Manyetik kuvvet

Okul gezisinde bilim merkezine giden Talha, karanlık bir odada içi seyreltik gazla dolu cam bir küreye bakıyor. Görevli kürenin içindeki elektron demetini açıyor; ince, mavimsi bir çizgi dümdüz parlıyor. Kürenin iki yanındaki büyük bobinlerden akım geçirilince çizgi kıvrılıp kapalı bir halkaya dönüşüyor, görevli akımı artırdıkça halka küçülüyor. Talha yanındaki Şebnem'e fısıldıyor: «Mıknatıs elektronları itip hızlandırıyor; halka küçüldükçe daha hızlı dönüyorlar.» Şebnem ikna olmuyor: hızlanan bir cisim virajı daha geniş almaz mıydı? Halkanın küçülmesi neyin işareti? Bu derste hareket eden yüke manyetik alanın uyguladığı kuvveti, bu kuvvetin neden hiçbir zaman sürat kazandırmadığını ve aynı kuvvetin akım taşıyan tellerde, yan yana iki telde ve dönen bir halkada nasıl ortaya çıktığını kuracağız.

• Yüklü taneciğe etki eden manyetik kuvveti F = q · v · B · sin θ ile hesaplar, yönünü açık sağ elle ve yükün işaretine bakarak belirlersin.
• Alana dik giren taneciğin çember yarıçapını ve periyodunu hesaplar, süratin neden değişmediğini açıklarsın.
• Akım taşıyan tele ve paralel iki tele etki eden kuvvetin büyüklüğünü ve yönünü belirlersin.
• Düzgün alandaki akım halkasında net kuvvetin sıfır, torkun sıfırdan farklı olabileceğini gösterir, elektrik motorunun ilkesini açıklarsın.

Kâğıt üzerinde üç boyut

Manyetik kuvvet hız ve alan doğrultularının ikisine de dik çıktığı için soruların çoğu üç boyutludur. Şekil kullanmadan yön söyleyebilmek için önceki dersteki anlaşmayı sürdürüyoruz. Kitabın sayfası önümüzde duruyor: «sayfanın sağına, soluna, üstüne, altına» dediğimizde kâğıdın yüzeyindeki yönleri kastediyoruz. Kâğıda dik iki yön kalır: sayfa düzleminden dışarı (kâğıttan okura doğru, ⊙) ve sayfa düzleminden içeri (okurdan kâğıdın arkasına doğru, ⊗). Bu derste yönleri hep bu altı sözcükle anlatacağız.

Hangi yük kuvvet görür?

Pusula iğnesinin bir mıknatısın yanında döndüğünü TYT'de gördük; «Akımın manyetik etkisi» dersinde de hareket eden yüklerin, yani akımın, çevresinde manyetik alan oluşturduğunu kurduk. Bu ilişkinin öbür yüzü de geçerlidir: manyetik alan, içinden geçen yüke kuvvet uygular. Durgun bir yük manyetik alanda hiçbir kuvvet hissetmez; elektrik alan ise yükü dursa da itiyordu, iki alanın ayrıldığı ilk yer burasıdır. Yük hareket etse bile, alan çizgileri boyunca ilerliyorsa yine kuvvet yoktur. Kuvvet, hızın alana dik bileşeniyle doğar.

Kuvvetin büyüklüğü

Yükü q, sürati v olan bir tanecik, büyüklüğü B olan bir alanda hızı ile alan arasında θ açısı yaparak ilerlesin. Manyetik kuvvetin büyüklüğü:

F = q · v · B · sin θ

B'nin birimi tesladır (T). Formülden 1 T = 1 N / (A·m) çıkar; bir tesla, alana dik duran ve 1 A akım taşıyan 1 m'lik telin 1 N kuvvet gördüğü alandır. θ = 90° iken kuvvet en büyük değeri olan q · v · B'ye ulaşır; θ = 0° ya da 180° iken, yani tanecik alana paralel giderken sin θ = 0 olur ve kuvvet kaybolur. Sayıyla bakalım: 2 · 10⁵ m/s ile ilerleyen bir proton, kendisine dik 0,5 T'lık bir alana girerse 1,6 · 10⁻¹⁹ · 2 · 10⁵ · 0,5 = 1,6 · 10⁻¹⁴ N kuvvet görür. Açıyı ölçerken dikkat: θ, hız ile alanın arasındaki açıdır; soru açıyı alanın dik doğrultusuna göre veriyorsa sinüs yerine kosinüs gerekir.

Yön: sağ el kuralı

Sağ elini açık ve düz tut. Dört parmağın alanın yönünü, başparmağın pozitif yükün hızını göstersin; avuç içinin baktığı yön kuvvetin yönüdür. Bir örnek: pozitif yük sayfanın sağına gidiyor, alan sayfa düzleminden içeri. Parmaklar kâğıdın arkasına uzanırken başparmak sağı gösterecekse avuç yukarı döner; kuvvet sayfanın üstüne doğrudur.

Negatif yükte, örneğin elektronda, aynı el konumu kurulur ve kuvvet avucun tersine, el sırtının baktığı yöne alınır. Elektron aynı hızla aynı alanda ilerlese kuvvet sayfanın altına yönelir. Bu kural doğrudan şuradan gelir: kuvvet yükün işaretiyle çarpılır, işaret değişince yön tam tersine döner. Akım için de aynı el kullanılır; başparmak akımın, yani pozitif yük akışının yönünü gösterir.

Kuralın bir sonucunu baştan aklında tut: kuvvet hem hıza hem alana diktir. Kuvveti bulduğunda bu iki dikliği denetlemek, elin yanlış tutulduğunu çoğu zaman ortaya çıkarır.

Kuvvet sürat kazandırmaz

Talha'nın yanıldığı yer burasıdır. Bir kuvvetin cisme yaptığı iş, kuvvetin yol doğrultusundaki bileşeniyle alınan yolun çarpımıdır. Manyetik kuvvet her an hıza, dolayısıyla yolun doğrultusuna diktir; yol doğrultusunda bileşeni yoktur ve iş sıfırdır. İş-enerji teoremine göre kinetik enerji değişmez, sürat de sabit kalır. Değişen yalnız hızın yönüdür.

FZ16'da paralel levhalar arasında yüklü taneciği izlediğimiz dersle karşılaştır: orada levhalar arasındaki elektrik alan yüke yolu boyunca iş yapıyor, tanecik q · V kadar kinetik enerji kazanıyordu. Manyetik alan ise yalnızca yön çevirir. Bu yüzden hızlandırıcılarda tanecik elektrik alanla hızlandırılır, manyetik alanla yolunda tutulur.

Alana dik giren tanecik çember çizer

Sabit süratli bir cismin her an hızına dik, büyüklüğü sabit bir kuvvet görmesi «Düzgün çembersel hareket» dersinden tanıdık bir durumdur: o kuvvet merkezcil kuvvettir. Düzgün alana dik giren tanecik için q · v · B, m · v² / r'ye eşitlenir:

r = m · v / (q · B)

Kütlesi 1,6 · 10⁻²⁷ kg alınan bir proton 10⁶ m/s ile 0,1 T'lık alana dik girerse r = 1,6 · 10⁻²⁷ · 10⁶ / (1,6 · 10⁻¹⁹ · 0,1) = 0,1 m'lik bir çember çizer. Hız ve kütle payda durduğu için büyüdükçe çemberi genişletir; paydadaki yük ya da alan büyüdükçe çember daralır.

Bir tur 2πr kadar yoldur ve sürat v'dir; r yerine yukarıdaki ifade konunca v sadeleşir:

T = 2π · m / (q · B)

Periyot süratten bağımsızdır. Aynı protonda π = 3 alınırsa T = 6 · 10⁻⁷ s bulunur ve proton iki kat hızlı gelse de bu değer değişmez; iki kat büyük çemberi iki kat hızla aynı sürede dolaşır.

Kancadaki görüntü artık açıklanabilir. Görevli bobin akımını artırınca alan güçlendi, B paydada olduğu için yarıçap küçüldü. Elektronların sürati yerinde kaldı; turu kısa sürede bitirmeleri, yolun kısalmasındandır.

Dönüş yönü de yükün işaretine bağlıdır. Sağ el kuralıyla denendiğinde, sayfa düzleminden içeri yönelen alanda pozitif tanecik okurun gözünden saatin tersi yönünde, negatif tanecik saat yönünde döner; alan dışarı yönelirse ikisi de ters çevrilir. Tanecik alana eğik girerse hızın alana paralel bileşeni hiç etkilenmez, dik bileşeni çember çizdirir ve yol bir yay telinin biçimini alır: sarmal (helis). Dünya'nın manyetik alanına takılan yüklü taneciklerin alan çizgileri boyunca kutuplara doğru sarmal yollarla ilerlemesi, kutup ışıklarının oluşumunda rol oynayan süreçlerden biridir.

Akım taşıyan tele etki eden kuvvet

Akım, iletkenin içinde ilerleyen yüklerdir. Telin her parçasındaki yükler kuvvet görür ve bu kuvvetler tele aktarılır. Uzunluğu L olan, I akımı taşıyan düz bir tel alanla θ açısı yaparsa:

F = B · I · L · sin θ

0,2 T'lık alana dik duran, 4 A taşıyan 0,5 m'lik bir tel 0,4 N kuvvet görür; tel alanla 30° açı yapacak biçimde çevrilirse kuvvet 0,2 N'a iner, alana paralel getirilirse sıfırlanır. Yönü bulmak için aynı açık el kullanılır: parmaklar alan, başparmak akım, avuç kuvvet. Akımın yönü ters çevrilirse tel öbür yana itilir.

Paralel iki tel

İki uzun düz tel d aralıkla yan yana uzansın. «Akımın manyetik etkisi» dersinde, I₁ akımı taşıyan telin d uzaklıkta oluşturduğu alanı B = 2 · k_m · I₁ / d olarak yazdık; manyetik sabit k_m'nin değeri 10⁻⁷'dir ve birimi T·m/A ya da ona denk olan N/A²'dir. İkinci tel bu alanın içinde durur ve alan teline diktir. İkinci telin L uzunluğuna etki eden kuvvet:

F = B · I₂ · L = 2 · k_m · I₁ · I₂ · L / d

Yönü sağ el kuralının iki kez uygulanmasıyla çıkar: aynı yönde akım taşıyan teller birbirini çeker, zıt yönde akım taşıyan teller birbirini iter. Elektrik yüklerindeki «aynılar iter» kuralının tersi olduğu için sık karıştırılır. Örnekle: 10 cm aralıklı, her biri 10 A taşıyan iki telin 2 m'lik parçalarına 2 · 10⁻⁷ · 10 · 10 · 2 / 0,1 = 4 · 10⁻⁴ N etki eder. Akımlar farklı olsa bile iki tel eşit büyüklükte kuvvet görür; Newton'un üçüncü yasası burada da geçerlidir, formülde I₁ ile I₂ simetrik durur. Önceki dersteki birbirine sarılı gidiş-dönüş kablolarına dönersek: içlerinden aynı akım zıt yönlerde aktığı için iki kablo birbirini iter; ama akımlar küçük olduğundan bu itme gözle görülmez.

Düzgün alanda akım halkası ve motor

Dikdörtgen bir tel halkayı düzgün bir alana, düzlemi alan çizgilerine paralel olacak biçimde koyalım ve halkadan akım geçirelim. Alana paralel iki kenar kuvvet görmez. Alana dik iki kenarda akımlar zıt yönlüdür; eşit büyüklükte, zıt yönde iki kuvvet doğar. Düzgün alanda halkaya etki eden net kuvvet sıfırdır, halka yerinden kaymaz. Ama iki kuvvet aynı doğru üzerinde değildir; «Tork» dersindeki kuvvet çifti gibi halkayı ekseni çevresinde döndürür. Halkanın düzlemi alana dik hâle geldiğinde kuvvetler halkayı yalnızca gerer, tork sıfırlanır.

Elektrik motoru bu dönmeyi sürekli kılar. Halka dik konumu geçerken akımın yönünü ters çeviren bir düzenek (komütatör, commutator) kurulur; böylece kuvvet çifti her yarım turda halkayı aynı yönde döndürmeyi sürdürür. Çok sarımlı bobin ve güçlü mıknatıs torku büyütür. Motor, elektrik enerjisini dönme hareketine çevirir; bu dönüşümün enerjisi akımı süren kaynaktan gelir, manyetik alandan değil.

Soru çözerken

Önce tanecik mi, tel mi sorulduğunu ayır ve açıyı hız ya da akım ile alan arasından ölç. Yön sorusunda avucu yerleştir, yük negatifse sonucu ters çevir, bulduğun kuvvetin hıza ve alana dik olduğunu denetle. Çember sorusunda r = m · v / (q · B) ile T = 2π · m / (q · B)'yi oran olarak kur; hız yalnız yarıçapı değiştirir. Paralel tellerde önce çekme mi itme mi olduğunu belirle, sonra büyüklüğü hesapla.

Buraya kadar hep aynı yönden baktık: akım ya da hareket eden yük alanın içine giriyor, alan kuvvet uyguluyordu. Motorun halkasını elektrik vermeden elle çevirdiğimizi düşün: halka dönerken içinden geçen alan çizgilerinin sayısı sürekli değişir. Bu değişim telin içindeki yükler için ne anlama gelir? «Manyetik akı ve indüksiyon» dersinde bir yüzeyden geçen alanı tek bir büyüklükle ölçecek ve bu büyüklük değiştiğinde iletkende gerilim doğduğunu göreceğiz.

Örnek 1 — Eğik giren iyon

Soru: 3,2 · 10⁻¹⁹ C yük taşıyan bir iyon, 5 · 10⁵ m/s süratle 0,4 T'lık düzgün bir alana giriyor; hızı alanla 30° açı yapıyor. sin 30° = 0,5 ve cos 30° ≈ 0,87 alınız. İyona etki eden manyetik kuvvetin büyüklüğü nedir?

• A) F = 6,4 · 10⁻¹⁴ N
• B) F ≈ 5,6 · 10⁻¹⁴ N
• C) F = 1,6 · 10⁻¹⁴ N
• D) F = 3,2 · 10⁻¹⁴ N
• E) kuvvet yoktur

Çözüm: F = q · v · B · sin θ = 3,2 · 10⁻¹⁹ · 5 · 10⁵ · 0,4 · 0,5 = 3,2 · 10⁻¹⁴ N. Açıyı hesaba hiç katmayan öğrencinin sonucu 6,4 · 10⁻¹⁴ N, sinüs yerine kosinüs kullananınki yaklaşık 5,6 · 10⁻¹⁴ N olur; 1,6 · 10⁻¹⁴ N ise iyonun iki temel yük taşıdığını gözden kaçırmaktan doğar. Kuvvet yalnız alana paralel harekette sıfırdır. Cevap: D.

Örnek 2 — Elektronun itildiği yön

Soru: Bir elektron sayfanın üstüne doğru ilerlerken sayfa düzleminden dışarı yönelmiş düzgün bir manyetik alana giriyor. Elektrona etki eden manyetik kuvvet hangi yöndedir?

• A) sayfanın sağına doğru
• B) sayfanın soluna doğru
• C) sayfa düzleminden içeri
• D) sayfanın üstüne doğru
• E) kuvvet yoktur, çünkü elektron alana dik girmiştir

Çözüm: Dört parmak okura doğru, başparmak sayfanın üstüne bakacak biçimde sağ el tutulunca avuç sayfanın sağını gösterir; pozitif bir yük o yana itilirdi. Elektron negatif olduğu için kuvvet ters yöne, sayfanın soluna döner. Kuvvet hem hıza hem alana dik olmalı; bu yüzden sayfa düzlemine dik ya da hızla aynı doğrultuda bir seçenek olamaz. Cevap: B.

Örnek 3 — Hız iki katına çıkınca

Soru: Kütlesi 1,6 · 10⁻²⁷ kg, yükü 1,6 · 10⁻¹⁹ C alınan bir proton 2 · 10⁶ m/s ile 0,2 T'lık düzgün alana dik giriyor ve T periyotlu bir çember çiziyor. Proton aynı alana 4 · 10⁶ m/s ile girseydi çemberin yarıçapı ve periyodu ne olurdu?

• A) r = 0,1 m, periyot T
• B) r = 0,4 m, periyot 2T
• C) r = 0,2 m, periyot T
• D) r = 0,2 m, periyot 2T
• E) r = 0,05 m, periyot T / 2

Çözüm: İlk durumda r = 1,6 · 10⁻²⁷ · 2 · 10⁶ / (1,6 · 10⁻¹⁹ · 0,2) = 0,1 m. Yarıçap süratle doğru orantılı olduğu için yeni yarıçap 0,2 m'dir. Periyot 2π · m / (q · B) olduğundan süratten bağımsızdır ve T kalır; iki kat uzun yol iki kat hızla aynı sürede alınır. 0,1 m yalnız ilk durumun yarıçapıdır; periyodun da büyüyeceğini sanan 2T'yi seçer. Cevap: C.

Örnek 4 — Zıt akımlı iki tel

Soru: Aralarında 20 cm bulunan iki uzun paralel telden 6 A ve 4 A akım zıt yönlerde geçiyor. k_m = 10⁻⁷ N/A² alınız; bir telin d uzaklıktaki alanını B = 2 · k_m · I / d verir. Tellerden birinin 1,5 m'lik parçasına etki eden kuvvet nedir?

• A) 3,6 · 10⁻⁵ N, teller birbirini çeker
• B) 1,8 · 10⁻⁵ N, teller birbirini iter
• C) 1,8 · 10⁻⁴ N, teller birbirini iter
• D) 3,6 · 10⁻⁵ N, teller birbirini iter
• E) kuvvet yoktur, çünkü akımlar birbirini götürür

Çözüm: F = 2 · k_m · I₁ · I₂ · L / d = 2 · 10⁻⁷ · 6 · 4 · 1,5 / 0,2 = 3,6 · 10⁻⁵ N. Akımlar zıt yönlü olduğundan teller birbirini iter. Alan bağıntısındaki 2 çarpanı unutulursa 1,8 · 10⁻⁵ N, uzaklığın karesi alınırsa 1,8 · 10⁻⁴ N çıkar; zıt akımlarda çekme beklemek elektrik yüklerinin kuralını tele taşımaktır. Cevap: D.

• Manyetik kuvvetin tanecik hızlandırdığını sanmak. Kuvvet hıza dik olduğu için iş yapmaz; kinetik enerji ve sürat sabittir, yalnız yön değişir.
• Negatif yükte yönü çevirmeyi unutmak. Sağ el pozitif yükün kuvvetini verir; elektronda sonuç tam tersidir.
• Açıyı yanlış kenardan ölçmek. θ hız (ya da akım) ile alan arasındaki açıdır; alana paralel giden tanecik ve alana paralel tel kuvvet görmez.
• Periyodun hızla değiştiğini sanmak. Hız yarıçapı büyütür, periyodu değiştirmez; periyodu kütle, yük ve alan belirler.
• Paralel tellerde elektrik kuralını uygulamak. Aynı yönlü akımlar çeker, zıt yönlü akımlar iter; ikisi de eşit büyüklükte kuvvet görür.
• Halkada net kuvvet ile torku karıştırmak. Düzgün alanda halkaya etki eden net kuvvet sıfırdır, tork ise sıfır olmayabilir.