Elektriksel potansiyel ve iş

Görkem okul kütüphanesinde Fulya'yla birlikte çözdükleri deneme kitapçığının cevaplarını karşılaştırıyor. Bir soruda iki eşit pozitif yük sabitlenmiş, üçüncü bir pozitif yük çok uzaktan ikisinin tam ortasına yavaşça getiriliyor ve bunun için yapılması gereken iş soruluyor. Görkem kutuya güvenle sıfır yazmış: «Ortada iki itme birbirini götürüyor, alan sıfır. Kuvvet yoksa iş de yok.» Cevap anahtarı pozitif bir değer veriyor. Fulya kalemiyle kâğıdın kenarına bir yol çiziyor: «Yük o noktaya ışınlanmadı ki. Yolda gelirken iki yük de onu geri itiyordu.» Görkem'in hatası sonuca bakıp yolu unutmak. Bu derste yolun ayrıntısına girmeden işi hesaplamanın yolunu, yani potansiyeli kuruyoruz.

• İki noktasal yükün elektriksel potansiyel enerjisini ve bir noktadaki potansiyeli işaretiyle hesaplarsın.
• Birkaç yükün potansiyelini skaler olarak toplar, potansiyelin sıfır olduğu yeri alanın sıfır olduğu yerden ayırırsın.
• Bir yükü iki nokta arasında taşımanın işini potansiyel farkından bulur, dış kuvvetin işiyle alanın işini işaretleriyle ayırt edersin.
• Bir yük düzenini kurmanın toplam işini ve serbest bırakılan yükün kazandığı kinetik enerjiyi joule ve elektron-volt cinsinden hesaplarsın.

Görkem'in sıfırı nerede kayboldu

«İş-enerji teoremi» dersinde iş, kuvvetin yol boyunca yaptığı katkıların toplamıydı ve değişen kuvvette bu toplamı grafiğin altındaki alanla bulmuştuk. Görkem'in sorusunda kuvvet yolun her noktasında başka bir değer alıyor. Gelen yük yaklaştıkça iki sabit yükün itmesi büyüyor, ancak tam orta noktaya varıldığında iki itme eşitleniyor. Varış noktasındaki sıfır alan, yolun son milimetresinde kuvvetin bittiğini söyler; önceki her adımda dış kuvvet itmeye karşı iş yapmıştır. Bu toplamı her soruda adım adım hesaplamak zahmetli olurdu. Elektrik kuvveti, kütle çekimi gibi, yaptığı işi yalnız başlangıç ve bitiş konumuna bağlayan bir kuvvettir; bu özellik sayesinde her konuma tek bir enerji değeri yazılabilir.

İki yükün potansiyel enerjisi

«Kütle çekim yasası» dersinde iki kütlenin potansiyel enerjisini U = − G · m₁ · m₂ / r biçiminde yazmış, sıfırı cisimlerin sonsuz uzakta olduğu duruma koymuştuk. Elektrikte karşılığı şudur:

E_p = k · q₁ · q₂ / d

Sıfır noktası yine yüklerin sonsuz uzakta bulunduğu durumdur, ama formülün önünde eksi yoktur; işareti yüklerin çarpımı belirler. Yükler aynı işaretliyse itme vardır; onları yaklaştırmak için dışarıdan iş yapılır ve enerji sıfırın üstüne çıkar. Zıt işaretli yüklerde durum kütle çekimine benzer: yükler birbirini çeker, enerji sıfırın altındadır ve onları ayırmak iş ister. Örneğin 0,3 m arayla duran +2 μC'luk ile +3 μC'luk yüklerin enerjisi 9 · 10⁹ · 6 · 10⁻¹² / 0,3 = 0,18 J'dür. İkinci yük −3 μC olsaydı aynı hesap −0,18 J verirdi. Bu enerji kuvvetin tersine uzaklığın karesiyle değil, kendisiyle ters orantılıdır: aralık yarıya inince kuvvet dört katına çıkar, enerji yalnız iki katına.

Birim yük başına: potansiyel

Potansiyel enerji iki yüke birden bağlıdır. Alanı tanımlarken yaptığımız gibi deneme yükünü formülden atmak için enerjiyi o yüke böleriz. Elde edilen büyüklüğe elektriksel potansiyel (electric potential) denir:

V = E_p / q₀ = k · q / d

Birimi joule bölü coulombdur ve bu birime volt (V) adı verilir. Potansiyel vektör değildir; yönü yoktur, yalnız büyüklüğü ve işareti vardır. Pozitif yükün çevresinde her nokta pozitif, negatif yükün çevresinde her nokta negatif potansiyeldedir. +8 nC'luk bir yükün 0,4 m ötesinde potansiyel 9 · 10⁹ · 8 · 10⁻⁹ / 0,4 = 180 V'tur; uzaklık 0,8 m olunca değer yarıya, 90 V'a iner. Kaynak −8 nC olsaydı ilk noktada −180 V okunurdu.

Potansiyeller sayı gibi toplanır

Birden çok yük varsa her birinin potansiyeli işaretiyle yazılır ve sonuçlar sıradan sayılar gibi toplanır; bileşen ayırmaya, açı hesaplamaya gerek kalmaz. Noktanın yüklere göre nerede durduğu yalnız uzaklıklar aracılığıyla hesaba girer. Görkem'in düzeneğine sayı verelim: 0,6 m arayla duran iki +5 nC yükünün orta noktasında alanlar birbirini götürür, potansiyeller ise 150 V + 150 V = 300 V olarak toplanır. Sonsuzda potansiyel sıfır olduğuna göre +2 nC'luk bir yükü oraya getirmek 2 · 10⁻⁹ · 300 = 6 · 10⁻⁷ J iş ister. Görkem'in kutusuna yazılması gereken sayı buydu.

Ters durum da olur. +q ile −q'nun orta noktasında iki potansiyel birbirini sıfırlar, oysa alanların ikisi de −q tarafını gösterir ve toplanır. «Elektrik alan» dersinin üçüncü çözümlü örneğindeki +1 μC'luk ile −4 μC'luk yüklere dönelim: aralarında 30 cm vardı ve alan, pozitif yükün 30 cm gerisinde sıfırlanıyordu. O noktada potansiyel 9 · 10⁹ · (10⁻⁶ / 0,3 − 4 · 10⁻⁶ / 0,6) = −3 · 10⁴ V'tur, sıfırdan çok uzaktır. Potansiyelin sıfır olduğu yerler ise bambaşkadır: yükleri birleştiren doğru üzerinde biri arada, pozitif yükten 6 cm ötede, öteki pozitif yükün 10 cm gerisindedir. Alan sıfırını bulurken uzaklığın karesiyle, potansiyel sıfırını bulurken uzaklığın kendisiyle çalışılır; bu yüzden iki hesap aynı noktaya düşmek zorunda değildir.

Potansiyel farkı ve taşıma işi

Bir q yükü A'dan B'ye, hızı değişmeyecek kadar yavaş taşınıyorsa dış kuvvetin yaptığı iş yükün potansiyel enerjisindeki değişime eşittir:

W_dış = q · (V_B − V_A) = q · ΔV

Elektrik alanın aynı yolda yaptığı iş bunun tam tersidir: W_alan = − q · ΔV. İki işaret yalnızca farklı kuvvetlerin işini anlattığı için ayrışır. Bir sayıyla görelim: −2 μC'luk bir yük potansiyeli +150 V olan A'dan potansiyeli −50 V olan B'ye taşınıyor. ΔV = −200 V ve W_dış = (−2 · 10⁻⁶) · (−200) = +4 · 10⁻⁴ J çıkar; alanın işi −4 · 10⁻⁴ J'dür. Negatif yük yüksek potansiyele doğru çekilir, onu alçak potansiyele götürmek dışarıdan emek ister. q ile ΔV'nin işaretini birlikte taşımak, yön tartışmasına girmeden doğru sonucu verir.

İş yoldan bağımsızdır

Formülde yolun uzunluğu ya da biçimi yoktur; yalnız iki uçtaki potansiyel vardır. A'dan B'ye düz gidilse de geniş bir yay çizilse de iş aynıdır. Yerçekiminde merdivenden de rampadan da aynı kata çıkmak m · g · h kadar enerji istiyordu; elektrik kuvveti de bu tür, korunumlu bir kuvvettir. Yük kapalı bir yol izleyip başladığı noktaya dönerse alanın toplam işi sıfırdır.

Eş potansiyel yüzeyler

Potansiyelin her yerde aynı değeri aldığı noktaların oluşturduğu yüzeye eş potansiyel yüzey (equipotential surface) denir. Noktasal yükün çevresinde bunlar yükü merkez alan iç içe kürelerdir, çünkü V yalnız d'ye bağlıdır. Böyle bir yüzey üzerinde yük taşımak iş gerektirmez; bu yüzden alan çizgileri eş potansiyel yüzeyleri dik keser ve potansiyelin azaldığı yöne bakar. +q ile −q'nun orta dikmesi bütünüyle sıfır potansiyeldedir. Yüklü iletken küre de güzel bir örnektir: içinde alan sıfır olduğundan iç bölgede yük taşımak iş istemez, yani bütün iç bölge yüzeyle aynı potansiyeldedir. 0,1 m yarıçaplı, 2 nC yüklü bir kürenin hem yüzeyi hem merkezi 180 V'tadır; alan içeride sıfır, potansiyel değildir.

Bir yük düzenini kurmak

Üç yükü sonsuzdan getirip yerlerine yerleştirmenin toplam işi, düzenin potansiyel enerjisidir. İlk yük boş bir uzaya geldiği için iş gerektirmez. İkincisi birincinin potansiyeline karşı getirilir, üçüncüsü ise ilk ikisinin potansiyelleri toplamına karşı. Sonuçta her yük çifti bir kez sayılır:

W = k · (q₁ · q₂ / d₁₂ + q₁ · q₃ / d₁₃ + q₂ · q₃ / d₂₃)

Kenarı 0,3 m olan eşkenar üçgenin köşelerine sırasıyla +1, +2 ve −3 μC'luk yükler konsun. Adım adım: ikinci yük 0,06 J ister; üçüncü yükün geldiği köşede potansiyel 9 · 10⁴ V'tur ve −3 μC'luk yük için iş −0,27 J olur. Toplam −0,21 J'dür; çarpımlar toplamı 2 − 3 − 6 = −7 (μC)² ile doğrudan hesap da aynı sonuca varır. Negatif sonuç, düzenin kendiliğinden dağılmayacağını ve onu sökmek için dışarıdan 0,21 J verilmesi gerektiğini anlatır.

Elektron-volt ve serbest bırakılan yük

Atom ölçeğinde joule hantal bir birimdir. Bir elektronun 1 V'luk potansiyel farkından geçerken kazandığı enerjiye elektron-volt (eV) denir: 1 eV = 1,6 · 10⁻¹⁹ J. 2000 V'luk farktan geçen bir proton 2000 eV, yani 3,2 · 10⁻¹⁶ J kazanır; yükü iki kat olan bir alfa parçacığı aynı farktan 4000 eV ile çıkar.

Yalnız elektrik kuvvetinin etkisinde serbest bırakılan bir yükte iş-enerji teoremi doğrudan uygulanır: alanın işi kinetik enerji artışına eşittir, ΔE_k = − q · ΔV. Pozitif yük potansiyelin azaldığı yöne, negatif yük arttığı yöne kendiliğinden hızlanır. İki yükün etkileşiminde de aynı mantık işler; birbirini iten yükler serbest kaldığında, başlangıçtaki E_p ile sonraki E_p arasındaki fark kinetik enerjiye dönüşür.

Soru çözerken

Önce her yükün potansiyelini işaretiyle yaz, sonra topla. İş istenmişse kimin işi olduğunu belirle: dış kuvvet q · ΔV, alan bunun tersi. Düzen kurma sorusunda çiftleri say. Hız istenmişse enerji farkını kinetik enerjiye eşitle.

Bu derste alan da potansiyel de noktadan noktaya değişiyordu. Bir üretece bağlı iki paralel levhanın arasında ise alan her yerde aynıdır; o zaman bir yükü bir levhadan ötekine götürmenin işi, kuvvet çarpı aralık biçiminde de yazılabilir ve üretecin gerilimi doğrudan alana çevrilir. «Paralel levhalar ve yüklü tanecik hareketi» dersinde bu düzgün alanı gerilimden bulacak, levhalar aralandığında taneciğin varış hızının mı yolculuk süresinin mi değiştiğini sınayacak, levhalara paralel giren bir taneciğin sapmasını yatay atışa benzeterek hesaplayacaksın.

Örnek 1 — Doğru üzerinde olmayan yerleşim

Soru: P noktasının +4 nC'luk yüke uzaklığı 0,3 m, −6 nC'luk yüke uzaklığı 0,2 m'dir; yükler ve P bir doğru üzerinde değildir. k değerini 9 · 10⁹ N·m²/C² olarak alınız. +2 nC'luk bir yükü sonsuzdan P'ye yavaşça getirmek için dış kuvvetin yapması gereken iş nedir?

• A) W = −3 · 10⁻⁷ J
• B) W = +7,8 · 10⁻⁷ J
• C) W = +3 · 10⁻⁷ J
• D) W = −150 J
• E) yükler doğrusal olmadığından açılar bilinmeden hesaplanamaz

Çözüm: Potansiyel skaler olduğundan açılara gerek yoktur. V_P = 9 · 10⁹ · (4 · 10⁻⁹ / 0,3 − 6 · 10⁻⁹ / 0,2) = 120 − 270 = −150 V. Sonsuzda potansiyel sıfır olduğundan W = q · V_P = 2 · 10⁻⁹ · (−150) = −3 · 10⁻⁷ J. Negatif yükün potansiyelini artı yazıp büyüklükleri toplayan 7,8 · 10⁻⁷ J'ü, yükle çarpmayı unutan −150'yi bulur; −150 joule değil volttur. Cevap: A.

Örnek 2 — Kimin işi?

Soru: Bir elektron potansiyeli +80 V olan A noktasından potansiyeli −20 V olan B noktasına yavaşça götürülüyor. e = 1,6 · 10⁻¹⁹ C alınız. Dış kuvvetin işi W_dış ve alanın işi W_alan nedir?

• A) W_dış = −1,6 · 10⁻¹⁷ J, W_alan = +1,6 · 10⁻¹⁷ J
• B) W_dış = +9,6 · 10⁻¹⁸ J, W_alan = −9,6 · 10⁻¹⁸ J
• C) W_dış = +1,6 · 10⁻¹⁷ J, W_alan = −1,6 · 10⁻¹⁷ J
• D) W_dış = +1,6 · 10⁻¹⁷ J, W_alan = +1,6 · 10⁻¹⁷ J
• E) W_dış = −100 eV, W_alan = −100 eV

Çözüm: ΔV = V_B − V_A = −20 − 80 = −100 V. W_dış = q · ΔV = (−1,6 · 10⁻¹⁹) · (−100) = +1,6 · 10⁻¹⁷ J, yani 100 eV. Alanın işi bunun tersidir: −1,6 · 10⁻¹⁷ J. Elektron alçak potansiyele kendiliğinden gitmez; onu oraya götüren el iş yapar. Elektronun yükünü artı alan A'yı, potansiyelleri toplayıp 60 V'luk fark kullanan B'yi bulur. Cevap: C.

Örnek 3 — Dik üçgende üç yük

Soru: Dik kenarları 30 cm ile 40 cm uzunluğunda olan bir dik üçgenin dik açılı köşesinde +2 μC, 30 cm'lik kenarın öbür ucunda +3 μC, 40 cm'lik kenarın öbür ucunda −4 μC'luk yükler var. k değerini 9 · 10⁹ N·m²/C² olarak alınız. Bu düzeni sonsuzdan kurmanın toplam işi kaç J'dür?

• A) W = +0,576
• B) W = −0,216
• C) W = 0
• D) W = +0,216
• E) W ≈ −0,282

Çözüm: Hipotenüs √(0,3² + 0,4²) = 0,5 m'dir ve +3 μC ile −4 μC arasındadır. Çiftler: 2 · 3 / 0,3 = 20, 2 · (−4) / 0,4 = −20, 3 · (−4) / 0,5 = −24; toplam −24 (μC)²/m. W = 9 · 10⁹ · 10⁻¹² · (−24) = −0,216 J. İşaretleri atlayan 0,576'yı, uzaklıkların karesini kullanan yaklaşık −0,282'yi bulur; ilk iki çiftin birbirini götürdüğünü görüp üçüncüyü unutan sıfır der. Cevap: B.

Örnek 4 — Serbest bırakılan küre

Soru: +5 μC'luk sabit bir yükten 0,3 m uzağa, kütlesi 1,5 g ve yükü +2 μC olan küçük bir küre durgun hâlde bırakılıyor. Yalnız elektriksel kuvvet etkili, k değerini 9 · 10⁹ N·m²/C² olarak alınız. Kürenin uzaklık 0,6 m olduğundaki hızı v₁ ve çok uzaklaştığındaki hızı v₂ nedir?

• A) v₁ = 10 m/s, v₂ = 20 m/s
• B) v₁ ≈ 14,1 m/s, v₂ = 20 m/s
• C) v₁ = 20 m/s, v₂ = 20 m/s
• D) v₁ ≈ 14,1 m/s, v₂ ≈ 28,3 m/s
• E) v₁ ≈ 17,3 m/s, v₂ = 20 m/s

Çözüm: Başlangıçta E_p = 9 · 10⁹ · 10⁻¹¹ / 0,3 = 0,3 J. 0,6 m'de E_p = 0,15 J olduğundan kinetik enerji 0,15 J'dür: v₁ = √(2 · 0,15 / 1,5 · 10⁻³) = √200 ≈ 14,1 m/s. Sonsuzda bütün 0,3 J kinetik enerjidir: v₂ = √400 = 20 m/s. Uzaklık iki katına çıkınca hızı yarıya bölen ilk seçeneği, sonsuzdaki enerjiyi iki kat sayan dördüncüyü bulur. Cevap: B.

• Alan sıfırsa potansiyeli de sıfır saymak. Eşit pozitif iki yükün ortasında alanlar birbirini götürür, potansiyeller toplanır. Tersine +q ile −q'nun ortasında potansiyel sıfırdır ama alan sıfır değildir.
• Potansiyeli vektör gibi toplamak. V'nin yönü yoktur; her yükün katkısı işaretiyle yazılıp sayı olarak toplanır, açı ve bileşen gerekmez.
• Dış kuvvetin işiyle alanın işini karıştırmak. W_dış = q · ΔV, W_alan = − q · ΔV. Soru «alanın yaptığı iş» diyorsa işaret döner.
• Negatif yükün işaretini düşürmek. q · ΔV çarpımında elektronun yükü eksi yazılmazsa iş ve kinetik enerji yanlış işaretle çıkar; elektron potansiyelin arttığı yöne kendiliğinden gider.
• Enerjide uzaklığın karesini kullanmak. Kuvvet ve alan 1/d² ile, potansiyel ve potansiyel enerji 1/d ile değişir.
• Düzen kurarken bir çifti unutmak. Üç yükte üç çift vardır; her çift bir kez ve işaretiyle sayılır.