Sığaçlar

Nilay evde, bisikletinin arkasına takacağı yanıp sönen bir uyarı ışığını lehimliyor. Şemada 2 μF'lık bir sığaç isteniyor, çekmecede ise yalnız 1 μF yazan özdeş sığaçlar var. TYT'de dirençlerin seri bağlanınca toplandığını öğrenmişti; iki sığacı uç uca ekleyip devreye takıyor. Işık beklediği aralıkla değil, belirgin biçimde daha sık yanıp sönüyor. Kulüpten Mert ölçü aletini sığa kademesine alıp ikiliyi ölçüyor ve ekranda 2 yerine 0,5 μF'a yakın bir değer çıkıyor. Nilay itiraz ediyor: «Bir sığaç yük tutuyorsa iki sığaç daha çok tutmalı.» Kural dirençten sığaca neden ters dönüyor ve aynı iki parçayla 2 μF nasıl elde edilir? Bu derste sığacın ne biriktirdiğini, bağlanış biçiminin bu birikimi nasıl değiştirdiğini adım adım kuracağız.

• Sığayı yük ile gerilimin oranı olarak tanımlar, paralel levhalı sığacın sığasını alan, aralık ve yalıtkana göre hesaplarsın.
• Sığaçta depolanan enerjiyi üç eşdeğer biçimden uygun olanıyla bulursun.
• Seri, paralel ve karma bağlı sığaçlarda eşdeğer sığayı, her sığacın yükünü ve gerilimini hesaplarsın.
• Üreteçten ayrılmış ve üretece bağlı kalan sığaçta levha aralığı, alan ya da yalıtkan değişince yükün, gerilimin, alanın ve enerjinin nasıl değiştiğini tabloyla belirlersin.

İki levha, zıt yükler

Sığaç (capacitor), aralarında yalıtkan bulunan iki iletkenden oluşur. En yalın biçimi, birbirine paralel duran iki metal levhadır. Sığaç bir üretece bağlandığında üreteç, levhalardan birinden elektron çekip ötekine iter. Bir levha +q, öteki −q yükünü kazanır; sığacın toplam yükü sıfır kalır. Sorularda «sığacın yükü q» denince levhalardan birindeki yükün büyüklüğü kastedilir. Yük aktarımı sonsuza dek sürmez: levhalar arasındaki potansiyel farkı üretecin gerilimine ulaştığında elektronları itecek bir fark kalmaz ve akım durur. Dolmuş sığacın kolundan akım geçmemesinin nedeni budur.

Sığa: yük bölü gerilim

Aynı sığaca uygulanan gerilim iki katına çıkarılırsa levhalara iki kat yük dolar. Yük ile gerilimin oranı sabit kalır ve bu oran sığacın sığasıdır (capacitance):

C = q / V

Birimi coulomb bölü volttur ve farad (F) adını alır. Bir farad gündelik devreler için çok büyük olduğundan değerler çoğunlukla mikrofarad (1 μF = 10⁻⁶ F) ya da pikofarad (1 pF = 10⁻¹² F) ile yazılır. Bir sığaç 12 V'luk bir üretece bağlanınca levhalarında 6 · 10⁻⁵ C yük birikiyorsa sığası 6 · 10⁻⁵ / 12 = 5 · 10⁻⁶ F, yani 5 μF'tır. Formülün biçimi yanıltmasın: sığa yüke ya da gerilime bağlı değildir. Sığacın yapısıyla belirlenir; yük ve gerilim bu oranı koruyarak birlikte değişir.

Paralel levhalı sığacın yapısı

Sığayı belirleyen yapı nedir? Paralel levhalı bir sığaç için cevap tek formülde toplanır:

C = ε · A / d

Burada A levhaların karşılıklı gelen alanı, d levhalar arasındaki uzaklık, ε ise aradaki ortamın elektriksel geçirgenliğidir. Alan büyüdükçe aynı gerilimde yüke daha çok yer açılır; levhalar yaklaştıkça zıt yükler birbirini daha güçlü tutar ve sığa artar. Boşluğun geçirgenliği ε₀ yaklaşık 8,85 · 10⁻¹² C²/(N·m²) değerindedir; sorularda çoğunlukla 9 · 10⁻¹² alınır ve değer soruda verilir. Bu yuvarlak değerle alanı 0,02 m², aralığı 1 mm olan bir sığacın sığası 9 · 10⁻¹² · 0,02 / 10⁻³ = 1,8 · 10⁻¹⁰ F, yani 180 pF bulunur. Aynı aralıkla 1 F elde etmek için yaklaşık 1,1 · 10⁸ m², kabaca 111 km² levha gerekirdi. Faradın neden büyük bir birim sayıldığı bu hesaptan görülür.

Araya yalıtkan koymak

Levhaların arası hava yerine cam, plastik ya da kâğıt gibi bir yalıtkanla doldurulursa sığa artar. Yalıtkanın molekülleri alanın etkisiyle kutuplanır: her molekülün eksi ucu pozitif levhaya, artı ucu negatif levhaya döner. Bu yönelim levhaların alanına karşı koyan bir iç alan doğurur. Aynı yük için levhalar arasındaki alan, dolayısıyla gerilim küçülür; C = q / V'de payda azaldığı için sığa büyür. Artışın katsayısına dielektrik sabiti (dielectric constant) denir ve κ ile gösterilir:

C = κ · ε₀ · A / d

Boşluk için κ = 1'dir, havanınki 1'e çok yakındır; katı yalıtkanlarda κ 1'den büyüktür. YKS düzeyinde κ ya soruda sayıyla verilir ya da yalnız «yalıtkan konunca sığa κ katına çıkar» oranıyla kullanılır.

Sığaçta depolanan enerji

Boş bir sığacı doldururken ilk yük kırıntısı neredeyse hiç direnç görmez, çünkü levhalar arasında henüz potansiyel farkı yoktur. Levhalar doldukça her yeni yük parçası artan bir gerilime karşı taşınır. Gerilim yükle doğru orantılı arttığından gerilim–yük grafiği orijinden çıkan bir doğrudur. «Grafik okuma: eğim ve alan» dersinde bu tür bir grafiğin altındaki alanın yapılan işi verdiğini görmüştük; burada alan bir üçgendir ve sığaçta biriken enerji bu üçgenin alanına eşittir:

U = ½ · q · V = ½ · C · V² = q² / (2C)

Üç biçim aynı büyüklüğü söyler; soruda hangi ikisi verilmişse onunla başlamak hesabı kısaltır. 4 μF'lık bir sığaç 50 V'a kadar doldurulursa levhalarda 2 · 10⁻⁴ C yük birikir ve depolanan enerji ½ · 2 · 10⁻⁴ · 50 = 5 · 10⁻³ J olur. Enerjinin q · V değil yarısı olması, yükün tamamının son gerilimle taşınmamasındandır; ortalama gerilim son gerilimin yarısıdır.

Seri bağlama: yük ortak, gerilim paylaşılır

İki sığaç tek bir yol üzerinde art arda bağlandığında birinci sığacın sağ levhası ile ikincinin sol levhası, dış devreyle bağlantısı olmayan yalıtılmış bir ada oluşturur. Bu ada başta nötrdü ve yük alamaz; bir levhasına −q geldiyse ötekinde +q kalır. Sonuç olarak seri bağlı bütün sığaçlar aynı yükü taşır. Üretecin gerilimi ise sığaçlar arasında bölüşülür: V = V₁ + V₂. Her terim q / C biçiminde yazılıp ortak q sadeleştirilince eşdeğer sığa çıkar:

1 / C_eş = 1 / C₁ + 1 / C₂ + …

Nilay'ın sorunu burada çözülür. İki özdeş 1 μF seri bağlanınca 1 / C_eş = 2 olur ve eşdeğer sığa 0,5 μF'a düşer. Seri bağlamayı levha aralığını büyütmek gibi düşünmek sezgiye yardım eder: yük aynı kalırken toplam gerilim büyür, oran küçülür. Bir hesapla görelim: 3 μF ve 6 μF seri bağlanıp 12 V'a takılırsa C_eş = 2 μF, ortak yük 24 μC'tur. Gerilimler 24 / 3 = 8 V ve 24 / 6 = 4 V çıkar; toplamları 12 V'tur. Küçük sığaçlı eleman büyük gerilim payını alır.

Paralel bağlama: gerilim ortak, yük paylaşılır

Sığaçların uçları aynı iki noktaya bağlıysa her birinin uçlarında aynı gerilim vardır ve toplam yük kollara dağılır: q = q₁ + q₂. Bu kez eşdeğer sığa doğrudan toplanır:

C_eş = C₁ + C₂ + …

Paralel bağlamak levha alanını genişletmeye benzer. Nilay'ın iki 1 μF'ını yan yana, uçları ortak bağlasaydı aradığı 2 μF'ı elde ederdi. Aynı 3 μF ve 6 μF paralel bağlanıp 12 V'a takılsaydı eşdeğer sığa 9 μF, yükler 36 μC ile 72 μC olurdu; büyük sığaç büyük yük payını alır. TYT'deki «Seri ve paralel bağlama» dersinde dirençler için kurduğumuz iki formül, sığaçlarda yer değiştirir: dirençte seri bağlama doğrudan toplanıyordu, sığaçta paralel bağlama toplanır. Karma devrelerde yöntem aynıdır: önce paralel öbekleri tek sığaca indir, sonra seri zinciri çöz, en son geriye doğru her sığacın yükünü ve gerilimini bul.

Üreteçten ayrılmış mı, bağlı mı?

Sığaç dolduktan sonra yapısı değiştirilirse ilk sorulacak soru, üretecin devrede olup olmadığıdır. Üreteçten ayrılmış bir sığaçta yükün gidebileceği bir yol yoktur, yük sabit kalır. Üretece bağlı kalan sığaçta ise üreteç uçlardaki potansiyel farkını korur, gerilim sabit kalır. Önceki derste levhalar arasındaki düzgün alan için kurduğumuz E = V / d ilişkisi bu tabloda doğrudan kullanılır. Sığa her iki durumda da yapıya göre değişir; öteki büyüklükler sabit kalanın üzerinden bulunur.

Tabloyu ezberlemek gerekmez; her satır iki adımda türetilir. Örneğin ayrılmış sığaçta d iki katına çıkınca sığa yarıya iner, sabit yük için V = q / C iki katına çıkar. Alan V / d olduğu için pay ile payda birlikte ikiye katlanır ve alan değişmez. Enerji q² / (2C) ile bulunur ve iki katına çıkar. Fazladan enerji bedava değildir: zıt yüklü levhalar birbirini çeker ve onları ayıran kişinin bu çekime karşı yaptığı iş sığaçta birikir.

Yüklü sığaçları birbirine bağlamak

Dolu bir sığacın uçları başka bir sığacın uçlarına, aynı işaretli levhalar birbirine gelecek biçimde bağlanırsa yük, iki sığacın gerilimi eşitlenene kadar akar. İşlem boyunca yük yoktan var olmaz, kaybolmaz: toplam yük korunur ve sığaçlar artık paralel bağlı gibidir. Ortak gerilim şöyle bulunur:

V_ortak = (q₁ + q₂) / (C₁ + C₂)

2 μF'lık bir sığaç 30 V'a kadar doldurulup boş 4 μF'lık bir sığaca bağlansın. Toplam yük 60 μC, toplam sığa 6 μF'tır ve ortak gerilim 10 V olur; küçük sığaçta 20 μC, büyükte 40 μC kalır. Enerjiye bakınca bir kayıp görülür: önce ½ · 2 · 10⁻⁶ · 30² = 9 · 10⁻⁴ J vardı, sonra ½ · 6 · 10⁻⁶ · 10² = 3 · 10⁻⁴ J kalır. Yük korunur ama enerji korunmaz gibi görünür; aradaki fark bağlantı tellerinde ısıya ve elektromanyetik ışımaya dönüşmüştür. Sorularda «enerji korunur» diyerek ortak gerilimi enerji eşitliğinden bulmaya kalkmak, bu yüzden yanlış sonuç verir.

Yükten akıma

Sığaç boşalırken levhalardaki yük telden geçer ve tel bir süreliğine akım taşır. Bu dersin hesaplarında yükün yalnız başlangıçta ve sonda nerede durduğu önemliydi; yolculuk sırasında ne yaptığını sormadık. Hareket eden yük ise çevresinde elektrik alanından başka bir etki de bırakır: akım taşıyan bir telin yanına konan pusula iğnesi sapar. Bu sapmayı yaratan manyetik alanın büyüklüğünü ve yönünü, sağ el kuralıyla birlikte «Akımın manyetik etkisi» dersinde ele alıyoruz.

Örnek 1 — Levha boyutlarından yük

Soru: Paralel levhalı bir sığacın levhalarının karşılıklı gelen alanı 0,04 m², levhalar arası uzaklık 2 mm'dir ve arası havadır. Sığacın uçları arasına 100 V potansiyel farkı uygulanıyor. ε₀ = 9 · 10⁻¹² C²/(N·m²) alınız. Levhalarda biriken yük kaç coulombdur?

• A) q = 1,8 · 10⁻¹¹
• B) q = 4,5 · 10⁻¹¹
• C) q = 1,8 · 10⁻¹²
• D) q = 1,8 · 10⁻⁸
• E) q = 3,6 · 10⁻⁸

Çözüm: Önce aralık metreye çevrilir: d = 2 · 10⁻³ m. Sığa C = 9 · 10⁻¹² · 0,04 / (2 · 10⁻³) = 1,8 · 10⁻¹⁰ F'tır. Yük q = C · V = 1,8 · 10⁻¹⁰ · 100 = 1,8 · 10⁻⁸ C olur. Milimetreyi metreye çevirmeyip d = 2 yazan 1,8 · 10⁻¹¹'i, A ile d'yi ters yerleştiren 4,5 · 10⁻¹¹'i, yükü C / V diye kuran 1,8 · 10⁻¹²'yi bulur. Cevap: D.

Örnek 2 — Karma devrede tek sığacın yükü

Soru: 2 μF ve 4 μF'lık iki sığaç paralel bağlanmış, bu öbek 3 μF'lık bir sığaçla seri bağlanarak 18 V'luk bir üretece takılmıştır. 4 μF'lık sığacın yükü kaç μC'tur?

• A) q = 36
• B) q = 24
• C) q = 72
• D) q = 12
• E) q = 48

Çözüm: Paralel öbek 2 + 4 = 6 μF eder. Bu 6 μF, 3 μF ile seri olduğundan C_eş = 6 · 3 / (6 + 3) = 2 μF ve devrenin yükü 2 · 18 = 36 μC'tur. Seri zincirde 3 μF'ın gerilimi 36 / 3 = 12 V, öbeğin gerilimi 36 / 6 = 6 V çıkar. Öbeğin içinde gerilim ortaktır; 4 μF'ın yükü 4 · 6 = 24 μC olur. 36 μC toplam yüktür; 12 μC 2 μF'ınkidir; 72 μC, üretecin gerilimini doğrudan 4 μF'a uygulamaktan gelir. Cevap: B.

Örnek 3 — Ayrılmış sığaçta aralığı açmak

Soru: Bir sığaç doldurulduktan sonra üreteçten ayrılıyor, ardından levhaları arasındaki uzaklık yalıtkan saplar yardımıyla iki katına çıkarılıyor. Yük (q), gerilim (V), levhalar arasındaki alan (E) ve depolanan enerji (U) için hangisi doğrudur?

• A) q yarıya iner, V değişmez, E yarıya iner, U yarıya iner.
• B) q değişmez, V iki katına çıkar, E iki katına çıkar, U iki katına çıkar.
• C) q değişmez, V iki katına çıkar, E değişmez, U iki katına çıkar.
• D) q değişmez, V yarıya iner, E değişmez, U yarıya iner.
• E) q değişmez, V iki katına çıkar, E değişmez, U dört katına çıkar.

Çözüm: Üreteç ayrıldığı için yük sabittir. Sığa ε · A / d ile yarıya iner, V = q / C iki katına çıkar. Alanı veren V / d oranında pay ile payda aynı oranda büyüdüğü için levhalar arasındaki alan sabit kalır. Enerji q² / (2C) ile iki katına çıkar. A seçeneği bağlı sığacın satırıdır; B, alanın d'ye bağlı değişimini atlar; E enerjiyi ½ · C · V² ile yazıp C'nin yarıya indiğini unutur. Cevap: C.

Örnek 4 — İki dolu sığacı birleştirmek

Soru: 3 μF'lık bir sığaç 20 V'a, 1 μF'lık bir sığaç 60 V'a kadar doldurulup üreteçlerden ayrılıyor. Sonra artı levhalar birbirine, eksi levhalar birbirine bağlanıyor. Ortak gerilim ve 3 μF'lık sığacın son yükü nedir?

• A) V = 30 V; q₃ = 90 μC
• B) V = 40 V; q₃ = 120 μC
• C) V = 30 V; q₃ = 60 μC
• D) V = 20 V; q₃ = 60 μC
• E) V = 40 V; q₃ = 90 μC

Çözüm: İlk yükler 3 · 20 = 60 μC ve 1 · 60 = 60 μC'tur; toplam 120 μC korunur. Paralel hâldeki toplam sığa 4 μF olduğundan ortak gerilim 120 / 4 = 30 V'tur ve 3 μF'ın yükü 3 · 30 = 90 μC olur. 40 V iki gerilimin düz ortalamasıdır ve sığaların farklı olduğunu görmez; 60 μC ise yükün yer değiştirmediğini varsayar. Enerji 2,4 · 10⁻³ J'den 1,8 · 10⁻³ J'e iner; fark tellerde harcanır. Cevap: A.

• Sığaçları direnç gibi bağlamak. Seri bağlı sığaçlarda eşdeğer sığa en küçük sığaçtan da küçüktür; doğrudan toplama paralel bağlamada yapılır. Nilay'ın 0,5 μF'ı bu hatanın ölçülmüş sonucudur.
• Sığayı gerilime bağlamak. C = q / V bir tanımdır; gerilim iki katına çıkınca sığa değil yük iki katına çıkar. Sığayı yalnız A, d ve aradaki yalıtkan değiştirir.
• Ayrılmış ile bağlı sığacı karıştırmak. Önce üretecin devrede olup olmadığına bak: ayrılmışsa q, bağlıysa V sabittir. Tablodaki yanlış satır her seçeneği yanlış çıkarır.
• Alanın sabit kaldığını kaçırmak. Ayrılmış sığaçta d değişince V değişir ama E = V / d aynı kalır; bağlı sığaçta yalıtkan konunca da alan değişmez.
• Seri bağlıda gerilimi eşit bölmek. Seri sığaçlarda yük ortaktır, gerilim sığayla ters orantılı paylaşılır; küçük sığaç büyük gerilimi alır.
• Dolu sığaçları birleştirirken enerjiyi korumak. Korunan büyüklük yüktür; enerjinin bir kısmı tellerde harcanır, ortak gerilim yük toplamından bulunur.