λ · L / d

Ardışık iki karanlık saçak da aynı uzaklıktadır; bir aydınlık ile komşu karanlık arası Δx / 2'dir. Küçük açı yaklaşımı geçerli olduğu sürece saçaklar perdede eşit aralıklı dizilir. Bu sayede Kₙ konumu kısaca n · Δx, Dₙ konumu (n − ½) · Δx diye yazılabilir.

Bir sayı deneyelim. Dalga boyu 600 nm olan turuncu ışık, aralarında 0,3 mm bulunan iki yarıktan geçiyor ve 1,5 m uzaktaki perdeye düşüyor. Birimleri metreye çevirmek hesabın yarısıdır: 600 nm = 6 · 10⁻⁷ m ve 0,3 mm = 3 · 10⁻⁴ m. Buradan Δx = 6 · 10⁻⁷ · 1,5 / (3 · 10⁻⁴) = 3 · 10⁻³ m, yani 3 mm çıkar. Milimetrenin binde birinden kısa bir dalga boyu, yarık aralığı ile perde uzaklığının oranı sayesinde gözle görülebilir bir şerit aralığına büyür.

Saçaklar arasındaki uzaklık sorulurken iki saçağın merkezin aynı yanında mı yoksa iki ayrı yanında mı olduğuna bakılır. Aynı yanda konumlar çıkarılır, ayrı yanlarda toplanır. Δx = 3 mm iken K₃ ile aynı yandaki D₁ arasında (3 − 0,5) · 3 = 7,5 mm, merkezin öbür yanındaki D₁ ile arasında (3 + 0,5) · 3 = 10,5 mm vardır.

Desen neye göre genişler?

Δx = λ · L / d ilişkisi bütün değişiklik sorularının anahtarıdır:

İki büyüklük birlikte değişirse oranlar çarpılır. Yarık aralığı yarıya inip perde uzaklığı üç katına çıkarsa saçak genişliği 2 · 3 = 6 katına çıkar.

Düzenek suya daldırılınca

Bu bölümde kırılma indisi için n_o yazıyoruz; n harfi saçak sırasına ayrılmış durumda. Yarıklar ile perde arasındaki bölge kırılma indisi n_o olan bir sıvıyla doldurulursa ışığın frekansı korunur, hızı c / n_o'ya iner ve dalga boyu da n_o kat kısalarak λ' = λ / n_o değerini alır. d ile L değişmediği için saçak genişliği de aynı oranda küçülür: Δx' = Δx / n_o. Kırılma indisi 4/3 alınan suda 3 mm'lik saçak genişliği 2,25 mm'ye iner, saçaklar sıklaşır ve perdenin aynı bölümüne daha çok saçak sığar. Merkez saçak yerinde kalır, çünkü iki yarığa eşit uzaklıktaki noktada yol farkı ortam ne olursa olsun sıfırdır.

Beyaz ışıkta desen

Beyaz ışıkta her renk kendi dalga boyuna göre ayrı bir desen kurar ve bu desenler üst üste biner. Merkezde her rengin yol farkı sıfırdır, bütün renkler aynı noktada güçlenir ve merkez saçak beyaz görünür. Merkezden uzaklaştıkça renkler ayrışır. Mor ışığın saçak genişliği en küçük olduğu için onun birinci aydınlık saçağı merkeze en yakın düşer, kırmızınınki en uzağa. Bu yüzden merkezin iki yanındaki ilk saçaklarda merkez tarafında mor tonu, dışa dönük tarafta kırmızı tonu ağır basar. Birkaç saçak sonra bir rengin aydınlık saçağı başka bir rengin karanlık saçağına denk gelmeye başlar, renkler karışır ve saçaklar seçilemez hâle gelir. Beyaz ışıkla yapılan deneyde ancak birkaç renkli saçak görülmesinin nedeni budur.

Yarığın önüne saydam levha

Yarıklardan birinin, örneğin üstteki yarığın önüne ince, saydam bir levha konduğunu düşünelim. Işık levhanın içinde yavaşlar ve o yarıktan çıkan dalga, öbürüne göre geride kalır; sanki yolu uzamış gibi davranır. Kalınlığı t, kırılma indisi n_o olan bir levhanın eklediği yol (n_o − 1) · t kadardır. Yol farkının sıfır olduğu merkez saçak artık O'da oluşamaz. Levhalı yarıktan gelen ışığın geometrik yolunun kısalması gerekir; bu da merkez saçağın levha konan yarığın tarafına kayması demektir. Bütün desen olduğu gibi kayar, saçak genişliği değişmez. Eklenen yol dalga boyunun kaç katıysa desen o kadar saçak kayar. Kırılma indisi 1,5 ve kalınlığı 2 · 10⁻⁶ m olan bir levha 1 · 10⁻⁶ m'lik yol ekler; ışığın dalga boyu 500 nm ise bu tam iki dalga boyudur ve merkez saçak 2 · Δx kadar kayar.

Soru çözerken

Önce bütün uzunlukları metreye çevir: 1 nm = 10⁻⁹ m, 1 mm = 10⁻³ m. Saçak genişliğini hesapla; sonra istenen saçağın konumunu Δx'in katı olarak yaz. Bir noktayı adlandırırken ya yol farkını λ'ya ya da merkeze uzaklığı Δx'e böl: tam sayı aydınlık, buçuklu sayı karanlık saçak verir ve buçuklu sonuca ½ eklenince karanlık saçağın numarası çıkar. Ortam değişirse yalnız λ'yı n'ye böl; levha varsa kaymanın yönünü levhanın tarafından oku.

Perdedeki desenin her aydınlık saçağına iki yarık birlikte katkı veriyordu. Yarıklardan biri kapatılınca eşit aralıklı şeritler kaybolur, ama perde düzgün aydınlanmaz; yeterince dar tek bir yarık da kendi desenini kurar. «Tek yarıkta kırınım» dersinde karanlık şeritlerin yerini yarıklar arası d'nin değil yarığın genişliğinin belirlediğini, w · sin θ = n · λ koşulunun orada aydınlık değil karanlık verdiğini ve ortadaki aydınlık saçağın yanlardakilerden neden geniş olduğunu göreceğiz.

Örnek 1 — Üçüncü karanlık saçak

Soru: Dalga boyu 500 nm olan ışık, aralarında 0,25 mm bulunan iki yarıktan geçip 2 m uzaktaki perdeye düşüyor. Üçüncü karanlık saçağın merkez aydınlık saçağa uzaklığı kaç milimetredir?

• A) x = 14 mm
• B) x = 12 mm
• C) x = 4 mm
• D) x = 10 mm
• E) x = 1 mm

Çözüm: 500 nm = 5 · 10⁻⁷ m, 0,25 mm = 2,5 · 10⁻⁴ m. Δx = 5 · 10⁻⁷ · 2 / (2,5 · 10⁻⁴) = 4 · 10⁻³ m = 4 mm. Üçüncü karanlık saçak (3 − ½) · Δx = 2,5 · 4 = 10 mm uzaktadır. 12 mm üçüncü aydınlık saçağın yeridir; 14 mm, ½'yi çıkarmak yerine ekleyen öğrencinin bulduğu değerdir. 4 mm yalnız saçak genişliğidir. Cevap: D.

Örnek 2 — Yol farkından saçak adı

Soru: Dalga boyu 640 nm olan kırmızı ışıkla kurulan bir çift yarık düzeneğinde perdedeki P noktasının iki yarığa uzaklıkları arasındaki fark 2,24 · 10⁻⁶ m'dir. P hangi saçaktadır?

• A) üçüncü aydınlık saçak, K₃
• B) üçüncü karanlık saçak, D₃
• C) dördüncü aydınlık saçak, K₄
• D) yedinci karanlık saçak, D₇
• E) dördüncü karanlık saçak, D₄

Çözüm: 640 nm = 6,4 · 10⁻⁷ m. Δ / λ = 2,24 · 10⁻⁶ / (6,4 · 10⁻⁷) = 3,5. Buçuklu değer karanlık saçak demektir; numarayı bulmak için 3,5'e ½ eklenir ve D₄ çıkar. 3,5'i aşağı yuvarlayan D₃'e, yarım dalga boyu sayan (3,5 · 2 = 7) D₇'ye ulaşır. Cevap: E.

Örnek 3 — Suda iki ayrı yandaki saçaklar

Soru: Dalga boyu havada 600 nm olan ışık, aralarında 0,4 mm bulunan iki yarıktan 1,2 m uzaktaki perdeye düşüyor. Yarıklar ile perde arasındaki bölge suyla (n_o = 4/3) dolduruluyor. Suda, merkezin bir yanındaki ikinci aydınlık saçak ile öbür yanındaki birinci karanlık saçak arası kaç milimetredir?

• A) uzaklık 4,5 mm
• B) uzaklık 3,375 mm
• C) uzaklık 2,025 mm
• D) uzaklık 6 mm
• E) uzaklık 2,7 mm

Çözüm: Havada Δx = 6 · 10⁻⁷ · 1,2 / (4 · 10⁻⁴) = 1,8 · 10⁻³ m = 1,8 mm. Suda dalga boyu 4/3'e bölünür: Δx' = 1,8 · 3/4 = 1,35 mm. Saçaklar merkezin ayrı yanlarında olduğu için konumlar toplanır: 2 · Δx' + 0,5 · Δx' = 2,5 · 1,35 = 3,375 mm. 2,025 mm iki saçağı aynı yanda sanıp çıkaranın; 4,5 mm suyu unutup hava değeriyle hesaplayanın; 6 mm ise dalga boyunu n'ye bölmek yerine n ile çarpanın sonucudur. Cevap: B.

Örnek 4 — Levha deseni nereye iter?

Soru: Çift yarık düzeneğinde 500 nm dalga boylu ışık kullanılıyor ve saçak genişliği Δx'tir. Üstteki yarığın önüne kırılma indisi 1,5, kalınlığı 2 · 10⁻⁶ m olan saydam bir levha konuyor. Desen için hangisi doğrudur?

• A) merkez saçak alttaki yarığın tarafına 2 · Δx kayar, Δx değişmez
• B) merkez saçak üstteki yarığın tarafına 2 · Δx kayar, Δx değişmez
• C) merkez saçak yerinde kalır, Δx yarıya iner
• D) merkez saçak üstteki yarığın tarafına 4 · Δx kayar, Δx değişmez
• E) desen kaybolur, perde düzgün aydınlanır

Çözüm: Levhanın eklediği yol (1,5 − 1) · 2 · 10⁻⁶ = 1 · 10⁻⁶ m'dir; bu 1 · 10⁻⁶ / (5 · 10⁻⁷) = 2 dalga boyu eder. Üstteki yarıktan gelen ışık geride kaldığı için yol farkı sıfır olan nokta üstteki yarığa yaklaşır; desen o tarafa iki saçak kayar ve saçak genişliği değişmez. Yönü ters kuran A'ya, (n_o − 1) çarpanını unutup kalınlığı doğrudan dalga boyuna bölen D'ye gider. Cevap: B.

• Birimleri çevirmeden formüle koymak. λ nanometre, d milimetre, L metre verilir; üçü de metreye çevrilmeden bulunan saçak genişliği 10'un kuvvetleri kadar şaşar.
• Karanlık saçağın numarasını yanlış okumak. Merkezden 2,5 · Δx uzaktaki saçak D₂ değil D₃'tür; birinci karanlık saçak merkezden yalnız Δx / 2 uzaktadır.
• İki ayrı yandaki saçakların uzaklığını çıkarmak. Saçaklar merkezin iki yanındaysa konumları toplanır, aynı yandaysa çıkarılır.
• Suda dalga boyunu n ile çarpmak. Kırılma indisi büyük ortamda ışık yavaşlar, dalga boyu λ / n_o olur ve saçaklar daralır.
• Levhalı desende kaymanın yönünü ters kurmak. Levha o yarığın yolunu uzatır; merkez saçak levha konan yarığın tarafına kayar ve saçak genişliği değişmez.
• İki ayrı lambadan da girişim deseni beklemek. Kalıcı desen için iki dalganın aynı kaynaktan gelmesi gerekir; ayrı lambaların aydınlanmaları yalnız toplanır.