Paralel levhalar ve yüklü tanecik hareketi

Cumartesi etüdünde Hilal tahtaya iki uzun çizgi çekip arasına durgun bir elektron koyuyor. Levhalar bir üretece bağlı, gerilim sabit. «Levhaları birbirinden iki kat uzaklaştıralım» diyor, «elektron iki kat uzun yol boyunca hızlanır, öbür levhaya çok daha hızlı varır.» Defterine sonucu da yazıyor: hız √2 katı. Kaan tebeşiri alıp tek bir soru soruyor: «Aralık açılınca elektronu iten kuvvet aynı mı kalıyor?» Hilal duraksıyor; yolun uzadığını görmüş ama alanın zayıfladığını hesaba katmamış. İki etki birbirini tam götürür mü, yoksa biri ağır mı basar? Bu derste paralel levhaların arasındaki düzgün alanı kuracak, yüklü taneciğin bu alanda kazandığı hızı, izlediği yolu ve havada asılı kalabildiği durumu hesaplayacaksın.

• Paralel levhalar arasındaki alanı gerilim ve aralıktan hesaplar, yönünü levhaların işaretinden belirlersin.
• Levhalar arasında hızlanan ya da yavaşlayan yüklü taneciğin kinetik enerjisini ve hızını gerilimden bulursun.
• Alana dik giren taneciğin levhalar arasındaki sapmasını yatay atışa benzeterek hesaplarsın.
• Levhalar arasında asılı kalan yüklü damlanın denge koşulunu kurar, gerilim ya da aralık değişince ne olacağını kestirirsin.

İki levha, tek yönlü bir alan

Birbirine paralel, düzlem iki metal levhayı bir üretecin uçlarına bağlayalım. Bir levha pozitif, öbürü aynı miktarda negatif yüklenir. «Elektrik alan» dersinde noktasal yükün alanını k · q / d² ile yazmış, uzaklık arttıkça zayıfladığını görmüştük. Levha çiftinde uzaklığın böyle bir etkisi yoktur. Kenarlardan uzak durdukça levhalar arasında hangi noktayı seçersen seç, ölçülen alan değeri de okun doğrultusu da değişmez. Buna düzgün alan (uniform electric field) denir. Alan çizgileri pozitif levhadan çıkıp negatif levhaya dik olarak iner, birbirine paralel ve eşit aralıklıdır. Levhaların dış tarafında iki levhanın alanları birbirini neredeyse tamamen götürür; YKS sorularında dışarıdaki alan sıfır alınır, kenarlardaki eğrilme de hesaba girmez.

Alanı gerilimden okumak

Levhalar arasındaki gerilim V, aralık d ise alanın büyüklüğü

E = V / d

ile bulunur. Birim volt bölü metredir ve «Elektrik alan» dersindeki N/C ile aynı şeydir: 1 V/m = 1 N/C. Örneğin 200 V'luk bir üretece bağlı, aralarında 4 cm olan levhalarda alan 200 / 0,04 = 5000 V/m olur. Aralık santimetreyle verildiğinde metreye çevirmeden bölmek sonucu yüz kat küçültür. Gerilimin tanımını ve bir yükü potansiyel farkı boyunca taşımanın işini «Elektriksel potansiyel ve iş» adlı derste kurduk; burada o işi sabit bir kuvvetin yol boyunca yaptığı iş olarak yeniden okuyacağız.

Levhalar arasındaki iş ve kazanılan hız

Alan düzgün olduğu için q yüküne levhalar arasında her yerde aynı kuvvet etki eder: F = q · E. Yük bir levhadan ötekine giderken bu kuvvet d yolu boyunca iş yapar: W = q · E · d = q · V. Aralık sadeleşir. Yük durgun bırakılmışsa kazandığı kinetik enerji tamamen bu iştir:

½ · m · v² = q · V

Hesaplarda elektron için m = 9 · 10⁻³¹ kg ve q = 1,6 · 10⁻¹⁹ C kullanacağız. 45 V'luk levhalar arasında durgun bırakılan elektron pozitif levhaya 7,2 · 10⁻¹⁸ J kinetik enerjiyle, «Elektriksel potansiyel ve iş» dersindeki birimle 45 eV ile ve 4 · 10⁶ m/s hızla varır. Gerilimi 180 V yaparsak, yani dört katına çıkarırsak, hız 8 · 10⁶ m/s olur: hız gerilimin kareköküyle büyür.

Hilal'in tahtasına dönelim. 180 V'ta aralık 2 cm iken elektronun ivmesi 1,6 · 10¹⁵ m/s², yolculuğu 5 · 10⁻⁹ s'dir. Aralık 4 cm'ye çıkınca alan yarıya, ivme 8 · 10¹⁴ m/s²'ye iner; yolculuk 10⁻⁸ s'ye uzar. Varış hızı ise iki durumda da 8 · 10⁶ m/s'dir. Yol iki katına çıkarken kuvvet yarıya indi ve iş değişmedi. Gerilim sabitken aralığı değiştirmek varış süresini değiştirir, varış hızını değiştirmez.

Durgun bırakılan yükün ivmesi

Başka kuvvet hesaba girmiyorsa ivmeyi dinamiğin temel yasası verir: a = q · E / m. Pozitif yükün ivmesi alanla aynı yönü, negatif yükünkü ters yönü gösterir. İvme sabittir; levhalar arasındaki hareket, TYT'de gördüğün sabit ivmeli doğrusal hareketin denklemlerine uyar: v = a · t, x = ½ · a · t². Elektron ve proton sorularında ağırlık ihmal edilir, çünkü elektriksel kuvvetin yanında ağırlık çok küçük kalır; bunu «Elektrik alan» dersinde sayıyla görmüştük. Taneciğin yük bölü kütle oranı, q / m, ivmeyi belirleyen tek özelliğidir. Aynı gerilimden geçen bir proton ile yükü iki, kütlesi dört katı olan bir alfa tanecik karşılaştırılırsa alfa iki kat kinetik enerji kazanır ama q / m oranı yarı olduğu için hızı protonunkinin 1/√2 katı kalır.

Alana paralel giren tanecik: yavaşlama ve geri dönüş

Tanecik levhalar arasına bir delikten, alan doğrultusunda bir v₀ hızıyla girsin. Kuvvet hareketle aynı yöndeyse tanecik hızlanır ve kazandığı enerji yine q · V'dir. Kuvvet harekete zıtsa tanecik yavaşlar. Bu durum «Düşey atış» dersinde yukarı atılan topa benzer: ağırlığın yerini elektriksel kuvvet, g'nin yerini q · E / m alır. Tanecik, kinetik enerjisi q · E · x kadarlık işle tükendiği x noktasında durur ve aynı yoldan geri dönerek girdiği delikten aynı hızla çıkar. Eğer ½ · m · v₀² değeri q · V'den büyükse tanecik durmaya fırsat bulmaz; karşı levhaya kalan enerjiyle varır, o levhada da delik varsa oradan çıkar.

Sayıyla: 4 · 10⁶ m/s ile pozitif levhadaki delikten giren elektronun kinetik enerjisi 7,2 · 10⁻¹⁸ J'dür. Levhalar 2 cm aralıklı ve 90 V'luk üretece bağlıysa alan 4500 V/m olur, elektron negatif levhaya doğru ilerlerken geri itilir. Durana kadar 1 cm yol alır, yani tam ortada döner ve pozitif levhadaki delikten 4 · 10⁶ m/s ile geri çıkar.

Alana dik giren tanecik: levhalar arasında parabol

Tanecik levhaların arasına, levhalara paralel ve alana dik bir v₀ hızıyla girerse hareket iki doğrultuya ayrılır. Levhalara paralel doğrultuda kuvvet yoktur, hız v₀ olarak kalır. Alan doğrultusunda ilk hız sıfırdır ve sabit a = q · E / m ivmesi vardır. «Yatay atış» dersindeki düzenin aynısıdır; g'nin yerinde a durur. Burada da yerçekimi ihmal edilir: elektronun ağırlığı elektriksel kuvvetin yanında önemsiz olduğu için sapmayı yalnız alan belirler. Levha boyu L ise tanecik levhalar arasında t = L / v₀ kadar kalır. Çıkışta alan doğrultusundaki sapma ve hız bileşeni

y = ½ · a · t² ve v_y = a · t

olur. Çıkış hızının levhalarla yaptığı açı tan α = v_y / v₀ ile okunur. Sapma v₀²'yle ters orantılıdır: ilk hızı iki katına çıkan tanecik dörtte bir kadar sapar.

Elektron 2 · 10⁷ m/s ile 5 cm boyundaki levhaların ortasından girsin, alan 4500 V/m olsun. İvme 8 · 10¹⁴ m/s², levhalar arasındaki süre 2,5 · 10⁻⁹ s, çıkıştaki düşey sapma 2,5 mm, alan doğrultusundaki hız 2 · 10⁶ m/s ve tan α = 0,1 olur. Elektron pozitif levhaya doğru sapar. Tanecik ortadan girdiyse sapma d / 2'yi aşmadıkça levhaya çarpmadan çıkar. Levhaların dışında alan olmadığından çıkıştan sonra doğrusal yolla, çıkış hızıyla ilerler; ilerideki bir ekrandaki toplam sapma, levhalar arasındaki y ile sonraki doğrusal yolun tan α kadar eğik payının toplamıdır.

Asılı kalan damla

Ağırlığı ihmal edilemeyecek kadar büyük bir tanecik, örneğin yüklü küçük bir yağ damlası, levhalar arasında dengede tutulabilir. Bunun için elektriksel kuvvet yukarı yönde ve ağırlığa eşit olmalıdır:

q · E = m · g

Damla negatif yüklüyse kuvvet alana zıttır; kuvvetin yukarı bakması için alan aşağı bakmalı, yani üst levha pozitif olmalıdır. Kütlesi 4,8 · 10⁻¹⁶ kg olan damla, 1 cm aralıklı levhalara 100 V uygulanınca asılı kalıyorsa alan 10⁴ V/m'dir ve damlanın yükü 4,8 · 10⁻¹⁹ C, yani 3 elektronluk yük çıkar. Yük her zaman temel yükün tam katıdır. Millikan'ın yağ damlası deneyi, temel yükü ölçmek için bu dengeden yararlanmıştır. Gerilim artırılırsa elektriksel kuvvet ağırlığı aşar ve damla yukarı ivmelenir; azaltılırsa aşağı ivmelenir. Net ivme, kuvvetlerin farkı bölü kütledir.

Aralık değişince alan ne olur?

İki durum birbirinden ayrılmalıdır. Levhalar üretece bağlı kalırsa gerilim sabittir; aralık açılınca E = V / d küçülür, kapanınca büyür. Levhalar yüklendikten sonra üreteçten ayrılırsa üzerlerindeki yük sabit kalır. Alan çizgileri levhalardaki yükten çıkıp yüke iner; yük aynı kaldıkça çizgilerin sıklığı, dolayısıyla alan da aynı kalır. Aralık açılınca değişen gerilimdir ve E · d çarpımıyla büyür. Yük sabitken asılı damlanın dengesi bozulmaz, gerilim sabitken bozulur.

Soru çözerken

Önce alanı V / d ile bul ve yönünü pozitif levhadan negatife doğru çiz. Enerji ya da hız soruluyorsa q · V yeter, aralığa gerek kalmaz. Süre ya da sapma soruluyorsa ivme a = q · E / m gerekir. Taneciğin ağırlığı verilmişse ve ihmal edilmesi söylenmemişse q · E ile m · g'yi aynı serbest cisim çizimine koy.

Bu derste levhaların taşıdığı yükü hiç sayıya dökmedik; aralığın etkisini de yalnız yön olarak söyledik. Üretece bağlanan bir levha çiftine ne kadar yük dolduğu, bu yükün gerilime oranının levhaların yüzölçümüne, aralığına ve aradaki yalıtkana nasıl bağlandığı «Sığaçlar» dersinin konusu. Orada bir sürpriz de bekliyor: iki yük deposunu uç uca eklemek, dirençlerdeki alışkanlığın tersine, toplam tutma yeteneğini büyütmez, küçültür.

Örnek 1 — Aralık açılınca varış hızı

Soru: Bir üretece bağlı paralel levhalar arasında gerilim 180 V, aralık 2 cm. Negatif levhanın yanında durgun bırakılan elektron pozitif levhaya ulaşıyor. Elektron için mₑ = 9 · 10⁻³¹ kg ve e = 1,6 · 10⁻¹⁹ C değerlerini kullanın. Üreteç bağlıyken aralık 4 cm'ye çıkarılırsa varış hızı ne olur?

• A) v = 8√2 · 10⁶ m/s
• B) v = 4 · 10⁶ m/s
• C) v = 1,6 · 10⁷ m/s
• D) v = 8 · 10⁶ m/s
• E) v = 4√2 · 10⁶ m/s

Çözüm: Varış hızı ½ · m · v² = q · V ile bulunur ve aralık bu eşitlikte yoktur. 2 · 1,6 · 10⁻¹⁹ · 180 / (9 · 10⁻³¹) = 6,4 · 10¹³, karekökü 8 · 10⁶ m/s. Aralık 4 cm olunca alan yarıya iner ama yol iki katına çıkar; iş ve hız değişmez. 8√2 · 10⁶, yolun uzamasını alanın zayıflamasından bağımsız sayan Hilal'in hatasıdır; 4√2 · 10⁶ ve 4 · 10⁶, alanın küçülmesini tek başına hıza yansıtmaktan doğar; 1,6 · 10⁷ ise yolu iki kat alıp kareköksüz büyütmektir. Cevap: D.

Örnek 2 — Levhalar arasında sapma

Soru: Bir elektron, 5 cm boyunda ve aralarında 4500 V/m'lik düzgün alan bulunan iki levhanın tam ortasından, levhalara paralel olarak 2 · 10⁷ m/s hızla giriyor. Elektronun kütlesi 9 · 10⁻³¹ kg, yükü 1,6 · 10⁻¹⁹ C alınsın; yerçekimi ihmal edilsin. Elektron levhalardan çıkarken alan doğrultusunda ne kadar sapmıştır?

• A) sapma 5 mm
• B) sapma 2,5 mm
• C) sapma 0,25 mm
• D) sapma 25 cm
• E) sapma 1,25 mm

Çözüm: İvme 1,6 · 10⁻¹⁹ · 4500 / (9 · 10⁻³¹) = 8 · 10¹⁴ m/s². Levhalar arasındaki süre 0,05 / (2 · 10⁷) = 2,5 · 10⁻⁹ s. Sapma ½ · 8 · 10¹⁴ · (2,5 · 10⁻⁹)² = 2,5 · 10⁻³ m. ½ unutulursa 5 mm çıkar; yarım daha bölmek 1,25 mm verir. 0,25 mm ve 25 cm, metreyi milimetreye çevirirken basamak kaydırmaktan gelir. Cevap: B.

Örnek 3 — Asılı yağ damlası

Soru: Kütlesi 4,8 · 10⁻¹⁶ kg olan negatif yüklü bir yağ damlası, aralarında 1 cm bulunan yatay levhalar arasına 100 V uygulanınca hareketsiz kalıyor. Temel yük 1,6 · 10⁻¹⁹ C, g ise 10 m/s². Damladaki fazla elektron sayısı n ve pozitif yüklü levha için hangisi doğrudur?

• A) n = 300, üst levha pozitif
• B) n = 3, alt levha pozitif
• C) n = 3, üst levha pozitif
• D) n = 0,3, üst levha pozitif
• E) n = 30, alt levha pozitif

Çözüm: Alan 100 / 0,01 = 10⁴ V/m. Denge q · E = m · g'den q = 4,8 · 10⁻¹⁵ / 10⁴ = 4,8 · 10⁻¹⁹ C, bu da 3 elektronluk yüktür. Negatif yüke etki eden kuvvet alana zıttır; kuvvet yukarıysa alan aşağıdır, alan da pozitif levhadan çıkar: üst levha pozitif. Aralık santimetre olarak bölünürse 300, g unutulursa 0,3 çıkar ve kesirli elektron sayısı olamaz. Alt levhayı pozitif seçmek, negatif yükün alanla aynı yönde itildiğini sanmaktır. Cevap: C.

Örnek 4 — Geri dönen elektron

Soru: Aralarında 2 cm bulunan ve 90 V'luk üretece bağlı iki levhadan pozitif olanında küçük bir delik var. Bir elektron bu delikten levhalara dik olarak 4 · 10⁶ m/s hızla içeri giriyor (mₑ = 9 · 10⁻³¹ kg, e = 1,6 · 10⁻¹⁹ C). Elektronun hareketi için hangisi doğrudur?

• A) Negatif levhaya 4 · 10⁶ m/s'den büyük hızla çarpar.
• B) Negatif levhaya hızı tam sıfırlanarak dokunur.
• C) Alan hızına dik olduğundan doğrusal ve sabit hızla geçer.
• D) Pozitif levhadan 0,5 cm içeride durur, delikten 2 · 10⁶ m/s ile çıkar.
• E) Pozitif levhadan 1 cm içeride durur, delikten 4 · 10⁶ m/s ile geri çıkar.

Çözüm: Alan 90 / 0,02 = 4500 V/m ve pozitiften negatife bakar. Elektron negatif levhaya doğru giderken alana zıt yönde, yani geri çekilir. Kinetik enerjisi ½ · 9 · 10⁻³¹ · 1,6 · 10¹³ = 7,2 · 10⁻¹⁸ J. Durma yolu 7,2 · 10⁻¹⁸ / (1,6 · 10⁻¹⁹ · 4500) = 0,01 m. Durduktan sonra aynı ivmeyle geri hızlanır ve girdiği hızla çıkar. Negatif levhaya ulaşmak için 1,44 · 10⁻¹⁷ J gerekirdi; A seçeneği kuvvet yönünü ters almaktır, C ise alan doğrultusunu yanlış okumaktır. Cevap: E.

• Aralık açılınca varış hızının arttığını sanmak. Gerilim sabitse iş q · V'dir; yol uzar ama alan aynı oranda zayıflar, değişen yalnız yolculuk süresidir.
• Negatif yükün alan yönünde itildiğini düşünmek. Elektron alana zıt yönde, yani pozitif levhaya doğru ivmelenir; asılı damla sorularında hangi levhanın pozitif olduğu buradan çıkar.
• Aralığı santimetreyle bölmek. E = V / d'de d metre olmalıdır; aksi hâlde alan yüz kat küçük, ondan türeyen ivme ve sapma da yanlış çıkar.
• Sapmada ½'yi düşürmek ya da v₀'ı ivmeye katmak. Alan doğrultusunda ilk hız sıfırdır: y = ½ · a · (L / v₀)²; levhalara paralel hız sapmayı yalnız süre üzerinden etkiler.
• Üreteçten ayrılmış levhalarda da alanın aralıkla değiştiğini söylemek. Yük sabitken alan sabit kalır, değişen gerilimdir; gerilim sabitken ise alan aralıkla ters orantılıdır.