Kütle çekim yasası

Fen kulübünün panosuna afiş hazırlayan Meriç, uzay istasyonunda havada süzülen astronotların fotoğrafının altına kararlı bir cümle yazıyor: «Orada yerçekimi yok, astronotlar bu yüzden süzülüyor.» Afişi birlikte asan Nil, istasyonun yerden yaklaşık 400 km yükseklikte dolaştığını okumuş ve bir hesap öneriyor. Dünya'nın yarıçapı 6400 km alınırsa istasyon merkeze yalnızca yüzde altı kadar daha uzaktır. Bu kadarcık uzaklaşma çekimi ne ölçüde zayıflatır? Hesabın sonucu Meriç'i şaşırtıyor: istasyondaki çekim ivmesi yüzeydekinin yaklaşık yüzde 89'u. Çekim oradaysa astronot neden yere değil havaya bağlıymış gibi duruyor? Bu derste iki kütlenin birbirini ne kadar çektiğini, bu çekimin uzaklıkla nasıl söndüğünü ve bir cismin gezegenden tamamen kurtulması için ne kadar enerji gerektiğini hesaplıyoruz.

• Kütle çekim kuvvetini hesaplar, kütleler ve uzaklık değişince yeni kuvveti oranla bulursun.
• Gezegen yüzeyindeki ve yüzeyden h yükseklikteki çekim ivmesini kütle ile yarıçaptan karşılaştırırsın.
• İki kütle arasında çekim alanının sıfır olduğu noktanın yerini belirlersin.
• Kütle çekim potansiyel enerjisiyle bir cismi uzaklaştırmanın enerjisini ve kaçış hızını oranlarla hesaplarsın.

Yere düşen top ile Ay

Elden bırakılan bir top Dünya'nın merkezine doğru hızlanır; «Serbest düşme» dersinde bu hızlanmayı g ile göstermiştik. Isaac Newton 1687'de yayımladığı Principia (Doğa Felsefesinin Matematiksel İlkeleri) adlı eserinde topu yere çeken etkinin Ay'ı Dünya'nın çevresinde tutan etkiyle aynı olduğunu ve evrendeki her kütlenin öteki her kütleyi çektiğini ortaya koydu. Masadaki iki kitap da birbirini çeker; bunu fark etmememizin nedeni çekimin yokluğu değil, ölçülemeyecek kadar küçük olmasıdır.

Evrensel çekim yasası

Kütleleri m₁ ve m₂ olan, merkezleri arasında r uzaklığı bulunan iki cisim birbirini şu büyüklükte bir kuvvetle çeker:

F = G · m₁ · m₂ / r²

Kütleler kilogram, uzaklık metre cinsinden yazılınca kuvvet newton çıkar. G, evrensel çekim sabitidir (gravitational constant) ve değeri yaklaşık 6,67 · 10⁻¹¹ N·m²/kg²'dir. Birimin neden böyle olduğu, birim analizinden görülür: N·m²/kg² ile kg · kg çarpılıp m²'ye bölününce geriye yalnız N kalır. Kuvvet iki merkezi birleştiren doğru boyunca etki eder. Elektriksel kuvvetten farklı olarak kütle çekimi hiçbir zaman itmez; her zaman çeker.

G neden bu kadar küçük?

Kütlesi 50 kg olan iki öğrenci, merkezleri arasında 1 m kalacak biçimde yan yana dursun. Aralarındaki çekim 6,67 · 10⁻¹¹ · 50 · 50 / 1² ≈ 1,7 · 10⁻⁷ N'dur. Her birinin ağırlığı ise 500 N'dur; Dünya'nın çekimi öğrencilerin birbirini çekmesinden yaklaşık üç milyar kat büyüktür. G'nin küçüklüğü, kütle çekiminin yalnız gezegen ve yıldız gibi devasa kütleler söz konusu olduğunda gündelik hayatta hissedilir hâle gelmesinin nedenidir. Laboratuvarda iki kütle arasındaki çekimi ilk ölçen deney, Henry Cavendish'in 1798'de yayımladığı burulma terazisi deneyidir; G'nin değeri bu tür hassas ölçümlerden hesaplanır.

Oranla çözmek

Sınav sorularının çoğu kuvvetin kendisini değil, bir değişiklikten sonraki değerini sorar. Bu durumda G'yi hiç yazmadan yeni ve eski kuvvetin oranına bakmak yeter: kuvvet her kütleyle doğru orantılı, uzaklığın karesiyle ters orantılıdır. Uzaklık iki katına çıktığında payda dört katına çıkar ve kuvvet dörtte birine iner. Uzaklığı yarıya indirmek ise kuvveti dört katına çıkarır.

Son satır, tek tek etkilerin çarpılarak birleştiğini gösterir: kütlelerden gelen dört kat, uzaklıktan gelen dörtte birle sadeleşir.

Çekim iki yönlüdür

Dünya, kütlesi 1 kg olan bir elmayı yaklaşık 10 N ile çekiyorsa elma da Dünya'yı 10 N ile çeker. TYT'de üçüncü yasayla tanıdığımız etki-tepki çifti burada eksiksiz görünür: kuvvetler eşit büyüklükte, zıt yönde, farklı cisimlere etki eder ve ikisi de kütle çekimidir. Eşit olmayan, kazanılan ivmelerdir. Dünya'nın kütlesi 6 · 10²⁴ kg alınırsa elmanın çekimi ona 10 / (6 · 10²⁴) ≈ 1,7 · 10⁻²⁴ m/s² kadar ivme verir; bu sayı hiçbir aletle fark edilemez. Bu yüzden «elma yere düşer» deriz, «Dünya elmaya doğru yükselir» demeyiz, ama iki ifadenin arkasındaki kuvvet aynıdır.

Küre için uzaklık merkezden ölçülür

Formüldeki r, yüzeyler arası boşluk değil merkezler arasındaki uzaklıktır. Kütlesi düzgün dağılmış bir küre, dışındaki bir cismi bütün kütlesi merkezinde toplanmış gibi çeker. Bu yüzden gezegen yüzeyindeki bir cisim için r = R, yüzeyden h yükseklikteki bir cisim için r = R + h yazılır. Yüksekliği doğrudan uzaklık yerine koymak, oran sorularında sonucu baştan bozan bir hatadır.

Yüzeydeki çekim ivmesi

M kütleli ve R yarıçaplı bir gezegenin yüzeyinde duran m kütleli cismin ağırlığı mg'dir ve bu ağırlık, gezegenin cisme uyguladığı kütle çekim kuvvetinin ta kendisidir:

m · g = G · M · m / R² ⇒ g = G · M / R²

Ağırlık dediğimiz kuvvet, kütle çekiminin yüzeydeki adıdır. Eşitlikte cismin kütlesi sadeleşti. Hava direnci yoksa ağır ve hafif cisimlerin aynı ivmeyle düşmesinin nedeni budur. Dünya için M = 6 · 10²⁴ kg ve R = 6,4 · 10⁶ m alınırsa g ≈ 9,8 m/s² bulunur; problemlerde bunu 10'a yuvarlıyoruz. Aynı eşitlik G · M = g · R² biçiminde de yazılabilir ve G'nin değeri verilmeyen sorularda işi çok kısaltır.

Başka bir gezegeni Dünya ile karşılaştırırken yine oran kurulur: g, kütleyle doğru ve yarıçapın karesiyle ters orantılıdır. Kütlesi iki, yarıçapı iki katı olan bir gezegende g yarıya iner. Ortalama yoğunluk verilmişse kütle yoğunluk ile hacmin çarpımıdır ve hacim yarıçapın küpüyle büyür; payda yalnız R² olduğu için g, yoğunluk ile yarıçapın çarpımıyla orantılı kalır.

Yükseldikçe çekim zayıflar

Yüzeyden h yükseklikte merkeze uzaklık R + h olur ve oradaki çekim ivmesi şöyle yazılır:

g_h = g · R² / (R + h)²

Yükseklik yarıçapa eşitse merkeze uzaklık iki katına çıkar ve g dörtte birine düşer. Kancadaki istasyon için oran (6400 / 6800)² ≈ 0,89'dur; çekim ivmesi orada yaklaşık 8,9 m/s²'dir. Astronotun ağırlığı yüzeydekinden biraz azdır ama sıfır değildir, kütlesi ise hiç değişmez. Meriç'in afişindeki gerekçe bu yüzden tutmaz; süzülmenin nedeni çekimin gücünde değil, istasyonun ve içindekilerin o yükseklikte nasıl hareket ettiğinde aranmalıdır.

Çekimin sıfırlandığı nokta

Kütleleri m ve 4m olan iki cisim arasında d uzaklığı olsun. Aralarına konan bir deneme cismini ikisi zıt yönlere çeker. m'den x uzaklıkta bu iki çekim eşitlenir:

G · m / x² = G · 4m / (d − x)² ⇒ (d − x) / x = 2 ⇒ x = d / 3

Karekök almak hesabı birinci dereceye indirir: uzaklıkların oranı kütlelerin oranının kareköküne eşittir. Nokta her zaman küçük kütleye daha yakındır, çünkü küçük kütle aynı çekimi ancak daha kısa bir uzaklıktan sağlayabilir. İki cismi birleştiren doğrunun dışında, örneğin küçük kütlenin öte yanında, iki çekim aynı yöne baktığı için birbirini hiç dengeleyemez.

Kütle çekim potansiyel enerjisi

Yüzeye yakın hareketlerde kullandığımız mgh ifadesi («Kinetik ve potansiyel enerji») g'nin sabit sayılabildiği, yüksekliğin yarıçap yanında çok küçük kaldığı durumlar içindir. Uzaklık büyüyünce g de değişir ve iki kütlenin potansiyel enerjisi şöyle yazılır:

U = − G · m₁ · m₂ / r

Sıfır noktası iki cismin sonsuz uzakta olduğu durumdur. Cisimler yaklaştıkça enerji sıfırdan aşağı iner, bu yüzden işaret eksidir; cisimleri ayırmak için dışarıdan iş yapmak gerekir ve U uzaklaştıkça sıfıra doğru büyür. M kütleli gezegenin merkezinden r₁ uzaklıktaki m kütleli cismi r₂'ye taşımak için gereken en az enerji ΔU = G · M · m · (1/r₁ − 1/r₂)'dir. Cismi yüzeyden merkezden 2R uzaklığa çıkarmak G · M · m / (2R), yani m · g · R / 2 kadar enerji ister. mgh ile hesaplasaydık m · g · R bulurduk: yol boyunca g'nin azaldığını görmeyen formül sonucu iki katına çıkarırdı.

Kaçış hızı

Hava direnci olmayan bir gezegenin yüzeyinden düşey yukarı fırlatılan bir cisim yükseldikçe kinetik enerjisini potansiyel enerjiye çevirir. Yeterince hızlı atılırsa hiçbir uzaklıkta durmaz. Bunu sağlayan en küçük ilk hıza kaçış hızı (escape velocity) denir; cismin sonsuza tam durarak ulaştığı durumda toplam enerji sıfırdır:

½ · m · v² − G · M · m / R = 0 ⇒ v = √(2 · G · M / R) = √(2 · g · R)

Fırlatılan cismin kütlesi yine sadeleşti: bir bilye de bir uzay aracı da aynı gezegenden aynı hızla kaçar, yalnız araç bunun için çok daha fazla enerji harcar. Yerdeki ivme 10 m/s², yarıçap 6,4 · 10⁶ m alındığında Dünya'dan kaçış hızı yaklaşık 11,3 km/s çıkar. Gezegenleri karşılaştırırken kaçış hızının kütle bölü yarıçapın kareköküyle orantılı olduğunu kullanırız: kütlesi dört kat, yarıçapı aynı olan bir gezegende kaçış hızı iki katıdır. İlk hız kaçış hızından küçükse cisim belli bir uzaklığa kadar çıkar ve geri döner; o uzaklık da yine enerji eşitliğinden bulunur, mgh'den değil.

Soru çözerken

Önce uzaklığı merkezden ölçtüğünden emin ol. Kuvvet ya da ivme oranı istenmişse G'yi ve sabitleri at, yalnız değişen büyüklüklerin oranını kur ve uzaklığın karesini almayı unutma. Sıfır noktasında karekök alarak birinci dereceye in. Enerji ya da kaçış sorusunda mgh'yi yalnız yükseklik yarıçap yanında çok küçükse kullan; aksi hâlde −G · M · m / r ile çalış.

Kancadaki soru yarım kaldı: istasyondaki çekim yüzeydekinin onda dokuzuna yakınsa astronotu tabana bastırmayan nedir? Cevap, kütle çekiminin istasyonu çembersel bir yolda tutan merkezcil kuvvet görevini üstlenmesinde yatıyor. Bu kuvvet merkezcil ivmeyle eşitlenince bir uydunun hızı ve periyodu yörünge yarıçapına bağlanır. Merkezden uzaktaki uydunun neden daha yavaş dolandığı, gezegen yörüngelerinin elips biçimi, eşit sürelerde taranan eşit alanlar ve periyodun karesi ile uzaklığın küpü arasındaki bağ «Kepler yasaları ve uydular» dersinde kuruluyor.

Örnek 1 — Kütle ve uzaklık birlikte değişince

Soru: İki küre arasındaki çekim kuvveti 45 N'dur. Kürelerden birinin kütlesi iki katına çıkarılır ve merkezler arası uzaklık üç katına çıkarılırsa yeni çekim kuvveti kaç newton olur?

• A) F₂ = 30
• B) F₂ = 10
• C) F₂ = 22,5
• D) F₂ = 90
• E) F₂ = 5

Çözüm: Kütle kuvveti 2 ile, üç kat uzaklık 1/9 ile çarpar; 45 · 2 / 9 = 10 N. 30, uzaklığın karesini almayıp 2/3 ile çarpmaktan; 90 yalnız kütle değişikliğini, 5 yalnız uzaklık değişikliğini hesaba katmaktan gelir. Cevap: B.

Örnek 2 — Varsayımsal gezegende ağırlık

Soru: Kütlesi Dünya'nınkinin 6 katı, yarıçapı 2 katı olan varsayımsal bir gezegene 40 kg'lık bir keşif robotu indiriliyor. Dünya'da ivmeyi 10 m/s² kabul ederek robotun bu gezegendeki ağırlığı kaç newtondur?

• A) ağırlık 400 N
• B) ağırlık 1200 N
• C) ağırlık 2400 N
• D) ağırlık yaklaşık 267 N
• E) ağırlık 600 N

Çözüm: g' = 10 · 6 / 2² = 15 m/s², ağırlık 40 · 15 = 600 N. 1200, yarıçapın karesini almamaktan (g' = 30); 2400 yarıçapı hiç hesaba katmamaktan; 267 ise kütle oranı ile yarıçap oranının yerleri karıştırıldığında bulunur. 400 N robotun Dünya'daki ağırlığıdır, kütle değişmez ama ağırlık değişir. Cevap: E.

Örnek 3 — Alanın sıfır olduğu nokta

Soru: Kütleleri 2 kg ve 18 kg olan iki küçük küre arasındaki uzaklık 80 cm'dir. Bu iki kürenin bir deneme kütlesine uyguladığı çekimlerin birbirini dengelediği nokta nerededir?

• A) 2 kg'lık küreden 20 cm uzakta, ikisinin arasında
• B) 2 kg'lık küreden 8 cm uzakta, ikisinin arasında
• C) tam orta noktada
• D) 2 kg'lık küreden 60 cm uzakta, ikisinin arasında
• E) 18 kg'lık kürenin öte yanında

Çözüm: Uzaklıklar oranı √(2 / 18) = 1/3'tür: x / (80 − x) = 1/3, x = 20 cm. Karekök alınmazsa x / (80 − x) = 1/9 kurulur ve 8 cm çıkar. 60 cm büyük küreye yakın tarafı verir; dışarıdaki bir noktada ise iki çekim aynı yöne bakar. Cevap: A.

Örnek 4 — Kaçış hızını oranlamak

Soru: Varsayımsal bir gezegenin kütlesi Dünya'nınkinin 8 katı, yarıçapı 2 katıdır. Dünya'dan kaçış hızı v olarak alınırsa bu gezegenden kaçış hızı nedir?

• A) 4v
• B) √2 · v
• C) 2v
• D) v / 2
• E) 8v

Çözüm: Kaçış hızı √(M / R) ile orantılıdır: √(8 / 2) = 2. Karekök almayı unutan 4v'yi, R yerine R² ile bölen √2 · v'yi bulur. Cevap: C.

• Uzaklığı yüzeyden ölçmek. Formüldeki r merkezler arasıdır; yüzeyden h yükseklikteki cisim için R + h yazılır, yalnız h değil.
• Uzaklığın karesini almayı unutmak. Uzaklık iki katına çıkınca kuvvet ve çekim ivmesi yarıya değil dörtte birine iner; çeldiricilerin çoğu bu hatadan kurulur.
• Küçük cismin büyüğü daha az çektiğini sanmak. Elma Dünya'yı, Dünya'nın elmayı çektiği kuvvetle çeker; farklı olan kuvvet değil, ivmedir.
• Uzayda çekim olmadığını düşünmek. 400 km yükseklikte g hâlâ yüzeydekinin yaklaşık yüzde 89'udur; astronotun süzülmesini çekimin kaybolması açıklayamaz.
• Sıfır alan noktasında karekökü atlamak ya da potansiyeli de sıfır saymak. Uzaklıklar oranı kütle oranının kareköküdür; o noktada alan sıfırdır ama iki negatif potansiyel toplanır ve sıfır olmaz.
• Uzak mesafede mgh kullanmak. Yükseklik yarıçapla karşılaştırılabilir hâle gelince mgh enerjiyi fazla verir; −G · M · m / r ile çalışılır.