Su dalgalarında kırınım ve girişim

Lara bir hafta sonu öğleden sonra odasındaki çalışma masasında şeffaf bir saklama kutusuna iki parmak su koyuyor, kutunun üstüne de ortasında küçük bir titreşim motoru bulunan tahta bir çıta yerleştiriyor. Çıtanın iki ucuna birer tükenmez kalem bantlamış; motor çalışınca iki kalemin ucu suya aynı anda dokunup kalkıyor. Tek kalemle düzgün halkalar elde etmişti. Kardeşi Mirza'ya iddiasını söylüyor: «İki kalem iki kat dalga demek, kutunun her yerinde su eskisinden yüksek kabaracak.» Masa lambasını kutunun üstüne tutup alttaki beyaz kartona bakınca başka bir görüntü çıkıyor: kalemlerin arasından dışa doğru yelpaze gibi açılan, suyun neredeyse kıpırdamadığı soluk şeritler ve onların arasında eskisinden belirgin biçimde çalkantılı kuşaklar. Suya bıraktığı küçük bir kâğıt parçası soluk şeritlerden birine denk gelince olduğu yerde duruyor. İki dalga bazı yerlerde birbirini nasıl siliyor, bu şeritlerin yeri neye göre belirleniyor?

• Dalganın bir aralığın ardında ne ölçüde yana yayılacağını, aralık genişliğini dalga boyuyla karşılaştırarak kestirirsin.
• İki özdeş kaynağın oluşturduğu desende bir noktanın katar çizgisi mi düğüm çizgisi mi üzerinde olduğunu yol farkından bulur, çizginin numarasını verirsin.
• Kaynaklar arası uzaklık ve dalga boyu verildiğinde desendeki katar ve düğüm çizgilerinin sayısını hesaplarsın.
• Frekans, derinlik ya da kaynakların fazı değişince desenin nasıl değiştiğini açıklarsın.

TYT'den gelen üç parça

Bu dersin malzemesinin çoğu TYT'den geliyor; yeni olan, parçaların birleştiği yer. «Dalgalarda temel kavramlar» dersinden genliği, dalga boyunu (λ), frekansı ve v = λ · f ilişkisini alıyoruz; frekansın kaynağa, hızın ortama bağlı olduğu da oradan geliyor. «Yay dalgaları» dersinde karşılaşan iki atmanın üst üste bindiğini, aynı taraftaki yer değiştirmelerin toplandığını, zıt taraftakilerin birbirinden çıktığını görmüştük. «Su dalgaları» dersi de dalga leğenini, derin suda hızın büyük, sığ suda küçük olduğunu ve dar bir aralıktan geçen dalganın yanlara açıldığını tanıttı. Bugünkü iş, bu üçünü iki kaynağın aynı anda çalıştığı bir leğende bir araya getirmek.

Kırınımın ölçüsü: aralık bölü dalga boyu

TYT'de kırınımı nitel olarak tanıdık: dar aralık, belirgin yayılma. AYT'de karar bir orana bağlanır. Aralığın genişliğine w diyelim. Kırınımın ne kadar belirgin olduğunu w'nin kendisi değil, w / λ oranı belirler. Oran 1'e yakın ya da 1'den küçükse aralıktan geçen dalga neredeyse yarım çember biçiminde her yöne yayılır; aralık sanki yeni bir noktasal kaynakmış gibi davranır. Oran büyüdükçe, örneğin 5'i, 10'u aştıkça, dalga aralıktan büyük ölçüde doğrusal geçer ve yalnız kenarlarda hafifçe kıvrılır.

Sayıyla görelim. Hızı 20 cm/s olan dalgaları 10 Hz ile üreten bir kaynağın dalga boyu 2 cm'dir. Bu dalgalar 1 cm'lik bir aralığa gelirse oran 0,5'tir ve yayılma çok belirgindir. Aynı dalgalar 10 cm'lik bir aralığa gelirse oran 5'tir ve aralığın gerisinde genişliği aralığa yakın, kenarları biraz bulanık bir demet ilerler. Çok dar bir aralıktan geçebilen dalganın genliği küçük kalır, çünkü engelin geri kalanı dalganın büyük kısmını yansıtır; yayılma ise en geniştir.

Aralığa dokunmadan kırınımı değiştirmenin yolu λ'yı değiştirmektir. Kaynağın frekansı iki katına çıkarılırsa hız aynı kaldığı için λ yarıya iner, w / λ iki katına çıkar ve kırınım azalır. Aralığın bulunduğu bölge de dahil leğen sığlaştırılırsa frekans değişmez, hız düşer, λ kısalır; sonuç yine kırınımın azalmasıdır. Kırınım dalganın yönünü ve yayılma biçimini değiştirir; frekansı, hızı ve dalga boyunu değiştirmez. Aralığın iki yanındaki su aynı derinlikteyse geçen dalganın λ'sı gelen dalganınkiyle aynıdır.

İki kaynak, tek titreşici

Lara'nın düzeneğinde iki kalem aynı çıtaya bağlı olduğu için suya aynı anda dokunur ve aynı anda kalkar. Böyle kaynaklara aynı fazlı (eş fazlı) kaynaklar denir: biri tepe ürettiği anda öbürü de tepe üretir. Kalemler aynı motordan sürüldüğü için frekansları da eşittir; aynı suda ilerledikleri için dalga boyları da. Bu derste aksi söylenmedikçe kaynaklar aynı fazlı, frekansları ve genlikleri eşit olacak. İki kaynağa S₁ ve S₂, aralarındaki uzaklığa d diyeceğiz.

Kırınımla bağlantı burada kurulur. Doğrusal dalgaların önüne iki dar aralığı olan bir engel koyarsak, her aralık kırınım yoluyla dairesel dalga yayan bir noktasal kaynak hâline gelir. Doğrusal dalga iki aralığa aynı anda ulaşıyorsa çıkan iki dairesel dalga da aynı fazlıdır. Böylece tek bir cetvelle iki eş kaynak elde edilir.

Tepe tepeye, tepe çukura

Leğenin her noktasına iki kaynaktan da dalga ulaşır ve noktanın yer değiştirmesi iki dalganın o noktada oluşturacağı yer değiştirmelerin toplamıdır. Bir noktaya iki tepe aynı anda varırsa orada çift tepe oluşur; kaynakların genliği A ise su 2A kadar yükselir. Yarım periyot sonra aynı noktaya iki çukur gelir ve çift çukur oluşur. Bu nokta 2A genlikle titreşir. Bir tepe ile bir çukurun hep aynı anda vardığı noktada ise iki yer değiştirme her an birbirini götürür; su orada kıpırdamaz. Lara'nın kâğıt parçası böyle bir noktaya düşmüştü.

Genlikler eşit değilse kural aynı mantıkla genişler. Genlikleri 0,4 cm ve 0,1 cm olan iki kaynakta güçlenen noktalar 0,5 cm, zayıflayan noktalar 0,3 cm genlikle titreşir. Tam durgunluk ancak genlikler eşitken olur.

Katar çizgileri ve düğüm çizgileri

Çift tepe ve çift çukurların oluştuğu noktalar leğende rastgele dağılmaz, kaynakların arasından dışarı doğru uzanan çizgiler üzerinde sıralanır. Bu çizgilere katar çizgisi (dalga katarı, antinodal line) denir. Tepe ile çukurun karşılaştığı durgun noktalar da kendi çizgilerini oluşturur: düğüm çizgisi (nodal line). İki tür çizgi sırayla dizilir: bir katar, bir düğüm, yine bir katar. Kaynaklara yakın yerde kıvrık olan bu çizgiler uzaklaştıkça neredeyse düz ışınlar gibi açılır; kancadaki yelpaze bu görüntüdür.

Katar çizgisi üzerindeki bir noktanın her an tepe olduğunu sanmak yaygın bir yanılgıdır. O nokta 2A genlikle aşağı yukarı titreşir; bir an çift tepe, yarım periyot sonra çift çukur olur, arada denge konumundan geçer. Desen yerinde durur, çift tepe ve çift çukurlar katar çizgileri boyunca kaynaklardan dışarı doğru kayar. Düğüm çizgisindeki nokta ise bütün süre boyunca denge konumunda kalır.

S₁ ile S₂'yi birleştiren doğru parçasının orta dikmesine merkez doğrusu denir. Bu doğrunun her noktası iki kaynağa eşit uzaklıktadır, iki dalga oraya hep aynı evrede varır; aynı fazlı kaynaklarda merkez doğrusu bir katar çizgisidir. Desen merkez doğrusuna göre simetriktir.

Yol farkı çizgiyi adlandırır

Bir P noktasının hangi çizgi üzerinde olduğunu, iki kaynağa olan uzaklıklarının farkı belirler. Bu farka yol farkı denir: Δ = |PS₁ − PS₂|. Yol farkı dalga boyunun tam katıysa iki dalga P'ye aynı evrede varır, değilse evreleri kayar. Kural ve YKS'de kullanılan numaralandırma şöyledir:

Birinci düğüm çizgisi yarım dalga boyuna, ikincisi bir buçuk dalga boyuna karşılık gelir. Her numaradan merkez doğrusunun iki yanında birer çizgi vardır; P hangi kaynağa daha yakınsa o kaynağın tarafındaki çizgidedir.

İki örnekle uygulayalım; dalga boyu 2 cm olsun. P noktası S₁'den 13 cm, S₂'den 8 cm uzakta ise Δ = 5 cm = 2,5 λ olur. 2,5 = 3 − ½ olduğundan P üçüncü düğüm çizgisi D₃ üzerindedir ve S₂ tarafında kalır. Başka bir nokta için uzaklıklar 12 cm ve 6 cm ise Δ = 6 cm = 3 λ çıkar ve nokta K₃ üzerindedir. Yol farkı λ'nın ne tam ne buçuklu katıysa nokta iki çizginin arasındadır ve ara bir genlikle titreşir.

Kaynakların arasında ve çizgi sayısı

S₁S₂ doğru parçası üzerinde ortadan x kadar kayan bir nokta, bir kaynağa x kadar yaklaşır, öbüründen x kadar uzaklaşır; yol farkı 2x olur. Bu yüzden kaynakların arasında ardışık iki katar noktası λ / 2, bir katar noktası ile komşu düğüm noktası λ / 4 aralıklıdır. Her çizgi bu doğru parçasını bir kez keser.

Doğru parçası üzerinde yol farkı en çok d'ye ulaşabilir. Desende kaç çizgi olduğunu bulmak için d'yi λ ile karşılaştırırız: n · λ değeri d'den küçük kalan her n bir katar numarası, (n − ½) · λ değeri d'den küçük kalan her n bir düğüm numarasıdır. Her numaradan iki çizgi bulunur, yalnız merkez doğrusu tektir. Örneğin d = 6,4 cm ve λ = 2 cm ise d / λ = 3,2 olur. Katar numaraları 0, 1, 2, 3; toplam 1 + 2 · 3 = 7 katar çizgisi. Düğüm numaraları 1, 2, 3 (0,5; 1,5; 2,5 değerleri 3,2'den küçük); toplam 6 düğüm çizgisi. Aynı fazlı kaynaklarda katar çizgilerinin sayısı her zaman tektir. d / λ tam ya da buçuklu bir sayıya denk gelirse son çizgi kaynakları birleştiren doğrunun uzantısına yapışır; bu derste soruları bu sınır durumundan uzak tuttuk.

Desen neyle değişir?

Çizgilerin yerini ve sayısını yalnız d ile λ belirler. λ'yı değiştiren her şey deseni değiştirir:

Genliği büyütmek katar noktalarını daha kuvvetli titreştirir, ama çizgilerin yerine dokunmaz. Frekansın artması çizgileri çoğaltırken her noktanın titreşimini de hızlandırır.

Kaynaklar zıt fazlıysa

İki kalemi aynı çıtanın iki ayrı kolu gibi değil de bir tahterevalli gibi, biri inerken öbürü kalkacak biçimde bağladığımızı düşünelim. Şimdi S₁ tepe ürettiği anda S₂ çukur üretir; kaynaklar zıt fazlıdır. Merkez doğrusuna iki dalga yine aynı anda ulaşır, ama biri tepe olarak, öbürü çukur olarak. Merkez doğrusu artık bir düğüm çizgisidir. Bütün kurallar yer değiştirir: Δ = n · λ olan noktalar (Δ = 0 dahil) düğüm, Δ = (n − ½) · λ olan noktalar katar üzerindedir. Bu düzende numaralandırmayı ezberlemek yerine yol farkını λ cinsinden yaz ve tam mı buçuklu mu olduğuna bak. d = 6,4 cm ve λ = 2 cm örneği zıt fazlı kaynaklarda 7 düğüm ve 6 katar çizgisi verir; sayılar yer değiştirmiştir. Desen merkez doğrusuna göre yine simetriktir.

Soru çözerken

Önce λ'yı bul; hız ve frekans verilmişse λ = v / f. Kırınım sorusunda w / λ oranına bak. Bir noktayı adlandırırken yol farkını λ'ya böl, kaynakların aynı fazlı mı zıt fazlı mı olduğunu kontrol et ve buçuklu sonuca ½ ekleyerek düğüm numarasını oku. Çizgi sayısında d / λ'yı hesapla, her numaradan iki çizgi say, merkez doğrusunu bir kez ekle. Desen değişimi sorularında yalnız λ ile d'nin nasıl değiştiğini izle.

Leğende tepe ile çukur arasındaki fark gözle görülüyordu; çizgileri saymak için lambanın gölgesi yetiyordu. Işığın dalga boyu ise milimetrenin binde birinin birkaç katı kadardır ve tepeleri hiçbir lamba gösteremez. Yine de iki dar yarıktan geçen ışık bir perdeye düştüğünde orada yan yana dizilmiş aydınlık ve karanlık şeritler belirir. «Işıkta çift yarık deneyi» dersinde bu şeritlerin leğendeki hangi çizgilere karşılık geldiğini ve aralarındaki uzaklığın λ, d ve perde uzaklığıyla nasıl hesaplandığını kuracağız.

Örnek 1 — Frekans düşerse yayılma

Soru: Dalga leğeninde 12 Hz frekanslı doğrusal dalgalar 18 cm/s hızla ilerleyip 3 cm genişliğindeki bir aralıktan geçiyor. Derinlik değiştirilmeden kaynağın frekansı 6 Hz'e düşürülüyor. Yeni durumda aralık genişliğinin dalga boyuna oranı ve kırınımdaki değişim hangisidir?

• A) w / λ = 4; kırınım azalır
• B) w / λ = 2; kırınım değişmez
• C) w / λ = 1; kırınım artar
• D) w / λ = 0,5; kırınım artar
• E) w / λ = 1; kırınım azalır

Çözüm: İlk durumda λ = 18 / 12 = 1,5 cm, oran 3 / 1,5 = 2'dir. Hız derinliğe bağlı olduğundan değişmez; frekans yarıya inince λ = 18 / 6 = 3 cm olur ve oran 1'e düşer. Oran küçüldüğü için kırınım belirginleşir. Frekansla dalga boyunu doğru orantılı sanan öğrenci λ'yı 0,75 cm bulur ve 4'e ulaşır; 0,5 ise ilk durumdaki oranın tersi olan λ / w değeridir. Cevap: C.

Örnek 2 — Noktanın numarası

Soru: Aynı fazlı iki noktasal kaynak 2 cm dalga boylu su dalgaları üretiyor. P noktası S₁'den 17 cm, S₂'den 10 cm uzaktadır. P hangi çizgi üzerindedir?

• A) üçüncü katar çizgisi, K₃
• B) üçüncü düğüm çizgisi, D₃
• C) dördüncü katar çizgisi, K₄
• D) yedinci düğüm çizgisi, D₇
• E) dördüncü düğüm çizgisi, D₄

Çözüm: Δ = 17 − 10 = 7 cm ve 7 / 2 = 3,5 λ. Buçuklu bir kat olduğu için nokta düğüm çizgisindedir; 3,5 = n − ½ eşitliğinden n = 4 çıkar. 3,5'i aşağı yuvarlayıp D₃ demek en sık hatadır; λ'ya bölmeyi unutup santimetre cinsinden farkı numara sanan öğrenci D₇ yazar. P, S₂'ye yakın olduğu için D₄'ün S₂ tarafındaki koludur. Cevap: E.

Örnek 3 — Kaç düğüm çizgisi?

Soru: Aynı fazlı iki kaynak arasındaki uzaklık 9 cm'dir. Kaynakların frekansı 10 Hz, dalgaların hızı 25 cm/s'dir. Desende toplam kaç düğüm çizgisi oluşur?

• A) 7 düğüm çizgisi
• B) 8 düğüm çizgisi
• C) 4 düğüm çizgisi
• D) 9 düğüm çizgisi
• E) 6 düğüm çizgisi

Çözüm: λ = 25 / 10 = 2,5 cm, d / λ = 9 / 2,5 = 3,6. Düğüm koşulu n − ½ < 3,6; n = 1, 2, 3, 4 sağlar (3,5 < 3,6). Her numaradan iki çizgi olduğu için 8 düğüm çizgisi vardır. 4, yalnız bir yanı sayan öğrencinin cevabıdır; 7 ise aynı desendeki katar çizgilerinin sayısıdır. Cevap: B.

Örnek 4 — Zıt fazlı kaynakta bir nokta

Soru: İki noktasal kaynak zıt fazlı çalışıyor; her biri 0,4 cm genlikli, 2 cm dalga boylu dalgalar üretiyor. P noktasının S₁'e uzaklığı 11 cm, S₂'ye uzaklığı 8 cm'dir. P için hangisi doğrudur?

• A) katar üzerindedir, 0,8 cm genlikle titreşir
• B) düğüm üzerindedir, kıpırdamaz
• C) katar üzerindedir, 0,4 cm genlikle titreşir
• D) düğüm üzerindedir, 0,8 cm genlikle titreşir
• E) katar üzerindedir, 1,6 cm genlikle titreşir

Çözüm: Δ = 3 cm = 1,5 λ. Aynı fazlı kaynaklarda bu nokta D₂ olurdu; zıt fazlı kaynaklarda kurallar yer değiştirdiği için buçuklu yol farkı katar demektir. Genlik iki genliğin toplamı, 0,8 cm'dir. Kaynakların fazına bakmayan öğrenci B'yi seçer; 1,6 cm ise çift tepe ile çift çukur arasındaki düşey uzaklıktır, genlik değil. Cevap: A.

• İki kaynağın her yerde daha büyük dalga yapacağını sanmak. Üst üste binme bazı noktalarda genlikleri toplar, bazılarında çıkarır; eşit genlikli kaynaklarda düğüm noktaları hiç titreşmez.
• Katar çizgisi üzerindeki noktayı sürekli tepe sanmak. O nokta 2A genlikle titreşir; bir an çift tepe, yarım periyot sonra çift çukurdur.
• Buçuklu yol farkından düğüm numarasını yanlış okumak. Δ = 2,5 λ, D₂ değil D₃'tür; numara için yol farkının λ cinsinden değerine ½ eklenir.
• Kaynakların fazını kontrol etmemek. Zıt fazlı kaynaklarda merkez doğrusu düğümdür ve tam katlar düğüm, buçuklu katlar katar verir.
• Kırınımı yalnız aralık genişliğine bağlamak. Belirleyici olan w / λ oranıdır; aralık sabitken frekansı artırmak ya da suyu sığlaştırmak λ'yı kısaltıp kırınımı azaltır.
• Çizgi sayarken merkez doğrusunu iki kez ya da hiç saymamak. Her numaradan iki çizgi vardır; merkez doğrusu tektir.