Akımın manyetik etkisi

Fizik laboratuvarında Özge, ayarlı doğru akım kaynağının kırmızı ve siyah kablolarını bir dirence bağlıyor. Kablolar birbirine sarılı bir çift hâlinde masanın üstünden geçiyor. Akımı birkaç ampere çıkarıyor ve çiftin hemen altına küçük bir pusula koyuyor; iğnenin sert biçimde döneceğinden emin. İğne kıpırdamıyor. Özge önce pusulanın bozuk olduğuna karar veriyor, sonra bakır tel mıknatısa çekilmediği için akımın da iğneyi etkilemeyeceğini düşünüyor. Laboratuvar sorumlusu Orhan Bey yalnızca kırmızı kabloyu çiftten ayırıp pusulanın üstüne getiriyor; iğne hemen yan dönüyor. Akım aynı, tel aynı, pusula aynı. Değişen tek şey, iki kablonun yan yana durup durmaması. Bu derste tek bir telin alanını sayıyla ve yönüyle bulmayı, sonra birden çok akımın alanlarını toplamayı öğrenince Özge'nin masasındaki sessiz iğnenin nedenini hesapla göstereceksin.

• Uzun düz telin bir noktada oluşturduğu manyetik alanın büyüklüğünü hesaplar, yönünü de sağ elle belirlersin.
• Çembersel halkanın merkezindeki ve akım makarasının içindeki alanı sarım sayısı, akım ve boyutlardan hesaplarsın.
• Paralel iki telin alanlarını aynı ve zıt yönlü akımlarda toplar, alanın sıfırlandığı noktayı belirlersin.
• Sayfa düzlemine dik alan ve akımları dışarı ile içeri gösterimleriyle okur ve yazarsın.

TYT'den kalan soru

Ørsted'in gözlemi, düz telin çevresindeki çembersel alan çizgileri ve elektromıknatıs TYT'nin «Mıknatıslar ve manyetik alan» başlıklı dersinde nitel olarak tanıtıldı: akım varsa alan vardır, akım büyürse alan güçlenir. AYT bunun sayısal hâlini ister. Bir telden belli bir uzaklıkta alan kaç tesladır, iki tel yan yana gelince ne olur, bir halka ya da makara içinde alan nasıl hesaplanır? Manyetik alanın büyüklüğü B harfiyle gösterilir ve SI birimi tesladır (T). Bir tesla büyük bir değerdir; bu dersteki tel, halka ve makara örneklerinin hepsi 10⁻⁶ ile 10⁻² T arasında sonuç verecek.

Sayfa düzlemine dik yönler

Şekil çizmeden manyetik alan anlatmak için bir dil gerekir, çünkü alan çoğu zaman kâğıdın düzleminde değil, ona dik durur. Okura doğru, kâğıttan dışarı bakan yön sayfa düzleminden dışarı diye adlandırılır ve nokta içinde bir çemberle (⊙) gösterilir; bu, size doğru gelen bir okun ucudur. Kâğıdın arkasına doğru giden yön sayfa düzleminden içeri diye adlandırılır ve çarpı içinde bir çemberle (⊗) gösterilir; bu da sizden uzaklaşan okun kuyruğudur. Bu derste kâğıdı masaya yatırılmış bir harita gibi düşüneceğiz: kâğıdın üst kenarı kuzey, sağ kenarı doğu.

Düz telin alanı: büyüklük

Uzun düz bir telden I akımı geçiyorsa telden d uzaklıktaki bir noktada alanın büyüklüğü

B = 2 · k_m · I / d

bağıntısıyla bulunur. Burada k_m manyetik sabittir ve değeri 10⁻⁷ T·m/A'dır. Harfin altındaki m, onu Coulomb sabitiyle (k = 9 · 10⁹ N·m²/C²) karıştırmamak için konmuştur; iki sabitin ne değeri ne de birimi birbirine benzer. Bazı kitaplar aynı bağıntıyı boşluğun manyetik geçirgenliği μ₀ = 4π · 10⁻⁷ T·m/A ile B = μ₀ · I / (2π · d) biçiminde yazar. μ₀ / (4π) tam olarak k_m olduğundan iki yazım aynı sayıyı verir; bu derste k_m yazımını kullanacağız.

Bir sayıyla görelim. 10 A taşıyan bir telden 5 cm uzakta alan 2 · 10⁻⁷ · 10 / 0,05 = 4 · 10⁻⁵ T'dır. Uzaklık 10 cm'ye çıkınca alan 2 · 10⁻⁵ T'ya, yani yarıya iner. Burada «Elektrik alan» dersindeki noktasal yükten farklı bir şey oluyor: orada uzaklık iki katına çıkınca alan dörtte bire düşüyordu, burada yalnız yarıya düşüyor. Telin alanı uzaklıkla ters orantılıdır, uzaklığın karesiyle değil. Santimetreyle verilmiş bir uzaklığı metreye çevirmeden bağıntıya koymak sonucu yüz kat küçültür.

Düz telin alanı: yön

Alanın yönü için TYT'de tanıdığımız sağ el kuralı kullanılır: tel sağ elle kavranır, başparmak akımın yönünü gösterir; öteki parmakların telin çevresinde kıvrıldığı yön alan çizgilerinin dolanma yönüdür. Bir noktadaki alan, o noktadan geçen çembere teğettir.

Kural, sayfa diliyle birleşince şöyle işler. Kâğıdın üstünde batıdan doğuya uzanan bir telde akım doğuya akıyor olsun. Başparmak doğuyu gösterdiğinde parmaklar telin kuzey tarafında kâğıttan çıkar, güney tarafında kâğıda girer. Öyleyse telin kuzeyindeki noktalarda alan sayfa düzleminden dışarı (⊙), güneyindeki noktalarda içeri (⊗) bakar. Akım bu kez sayfa düzlemine dik, dışarı doğru akıyorsa alan çizgileri kâğıdın üstünde, okurun gözünden saat yönünün tersine dolanan çemberlerdir: telin doğusundaki noktada alan kuzeye, batısındaki noktada güneye yönelir. Akımın yönü ters çevrilirse her noktadaki alan da tersine döner.

Çembersel halka

Tel bir çember biçiminde bükülürse, çemberin her küçük parçası merkezde aynı yönde alan oluşturur ve bu katkılar birbirine eklenir. Yarıçapı r olan bir halkanın merkezindeki alan

B = 2π · k_m · I / r

olur. Aynı yarıçapta üst üste N sarım varsa sonuç N ile çarpılır. Halkada da sağ el iş görür: parmaklar halkadaki akımın dolandığı yönde kıvrılınca başparmak merkezdeki alanı gösterir. Kâğıt üzerinde duran bir halkada akım okurun gözünden saat yönünün tersine dolanıyorsa merkezdeki alan sayfa düzleminden dışarı, saat yönünde dolanıyorsa içeri bakar. Örneğin 5 A taşıyan, yarıçapı 10 cm olan tek bir halkanın merkezinde π = 3 alınırsa alan 2 · 3 · 10⁻⁷ · 5 / 0,1 = 3 · 10⁻⁵ T'dır. Akım payda durduğu için onu artırmak alanı büyütür, yarıçap paydada durduğu için onu artırmak alanı küçültür.

Akım makarası ve elektromıknatıs

Tel bir boru çevresine sık sık, yan yana sarılırsa akım makarası (bobin, selenoid) elde edilir. Uzun bir makaranın içinde alan hemen hemen düzgündür; yani makaranın eksenine paraleldir ve içerideki her noktada aynı büyüklüktedir. Büyüklüğü

B = 4π · k_m · N · I / L

bağıntısıyla hesaplanır; N toplam sarım sayısı, L makaranın uzunluğudur. N / L oranı, birim uzunluktaki sarım sayısıdır ve alanı belirleyen odur. Makaranın yarıçapı bu bağıntıda yer almaz: ince ya da kalın bir boruya aynı sıklıkta sarılan makaraların içindeki alan aynıdır. Örneğin 30 cm uzunluğunda, 600 sarımlı bir makaradan 2 A geçerse içerideki alan π = 3 ile 4 · 3 · 10⁻⁷ · 600 · 2 / 0,3 = 4,8 · 10⁻³ T olur. Yönü sağ elle bulunur: parmaklar sarımlardaki akımla kıvrılınca başparmak makaranın içindeki alanı, yani makaranın kuzey kutbu gibi davranan ucunu gösterir.

Makaranın içine yumuşak demir bir çekirdek sürülünce alan bu bağıntının verdiğinden kat kat büyür; TYT'de elektromıknatıs adıyla tanıdığımız düzenek budur. Bağıntı yalnız havalı ya da boş makaraya uygulanır; çekirdekli durumda sorular sayı değil yön ve karşılaştırma sorar.

Birden çok telin alanı

Birkaç akım aynı noktada alan oluşturuyorsa her biri ayrı hesaplanır ve sonuçlar vektörel olarak toplanır. Paralel iki telin arasında ya da dışında, tellerle aynı düzlemde kalan bir noktada iki alan da sayfa düzlemine diktir; bu yüzden ya aynı yönde durup toplanır ya zıt yönde durup çıkarılır.

İki telde akım aynı yöndeyse teller arasındaki bir noktada sağ el iki ters yön verir: alanlar birbirine karşı koyar. Dışarıdaki noktalarda ise aynı yöne bakar ve toplanır. Akımlar zıt yöndeyse tablo tersine döner: arada alanlar eklenir, dışarıda birbirini zayıflatır.

Alanın sıfırlandığı noktayı ararken «Elektrik alan» dersindeki akıl yürütme kalıbı neredeyse aynen işler; aynı yönlü akımlar burada aynı işaretli yüklerin yerini tutar. Fark, karekökün ortadan kalkmasıdır: uzaklık kare olmadığı için orantı doğrudan kurulur. 2 A ve 6 A taşıyan, aynı yönlü iki tel 40 cm aralıklıysa sıfır noktası arada ve küçük akıma yakındır: 2 / x = 6 / (0,4 − x) eşitliği x = 0,1 m verir. Akımlardan biri ters çevrilirse sıfır noktası dışarıya, küçük akımın gerisine kayar: 2 / x = 6 / (x + 0,4) eşitliğinden x = 0,2 m çıkar. Akımlar eşit ve zıtsa dışarıda böyle bir nokta yoktur; alan ancak çok uzakta sıfıra yaklaşır.

Özge'nin kablosu

Kancadaki sorunun cevabı bu son durumdadır. Bir devrede kaynağa giden ve kaynaktan dönen kablolarda aynı akım zıt yönlerde akar. İki kablo birbirine sarılıp yan yana durduğunda, dışarıdaki bir noktaya uzaklıkları neredeyse eşittir ve alanları birbirini neredeyse götürür. Sayıyla bakalım: her birinde 5 A bulunan zıt yönlü iki kablo düşünelim; pusulaya uzaklıkları 5 cm ve 5,5 cm olsun. Yakın kablonun tek başına alanı 2 · 10⁻⁵ T'dır, iki kablonun birlikte alanı ise 2 · 10⁻⁷ · 5 · (1 / 0,05 − 1 / 0,055) ≈ 1,8 · 10⁻⁶ T'ya, yani tek kablonun on birde birine iner. Dünya'nın alanının yatay bileşenini 2 · 10⁻⁵ T alırsak, tek kablonun alanı bu bileşene eşittir ve iğneyi 45° çevirir; çiftin kalan alanı ise iğneyi ancak birkaç derece oynatır. Birbirine sarılı kablolar gerçekte bu örnekteki 0,5 cm'den de yakın durduğu için kalan alan daha da küçülür. Orhan Bey kırmızı kabloyu çiftten ayırınca dönüş akımının alanı uzakta kaldı ve gidiş akımının alanı tek başına iş gördü.

Soru çözerken

Her akım için önce yönü sağ elle belirleyip noktaya ⊙ ya da ⊗ yaz, sonra büyüklüğü bağıntıyla hesapla. Düz tel mi, halka mı, makara mı olduğuna bakarak doğru bağıntıyı seç: tel için 2 · k_m, halka için 2π · k_m, makara için 4π · k_m. Uzaklıkları metreye çevir. Toplamada aynı yönleri ekle, zıt yönleri çıkar; birbirine dik alanlarda Pisagor bağıntısını kullan. Sıfır noktasında önce akım yönlerine bakarak bölgeyi seç, sonra orantıyı karekök almadan kur.

Bu derste akımın çevresine alan yaydığını gördük ama alanın içine konan bir şeyin ne hissettiğini hiç sormadık. Özge'nin masasındaki iki kablo yalnızca alanlarını toplamakla kalmaz; her biri ötekinin alanının içinde durur. Böyle bir alan, içinden geçen yüklü bir taneciğe ve akım taşıyan bir tele hangi büyüklükte, hangi yönde kuvvet uygular; duran bir yüke ise neden hiç dokunmaz? Taneciğin alana hangi doğrultuda girdiği bu kuvveti nasıl değiştirir, aynı yönlü iki akım birbirine yaklaşır mı uzaklaşır mı, düzgün alana konan akımlı bir halka neden döner? «Manyetik kuvvet» dersi bu soruları F = q · v · B · sin θ bağıntısından başlayıp elektrik motorunun ilkesine kadar götürüyor.

Örnek 1 — Kâğıt üzerindeki tel

Soru: Sayfa düzleminde güneyden kuzeye uzanan uzun düz bir telden kuzeye doğru 15 A akım geçiyor. P noktası telin 3 cm doğusunda ve sayfa düzlemindedir. k_m = 10⁻⁷ T·m/A alınız. P'deki manyetik alan nedir?

• A) 10⁻⁴ T, sayfa düzleminden içeri
• B) 10⁻⁴ T, sayfa düzleminden dışarı
• C) 10⁻⁶ T, sayfa düzleminden içeri
• D) 5 · 10⁻⁵ T, sayfa düzleminden içeri
• E) 10⁻⁴ T, doğuya

Çözüm: Uzaklık 0,03 m'dir; B = 2 · 10⁻⁷ · 15 / 0,03 = 10⁻⁴ T. Yön için başparmak kuzeyi gösterecek biçimde tel kavranır; parmaklar telin doğu tarafında kâğıda girer, öyleyse alan sayfa düzleminden içeri bakar. Dışarı diyen yön kuralını ters uygulamıştır. 10⁻⁶ T uzaklığı santimetre bırakmaktan, 5 · 10⁻⁵ T bağıntıdaki 2'yi unutmaktan gelir. Doğu seçeneği alanı telden dışa giden bir ışın gibi düşünür; o elektrik alanın davranışıdır. Cevap: A.

Örnek 2 — Çok sarımlı halka

Soru: Yarıçapı 6 cm olan, 20 sarımlı ince bir halka bobin kâğıdın üstünde yatıyor ve sarımlarından 0,3 A akım geçiyor. Akım, halkaya yukarıdan bakan biri için saat yönünün tersine dolanıyor. k_m = 10⁻⁷ T·m/A ve π = 3 alınız. Halkanın merkezindeki alan nedir?

• A) 3 · 10⁻⁶ T, sayfa düzleminden dışarı
• B) 6 · 10⁻⁵ T, sayfa düzleminden içeri
• C) 2 · 10⁻⁵ T, sayfa düzleminden dışarı
• D) 6 · 10⁻⁵ T, sayfa düzleminden dışarı
• E) 6 · 10⁻⁷ T, sayfa düzleminden dışarı

Çözüm: Halka bağıntısı sarım sayısıyla çarpılır: B = 2 · 3 · 10⁻⁷ · 20 · 0,3 / 0,06 = 6 · 10⁻⁵ T. Parmaklar saat yönünün tersine kıvrılınca başparmak okura doğru, yani sayfadan dışarıyı gösterir. 3 · 10⁻⁶ T, sarım sayısını atlamaktan; 2 · 10⁻⁵ T, halka yerine düz tel bağıntısını kullanmaktan; 6 · 10⁻⁷ T, yarıçapı santimetre bırakmaktan çıkar. Cevap: D.

Örnek 3 — Aynı yönlü iki akım

Soru: Sayfa düzleminde birbirine paralel, aralarında 30 cm bulunan X ve Y tellerinden aynı yönde 3 A ve 12 A akım geçiyor. İki telin bu düzlemde oluşturduğu net manyetik alan hangi noktada sıfırdır?

• A) X'in gerisinde, X'e 10 cm uzakta
• B) teller arasında, X'e 10 cm uzakta
• C) teller arasında, X'e 6 cm uzakta
• D) teller arasında, Y'ye 6 cm uzakta
• E) iki telin tam ortasında

Çözüm: Akımlar aynı yönde olduğu için alanlar teller arasında birbirine karşı durur; nokta arada ve küçük akımın tarafındadır. X'ten x uzaklıkta 3 / x = 12 / (0,3 − x) yazılır; 0,9 − 3x = 12x ve x = 0,06 m. 10 cm'yi araya yerleştiren, uzaklığın karesini almış, yani noktasal yükün alanını kullanmıştır. X'in gerisindeki 10 cm, Y'nin akımı ters çevrilseydi doğru olurdu: o zaman 3 / x = 12 / (x + 0,3) ve x = 0,1 m. Cevap: C.

Örnek 4 — Makaranın içi

Soru: Uzunluğu 30 cm olan bir boruya 1500 sarım sarılarak yapılan makaradan 0,5 A akım geçiyor. k_m = 10⁻⁷ T·m/A ve π = 3 alınız. Makaranın içindeki alan kaç tesladır ve sarım sayısı, uzunluk ve akım aynı kalmak üzere borunun yarıçapı iki katına çıkarılırsa bu alan nasıl değişir?

• A) 3 · 10⁻³ T; dörtte birine iner
• B) 7,5 · 10⁻⁴ T; değişmez
• C) 3 · 10⁻⁵ T; değişmez
• D) 1,5 · 10⁻³ T; yarıya iner
• E) 3 · 10⁻³ T; değişmez

Çözüm: B = 4 · 3 · 10⁻⁷ · 1500 · 0,5 / 0,3 = 3 · 10⁻³ T. Yarıçap bağıntıda yoktur; birim uzunluktaki sarım sayısı ve akım değişmediği için alan aynı kalır. 7,5 · 10⁻⁴ T, bağıntıdaki 4'ü unutmaktan; 3 · 10⁻⁵ T, uzunluğu 30 diye santimetreyle bölmekten gelir. Dörtte bir ya da yarı diyen, makarayı halka sanıp yarıçapı bağıntıya sokmuştur. Cevap: E.

• Telin alanını uzaklığın karesiyle küçültmek. Noktasal yükün elektrik alanı 1 / d² ile azalır, düz telin manyetik alanı 1 / d ile. Uzaklık iki katına çıkınca alan yarıya iner.
• İki k'yi karıştırmak. Manyetik sabit k_m = 10⁻⁷ T·m/A, Coulomb sabiti k = 9 · 10⁹ N·m²/C²'dir. Yanlış sabit sonucu yaklaşık on yedi basamak kaydırır.
• Bağıntıları birbirine karıştırmak. Düz tel 2 · k_m · I / d, halka merkezi 2π · k_m · I / r, makara içi 4π · k_m · N · I / L. Halkada ve makarada sarım sayısını atlamak da sık görülür.
• Alanı telden dışa giden ışın sanmak. Manyetik alan telin çevresinde dolanır; düzlemdeki bir telin yanındaki noktada alan çoğunlukla sayfaya diktir.
• Sıfır noktasını yanlış bölgede aramak. Aynı yönlü akımlarda nokta teller arasında, zıt yönlülerde küçük akımın gerisindedir. Orantı karekök alınmadan kurulur.
• Makara alanını yarıçapa bağlamak. Uzun makaranın içindeki alan yalnız N / L oranına ve akıma bağlıdır.