Coulomb yasası

Akşam etüdünde Bertan elektrik ünitesinin ilk ödev sorusuna takılıyor: yüklü iki küçük küre birbirini 9 N ile itiyor, aralarındaki uzaklık yarıya indiriliyor, yeni kuvvet soruluyor. Bertan hiç duraksamadan 18 N yazıyor; gerekçesi de hazır: «Uzaklık yarıya inince kuvvet iki katına çıkar, birbirlerine iki kat yakınlar.» Karşı masada oturan Alara geçen hafta kütle çekiminde aynı tuzağa düştüğünü, deneme sınavında o soruyu bu yüzden kaçırdığını hatırlıyor ve defterini açıp formülün paydasını gösteriyor. Bertan itiraz ediyor: «Ama orada kütle vardı, burada yük var; üstelik bu küreler itiyor, çekmiyor.» Bertan'ın cevabı hangi adımda saptı? İtmenin çekmeden farklı olması hesabı değiştirir mi? Bu derste iki yükün birbirine uyguladığı kuvveti sayıyla yazıyor, birden çok yükün etkisini topluyor ve bu kuvvetin dengelendiği yerleri buluyoruz.

• İki noktasal yük arasındaki elektriksel kuvveti birimleri çevirerek hesaplar, yükteki ve uzaklıktaki bir değişikliğin kuvveti kaç katına çıkardığını oranla bulursun.
• Bir doğru üzerinde ya da dik açılı bir yerleşimde duran yüklerin bir yüke uyguladığı net kuvveti yönüyle birlikte bulursun.
• Bir yüke etki eden net kuvvetin sıfır olduğu noktayı, yüklerin işaretine bakarak doğru bölgede ararsın.
• Dokundurulup ayrılan özdeş kürelerin yeni kuvvetini ve ipe asılı yüklü kürelerin dengesini çözersin.

Niteliksel kuraldan sayıya

TYT'deki «Elektrik yükleri ve yükleme yolları» dersinde aynı işaretli yüklerin birbirini ittiğini, zıt işaretlilerin çektiğini ve bu etkinin uzaklık arttıkça hızla zayıfladığını gördük; «Elektroskop ve topraklama» dersinde de yükün varlığını yaprakların açılmasından okuduk. Orada «hızla» kelimesiyle geçiştirilen azalmanın tam biçimini Fransız fizikçi Charles-Augustin de Coulomb, 1785'te yayımladığı burulma terazisi ölçümleriyle ortaya koydu. Bu yüzden yasa onun adını taşır.

Yasanın biçimi

Yükleri q₁ ve q₂ olan, aralarında d uzaklığı bulunan iki noktasal yük birbirine şu büyüklükte kuvvet uygular:

F = k · q₁ · q₂ / d²

Burada k, Coulomb sabitidir (Coulomb constant); boşlukta ve havada değeri 9 · 10⁹ N·m²/C² alınır. Yükler coulomb, uzaklık metre cinsinden yazılırsa sonuç newton çıkar; birim denetimi bunu doğrular: N·m²/C², C²'yle çarpılıp m²'yle bölündüğünde elde yalnızca N kalır. Kuvvet iki yükü birleştiren doğru üzerindedir. Büyüklüğü hesaplarken yüklerin mutlak değerleri yazılır; yönü ise işaretler belirler. İşaretler aynıysa yükler birbirini iter, farklıysa çeker.

Gündelik yükler coulomb'un çok küçük kesirleridir; sorularda mikrocoulomb (1 μC = 10⁻⁶ C) ve nanocoulomb (1 nC = 10⁻⁹ C) görülür. İki adet 2 μC'lik yük 3 cm arayla duruyorsa uzaklığı 0,03 m yapıp hesaplarız: F = 9 · 10⁹ · 2 · 10⁻⁶ · 2 · 10⁻⁶ / (9 · 10⁻⁴) = 40 N. Bu, 4 kg'lık bir kütlenin ağırlığına denk bir itmedir. Santimetreyi çevirmeden yerine koyan biri sonucu on bin kat küçük bulur.

Kütle çekimiyle akrabalık ve ayrılık

«Kütle çekim yasası» dersindeki F = G · m₁ · m₂ / r² ile yan yana koyunca iki yasanın aynı iskelete sahip olduğu görülür: ikisi de kaynakların çarpımıyla doğru, uzaklığın karesiyle ters orantılıdır. Bertan'ın cevabının saptığı yer tam burasıdır. Uzaklığı yarıya indirmek paydadaki d²'yi dörtte bire indirir ve kuvveti dört katına çıkarır; ödevdeki 9 N, 18 N'a değil 36 N'a yükselir. İki kat bulmak karesiz bir orantı kurmaktır. Kuvvetin itme ya da çekme olması bu orana dokunmaz; tür yalnız yönü belirler.

Ayrılık önce işarette görünür. Kütle yalnız pozitif olduğu için kütle çekimi hep çeker, elektriksel kuvvet ise yüklerin işaretine göre iter de çeker de. Asıl uçurum büyüklüktedir. Temel yükü 1,6 · 10⁻¹⁹ C, proton kütlesini 1,67 · 10⁻²⁷ kg ve G sabitini 6,67 · 10⁻¹¹ (birimi N·m²/kg²) kullanarak iki proton arasındaki elektriksel itmeyi kütle çekimine bölersek yaklaşık 1,2 · 10³⁶ buluruz. İki kuvvet de d²'ye bölündüğü için bu oran uzaklıktan bağımsızdır. Atomları ve molekülleri bir arada tutan elektrik kuvvetidir; kütle çekimi gezegenler ölçeğinde baskın hâle gelir, çünkü büyük cisimler pozitif ve negatif yükü hemen hemen eşit taşır ve elektriksel etkiler birbirini götürür.

Kuvvet çifti ve oranlar

+2 μC'lik yük −8 μC'lik yükü çekerken −8 μC'lik yük de onu aynı büyüklükte çeker. Formülde q₁ ile q₂'nin yer değiştirmesi sonucu değiştirmez; bu iki kuvvet Newton'un üçüncü yasasındaki etki-tepki çiftidir. Yükü büyük olan «daha çok çeker» sanısı yanlıştır. Farklı olabilen tek şey ivmedir: kütlesi küçük olan cisim aynı kuvvetle daha çok hızlanır.

Sorular çoğu zaman k'yı hiç kullandırmaz, yalnız bir değişikliğin etkisini sorar. O zaman değişen her büyüklüğün çarpanı yazılır ve çarpılır:

Bir doğru üzerinde birden çok yük

Üç ya da daha çok yük varsa bir yüke etki eden net kuvvet, öteki yüklerin her birinin tek başına uyguladığı kuvvetlerin vektörel toplamıdır; bir yükün varlığı ötekinin kuvvetini değiştirmez. Yükler aynı doğru üzerindeyse bir yönü pozitif seçer, her kuvveti büyüklüğü ve işaretiyle yazar, cebirsel olarak toplarsın. Örneğin +2 μC, +1 μC ve −4 μC'lik yükler bu sırayla, ardışık ikisi arasında 10 cm kalacak biçimde dizilmiş olsun. Ortadaki +1 μC'yi soldaki yük 1,8 N ile sağa iter, sağdaki yük de 3,6 N ile sağa çeker. Bu kez iki kuvvet aynı yöne baktığı için büyüklükler toplanır: net kuvvet 5,4 N'dur ve −4 μC'ye doğrudur. Biri itip öteki çekse bile kuvvetlerin yönü yükün hangi tarafta durduğuna bağlıdır; her kuvvetin okunu ayrı ayrı çizmeden toplamaya geçmek, farkı alınması gereken yerde toplamaya ya da tersine yol açar.

Net kuvvetin sıfır olduğu nokta

İki sabit yükün arasına ya da yanına bir deneme yükü konduğunda ona etki eden iki kuvvetin birbirini götürdüğü bir nokta aranabilir. Önce yer seçilir, sonra hesap yapılır. İki kuvvetin zıt yönlü olduğu bölge ile büyüklüklerinin eşitlenebildiği bölge aynı yer olmalıdır.

• Aynı işaretli yükler (+q ve +4q): Aralarındaki bir noktada iki itme zıt yönlüdür. Nokta küçük yüke yakındır. Uzaklık d ise küçük yükten x uzakta 1 / x² = 4 / (d − x)² yazılır; karekökü alınınca d − x = 2x olur ve x = d / 3 bulunur. Bu, «Kütle çekim yasası» dersindeki sıfır alan noktasının hesabıyla aynıdır.
• Zıt işaretli yükler (+q ve −4q): Arada iki kuvvet aynı yöne bakar ve hiçbir yerde dengelenmez. Nokta dışarıda, büyüklüğü küçük olan yükün öte yanındadır; orada küçük yük yakın, büyük yük uzak kalır. Küçük yükten x uzakta 1 / x² = 4 / (x + d)², yani x = d bulunur.
• Eşit büyüklükte zıt yükler (+q ve −q): Dışarıda da biri hep daha yakın ve eşit büyüklükte olduğu için kuvvetler dengelenmez; doğru üzerinde böyle bir nokta yoktur.

Deneme yükünün işareti ve büyüklüğü bulunan yeri değiştirmez, çünkü her iki kuvvete aynı çarpan olarak girer ve eşitlikte sadeleşir.

Dik açılı yerleşim

Yükler bir doğru üzerinde değilse kuvvetler vektör olarak toplanır. En sık görülen durum, bir yükün iki komşusundan birbirine dik iki kuvvet almasıdır. Diyelim ki bir dik üçgenin dik köşesindeki yüke yatay doğrultuda 3 N, düşey doğrultuda 4 N etki ediyorsa net kuvvet √(3² + 4²) = 5 N'dur. Kuvvetler dik olmadığında her birini «Vektörlerde toplama ve bileşenler» dersinde yaptığımız gibi yatay ve düşey bileşenlerine ayırır, bileşenleri ayrı ayrı toplar, sonra Pisagor bağıntısıyla birleştirirsin. Yönü bulmak için de önce her kuvvetin itme mi çekme mi olduğu yazılır.

Dokunup ayrılan küreler

TYT'de özdeş iletken kürelerin dokununca toplam yükü eşit paylaştığını gördük. Coulomb yasası bu paylaşımın kuvvete etkisini hesaplatır. +5 μC ve −1 μC'lik özdeş küreler birbirini çekiyor olsun. Dokundurulup ayrılınca her biri (5 − 1) / 2 = +2 μC taşır. Aynı uzaklığa geri konduklarında yüklerin çarpımı 5'ten 4'e iner; kuvvet eskisinin 4/5'i olur ve artık itmedir. Paylaşımda yüklerin işaretleriyle toplanması gerekir; büyüklükleri toplayıp ikiye bölmek, (5 + 1) / 2 = 3 gibi var olmayan bir yük üretir.

İpe asılı yüklü küre

Hafif yalıtkan bir ipe asılı yüklü küre, yandaki bir yük tarafından yatay bir elektriksel kuvvetle itilirse ip düşeyden θ açısı kadar sapar ve küre dengede kalır. Küreye üç kuvvet etki eder: ağırlık mg, ipteki gerilme T ve yatay elektriksel kuvvet F. Gerilmenin düşeydeki payı mg'yi, yataydaki payı F'yi karşılar: T · cos θ = mg ve T · sin θ = F. İkisi taraf tarafa bölünür:

tan θ = F / (mg)

Kütlesi 20 g olan bir küre için ip düşeyle 37° yapıyorsa, tan 37° = 0,75 alınıp yerçekimi ivmesi 10 m/s² sayılırsa F = 0,02 · 10 · 0,75 = 0,15 N bulunur. Aynı noktadan asılı iki özdeş küre birbirini itiyorsa her biri kendi ipinde bu dengeyi kurar; iki ip düşeyle eşit açı yapar, yükler farklı olsa bile, çünkü küreler birbirine eşit büyüklükte kuvvet uygular.

Kuvvetin taşıyıcısı

Bu derste kuvveti hep iki yükün karşılıklı ilişkisi olarak yazdık; bir kuvvetten söz edebilmek için o noktaya bir yük koymamız gerekti. Oysa aynı noktaya önce 1 μC, sonra 3 μC koyduğunda kuvvet üç katına çıkar, kuvvetin yüke oranı ise yerinden kıpırdamaz. Bu oran, noktaya hiçbir şey konmadan önce de orada olan ve yalnız kaynak yüke ve uzaklığa bağlı bir niteliği anlatır. Newton bölü coulomb ile ölçülen bu niteliğin adı elektrik alandır. Küçük bir deneme yüküyle nasıl tanımlandığı, pozitif ve negatif kaynakta hangi yöne baktığı, birkaç kaynağın alanlarının nasıl toplandığı ve yüklü bir iletken kürenin içinde neden sıfır olduğu «Elektrik alan» dersinde işleniyor.

Örnek 1 — Birimleri çevirerek kuvvet

Soru: +3 μC ve −6 μC'lik iki noktasal yük arasında 30 cm uzaklık vardır. k = 9 · 10⁹ N·m²/C² alınırsa yükler arasındaki kuvvetin büyüklüğü ve türü nedir?

• A) 0,54 N, çekme
• B) 1,8 N, itme
• C) 1,8 · 10⁻⁴ N, çekme
• D) 1,8 N, çekme
• E) 0,54 N, itme

Çözüm: Yükler 3 · 10⁻⁶ C ve 6 · 10⁻⁶ C, uzaklık 0,3 m; F = 9 · 10⁹ · 18 · 10⁻¹² / 0,09 = 1,8 N. İşaretler zıt olduğu için kuvvet çekmedir. 0,54 N uzaklığın karesini almamaktan, 1,8 · 10⁻⁴ N santimetreyi metreye çevirmemekten gelir; «itme» seçeneği eksi işaretini görmezden gelir. Cevap: D.

Örnek 2 — Ortadaki yüke net kuvvet

Soru: Bir doğru üzerinde soldan sağa +4 μC, −2 μC ve +3 μC'lik yükler, ardışık ikisi arasında 30 cm olacak biçimde sabitlenmiştir. k = 9 · 10⁹ N·m²/C² alınırsa −2 μC'lik yüke etki eden net kuvvet nedir?

• A) 0,2 N, +4 μC'ye doğru
• B) 1,4 N, +4 μC'ye doğru
• C) 0,2 N, +3 μC'ye doğru
• D) 1,4 N, +3 μC'ye doğru
• E) kuvvetler birbirini götürür

Çözüm: Soldaki yük ortadakini F₁ = 9 · 10⁹ · 8 · 10⁻¹² / 0,09 = 0,8 N ile sola, sağdaki F₂ = 9 · 10⁹ · 6 · 10⁻¹² / 0,09 = 0,6 N ile sağa çeker. Zıt yönlü oldukları için farkları alınır: 0,2 N, büyük kuvvetin yönünde, yani +4 μC'ye doğru. 1,4 N yönleri unutup büyüklükleri toplamaktır. Cevap: A.

Örnek 3 — Zıt işaretli yüklerde denge noktası

Soru: +q ve −9q'luk iki noktasal yük 40 cm arayla sabitlenmiştir. Bu iki yükün üçüncü bir noktasal yüke uyguladığı net kuvvetin sıfır olduğu nokta nerededir?

• A) iki yükün arasında, +q'dan 10 cm uzakta
• B) +q'nun dış tarafında, +q'dan 5 cm uzakta
• C) +q'nun dış tarafında, +q'dan 20 cm uzakta
• D) −9q'nun dış tarafında, −9q'dan 20 cm uzakta
• E) iki yükün tam ortasında

Çözüm: Yükler zıt işaretli olduğu için nokta dışarıda, büyüklüğü küçük olan +q'nun öte yanındadır. +q'dan x uzakta 1 / x² = 9 / (x + 40)², karekökle (x + 40) / x = 3, x = 20 cm. Arada 10 cm bulmak aynı işaretli yüklerin kuralını uygulamaktır; 5 cm karekök almadan 1 / x = 9 / (x + 40) yazmaktan çıkar. Cevap: C.

Örnek 4 — Dokunduktan sonra kuvvet

Soru: +8 μC ve −2 μC yüklü özdeş iki iletken küre d uzaklığında birbirine F büyüklüğünde kuvvet uyguluyor. Küreler birbirine dokundurulup ayrılıyor ve yine d uzaklığına konuyor. Yeni kuvvet için hangisi doğrudur?

• A) 25F/16, itme
• B) 9F/16, çekme
• C) F, itme
• D) 3F/8, itme
• E) 9F/16, itme

Çözüm: Toplam yük +6 μC'dir ve eşit paylaşılır: her küre +3 μC. Yük çarpımı 8 · 2 = 16'dan 3 · 3 = 9'a iner, uzaklık aynı: yeni kuvvet 9F/16. İki küre de pozitif olduğu için kuvvet itmedir. 25F/16 büyüklükleri toplayıp (8 + 2) / 2 = 5 μC paylaşmaktan, «çekme» ise eski türü korumaktan gelir. Cevap: E.

• Uzaklığın karesini atlamak. Uzaklık yarıya inince kuvvet iki değil dört katına çıkar; kancadaki 18 N bu hatadan doğdu.
• Birimleri çevirmemek. μC'yi 10⁻⁶ C, cm'yi 10⁻² m yapmadan formüle koymak sonucu on binlerce kat kaydırır; önce çevir, sonra hesapla.
• Büyük yükün daha çok kuvvet uyguladığını sanmak. İki yük birbirine her zaman eşit büyüklükte kuvvet uygular; farklı olan yalnız kütleye bağlı ivmedir.
• Net kuvvette yönsüz toplama. Bir doğru üzerindeki kuvvetler işaretleriyle, dik kuvvetler Pisagor ile birleştirilir; büyüklükleri düz toplamak neredeyse her zaman çeldiricidir.
• Denge noktasını yanlış bölgede aramak. Aynı işaretli yüklerde nokta arada, küçük yüke yakın; zıt işaretlilerde dışarıda, büyüklüğü küçük yükün yanında; eşit ve zıt yüklerde yoktur.
• Paylaşımda işareti unutmak. Dokunan özdeş kürelerin yükü (q₁ + q₂) / 2'dir ve işaretiyle toplanır; zıt yüklü küreler ayrıldıktan sonra itebilir.