Manyetik akı ve indüksiyon

Ayça cumartesileri amcasının çarşıdaki elektrik tamir dükkânında oturuyor. Tezgâhta yanmış bir vantilatör motorundan sökülmüş bakır sargı, eski bir hoparlörden çıkmış iri bir mıknatıs ve ibreli bir ölçü aleti duruyor. Ayça sargının iki ucunu alete bağlıyor, mıknatısı sargının ortasındaki boşluğa yerleştiriyor ve ibreye bakıyor: «Bu kadar güçlü bir mıknatıs bakırın içinde duruyor; akım akması lazım.» İbre sıfırda bekliyor. Amcası tek söz etmeden mıknatısı hızla geri çekiyor; ibre bir yana sıçrayıp sıfıra dönüyor. Mıknatısı yeniden içeri itince ibre bu kez öbür yana sıçrıyor. Akımı mıknatısın kendisi mi doğuruyor, yoksa yaptığı hareket mi? Neden yön değişiyor?

• Bir yüzeyden geçen manyetik akıyı Φ = B · A · cos θ ile hesaplar, açıyı alan ile yüzeyin normali arasından doğru ölçersin.
• Akı değişiminden doğan ortalama emk'yı ve akımı Faraday yasasıyla bulursun.
• İndüksiyon akımının yönünü Lenz yasasıyla belirler, eksi işaretini enerji korunumuyla açıklarsın.
• Düzgün alanda kayan çubuktaki emk'yı, akımı, frenleyici kuvveti ve sabit hız için gereken gücü hesaplarsın.

Mıknatıs durunca ibre neden kıpırdamadı?

Ayça'nın denemesinde sargının içinde güçlü bir alan vardı, ama ölçü aleti hiçbir şey göstermedi. İbreyi oynatan, mıknatısın içeri girerken ya da dışarı çıkarken sargıdaki alanı değiştirmesiydi. Durgun bir mıknatıs, ne kadar güçlü olursa olsun, kapalı bir telde akım sürmez. İndüksiyonun (induction) bütün mantığı bu gözlemde saklı: iletkende gerilim doğuran şey alanın varlığı değil, iletkenin çevrelediği alandaki değişimdir. Bu değişimi sayıyla ölçebilmek için önce yeni bir büyüklük tanımlamamız gerekiyor.

Manyetik akı

Bir halkanın içinden geçen alan çizgilerini düşün. Çizgiler sıklaştıkça (alan büyüdükçe) ve halka genişledikçe halkadan geçen çizgi sayısı artar. Halkayı çevirirsek de sayı değişir: halka alan çizgilerine yüzünü dönmüşken en çok çizgiyi yakalar, çizgilere yan döndüğünde hiçbirini yakalamaz. Bu üç etkenin bileşkesine manyetik akı (magnetic flux) denir:

Φ = B · A · cos θ

Burada A yüzeyin alanı, B düzgün alanın büyüklüğüdür. θ açısı alan ile yüzeyin normali, yani yüzeye dik olan doğru arasındaki açıdır. Halkanın düzlemi alana dik duruyorsa normal alanla aynı doğrultudadır, θ = 0° olur ve akı en büyük değeri B · A'ya ulaşır. Halkanın düzlemi alan çizgilerine paralelse normal alana diktir, θ = 90° olur ve akı sıfırdır. Soru açıyı halkanın düzlemiyle alan arasından veriyorsa önce 90°'den çıkarıp normale geçmek gerekir; aksi hâlde kosinüs yerine sinüsü kullanmış olursun.

Akının birimi weber'dir (Wb): 1 Wb = 1 T · m². Sayısal bir deneme: 0,2 T'lık alanda yüzey alanı 0,05 m² olan bir halkanın normali alanla 60° açı yapsın. cos 60° = 0,5 ile Φ = 0,2 · 0,05 · 0,5 = 0,005 Wb bulunur. Akı skaler bir büyüklüktür ama işaret taşır: halka ters çevrilip alan çizgileri yüzeyin öbür tarafından girerse akı −B · A olur. Bu ayrıntı, halkanın yarım tur döndüğü sorularda belirleyicidir.

Akı üç yoldan değişir

Formülün üç çarpanı, akıyı değiştirmenin üç yolunu verir.

• Alan değişir. Mıknatıs halkaya yaklaşır ya da uzaklaşır; bir elektromıknatısın akımı artırılır ya da kesilir. Ayça'nın sargısında olan budur.
• Alan içindeki yüzey değişir. Esnek bir halka sıkıştırılır, ya da raylar üzerinde kayan bir çubuk devrenin çevrelediği bölgeyi büyütür.
• Açı değişir. Halka alanın içinde döner; bir önceki derste motorun halkasında gördüğümüz dönme budur.

Hangi çarpan oynarsa oynasın, akı değiştiği sürece telde bir emk (elektromotor kuvvet; adına karşın kuvvet değil, gerilimdir) doğar.

Faraday yasası

Deneylerin söylediği şudur: doğan emk, akının ne kadar hızlı değiştiğine bağlıdır. Mıknatısı yavaş iten Ayça ibreyi az oynatır, hızlı itince ibre daha çok sapar. N sarımlı bir bobinde her sarım aynı akı değişimini yaşar ve sarımların emk'ları toplanır. Ortalama emk:

ε = −N · ΔΦ / Δt

200 sarımlı bir bobinden sarım başına geçen akı 0,004 Wb'tan 0,1 s içinde sıfıra düşerse emk'nın büyüklüğü 200 · 0,004 / 0,1 = 8 V olur. Bobin kapalı bir devrenin parçasıysa bu emk akım sürer; devrenin toplam direnci R ise TYT'deki Ohm yasasından I = ε / R'dir. Bu iki bağıntıdan dikkate değer bir sonuç çıkar: devreden geçen toplam yük q = I · Δt = N · ΔΦ / R'dir ve süreye bağlı değildir. Mıknatısı hızlı da itsen yavaş da itsen devreden aynı yük geçer; hız yalnız akımın büyüklüğünü ve süresini değiştirir.

Lenz yasası: eksi işaretin anlamı

Formüldeki eksi işareti indüksiyon akımının yönünü söyler. Lenz yasası: indüksiyon akımı, kendisini doğuran akı değişimine karşı koyacak yönde akar. Halkadaki akı artıyorsa indüksiyon akımının oluşturduğu alan, artan alana zıt yönelir; akı azalıyorsa eksilen alanı tamamlayacak yöne döner.

Neden böyle olmak zorunda? Tersini varsay. Ayça mıknatısın kuzey (N) kutbunu sargıya yaklaştırdığında sargı ona bakan ucunu güney (S) kutbuna çevirseydi mıknatısı içeri çekerdi; mıknatıs hızlanır, akı daha hızlı artar, akım büyür, çekme güçlenirdi. Hiçbir şey yapmadan sürekli artan bir kinetik enerji ve ısı elde ederdik; bu, enerjinin korunumuna aykırıdır. Gerçekte sargı mıknatısa bakan ucunu N kutbuna çevirir ve mıknatısı iter. Mıknatısı içeri sokmak için bu itmeye karşı iş yapmak gerekir; sargıda açığa çıkan ısının enerjisi o işten gelir.

Yönü bulmak için iki adım yeter. Önce halkadaki akının hangi yöne ve arttığını mı azaldığını mı belirle. Sonra indüksiyon akımının oluşturması gereken alanın yönünü Lenz'e göre seç ve «Akımın manyetik etkisi» dersindeki sağ el kuralıyla akımı bul. Sayfa düzleminde duran bir halkaya bakan okur için: halkanın içinde sayfa düzleminden dışarı yönelen alanı saatin tersi yönündeki akım, sayfa düzleminden içeri yönelen alanı saat yönündeki akım oluşturur. Örneğin içeri yönelen alan artıyorsa indüksiyon alanı dışarı yönelmeli, akım saatin tersi yönünde dönmelidir.

Kancaya dönelim. N kutbu sargıya yaklaşırken sargının o ucu N kutbu gibi davranır ve mıknatısı iter; mıknatıs geri çekilirken o uç S kutbu gibi davranır ve mıknatısı geri tutmaya çalışır. İki durumda akımın yönü zıttır; ibrenin bir kez bir yana, bir kez öbür yana sıçraması buradan gelir. Bir kural daha: halka kesikse devre kapanmaz; uçlar arasında emk doğar, ama akım ve dolayısıyla frenleyici kuvvet oluşmaz.

Kayan çubukta hareketsel emk

Sayfa düzleminde, sayfanın sağına uzanan iki paralel ray düşün; sol uçları bir R direnciyle birleştirilmiş, rayların üstünde L boyunda bir çubuk sağa v süratiyle kayıyor. Alan sayfa düzleminden içeri yönelmiş ve büyüklüğü B. Çubuk Δt sürede v · Δt kadar ilerler, devrenin çevrelediği alan L · v · Δt kadar büyür, akı B · L · v · Δt kadar artar. Faraday yasası emk'nın büyüklüğünü verir:

ε = B · L · v

Aynı sonuca bir önceki dersten de ulaşılır: çubuktaki yükler çubukla birlikte v hızıyla hareket ettiği için q · v · B kuvvetiyle çubuk boyunca itilir. Açık sağ elde parmaklar sayfanın içine, başparmak sağa bakınca avuç yukarıyı gösterir; akım çubukta sayfanın üstüne doğru akar. Lenz yasası da aynı yönü verir: içeri yönelen akı arttığından okura göre akım saat ibrelerinin tersine dolanır.

Sayılarla: B = 0,5 T, L = 0,4 m, v = 3 m/s ve R = 0,2 Ω ise ε = 0,6 V ve I = 3 A olur. Akım taşıyan çubuk alanda F = B · I · L = 0,5 · 3 · 0,4 = 0,6 N kuvvet görür; sağ el bu kuvvetin sayfanın soluna, yani harekete zıt yöne baktığını söyler. Lenz yasası burada fren olarak karşımıza çıkar. Çubuğu sabit hızla sürmek için dışarıdan 0,6 N'luk bir kuvvetle çekmek gerekir ve bu kuvvetin gücü P = F · v = 0,6 · 3 = 1,8 W'tır. Aynı değer ε · I = 0,6 · 3 = 1,8 W olarak da, I² · R = 9 · 0,2 = 1,8 W olarak da çıkar: çeken elin harcadığı mekanik güç, dirençte ısıya dönüşen elektrik gücüne eşittir. Dış kuvvet kalkarsa fren kuvveti çubuğu yavaşlatır ve kinetik enerjisi ısı olarak harcanır.

Dönen halka ve jeneratörün ilkesi

Düzgün alanda sabit hızla dönen bir halkada θ açısı durmadan değişir, akı da B · A ile −B · A arasında gidip gelir. Halka her yarım turda akının artmasından azalmasına geçtiği için emk'nın yönü de her yarım turda tersine döner. Emk, akının en büyük olduğu anda sıfırdır, çünkü akı o an en yavaş değişir; akının sıfırdan geçtiği anda ise en büyüktür. Hızlı döndürmek emk'yı da yön değiştirme sıklığını da artırır. Elektrik santrallerindeki jeneratörün ilkesi budur: halkayı döndüren türbinin mekanik enerjisi elektrik enerjisine çevrilir. Halkaya bir lamba bağlanınca kolu çevirmek zorlaşır; Lenz yasası burada da enerjinin bedelini döndüren ele ödetir. Bu yön değiştiren gerilimin zamanla nasıl değiştiğini ilerideki «Alternatif akım» dersinde ayrıntılı kuracağız.

Soru çözerken

Önce akının hangi çarpanının değiştiğini bul: alan mı, yüzey mi, açı mı? Açıyı normale göre ölç ve yarım turda işaretin değiştiğini unutma. Büyüklüğü ε = N · ΔΦ / Δt ile hesapla, akıma geçerken toplam direnci kullan. Yönü ayrı bir adımda, Lenz'le kur ve bulduğun kuvvetin hareketi frenlediğini denetle; frenlemiyorsa yön yanlıştır.

Bu dersteki her örnekte akıyı bobinin dışındaki bir etken değiştirdi: yaklaşan mıknatıs, kayan çubuk, dönen halka. Oysa akım taşıyan bir bobin kendi ürettiği alanı da kendi sarımlarından geçirir; anahtar kapanıp akım yükselirken ya da anahtar açılıp akım kesilirken bu akı da değişir. Lenz yasası bobinin bu kez kendi akımının değişimine direnmesini gerektirir. «Öz indüksiyon» dersinde bu direnmenin ölçüsünü ve akım birden kesildiğinde bobinin uçlarında ne olduğunu kuracağız.

Örnek 1 — Eğik duran kare çerçeve

Soru: Kenarı 20 cm olan kare bir tel çerçeve şiddeti 0,4 T olan düzgün bir alanda duruyor; çerçevenin düzlemi alan çizgileriyle 37° açı yapıyor. Hesapta cos 37° = 0,8 ve sin 37° = 0,6 değerlerini kullanın. Çerçeveden geçen manyetik akı nedir?

• A) Φ = 1,6 · 10⁻² Wb
• B) Φ = 1,28 · 10⁻² Wb
• C) Φ = 96 Wb
• D) Φ = 9,6 · 10⁻³ Wb
• E) akı sıfırdır, çünkü düzlem alana dik değildir

Çözüm: Alan A = 0,2 · 0,2 = 0,04 m². Açı düzlemle alan arasından verildiği için normal ile alan arasındaki açı 90° − 37° = 53°'dir ve cos 53° = sin 37° = 0,6'dır. Φ = 0,4 · 0,04 · 0,6 = 9,6 · 10⁻³ Wb. Verilen 37°'nin kosinüsünü doğrudan kullanan 1,28 · 10⁻² Wb, açıyı hiç hesaba katmayan 1,6 · 10⁻² Wb, kenarı santimetreyle bırakan 96 Wb bulur. Akı yalnız düzlem alana paralel olduğunda sıfırdır. Cevap: D.

Örnek 2 — Zayıflayan alanda bobin

Soru: 50 sarımlı, her sarımının alanı 0,02 m² olan bir bobinin ekseni düzgün bir alana paraleldir. Alan 0,04 s içinde 0,6 T'dan 0,2 T'ya düzgün biçimde azalıyor; bobinin uçları birleştirilmiş ve devrenin toplam direnci 4 Ω. Bobinden geçen ortalama akım nedir?

• A) I_ort = 5 A
• B) I_ort = 2,5 A
• C) I_ort = 1,25 A
• D) I_ort = 0,05 A
• E) I_ort = 10 A

Çözüm: Sarım başına akı değişimi ΔΦ = (0,6 − 0,2) · 0,02 = 0,008 Wb. ε = 50 · 0,008 / 0,04 = 10 V ve I = 10 / 4 = 2,5 A. Sarım sayısını unutan 0,05 A, değişim yerine yalnız son alanı alan 1,25 A, iki alanı toplayan 5 A bulur; 10 A ise emk'nın akım sanılmasıdır. Cevap: B.

Örnek 3 — Uzaklaşan güney kutbu

Soru: Sayfa düzleminde duran kapalı bir tel halkanın tam önünde, okur tarafında bir çubuk mıknatıs bulunuyor; mıknatısın S kutbu halkaya bakıyor. Mıknatıs halkadan uzaklaştırılıp okura doğru çekiliyor. Okurun gözünden bakıldığında halkadaki indüksiyon akımının yönü ve halkanın mıknatısa etkisi nedir?

• A) saat yönünde; halka mıknatısı iter
• B) saatin tersi yönünde; halka mıknatısı iter
• C) saatin tersi yönünde; halka mıknatısı çeker
• D) saat yönünde; halka mıknatısı çeker
• E) akım doğmaz, çünkü mıknatıs halkaya yaklaşmıyor

Çözüm: Alan çizgileri S kutbuna girer; halkanın bulunduğu yerde alan mıknatısa, yani okura doğru, sayfa düzleminden dışarı yönelir. Mıknatıs uzaklaştıkça bu dışarı yönelik akı azalır. Lenz yasasına göre indüksiyon akımı eksilen akıyı tamamlamak için dışarı yönelen bir alan oluşturur; böyle bir alanı, okura göre saatin tersi yönünde dolanan akım verir. Halkanın okur tarafındaki yüzü N kutbu gibi davranır ve uzaklaşan S kutbunu çeker, yani uzaklaşmaya karşı koyar. Uzaklaşan mıknatısta da akı değiştiği için akım doğar. Cevap: C.

Örnek 4 — Raylarda sabit hız

Soru: Aralarında 40 cm bulunan yatay iki paralel ray, uçlarından 2 Ω'luk bir dirençle birleştirilmiş. Rayların üstünde direnci önemsenmeyen bir çubuk, şiddeti 0,5 T olan düşey bir alanda sürtünmesiz olarak 5 m/s sabit süratle çekiliyor. Çubuğu çeken dış kuvvetin büyüklüğü ve gücü nedir?

• A) kuvvet gerekmez, çünkü hız sabittir
• B) F = 0,1 N, P = 0,02 W
• C) F = 0,2 N, P = 1 W
• D) F = 0,4 N, P = 2 W
• E) F = 0,1 N, P = 0,5 W

Çözüm: ε = B · L · v = 0,5 · 0,4 · 5 = 1 V; I = 1 / 2 = 0,5 A. Çubuğa etki eden fren kuvveti F = B · I · L = 0,5 · 0,5 · 0,4 = 0,1 N; sabit hız için dış kuvvet buna eşit olmalı. P = F · v = 0,5 W, denetim olarak I² · R = 0,25 · 2 = 0,5 W. Direnci atlayıp akımı 1 A sanan 0,2 N ve 1 W bulur; gücü kuvvetin hıza bölümü sanan 0,02 W yazar. Hız sabit olsa da fren kuvvetini dengelemek için dış kuvvet gerekir. Cevap: E.

• Güçlü alanın tek başına akım doğurduğunu sanmak. Emk akının değişiminden doğar; içinde duran mıknatıs, ne kadar güçlü olursa olsun, akım sürmez.
• Açıyı halkanın düzleminden ölçmek. Φ = B · A · cos θ'daki θ alan ile normal arasındadır; açı düzlemle verildiyse 90°'den çıkar.
• Sarım sayısını unutmak. N sarımlı bobinde emk, tek sarımınkinin N katıdır.
• Akının büyüklüğü aynı kaldı diye değişimi sıfır saymak. Yarım tur dönen halkada akı B · A'dan −B · A'ya geçer; değişim 2 · B · A'dır.
• Lenz'i «akım alana zıttır» diye ezberlemek. İndüksiyon akımı alanın kendisine değil, akının değişimine karşı koyar; azalan akıda alanla aynı yönde alan oluşturur.
• Sabit hızda dış kuvvet gerekmez sanmak. Kayan çubuktaki akım fren kuvveti doğurur; sabit hız için onu dengelemek ve F · v gücünü vermek gerekir.