Yay sarkacı

Tarık, ranzanın üst korkuluğuna asılı yaylı oyuncak örümceği çekip bırakıyor. Kız kardeşi Umay örümceği yalnız 2 cm aşağı çekiyor, Tarık ise 8 cm. Tarık bahse giriyor: «Benimki dört kat uzun yol gidiyor, bir aşağı bir yukarı gitmesi de daha uzun sürer.» Telefonun kronometresiyle onar salınımı sayıyorlar ve iki deneme neredeyse aynı süreyi veriyor. Tarık sonucu kronometreye yüklüyor: «Parmağın geç bastı.» Oysa yanılan kronometre değil. Çok çekilen örümcek gerçekten daha uzun yol gidiyor, ama o yolu daha hızlı geçiyor. Bu derste o ritmi yayın sertliğinden ve asılı kütleden hesaplayacak, yayları birleştirince ya da kesince ritmin nasıl değiştiğini göreceğiz.

• Yay sabitini kuvvet ve uzamadan bulur, yatay ve düşey yay sarkacının periyodunu hesaplarsın.
• Seri ve paralel bağlı yaylarla kesilmiş yayların eşdeğer yay sabitini çıkarıp periyoda taşırsın.
• Toplam enerjiyi ½ · k_y · A² olarak yazar, herhangi bir konumdaki sürati ve en büyük ivmeyi bulursun.
• Kütle ya da yay sabiti değiştiğinde yeni periyodu orantıyla, formülü baştan kurmadan bulursun.

Tarık'ın bahsinde eksik olan

Önceki derste genliğin periyodu değiştirmediğini, uzanım büyüdükçe geri çağırıcı kuvvetin de aynı oranda büyümesinden çıkarmıştık. Tarık'ın kronometresi bu sonucu doğruluyor; ama bir soruyu açık bırakıyor. Bir salınım neden tam o kadar sürüyor; örümcek daha ağır ya da yay daha sert olsaydı süre nasıl değişirdi? Basit harmonik hareketin temellerinde ω'yı hazır bir sayı olarak kullandık. Yay sarkacında o sayının nereden geldiğini bulacağız: cevap, yayın sertliği ile asılı kütlenin oranında saklı.

Yay sabitini ölçmek

Yay kuvvetini F = −k_y · x olarak yazmıştık. Yay sabitini TYT'de, kinetik ve potansiyel enerji konusunda k harfiyle görmüştük; iş-enerji teoremi dersinden beri sürtünme katsayısından ayırmak için k_y yazıyoruz. Birimi N/m'dir ve yayın sertliğini ölçer: aynı kuvvetle az uzayan yayın k_y değeri büyüktür. Bu orantılılığı 17. yüzyılda Robert Hooke dile getirdiği için bağıntıya Hooke yasası denir. Yaya asılan ağırlıkları uzamalara karşı çizersek orijinden çıkan bir doğru elde ederiz; doğrunun eğimi k_y'dir. Örneğin 20 N'luk kuvvetin 5 cm uzattığı bir yay için k_y = 20 / 0,05 = 400 N/m'dir. Laboratuvarda yay sabiti genellikle böyle bulunur: bilinen bir kütle asılır, denge uzaması cetvelle ölçülür. Hooke yasası yayın esneklik sınırı içinde geçerlidir; aşırı gerilen yay kalıcı biçim değiştirir ve orantı bozulur. YKS soruları her zaman bu sınırın içinde kalır.

Yatay yay sarkacı

Sürtünmesiz yatay bir masada m kütleli bir blok, ucu duvara bağlı bir yaya tutturulmuş olsun. Blok denge konumundan x kadar uzaklaştığında üstüne yatayda yalnız yay kuvveti etki eder. Newton'un ikinci yasası:

• m · a = −k_y · x, yani a = −(k_y / m) · x

Bu eşitliği a = −ω² · x ile karşılaştırınca açısal frekans kendiliğinden çıkar: ω² = k_y / m. Periyot T = 2π / ω olduğundan:

• T = 2π · √(m / k_y)

Formülde genlik yok; Tarık ile Umay'ın kronometresinin aynı süreyi göstermesi bununla uyumlu. Formülde g de yok: ağırlık ve masanın tepkisi düşeyde birbirini dengeler, salınıma katılmaz. Kütle büyüdükçe periyot uzar, çünkü aynı yay kuvveti ağır cismi daha az ivmelendirir; yay sertleştikçe periyot kısalır. Sayısal bir örnek: 1,6 kg'lık blok k_y = 40 N/m olan yaya bağlıysa ω² = 25, ω = 5 rad/s ve T = 2π / 5 = 0,4π s, yani yaklaşık 1,26 s'dir.

Düşey asılı yay: denge yer değiştirir, ritim değişmez

Örümcek gibi tavana asılan bir kütlede ağırlık da hareket doğrultusundadır. Kütle asılınca yay x₀ kadar uzar ve yeni bir denge konumuna yerleşir:

• k_y · x₀ = m · g

Kütle bu yeni konumdan y kadar aşağı çekildiğinde yay kuvveti k_y · (x₀ + y) olur. Ağırlığı çıkarınca net kuvvet −k_y · y kalır; ağırlığın payı, x₀ uzamasının ürettiği fazladan kuvvetle tam olarak sıfırlanır. Salınım artık yayın doğal boyu çevresinde değil, yeni denge konumu çevresinde gerçekleşir, ama periyot yatay düzenekle aynıdır: T = 2π · √(m / k_y).

Denge koşulundan m / k_y = x₀ / g yazılabilir ve kullanışlı bir biçim doğar: T = 2π · √(x₀ / g). Bu bağıntı periyodun g'ye bağlı olduğunu söylemez. Ay'da aynı kütle aynı yayı daha az uzatır, x₀ ile g aynı oranda küçülür ve periyot değişmez. Kütle ile yay sabiti verilmediğinde, yalnız denge uzaması bilinen sorularda bu biçim işe yarar. Kütlesi 0,5 kg olan cisim, 200 N/m'lik yaya asılırsa x₀ = 5 / 200 = 0,025 m'dir; periyot iki yoldan da 2π · √0,0025 = 0,1π s çıkar. Sürtünmesiz bir eğik düzlemde yaya bağlı blok için de durum benzer: denge uzaması m · g · sin α / k_y olur, periyot yine T = 2π · √(m / k_y).

Seri ve paralel bağlı yaylar

İki yay yan yana bağlanıp aynı kütleyi birlikte taşıyorsa (paralel bağlama) ikisi aynı miktarda uzar ve kuvvetleri toplanır. Eşdeğer yay sabiti toplamdır:

• k_eş = k₁ + k₂

İki yay uç uca eklenirse (seri bağlama) ikisinden de aynı kuvvet geçer, uzamalar toplanır. Bu kez terslerin toplamı alınır:

• 1 / k_eş = 1 / k₁ + 1 / k₂

Sabitleri 30 ile 60 N/m olan iki yay yan yana takılınca 90 N/m'lik sert bir yay gibi davranır; seri bağlanınca 1 / k_eş = 1/30 + 1/60 = 1/20, yani 20 N/m'lik yumuşak bir yay ortaya çıkar. Seri bağlamada eşdeğer sabit, iki yaydan yumuşak olanınkinden de küçüktür. Paralel bağlamada kütle aynı kalırken k_eş büyüdüğü için periyot kısalır; seri bağlamada uzar. Özdeş iki yay paralel bağlanınca k_eş = 2 · k_y, seri bağlanınca k_y / 2 olur ve iki düzeneğin periyotları arasında 2 kat fark doğar.

Yayı kesmek onu sertleştirir

Bir yayı ortadan kesmek, onu seri bağlı iki özdeş yarıya ayırmak demektir. Uzun yay k_y ise yarılar seri bağlıyken 1 / k_y = 2 / k_yarım olmalıdır; buradan her yarının sabiti 2 · k_y çıkar. Gerilmiş bir yayın her halkası aynı kuvveti taşır ve aynı miktarda uzar; halka sayısı yarıya inen parça, aynı kuvvetle yarı kadar uzar. Genel kural: aynı malzemeden ve aynı sarımdan yapılmış yaylarda yay sabiti ile uzunluğun çarpımı sabittir, k_y · L = sabit. 60 cm'lik ve 50 N/m'lik bir yaydan 20 cm'lik parça kesilirse o parçanın sabiti 150 N/m, kalan 40 cm'lik parçanınki 75 N/m olur. Kesilen iki yarı yeniden paralel bağlanırsa eşdeğer sabit 2 · k_y + 2 · k_y = 4 · k_y çıkar ve aynı kütlenin periyodu yarıya iner.

Enerjiyi yay sabitiyle yazmak

Önceki derste salınımın enerjisinin yay ile blok arasında nasıl el değiştirdiğini gördük: uçlarda bütün enerji yaydadır ve E = ½ · k_y · A² olur. Yay sarkacında bu ifade bize iki yeni yol açar. Birincisi, ω artık k_y ve m'den hesaplanabildiği için en büyük sürat doğrudan düzeneğin büyüklükleriyle yazılır:

• v_max = ω · A = A · √(k_y / m)

İkincisi, enerji bilgisi yay sabitini verebilir. Bloğu yavaşça A kadar çekmek için harcanan iş, yayda depolanan ½ · k_y · A²'dir; bu iş ve genlik biliniyorsa k_y bulunur, oradan da periyot. En büyük ivme ise uçta yay kuvvetinin kütleye bölümüdür: a_max = k_y · A / m = ω² · A. Örnek: 450 N/m'lik bir yayın ucunda 2 kg kütleli blok 20 cm genlikle salınıyor. Toplam enerji 9 J, ω = √225 = 15 rad/s, v_max = 3 m/s ve a_max = 45 m/s² olur.

Kancadaki örümceğe dönelim. Periyot iki denemede ortaktır, ama en büyük sürat genlikle orantılıdır: 8 cm çekilen örümcek denge konumundan, 2 cm çekilene göre dört kat hızlı geçer. Düşey yayda da v_max = ω · A geçerlidir, çünkü hareket yeni denge konumu çevresinde aynı basit harmonik harekettir; yalnız A'yı yayın doğal boyundan değil, yeni denge konumundan ölçmek gerekir.

Değişiklikleri oranla okumak

Periyot √(m / k_y) ile orantılıdır. Kütle 4 katına çıkarsa periyot 2 katına, yay sabiti 9 katına çıkarsa periyot 3'te 1'ine iner. İkisi birlikte değişirse oranlar çarpılır: kütle 2 katına çıkıp yay sabiti yarıya inerse m / k_y oranı 4 kat büyür, periyot 2 kat uzar. Seri, paralel ya da kesme sorularında önce eşdeğer yay sabitinin kaç katına çıktığını bulmak, sonra bu oranı kütle oranıyla birlikte kareköke sokmak en kısa yoldur.

Yay sarkacında geri çağırıcı kuvveti yay sağlıyordu; bu yüzden periyoda kütle girdi, g girmedi. İpe asılı bir cisimde yay yoktur. Onu en alt noktaya döndüren, ağırlığın yay biçimindeki yörüngeye teğet düşen payıdır ve bu pay kütleyle büyür. O zaman tablo tersine döner: kütle sadeleşir, g periyodun içine girer. Basit sarkaç dersinde periyodu ip boyu ve g ile kuracak, hareketin neden yalnız küçük açılarda basit harmonik sayılabildiğini göreceğiz.

Örnek 1 — Örümceğin periyodu

Soru: Tarık'ın oyuncak örümceği 0,25 kg'dır ve yaya asıldığında yay 10 cm uzayarak dengeye geliyor. Umay örümceği denge konumundan 2 cm, Tarık 8 cm aşağı çekip bırakıyor. π = 3 alınırsa periyotlar için hangisi doğrudur?

• A) Tarık'ınki Umay'ınkinin 4 katı
• B) Tarık'ınki Umay'ınkinin 2 katı
• C) ikisi de 0,6 s
• D) ikisi de 6 s
• E) ikisi de 0,06 s

Çözüm: Denge koşulundan k_y = m · g / x₀ = 2,5 / 0,1 = 25 N/m. Periyot T = 2π · √(0,25 / 25) = 2π · 0,1 = 0,6 s; genlik formülde yer almadığı için iki çekişte de aynıdır. Aynı sonuç T = 2π · √(x₀ / g) = 6 · √0,01 ile de bulunur. 6 s, 10 cm'yi metreye çevirmeden 10'u karekökün içine koymaktan; 0,06 s, x₀ / g oranının karekökünü almamaktan; A ve B seçenekleri periyodu genlikle büyütmekten gelir. Cevap: C.

Örnek 2 — Aynı iki yay, iki bağlama

Soru: Sabitlerinden biri 400, öteki 100 N/m olan iki yay önce uç uca, sonra yan yana bağlanarak 0,8 kg'lık bir bloğu sürtünmesiz yatay düzlemde salındırıyor. Uç uca bağlıyken ölçülen periyodun yan yana bağlıyken ölçülene oranı kaçtır?

• A) oran = 5/2
• B) oran = 2/5
• C) oran = 25/4
• D) oran = 1
• E) oran = 4

Çözüm: Seri bağlamada 1 / k_eş = 1/400 + 1/100 = 5/400, k_eş = 80 N/m; paralel bağlamada k_eş = 500 N/m. Periyot √(1 / k_eş) ile orantılı olduğundan oran √(500 / 80) = √6,25 = 2,5'tir. Seri düzenekte T = 2π · √(0,8 / 80) = 0,2π s, paralelde 0,08π s; bölüm yine 5/2 eder. 2/5 oranı ters çevirmekten, 25/4 karekökü unutmaktan, 4 ise iki yayın sabitlerini birbirine bölmekten gelir. Cevap: A.

Örnek 3 — Kes ve yeniden bağla

Soru: Ufuk bir yayın ucuna bir kütle asıyor ve periyodu 1,2 s ölçüyor. Sonra yayı tam ortasından kesiyor, iki yarıyı yan yana bağlayıp aynı kütleyi asıyor. Yeni periyot kaç saniyedir?

• A) T = 2,4
• B) T = 1,2
• C) T = 0,3
• D) T = 0,6√2
• E) T = 0,6

Çözüm: Yarı boydaki her parçanın sabiti 2 · k_y'dir; ikisi paralel bağlanınca 4 · k_y olur. Periyot √(1 / k) ile orantılı olduğundan 1/2 katına iner: 0,6 s. 1,2 s, kesmenin yayı yumuşattığını sanıp yarıların sabitini k_y / 2 alan ve paralelde toplamı yeniden k_y bulan öğrencinin cevabıdır; 0,3 s periyodu k_y ile doğrudan ters orantılı saymaktan; 0,6√2 s yalnız kesmeyi hesaba katıp paralel bağlamayı atlamaktan; 2,4 s ise etkinin yönünü ters çevirmekten gelir. Cevap: E.

Örnek 4 — Harcanan işten periyoda

Soru: Tamer, sürtünmesiz yatay masadaki 2 kg'lık bloğu bağlı olduğu yayla birlikte yavaşça 10 cm çekiyor ve bunun için 1 J iş harcıyor. Blok bırakılınca salınımın periyodu kaç saniye olur (π = 3)?

• A) T = 0,6√2
• B) T = 0,6
• C) T = 60
• D) T = 0,3
• E) T = 1/5

Çözüm: Yavaş çekişte harcanan iş yayda depolanır: ½ · k_y · 0,01 = 1, buradan k_y değeri 200 N/m bulunur. ω = √(200 / 2) = 10 rad/s ve T = 2π / ω = 6 / 10 = 0,6 s. Aynı salınımda blok denge konumundan ω · A = 1 m/s ile geçer. 0,6√2, enerjideki ½ çarpanını unutup k_y = 100 N/m almaktan; 60, genliği santimetre olarak yazmaktan; 0,3, uçtan uca geçen yarım salınımı periyot sanmaktan; 1/5 ise 2π yerine yalnız 2'yi ω'ya bölmekten gelir. Cevap: B.

• Genliği büyütünce periyodun uzadığını sanmak. Uzama arttıkça geri çağırıcı kuvvet de aynı oranda artar; T = 2π · √(m / k_y) içinde A yoktur. Genlik yalnız en büyük sürati ve en büyük ivmeyi değiştirir.
• Düşey yayda periyoda g eklemek. Ağırlık yalnız denge konumunu x₀ = m · g / k_y kadar aşağı kaydırır. T = 2π · √(x₀ / g) biçimi bile g'ye bağlılık değildir, çünkü x₀ g ile birlikte değişir.
• Seri ve paralel formüllerini karıştırmak. Yan yana bağlı yaylar aynı uzar, sabitler toplanır; uç uca bağlılarda terslerin toplamı alınır. 1 / k_eş hesaplandıktan sonra sonucu ters çevirmeyi unutmak, eşdeğer sabiti saçma biçimde küçük bırakır.
• Kesilen yayın yumuşadığını düşünmek. k_y · L sabittir; yarı boydaki parça iki kat serttir. Yarılar paralel bağlanırsa sabit 4 katına çıkar.
• v_max ve a_max hesabında santimetreyi çevirmemek. Genlik metreyle yazılmazsa sürat 100 kat, enerji 10 000 kat büyük çıkar.
• Düşey yayda en büyük yay kuvvetini k_y · A sanmak. Salınım yeni denge konumu çevresindedir; en alt noktada uzama x₀ + A, en üstte x₀ − A olur. k_y · A yalnız net kuvvetin en büyük değeridir.