Basit sarkaç

Yaren'in dedesinden kalma sarkaçlı duvar saati her hafta biraz daha geri kalıyor. Yaren saatin camını açıp aşağıda sallanan pirinç diske bakıyor ve bir çözüm buluyor: «Disk hafif, o yüzden ağır ağır gidip geliyor. Altına bir somun yapıştırırsam daha ağır olur, daha hızlı salınır, saat de yetişir.» Kardeşi Ziya pek emin değil ama daha iyi bir fikri de yok. Somunu yapıştırmak saati düzeltir mi? Saatçilerin bu iş için diski ağırlaştırmak yerine çubuğun altındaki küçük bir vidayı çevirip diski yukarı ya da aşağı kaydırmasının bir sebebi var. Bu derste sarkacın periyodunu neyin belirlediğini kuvvetten başlayarak çıkaracağız; Yaren'in somunu da, saatçinin vidası da o sonuçta yerini bulacak.

• Basit sarkaçta geri çağırıcı kuvveti ağırlığın teğet bileşeni olarak yazar, küçük açı şartıyla hareketin basit harmonik olduğunu gösterirsin.
• T = 2π · √(L / g) bağıntısıyla periyodu hesaplar, ip boyu ve çekim ivmesi değişince periyot oranını bulursun.
• Başka bir gezegende ve ivmeli bir asansörde etkin çekim ivmesini belirleyip sarkacın yeni periyodunu çıkarırsın.
• Enerjinin korunumuyla en alt noktadaki sürati, merkezcil kuvvetle de o noktadaki ip gerilmesini hesaplarsın.

Sarkacı denge noktasına ne çeker?

Basit sarkaç, uzamayan ve kütlesi ihmal edilen L uzunluğundaki bir ipin ucuna asılmış küçük bir cisimdir. Cismi düşeyden θ açısı kadar çekip bırakırsak bir yay çizerek gidip gelir. Cismin üzerinde yalnız ağırlık (m · g) ile ipin çekişi vardır. Bu derste ipin kuvvetini F_ip ile göstereceğiz, çünkü T harfini periyoda ayırıyoruz.

İpin çekişi her an ip boyunca, asılma noktasına doğrudur; cismin hareket ettiği yaya diktir ve cismi yay boyunca ne hızlandırabilir ne yavaşlatabilir. Ağırlığı iki bileşene ayıralım. İp doğrultusundaki bileşen m · g · cos θ'dır ve ipin çekişiyle birlikte cismi yay üzerinde tutan merkezcil kuvveti oluşturur. Yaya teğet olan bileşen ise m · g · sin θ'dır ve her zaman cismi en alt noktaya, yani denge noktasına doğru iter. Sarkacın geri çağırıcı kuvveti budur:

• F_geri = m · g · sin θ (denge noktasına doğru)

Cisim en alt noktadayken θ = 0 olur ve bu bileşen kaybolur. Cisim denge noktasından ne kadar uzaklaşırsa geri çağıran itiş o kadar büyür.

Küçük açı şartı

BHH'nin temellerini kurduğumuz derste ölçüt açıktı: geri çağırıcı kuvvet denge noktasından uzaklıkla doğru orantılı ve dengeye yönelik olmalı, F = −k_y · x gibi. Sarkaçta uzaklık, cismin yay boyunca aldığı yoldur: s = L · θ (θ radyan cinsinden). Kuvvet ise sin θ ile orantılıdır, θ ile değil. Sinüs açıyla doğrusal artmadığı için sarkaç her açıda BHH yapmaz.

Küçük açılarda ise sin θ ile θ'nın (radyan) değerleri birbirine çok yakındır:

Açı küçükken sin θ yerine θ yazabiliriz. O zaman geri çağırıcı kuvvet m · g · θ = (m · g / L) · s olur ve yay boyunca uzaklıkla doğru orantılı hâle gelir. Bu, yay sabitinin yerine m · g / L konmuş bir F = −k_y · x bağıntısıdır; Newton'un ikinci yasası a = −(g / L) · s verir ve a = −ω² · x ile karşılaştırınca ω² = g / L çıkar. Sonuç bir yaklaşımdır ve şartı açıktır: sarkaç ancak küçük açılı salınımda basit harmonik hareket yapar. YKS sorularında periyot formülü kullanılıyorsa bu şart, yazılsın ya da yazılmasın, varsayılmıştır. Tablodaki 30°'lik satır, açı büyüdükçe yaklaşımın nasıl bozulduğunu gösteriyor.

Periyot: T = 2π · √(L / g)

Yay sarkacının periyodu T = 2π · √(m / k_y) idi. Sarkaçta yayın sertliğinin yerini m · g / L tutuyor. Bunu yerine koyunca kütle pay ile paydadan sadeleşir; aynı sonuca T = 2π / ω ve ω² = g / L ile de varılır:

• T = 2π · √(m / (m · g / L)) = 2π · √(L / g)

Periyot yalnız ip boyuna ve çekim ivmesine bağlıdır. Kütle formülde yoktur: ağır bir cismin geri çağırıcı kuvveti de büyüktür ama hızlandırılması gereken eylemsizlik de aynı oranda büyüktür. Yay sarkacında kütle periyodu değiştiriyordu, çünkü yayın kuvveti cismin kütlesinden habersizdi; sarkaçta ise geri çağırıcı kuvveti ağırlık sağlıyor ve ağırlık kütleyle birlikte artıyor.

Genlik de formülde yoktur. Küçük açılar içinde kalındıkça sarkacı 4° ya da 8° açıdan bırakmak aynı periyodu verir: büyük açıdan bırakılan cisim daha uzun yol alır, ama daha büyük kuvvetle hızlandırıldığı için yolu aynı sürede tamamlar. Bu eş zamanlılık sarkaçlı saatlerin dayanağıdır. Açı büyüdükçe periyot küçük açı değerinden yavaş yavaş uzar; formül o bölgede yaklaşık kalır.

Kanca sahnesine dönersek: somun diski ağırlaştırır ama periyodu değiştirmez, saat yine geri kalır. Saatçinin vidası ise diski kaydırıp etkin boyu değiştirir. Saat geri kalıyorsa periyot gerekenden uzundur ve disk yukarı alınıp boy kısaltılmalıdır.

Oranlarla düşünmek

Periyot boyun karekökü ile doğru, g'nin karekökü ile ters orantılıdır. İp dört kat uzatılınca periyot ikiye katlanır, dokuz kat uzatılınca üçe. g dört katına çıkarsa periyot yarıya iner. Sayısal bir örnek (π = 3 ve g = 10 m/s² alınarak): 40 cm'lik bir sarkaç için L / g = 0,04 s², karekökü 0,2 s; bunu 2π ile çarpınca 1,2 s'lik bir periyot çıkar. Frekans periyodun tersi olduğundan bu sarkaç saniyede 1 / 1,2 tam salınım, yani dakikada 50 tam salınım yapar. İp 1,6 m'ye uzatılırsa periyot 2,4 s olur ve dakikadaki salınım sayısı 25'e düşer.

Periyodu ayarlayan g: gezegen ve asansör

g, sarkacı salındıran ağırlığın kaynağıdır. Kütle çekim yasası dersinde bir gezegenin yüzeyindeki çekim ivmesinin g = G · M / R² ile kütle ve yarıçaptan bulunduğunu gördük. Varsayımsal bir gezegenin kütlesi de yarıçapı da Dünya'nınkinin iki katıysa g, 2 / 4 = 1/2 oranında küçülür; aynı sarkacın periyodu √2 katına uzar.

Asansörde gezegen değişmez ama sarkacın gördüğü etkin çekim ivmesi değişir. Asansörün a büyüklüğündeki ivmesi yukarı yöndeyse cismi asansörle birlikte yukarı hızlandırmak için ipin fazladan çekmesi gerekir; sarkaç sanki daha büyük bir g'de salınır:

• ivme yukarı: g_etkin = g + a
• ivme aşağı: g_etkin = g − a
• sabit hız (yukarı ya da aşağı): g_etkin = g

Burada belirleyici olan hızın değil ivmenin yönüdür. Yukarı çıkarken hızlanan asansör ile aşağı inerken yavaşlayan asansörün ivmesi de yukarıdır; ikisinde de sarkaç daha sık salınır. Halat koparsa asansör serbest düşer, a = g olur ve g_etkin sıfıra iner: geri çağırıcı kuvvet kalmaz, sarkaç salınmaz. Bırakıldığı konumda asansöre göre kıpırdamadan durur, hareket hâlindeyse asansöre göre ipin gergin kaldığı bir çember çizer.

Saniye sarkacı

Periyodu tam 2 s olan, yani denge noktasının bir yanından öbür yanına geçişi 1 s süren sarkaca saniye sarkacı denir. Boyu T = 2 s yazılarak bulunur: L = g · T² / (4π²) = g / π². Bu boy yerin çekim ivmesine bağlıdır. Sorularda g = π² m/s² alınması istenirse saniye sarkacının boyu 1 m çıkar; bu, hesap kolaylığı için yapılan bir varsayımdır.

Sarkaçta enerji

BHH'de hız denge noktasında en büyük, uçlarda sıfırdı; ivme ise tam tersine uçlarda en büyüktü. Sarkaçta hız, enerjinin korunumuyla da bulunabilir. Cisim θ açısından bırakıldığında en alt noktadan h = L · (1 − cos θ) kadar yüksektedir. Sürtünme ve hava direnci yoksa bu potansiyel enerji en alt noktada tamamen kinetik enerjiye dönüşür:

• m · g · L · (1 − cos θ) = ½ · m · v² ⟹ v_alt = √(2 · g · L · (1 − cos θ))

Bu bağıntı küçük açı yaklaşımına dayanmaz; büyük açılarda da geçerlidir. Örneğin 2,5 m'lik ipin ucundaki cisim 60°'den bırakılırsa h = 2,5 · 0,5 = 1,25 m, v_alt = √25 = 5 m/s olur.

En alt noktada ip gerilmesi

En alt noktada cisim L yarıçaplı bir çemberin dibindedir. Merkezcil kuvvet uygulamaları dersindeki düşey çember çözümü aynen geçerlidir: ipin çekişi yukarı, merkeze doğru; ağırlık aşağıdadır.

• F_ip − m · g = m · v² / L ⟹ F_ip = m · g + m · v² / L

En alt noktada teğet kuvvet sıfırdır ama net kuvvet sıfır değildir: cisim çember çizdiği için yukarı doğru net bir merkezcil kuvvet vardır, ipin çekişi de bu yüzden ağırlığı aşar. Az önceki 60° örneğinde cismin kütlesi 0,2 kg ise F_ip = 2 + 0,2 · 25 / 2,5 = 4 N, ağırlığın iki katıdır. Uç noktalarda ise sürat sıfırdır, merkezcil kuvvet gerekmez ve ip yalnız ağırlığın ip doğrultusundaki bileşenini dengeler: F_ip = m · g · cos θ = 1 N. İpin en zorlandığı yer en alt noktadır.

Bu derste sarkaç, Dünya'nın ya da bir gezegenin çekimiyle salındı ve g'yi kütle çekim yasasından okuduk: kuvvet uzaklığın karesiyle ters orantılıydı ve iki kütle birbirini her zaman çekiyordu. Yüklü cisimler arasındaki elektriksel kuvvet de uzaklığın karesiyle zayıflar, ama iki önemli farkı vardır: kuvvetin büyüklüğünü kütle yerine yük belirler ve aynı işaretli yükler birbirini iter. Bir sonraki dersin konusu bu kuvveti veren Coulomb yasası; mekanikte kurduğumuz kuvvet ve oran alışkanlığı orada da işimize yarayacak.

Örnek 1 — Geri kalan saat

Soru: Varsayımsal bir sarkaçlı saatin doğru çalışması için sarkacın periyodu 2 s olmalıdır, ama sarkaç 2,2 s'lik periyotla salınıyor. Saati düzeltmek için ne yapılmalıdır?

• A) Disk ağırlaştırılmalı, boy değiştirilmemelidir.
• B) Etkin boy 121/100 katına çıkarılmalıdır.
• C) Etkin boy 11/10 katına çıkarılmalıdır.
• D) Etkin boy 100/121 katına indirilmelidir.
• E) Etkin boy 10/11 katına indirilmelidir.

Çözüm: Periyot kütleden bağımsız olduğu için diski ağırlaştırmak hiçbir şeyi değiştirmez; A seçeneği Yaren'in somunudur. Periyot √L ile orantılıdır: T_yeni / T_eski = √(L_yeni / L_eski). 2 / 2,2 = 10/11 olduğundan L_yeni / L_eski = (10/11)² = 100/121 bulunur; boy kısaltılmalıdır. 10/11, karesini almayı unutmaktan; B ve C ise oranı ters kurup saati daha da geri bırakmaktan gelir. Cevap: D.

Örnek 2 — İnerken hızlanan asansör

Soru: 40 cm'lik bir sarkaç bir asansörün tavanına asılıdır. Asansör aşağı yönde 7,5 m/s² ivmeyle hızlanırken sarkacın küçük açılı salınımdaki periyodu kaç saniyedir? (π = 3, g = 10 m/s² alınız.)

• A) T_asansör = 1,2
• B) T_asansör = 4,8
• C) T_asansör ≈ 0,91
• D) T_asansör = 2,4
• E) Sarkaç salınmaz.

Çözüm: İvme aşağı yönde olduğu için g_etkin = 10 − 7,5 = 2,5 m/s². L / g_etkin = 0,4 / 2,5 = 0,16 s², karekökü 0,4 s; T = 2 · 3 · 0,4 = 2,4 s. Asansörün ivmesini yok sayan 1,2 s'yi, ivmeyi g'ye ekleyen 0,91 s'yi bulur. 4,8 s, g oranındaki 4 katlık değişimi karekök almadan periyoda taşımaktan gelir. Sarkaç ancak ivme g'ye eşitken, yani serbest düşmede salınmaz; aşağı inmek tek başına bunun için yetmez. Cevap: D.

Örnek 3 — En alt noktada hız ve gerilme

Soru: 0,5 kg kütleli küçük bir cisim 2,5 m'lik ipin ucunda, ip düşeyden 37° saptırılmış konumdan bırakılıyor (37° için kosinüs değeri 0,8). Hava direnci yoksa cisim en alt noktadan geçerken ipin cismi çekme kuvveti kaç newtondur?

• A) F_ip = 3
• B) F_ip = 7
• C) F_ip = 5
• D) F_ip = 2
• E) F_ip = 4

Çözüm: Düşme yüksekliği h = 2,5 · (1 − 0,8) = 0,5 m; v² = 2 · 10 · 0,5 = 10 m²/s². Merkezcil kuvvet m · v² / L = 0,5 · 10 / 2,5 = 2 N. En alt noktada ip hem ağırlığı taşır hem bu merkezcil kuvveti sağlar: F_ip = 5 + 2 = 7 N. 5 N yalnız ağırlıktır; 2 N yalnız merkezcil kuvvettir; 3 N, ağırlıkla merkezcil kuvveti çıkarmaktan, 4 N ise uç noktadaki m · g · cos θ değerini en alt noktaya taşımaktan gelir. Cevap: B.

Örnek 4 — Başka bir gezegende saniye sarkacı

Soru: Dünya'da saniye sarkacı olan (periyodu 2 s) bir sarkaç varsayımsal bir gezegene götürülüyor; gezegenin kütlesi de yarıçapı da Dünya'nınkinin iki katıdır. Sarkacın orada küçük açılı salınımdaki periyodu kaç saniye olur?

• A) T = 2√2
• B) T = 2
• C) T = 4
• D) T = √2
• E) T = 1

Çözüm: g = G · M / R² olduğundan gezegende g' = g · 2 / 2² = g / 2 olur. Periyot √(1/g) ile değişir: T' = 2 · √2 = 2√2 s. Kütleyle yarıçapın etkisini birbirini götürüyor sanan 2 s'yi, karekökü unutan 4 s'yi, oranı ters kuran √2 s'yi bulur. 1 s, oranı ters kurup karekökü de unutmaktan gelir. Cevap: A.

• Ağır cisimli sarkacın daha hızlı salındığını sanmak. T = 2π · √(L / g) içinde kütle yoktur; büyüyen ağırlığı büyüyen eylemsizlik dengeler. Kütle yalnız yay sarkacının periyodunu değiştirir.
• Periyot formülünü büyük açılarda kesin sanmak. Sarkaç ancak sin θ ≈ θ yaklaşımının geçerli olduğu küçük açılarda BHH yapar. Enerji bağıntısı ise her açıda geçerlidir; ikisinin geçerlilik alanını karıştırmamak gerekir.
• Asansörde hızın yönüne bakmak. Etkin g'yi ivmenin yönü belirler: aşağı inerken yavaşlayan asansörün ivmesi yukarıdır ve g_etkin = g + a olur. Sabit hızla giden asansörde periyot değişmez.
• Oranda karekökü unutmak. Boy 4 katına çıkınca periyot 4 değil 2 katına çıkar; periyodu 3/2 katına çıkarmak için boy 9/4 katına çıkarılır.
• En alt noktada ipin yalnız ağırlığı taşıdığını sanmak. Cisim çember çizdiği için F_ip = m · g + m · v² / L; uç noktada ise F_ip = m · g · cos θ'dır ve bu en küçük değerdir.