Elektrik alan

Ceren akşam ödevini telefonundaki bir elektrostatik benzetim uygulamasıyla çalışıyor. Ekranın ortasına sabit bir pozitif yük yerleştirip yanına küçük bir deneme yükü sürüklüyor; deneme yükünün üstünde kuvveti gösteren bir ok beliriyor. Deneme yükünü yerinden oynatmadan değerini iki katına çıkarınca ok da iki kat uzuyor. Ceren defterine hemen yazıyor: «Bu noktada alan iki katına çıktı.» Görüntülü aramada onu izleyen Çağla başka bir şey merak ediyor: «Deneme yükünü silersen ok kayboluyor. O zaman orada alan da mı kalmıyor?» İki cümle de aynı yanılgıdan besleniyor. Sabit yüke hiç dokunulmadığı hâlde o noktanın durumu neden değişsin? Bu derste alanı, oraya konan yükten bağımsız bir özellik olarak tanımlayacak ve ölçecek, birkaç yükün alanını vektörel olarak toplayacaksın.

• Elektrik alanı deneme yüküne düşen kuvvetten tanımlar, noktasal yükün alanının büyüklüğünü ve yönünü hesaplarsın.
• İki yükün bir noktada oluşturduğu alanları doğru üzerinde ve dik yerleşimde vektörel olarak toplarsın.
• Net alanı sıfır yapan konumu hesaplar, bu konumun arada mı dışarıda mı olduğunu işaretlerden çıkarırsın.
• Alana konan yüke etki eden kuvveti ve elektronun ivmesini hesaplar, iletken kürenin içindeki ve dışındaki alanı ayırt edersin.

Kuvvetten alana

«Coulomb yasası» dersinde kuvveti hep bir yük çifti üzerinden yazdık: formülde iki yük yan yana duruyordu ve biri kaldırılınca hesaplanacak bir şey kalmıyordu. Alan kavramı bakışı değiştirir: tek bir yük, çevresindeki her noktaya bir özellik yükler ve sonradan oraya gelen yük bu özelliği kuvvet olarak hisseder. Benzerini «Kütle çekim yasası» dersinde gördük. Orada g = G · M / R², gezegenin yüzeyindeki bir noktada birim kütle başına düşen çekim kuvvetiydi ve hangi cismi koyarsak koyalım değişmiyordu. Elektrik alan aynı fikrin yük karşılığıdır: birim yük başına düşen elektriksel kuvvet.

Tanım ve deneme yükü

Bir P noktasına küçük, pozitif bir deneme yükü (test charge) q₀ konur ve ona etki eden elektriksel kuvvet F ölçülür. Alan şöyle tanımlanır:

E = F / q₀

Birimi newton bölü coulomb, yani N/C'dir. Alan vektörel bir büyüklüktür; yönü, pozitif deneme yüküne etki eden kuvvetin yönüdür. Deneme yükünün küçük seçilmesi, alanı üreten yükleri yerinden oynatmasın diyedir: yüklü bir iletkenin yanına büyük bir yük getirilirse iletkenin üstündeki yükler yeniden dağılır ve ölçülen şey artık eski alan olmaz.

Bir sayıyla görelim. P'ye konan 2 · 10⁻⁶ C'luk yüke 0,06 N etki ediyorsa alan 0,06 / (2 · 10⁻⁶) = 3 · 10⁴ N/C'dir. Aynı noktaya 4 · 10⁻⁶ C konduğunda kuvvet 0,12 N olur, oran yine 3 · 10⁴ N/C çıkar. Ceren'in ekranındaki okun uzaması budur: kuvvet yükle orantılı büyüdü, oran yerinde kaldı. Çağla'nın sorusunun cevabı da aynı tanımdadır. Sabit yük oraya konduğu andan beri alan o noktada vardır; deneme yükü yalnızca onu ölçülebilir kılar, silindiğinde kaybolan yalnızca oktur.

Noktasal yükün alanı

Coulomb kuvvetini q₀'a bölmek, q yüklü noktasal bir kaynağın d uzaklıktaki alanını verir:

E = k · q / d²

Coulomb sabiti yine 9 · 10⁹ N·m²/C² değerindedir ve deneme yükü formülden düşmüştür; alan yalnız kaynağın yüküne ve uzaklığa bağlıdır. Yön kuralı kısa: pozitif yükün alanı yükten dışa, negatif yükün alanı yüke doğru bakar. Örneğin 4 · 10⁻⁹ C'luk bir yükün 0,3 m ötesinde alan 9 · 10⁹ · 4 · 10⁻⁹ / 0,09 = 400 N/C'dir. Uzaklık 0,6 m'ye çıkınca alan dörtte bire, 100 N/C'ye iner. Uzaklık santimetre verildiyse önce metreye çevrilir; kare alınacağı için bu adımı atlamak sonucu on bin kat kaydırır.

Alan çizgileri

Alanı göz önüne getirmek için alan çizgileri (electric field lines) çizilir. TYT'deki «Mıknatıslar ve manyetik alan» dersinde demir tozlarının dizilişiyle aynı düşünceyi görmüştük. Elektrik alan çizgileri pozitif yükten çıkar, negatif yükte biter. Bir noktadaki çizgiye çizilen teğet, o noktadaki alanın yönünü verir; çizgilerin sıklaştığı bölgede alan güçlü, seyreldiği bölgede zayıftır. İki çizgi kesişemez, çünkü kesişme noktasında alanın iki ayrı yönü olurdu. Bir yükten çıkan çizgi sayısı yükün büyüklüğüyle orantılı çizilir: +2q'dan çıkan çizgiler −q'ya girenlerin iki katıdır. Çizgi, alanın haritasıdır; elektronun izleyeceği yol olarak okunmaz, çünkü negatif yük çizgiye ters yönde itilir.

Birden çok yükün alanı

Birkaç yük varsa her birinin alanı ayrı ayrı hesaplanır ve sonuçlar vektör olarak toplanır. Toplamanın kurallarını «Vektörlerde toplama ve bileşenler» adlı dersten biliyoruz; burada yalnız uygulanır. Yükler ve nokta aynı doğru üzerindeyse alanlar ya aynı yöndedir ve büyüklükleri toplanır, ya zıt yöndedir ve farkları alınır. Aralarında 0,6 m bulunan +2 · 10⁻⁶ C ile −2 · 10⁻⁶ C yükleri düşünelim. Orta noktada her birinin alanı 9 · 10⁹ · 2 · 10⁻⁶ / 0,09 = 2 · 10⁵ N/C'dir. Pozitifin alanı ondan uzağa, negatifin alanı ona doğru baktığı için ikisi de negatif yüke yönelir ve bileşke 4 · 10⁵ N/C olur. İki alan birbirine dik geliyorsa bileşke Pisagor bağıntısıyla bulunur ve yönü iki bileşen arasındadır.

Alanın sıfırlandığı nokta

Alan birim yüke düşen kuvvet olduğundan, «Coulomb yasası» dersinde bir deneme yükünün dengede kaldığı yeri ararken yaptığımız bölge seçimi burada da geçerlidir. Orada bulunan yerin deneme yükünden bağımsız çıkması zaten alanın tanımıdır. İşaretleri aynı olan iki yükün alanları ikisinin arasında birbirine karşı durur; aranan konum aradadır ve mutlak değerce küçük yükün tarafına kayar. +q ile +9q d kadar aralıklıysa küçük yükten x ötede k · q / x² = k · 9q / (d − x)² yazılır; kökler alınınca d − x = 3x ve x = d / 4 çıkar. Yükler eşitse aynı hesap konumu tam orta noktaya yerleştirir. İşaretler farklıysa arada iki alan da negatif yüke yöneldiği için toplanır; denge doğrunun uzantısında, küçük yükün gerisinde kurulur. Kütle çekiminde böyle bir dış nokta yoktu, çünkü çekim hep aynı yöne çeker ve iki kütle dışarıda hiç dengelenmez. Elektrikte işaret ikinci bir seçenek açar.

Alandaki yüke etki eden kuvvet

Tanım tersine okununca alana konan herhangi bir q yüküne etki eden kuvvet çıkar:

F = q · E

Pozitif yük alan yönünde, negatif yük alana zıt yönde itilir. Başka kuvvet yoksa Newton'un ikinci yasası ivmeyi verir: a = q · E / m. Elektronun kütlesini 9 · 10⁻³¹ kg, yükünü 1,6 · 10⁻¹⁹ C alalım. Büyüklüğü 4,5 · 10³ N/C olan bir alanda elektronun ivmesi 1,6 · 10⁻¹⁹ · 4,5 · 10³ / (9 · 10⁻³¹) = 8 · 10¹⁴ m/s² çıkar ve yönü alanın tersidir. Bu ivme yerçekimi ivmesinin 8 · 10¹³ katıdır; elektronun ağırlığını elektriksel kuvvetle dengelemek için yaklaşık 5,6 · 10⁻¹¹ N/C'luk bir alan yeterdi. Elektron ve proton sorularında ağırlığın hesaba katılmaması bu yüzdendir.

İletken küre

Yüklü bir iletkende yükler birbirini iter ve olabildiğince uzağa, dış yüzeye yerleşir. Denge kurulduğunda iletkenin içinde alan sıfırdır; sıfır olmasaydı içerideki serbest elektronlar hareket etmeyi sürdürürdü. Küre biçiminde bir iletkenin dışındaki noktalarda ise alan, bütün yük merkezde toplanmış gibi hesaplanır ve uzaklık merkezden ölçülür; kütle çekim dersinde gezegen için kurduğumuz kuralın aynısı. Yarıçapı 0,1 m, yükü 2 · 10⁻⁹ C olan bir iletken kürenin hemen yüzeyinde alan 9 · 10⁹ · 2 · 10⁻⁹ / 0,01 = 1800 N/C, merkezden 0,3 m uzakta 200 N/C, içindeki her noktada sıfırdır. Kürenin içine bırakılan bir deneme yükü bu yüzden hiçbir yöne itilmez.

Soru çözerken

Her yük için önce yönü bir okla belirle, sonra büyüklüğü k · q / d² ile hesapla; işareti büyüklüğe değil oka taşı. Doğru üzerinde topla ya da çıkar, dik durumda Pisagor kullan. Sıfır noktasında önce işaretlere bak, sonra karekökle birinci dereceye in. Kuvvet istenmişse alanı yükün kendisiyle, işaretiyle birlikte çarp.

Alan bize bir noktada yüke ne kadar kuvvet etkiyeceğini söylüyor. Peki bu kuvvete karşı bir yükü bir noktadan ötekine taşımak ne kadar iş ister ve bu iş, yolun biçimine bağlı mıdır? İki eşit pozitif yükün tam ortasında alan sıfırdı; oraya uzaktan bir yük getirmek de bedava mıdır? Yükün konumuna bağlı enerjiyi ve bunu birim yük başına ölçen skaler büyüklüğü «Elektriksel potansiyel ve iş» dersinde kuruyoruz; orada toplama oklarla değil, işaretli sayılarla yapılıyor.

Örnek 1 — Deneme yükü değişince

Soru: Bir P noktasına konan +5 · 10⁻⁸ C'luk yüke doğuya doğru 2 · 10⁻³ N'luk elektriksel kuvvet etki ediyor. Bu yük kaldırılıp aynı noktaya −2 · 10⁻⁷ C'luk bir yük konursa ona etki eden kuvvet nedir?

• A) 8 · 10⁻³ N, doğuya
• B) 2 · 10⁻³ N, batıya
• C) 8 · 10⁻³ N, batıya
• D) 5 · 10⁻⁴ N, batıya
• E) 4 · 10⁴ N, doğuya

Çözüm: Önce noktanın alanı: E = 2 · 10⁻³ / (5 · 10⁻⁸) = 4 · 10⁴ N/C, doğuya. Yeni yüke F = 2 · 10⁻⁷ · 4 · 10⁴ = 8 · 10⁻³ N etki eder; yük negatif olduğu için kuvvet alana zıt, batıya yönelir. Kuvveti değişmez sanan 2 · 10⁻³ N'u, yük oranını ters kuran 5 · 10⁻⁴ N'u bulur; 4 · 10⁴ alanın kendisidir ve birimi N/C'dir. Cevap: C.

Örnek 2 — Dik gelen iki alan

Soru: P noktasının 0,3 m batısında +4 · 10⁻⁹ C'luk, 0,3 m kuzeyinde −3 · 10⁻⁹ C'luk noktasal yükler var. k = 9 · 10⁹ N·m²/C² alınız. P'deki bileşke alanın büyüklüğü kaç N/C'dir?

• A) E = 500
• B) E = 700
• C) E = 100
• D) E = 250
• E) E = 0

Çözüm: Batıdaki pozitif yükün alanı 9 · 10⁹ · 4 · 10⁻⁹ / 0,09 = 400 N/C ve yükten uzağa, yani doğuya bakar. Kuzeydeki negatif yükün alanı 300 N/C ve yüke doğru, yani kuzeye bakar. İkisi dik olduğundan bileşke √(400² + 300²) = 500 N/C'dir ve doğu ile kuzey arasında bir yöne bakar. 700 büyüklükleri düz toplamaktan, 100 çıkarmaktan gelir. Cevap: A.

Örnek 3 — Zıt işaretli yüklerde sıfır noktası

Soru: Bir doğru üzerinde +1 · 10⁻⁶ C ve −4 · 10⁻⁶ C'luk yükler 30 cm aralıkla sabitlenmiş. Bu yüklerin ürettiği alanların birbirini götürdüğü konum hangisidir?

• A) iki yükün arasında, pozitif yükten 10 cm uzakta
• B) negatif yükün gerisinde, ona 30 cm mesafede
• C) iki yükün arasında, pozitif yükten 6 cm uzakta
• D) pozitif yükün gerisinde, ona 30 cm mesafede
• E) yükleri birleştiren doğrunun orta noktasında

Çözüm: İşaretler zıt olduğundan arada iki alan da negatif yüke doğru bakar ve toplanır; denge dışarıda, mutlak değerce küçük olan pozitif yükün gerisinde aranır. Aranan konum pozitif yükün x cm gerisindeyse eşitlik 4 · x² = (x + 30)² olur; kökler alınınca 2x = x + 30 ve x = 30 cm. 10 cm, işarete bakmadan araya yerleştirmekten; 6 cm hem araya koyup hem karekökü atlamaktan çıkar. Cevap: D.

Örnek 4 — İletken kürenin çevresinde elektron

Soru: Yarıçapı 15 cm olan bir iletken küreye +4,5 · 10⁻⁹ C yük veriliyor. k = 9 · 10⁹ N·m²/C², e = 1,6 · 10⁻¹⁹ C ve elektronun kütlesi 9 · 10⁻³¹ kg alınız. Kürenin merkezinden 30 cm uzaktaki bir elektronun ivmesi ve merkezden 10 cm uzaktaki (kürenin içindeki) bir noktada elektronun ivmesi nedir?

• A) dışarıda 8 · 10¹³ m/s² küreden uzağa; içeride sıfır
• B) dışarıda 8 · 10¹³ m/s² küreye doğru; içeride 7,2 · 10¹⁴ m/s²
• C) dışarıda 450 m/s² küreye doğru; içeride sıfır
• D) dışarıda 8 · 10¹³ m/s² küreye doğru; içeride sıfır
• E) iki noktada da ivme sıfır

Çözüm: Dışarıdaki nokta için uzaklık merkezden alınır: E = 9 · 10⁹ · 4,5 · 10⁻⁹ / 0,09 = 450 N/C, küreden dışa. Elektronun ivmesi 1,6 · 10⁻¹⁹ · 450 / (9 · 10⁻³¹) = 8 · 10¹³ m/s²'dir; negatif yük alana zıt itildiği için küreye doğru yönelir. İletkenin içinde alan sıfır olduğundan ivme de sıfırdır. İçeriyi noktasal yük gibi hesaplayan 7,2 · 10¹⁴ m/s²'yi bulur; 450 ise ivme değil alanın kendisidir. Cevap: D.

• Alanı deneme yüküne bağlamak. Deneme yükü iki katına çıkınca kuvvet iki katına çıkar, alan aynı kalır; E kaynağın yüküne ve uzaklığa bağlıdır.
• Negatif yükün alanını dışa çizmek. Negatif noktasal yükün alanı yüke doğru bakar; bileşke hesabında bu yön hatası toplamayı çıkarmaya çevirir.
• Büyüklükleri düz toplamak. Dik gelen 400 N/C ve 300 N/C'nin bileşkesi 700 değil 500 N/C'dir; yalnız aynı yöndeki alanlar doğrudan toplanır.
• Sıfır noktasını her zaman arada aramak. Yükler zıt işaretliyse arada iki alan toplanır; denge, mutlak değerce küçük yükün gerisinde kurulur. İşaretler aynıysa aranacak yer iki yükün arasıdır.
• Elektronu alan yönünde itmek. F = q · E'de q negatif olduğunda kuvvet ve ivme alana zıttır; alan çizgisi elektronun yolu değildir.
• İletken kürenin içinde k · q / d² kullanmak. İçeride alan sıfırdır; dışarıda uzaklık yüzeyden değil merkezden ölçülür.