Basit harmonik hareketin temelleri

Spor salonunda kondisyon bisikleti çeviren Sude'yi ağabeyi Selim tam arkasından telefonla kayda alıyor. Bu açıdan pedal bir çember çizmiyor; Sude'nin ayakkabısı aynı dikey çizgi üzerinde inip çıkıyor gibi görünüyor. Selim kayıttan emin: «Pedal hep aynı süratle dönüyor. Demek ki ayakkabı da bu çizgide sabit hızla gidiyor, yolun her santimini eşit sürede geçiyor.» Sude videoyu kare kare ilerletince başka bir tablo çıkıyor: ayakkabı en üstte ve en altta neredeyse duruyor, çizginin ortasından ise bir anda geçiyor. Pedal düzgün dönerken bu düz çizgideki hareket neden hızlanıp yavaşlıyor? Bu derste o gidip gelmenin konumunu, hızını ve ivmesini dönen pedalın çemberinden okuyacak, aynı hareketi bir yayın ucundaki blokta kuvvetin nasıl ürettiğini göreceğiz.

• Geri çağırıcı kuvveti uzanımla orantılı ve zıt yönlü olan hareketi tanır, genliğini, periyodunu ve frekansını belirlersin.
• Dönen bir noktanın yatay çapa düşen izinden x = A · cos(ωt) bağıntısını kurar, verilen bir anda konumu bulursun.
• Uç noktalarda ve denge konumunda hızı ve ivmeyi karşılaştırır, en büyük hızı ω · A, ivmeyi a = −ω² · x ile hesaplarsın.
• Salınımın herhangi bir noktasında toplam enerjiyi kinetik ve potansiyel paylarına ayırırsın.

Denge konumu ve geri çağırıcı kuvvet

Sürtünmesiz yatay bir masada bir ucu duvara bağlı yayın öbür ucuna bir blok takalım. Yay ne gerilmiş ne sıkışmışken blok kımıldamaz; bu noktaya denge konumu denir ve konumu buradan ölçeriz: denge konumu x = 0, sağı pozitif yön. Bloğu sağa çekersek yay onu sola, sola itersek sağa doğru zorlar. Kuvvet her durumda bloğu dengeye geri götürmeye çalıştığı için ona geri çağırıcı kuvvet denir.

«İş-enerji teoremi» dersinde yayın kuvvetinin büyüklüğünü k_y · x olarak yazmıştık. Yönü de hesaba katınca:

• F = −k_y · x

Eksi işaret, kuvvetin her an uzanımın tersine baktığını söyler. Yayın sabiti 200 N/m ise blok x = +0,05 m'deyken F = −10 N (sola), x = −0,05 m'deyken F = +10 N (sağa) olur. Geri çağırıcı kuvveti uzanımla doğru orantılı ve zıt yönlü olan bu gidip gelmeye basit harmonik hareket (BHH) adı verilir.

Her tekrarlanan hareket bu tanıma girmez. İki duvar arasında sabit süratle sekip duran bir top da düzenli gidip gelir, ama yolun ortasında üstüne kuvvet etmez; kuvvet yalnız çarpışma anında ortaya çıkar. Ölçüt, kuvvetin konuma bağlanış biçimidir: x iki katına çıkınca kuvvet de iki katına çıkıyor ve dengeye bakıyorsa hareket basit harmoniktir.

Genlik, periyot, frekans

Bloğu dengeden 6 cm sağa çekip bırakalım. Sürtünme olmadığından blok dengenin solunda da 6 cm'ye kadar gider, durur ve geri döner. Denge konumundan en büyük uzaklık genliktir; simgesi A, bu örnekteki değeri 6 cm. İki uç arasındaki 12 cm genlik değil, genliğin iki katıdır.

Bloğun bir uçtan çıkıp öbür uca varması ve aynı uca geri gelmesi bir tam salınımdır; bu sürede 4A = 24 cm yol alınır. Bir tam salınımın süresi periyot (T), birim zamandaki salınım sayısı frekanstır: f = 1 / T, birimi Hz. Hareket simetrik olduğu için uçtan dengeye T/4, uçtan uca T/2 sürer. Yalnız dikkat: T/8 sürede yolun yarısı alınmaz; nedenini şimdi göreceğiz.

Pedal neden ortada hızlı?

Sude'nin pedalına dönelim. «Düzgün çembersel hareket» dersinde r yarıçaplı çemberde ω açısal hızıyla dönen bir nokta için v = ω · r ve merkeze doğru a = ω² · r bulmuştuk. Şimdi çemberi A yarıçaplı seçelim ve noktayı t = 0 anında yatay çapın sağ ucuna koyalım. t anında nokta ωt açısını süpürmüştür. Birim çemberde bir açının kosinüsü noktanın apsisiydi; A yarıçaplı çemberde de noktanın yatay çap üzerine düşen izi:

• x = A · cos(ωt)

olur. Nokta bir turu T = 2π / ω sürede attığından bu iz de aynı T ile gidip gelir. Salınım bağlamında ω'ya açısal frekans denir; salınan cisim dönmese de ω, eşlik eden çemberin her saniye süpürdüğü radyandır. Hareket uçtan değil dengeden başlıyorsa kosinüs yerine sinüs yazılır: x = A · sin(ωt).

Bir periyot boyunca birkaç an:

Tablo Selim'in yanılgısını açıkça gösteriyor. Uçtan dengeye inen yolun ilk yarısı (A'dan A/2'ye) T/6 sürer, kalan yarısı yalnız T/12. Aynı yolları eşit sürelerde geçen bir hareket olsaydı ikisi de T/8 sürerdi. Hareket uçta ağır, ortada çabuktur.

Hız: çemberdeki hızın yatay payı

Çemberdeki noktanın hızı ω · A büyüklüğünde ve çembere teğettir. Salınan cismin hızı, bu teğet hızın yatay bileşenidir. Nokta yatay çapın uçlarındayken teğet düşeydir, yatay payı sıfırdır: salınan cisim uçlarda anlık olarak durur. Nokta dikey çapın uçlarından geçerken teğet tamamen yataydır: cisim denge konumundan en büyük hızla geçer.

• v_en büyük = ω · A

Aradaki bir x konumunda hız, çemberdeki dik üçgenden okunur: v = ω · √(A² − x²). Genlik 0,1 m ve açısal frekans 4 rad/s seçilirse en büyük hız 0,4 m/s'dir; x = 0,06 m'de karekökün içi 0,0064 olur ve hız 4 · 0,08 = 0,32 m/s çıkar.

İvme: merkezcil ivmenin izdüşümü

Çemberdeki noktanın ivmesi ω² · A büyüklüğünde ve merkeze doğrudur. Yatay bileşeni −ω² · A · cos(ωt), yani:

• a = −ω² · x

İvme konumla doğru orantılı, işareti konumun tersidir: cisim nerede olursa olsun dengeye doğru ivmelenir. Uçlarda büyüklüğü en fazladır, ω² · A; denge konumunda sıfırdır. Aynı 0,1 m genlikli, 4 rad/s'lik salınımda en büyük ivme 1,6 m/s², x = 0,05 m'de ise −0,8 m/s²'dir.

Şimdi yaydaki bloğa dönelim. Newton'un ikinci yasasıyla F = −k_y · x kuvveti, kütlesi m olan bloğa −(k_y / m) · x ivmesini verir: ivme konumla orantılı ve dengeye dönük. Bu, çemberin izinde bulduğumuz ilişkinin ta kendisidir. Bu yüzden yaydaki blok, uygun bir açısal hızla dönen hayalî bir noktanın izini adım adım tekrarlar ve az önceki bütün bağıntılar ona da uyar.

Uçlarda ve dengede ne olur?

Hız ile ivme aynı yerde en büyük olmaz. Cisim dengeden uzaklaşırken hız ile ivme zıt yönlüdür ve cisim yavaşlar; dengeye yaklaşırken aynı yöndedir ve cisim hızlanır. Uçta durmuş olan cismin ivmesi sıfır değildir: hareketi tersine çeviren en büyük kuvvet tam orada etki eder.

Periyot genliğe bağlı değil

Aynı yay ve blokla genliği iki katına çıkaralım. Yolun her karşılık gelen noktasında uzanım iki kat, dolayısıyla kuvvet ve ivme de iki kattır. Gidilecek yol iki katına uzarken onu geçiren ivme de iki katına çıktığı için tur aynı sürede tamamlanır. Çember diliyle: aynı ω ile daha büyük bir çember döner; yarıçap büyür ama bir turun süresi 2π / ω olarak kalır. Genlik, en büyük hızı (ω · A) ve en büyük ivmeyi (ω² · A) büyütür; periyoda dokunmaz. Bu, yay F = −k_y · x yasasına uyduğu sürece geçerlidir.

Enerji iki depo arasında el değiştirir

Sürtünme yoksa salınımın mekanik enerjisi korunur. Uçta hız sıfır olduğundan bütün enerji yaydadır: E = ½ · k_y · A². Herhangi bir x konumunda yayda ½ · k_y · x² kalır, gerisi kinetik enerjidir:

• Ek = ½ · k_y · (A² − x²)

k_y = 200 N/m ve A = 0,1 m alınırsa salınımın toplam enerjisi 1 J'dür. x = 0,05 m'de, yani genliğin yarısında yayda 0,25 J, blokta 0,75 J vardır: yolun yarısına gelindiğinde enerjinin yalnız dörtte biri yaya geçmiştir, çünkü potansiyel enerji uzanımın karesiyle büyür. Kinetik ve potansiyel paylar x = A / √2 noktasında eşitlenir. Denge konumunda enerjinin tamamı kinetiktir; blok 0,5 kg ise ½ · 0,5 · v² = 1 eşitliğinden 2 m/s ile geçer.

Sırada ne var?

Bu derste ω'yı hep hazır verdik ya da bir hızdan, bir ivmeden geri bulduk. Yaydaki bir blok için o sayıyı asıl belirleyen nedir: bloğun kütlesi mi, yayın sertliği mi, ikisi birden mi? «Yay sarkacı» dersinde periyodu bu iki büyüklükten kuracak; tavana asılı bir yayda ağırlığın denge noktasını kaydırıp kaydırmadığına, iki yay birlikte bağlandığında ya da tek bir yay kısaltıldığında salınım temposunun nasıl değiştiğine bakacağız.

Örnek 1 — Belli sürede alınan yol

Soru: Bir yayın ucundaki blok, uçları arasında 16 cm bulunan bir salınım yapıyor ve 10 tam salınımı 8 s'de tamamlıyor. Blok 2 s içinde toplam kaç santimetre yol alır?

• A) yol = 40 cm
• B) yol = 80 cm
• C) yol = 160 cm
• D) yol = 32 cm
• E) yol = 20 cm

Çözüm: Genlik uçlar arası uzaklığın yarısıdır: A = 8 cm. Periyot 8 / 10 = 0,8 s, dolayısıyla 2 s, 2,5 periyot eder. Her periyotta 4A = 32 cm yol alındığından 2,5 · 32 = 80 cm. 40 her salınımda uçlar arasını bir kez saymaktan, 160 uçlar arası uzaklığı genlik sanmaktan, 20 salınım başına yalnız A yazmaktan, 32 ise bir periyotluk yolda kalmaktan gelir. Cevap: B.

Örnek 2 — Bırakıldıktan sonra konum

Soru: Genliği 10 cm, periyodu 1,2 s olan bir salınımda cisim t = 0 anında sağ uçtan serbest bırakılıyor. Denge konumunun sağı pozitif alınırsa t = 0,2 s anında cismin konumu nedir?

• A) x = 5√3 cm
• B) x = −5 cm
• C) x = 5 cm
• D) x = 10/3 cm
• E) x = 0

Çözüm: ωt = 2π · 0,2 / 1,2 = π/3 ve x = 10 · cos(π/3) = 5 cm. Hareket uçtan başladığı için kosinüs yazılır; sinüs kullanan 5√3 bulur. Uçtan uca 0,6 s süreyi periyot sanan ωt'yi 2π/3 alır ve −5'e varır. 10/3, cismin sabit hızla gittiğini varsayıp 0,3 s'de 10 cm'lik yolun 0,2 s'lik payını düşmekten çıkar. Cevap: C.

Örnek 3 — Ara noktada hız ve ivme

Soru: Genliği 0,2 m, açısal frekansı 5 rad/s olan basit harmonik harekette cisim denge konumundan 0,12 m uzaktayken hızının ve ivmesinin büyüklükleri sırasıyla nedir?

• A) hız 1 m/s; ivme 5 m/s²
• B) hız 0,6 m/s; ivme 3 m/s²
• C) hız 0,8 m/s; ivme 5 m/s²
• D) hız 0,8 m/s; ivme 3 m/s²
• E) hız 0,8 m/s; ivme 0,6 m/s²

Çözüm: v = ω · √(A² − x²) = 5 · √(0,04 − 0,0144) = 5 · 0,16 = 0,8 m/s. İvmenin büyüklüğü ω² · x = 25 · 0,12 = 3 m/s². 1 ve 5 en büyük değerlerdir, ara noktaya ait değildir. 0,6 hızı ω · x ile hesaplamaktan, ivmedeki 0,6 ise ω'nun karesini almamaktan gelir. Cevap: D.

Örnek 4 — Enerjiden sürat

Soru: 400 N/m'lik bir yaya bağlı 1 kg'lık blok, sürtünmesiz yatay düzlemde 10 cm genlikle salınıyor. Blok denge konumundan 6 cm uzaktan hangi süratle geçer?

• A) v = 1,2
• B) v = 2
• C) v = 0,8
• D) v ≈ 1,13
• E) v = 1,6

Çözüm: Toplam enerji ½ · 400 · 0,1² = 2 J. x = 0,06 m'de yayda ½ · 400 · 0,0036 = 0,72 J kalır, kinetik enerji 1,28 J olur. ½ · 1 · v² = 1,28 ve v = 1,6 m/s. 1,2 yaydaki enerjiyi kinetik sanmaktan, 2 denge konumundaki sürattan, 0,8 süratin dengeden uzaklıkla doğrusal azaldığını varsaymaktan, 1,13 ise kinetik enerjideki ½'yi unutmaktan çıkar. Cevap: E.

• Uçlar arası uzaklığı genlik sanmak. Genlik denge konumundan uca olan uzaklıktır; bir tam salınımda alınan yol 4A'dır, 2A değil.
• Salınan cismin sabit hızla gittiğini varsaymak. Kancadaki yanılgı budur. Yolun yarısı sürenin yarısında alınmaz; uçtan A/2'ye inmek T/6, A/2'den dengeye varmak T/12 sürer.
• Uçta duran cismin ivmesini sıfır sanmak. Hız uçta sıfırdır ama ivme ve geri çağırıcı kuvvet orada en büyüktür; denge konumunda ise tersi olur.
• F = −k_y · x ve a = −ω² · x içindeki eksiyi atlamak. Eksi işaret kuvvetin ve ivmenin her an dengeye baktığını söyler; dengenin solundaki cismin ivmesi sağa doğrudur.
• Genlik büyüyünce periyodun uzayacağını sanmak. Genlik en büyük hızı ve ivmeyi büyütür, toplam enerjiyi karesiyle artırır; periyodu değiştirmez.
• Yolun yarısında enerjinin yarı yarıya paylaşıldığını sanmak. x = A/2'de potansiyel enerji toplamın dörtte biridir; eşit paylaşım x = A / √2'dedir.