Kepler yasaları ve uydular

Bilim şenliği için Güneş sistemi maketi hazırlayan Polat, tavana asılı bir motora dört tel kol bağlıyor; her kolun ucunda boyalı bir köpük top, en uzun kolda en dıştaki gezegen var. Motor çalışınca kolların hepsi turunu aynı anda bitiriyor ve Polat sonuçtan memnun: «Dıştaki gezegen en uzun çemberi aynı sürede dolaşıyor, demek ki en hızlısı o.» Maketi inceleyen Öykü başını sallıyor: «Maketin düzgün çalışıyor, ama gökyüzü böyle işlemiyor.» Gerçek bir gezegen sisteminde dıştaki gezegen hem daha uzun bir yol izler hem de bu yolda daha yavaş gider; turu bu yüzden çok daha uzun sürer. Üstelik yörüngeler tam çember de değildir. Bu derste aynı merkez çevresinde dolanan cisimlerin hızını, periyodunu ve enerjisini neyin belirlediğini kuracağız.

• Kepler'in üç yasasını yörüngedeki bir cismin uzaklığı, hızı ve periyodu üzerine yorumlarsın.
• Çekim kuvvetini merkezcil kuvvete eşitleyerek yörünge hızını ve periyodunu hesaplarsın.
• Aynı merkez çevresindeki iki uydunun hız, periyot ve enerji oranlarını yarıçap oranından bulursun.
• Uydudaki ağırlıksızlığı serbest düşmeyle açıklarsın.

Maket neden yanıltıyor?

Polat'ın maketinde bütün kollar tek bir mile bağlı, bu yüzden hepsi aynı açısal hızla döner. «Düzgün çembersel hareket» dersinde aynı diskteki noktalar için gördüğümüz durum budur: ω ortaksa çizgisel hız yarıçapla orantılı büyür. Gökteki cisimleri birbirine bağlayan bir mil yoktur. Her biri merkezdeki büyük kütlenin çekimiyle, kendi başına dolanır. Aynı hızla daha büyük bir çemberde kalmak için gereken ivme v² / r olduğundan yarıçapla ters orantılı azalır; çekimin sağladığı ivme ise uzaklığın karesiyle ters orantılı, yani bundan daha hızlı düşer. Uzaktaki cisim, eldeki zayıf çekime ancak daha yavaş giderek uyabilir. Bunu sayıya dökmeden önce yörüngenin biçimine bakalım.

Birinci yasa: yörünge bir elipstir

Kepler, gezegen gözlemlerinden üç düzenlilik çıkardı ve bu düzenlilikler bugün onun adını taşır. Birincisi yörüngenin biçimiyle ilgilidir: her gezegen Güneş'in çevresinde bir elips çizer ve Güneş bu elipsin iki odağından birinde durur. Odak, elipsin merkezinden uzun çap boyunca kaymış bir noktadır; gezegenin Güneş'e uzaklığı bu yüzden tur boyunca değişir. Güneş'e en yakın olduğu noktaya günberi, en uzak olduğu noktaya günöte denir. Bir gezegenin çevresindeki uydu için de aynı adlar «yakın nokta» ve «uzak nokta» olarak kullanılır.

Elipsin en uzun çapının yarısına yarı büyük eksen denir ve a ile gösterilir. Odak elipsin içinde bu çap üzerinde durduğu için yakın nokta uzaklığı ile uzak nokta uzaklığının toplamı büyük eksenin tamamına eşittir:

• a = (r_yakın + r_uzak) / 2

Çember, iki odağı merkezde çakışmış bir elipstir; o zaman uzaklık hiç değişmez ve a yarıçapın kendisi olur. Sınav sorularının çoğu bu özel durumla çalışır.

İkinci yasa: eşit sürelerde eşit alanlar

Güneş'ten gezegene çizilen doğru parçası, eşit zaman aralıklarında eşit alanlar tarar. Yakın noktada bu parça kısadır; aynı alanı kısa bir kenarla taramak için gezegenin yay boyunca daha uzun yol alması, yani hızlanması gerekir. Uzak noktada parça uzundur ve gezegen yavaşlar. Bu yasa bir gözlem olarak bulunmuştu, ama «Açısal momentum» dersinden nedenini biliyoruz. Güneş'in çekimi her an dönme merkezine yöneldiği için o noktaya göre hiç tork üretmez; bu yüzden gezegenin açısal momentumu tur boyunca aynı kalır. Yakın ve uzak noktalarda hız, Güneş'e uzanan doğruya diktir; bu iki noktada L = m · v · r yazılabilir ve kütle sadeleşir:

• v_yakın · r_yakın = v_uzak · r_uzak

Yakın noktası 2 birim, uzak noktası 6 birim uzakta olan bir yörüngede yakın noktadaki hız 18 km/s ise uzak noktadaki hız 18 · 2 / 6 = 6 km/s olur. Uzaklık üç katına çıkınca hız üçte birine iner. Taranan alanın hızı da L / 2m'ye eşittir; açısal momentum sabit kaldıkça birim zamanda taranan alan değişmez.

Üçüncü yasa: periyodun karesi ve uzaklığın küpü

Aynı yıldızın çevresindeki bütün gezegenler için periyodun karesinin yarı büyük eksenin küpüne oranı aynı sayıdır:

• T² / a³ = sabit

Bu yasa uzak ile yavaşı birbirine bağlar. Bir gezegen ötekinden 4 kat uzaktaysa a³ oranı 64 olur; T² de 64 kat büyür ve periyot 8 katına çıkar. Yol 4 kat uzamış ama tur 8 kat uzun sürmüştür; demek ki ortalama hızı yarıya inmiştir. Kancadaki maketin göstermediği tam olarak budur.

Çekim, merkezcil kuvveti sağlar

Üçüncü yasayı «Kütle çekim yasası» dersindeki kuvvetten türetebiliriz. Kütlesi m olan bir uydu, kütlesi M olan bir gezegenin çevresinde r yarıçaplı çembersel yörüngede dolansın. Uyduya etki eden tek kuvvet çekimdir ve merkeze yöneliktir; merkezcil kuvveti o sağlar. Çekimin büyüklüğünü m · v² / r ile eşitlersek m iki yanda da sadeleşir:

• G · M / r² = v² / r, buradan v = √(G · M / r)

Uydunun bir turu 2π · r yol aldığından T = 2π · r / v yazılır. v'yi yerleştirip iki yanın karesini alınca:

• T² = 4π² · r³ / (G · M)

T² / r³ oranı 4π² / (G · M) çıkar. İçinde yalnız merkezdeki kütle vardır; uydunun kendi kütlesi bu orana hiç girmez. Aynı gezegenin çevresindeki bütün uyduların bu oranı paylaşması, kütlesi farklı bir gezegenin uydularının ise başka bir oranı paylaşması bundandır. Bir oranı karşılaştırırken önce iki cismin aynı merkez çevresinde dönüp dönmediğine bakılır.

Soru gezegenin kütlesini vermeyip yüzeydeki çekim ivmesini ve yarıçapını verebilir. Yüzeydeki bir cisim için G · M / R² = g olduğundan G · M = g · R² yazılır ve G'nin değerine gerek kalmaz. Yörünge yarıçapı ise gezegenin merkezinden ölçülür: yüzeyden h yükseklikte dolanan uydu için r = R + h alınır.

Yüksekteki uydu yavaştır

Bu bağıntılar uzaklığın bütün etkilerini tek tabloda toplar. Yarıçap 4 katına çıkınca:

Hızlı dolanan uydunun alçakta olması gerekir. Periyodu gezegenin kendi dönme süresine eşit seçilmiş ve ekvator üzerinde aynı yönde dolanan bir uydu, yerdeki gözlemciye göre gökte hep aynı noktada görünür; bu tür uydulara yer durağan uydu denir ve onların yörünge yarıçapı da yukarıdaki bağıntıdan, istenen periyottan hesaplanır.

Uyduda neden ağırlık hissedilmez?

Uydunun bulunduğu yerde çekim ivmesi G · M / r² kadardır. Merkezden 2R uzakta, yani yüzeyden R yükseklikte bu değer yüzeydekinin dörtte birine iner ama kaybolmaz. Uydu ile içindeki her şey bu ivmeyle birlikte merkeze doğru düşmektedir; yalnız yana doğru o kadar hızlı gidiyorlardır ki düştükçe gezegenin yüzeyi de altlarından kıvrılarak kaçar. Kabin ile yolcu aynı ivmeyle düştüğü için yolcu tabana bastırmaz; tartı sıfır gösterir. Ağırlıksızlık denen durum, çekimin yokluğu değil serbest düşmedir. Halatı kopmuş bir asansörün içindeki tartı da aynı nedenle sıfır okurdu.

Yörüngedeki enerji

Uydunun kinetik enerjisi, v² = G · M / r kullanılarak Ek = G · M · m / 2r olur. Çekim potansiyel enerjisi, sonsuzdaki değeri sıfır seçildiğinde Ep = −G · M · m / r'dir; eksi işaret uydunun gezegene bağlı olduğunu söyler. Toplam enerji:

• E = Ek + Ep = −G · M · m / 2r

Üç büyüklük arasında sabit bir oran vardır: Ep = −2 · Ek ve E = −Ek. Kinetik enerjisi 6 · 10⁹ J olan bir uydunun potansiyel enerjisi −1,2 · 10¹⁰ J, toplam enerjisi −6 · 10⁹ J'dür.

Uydu daha yüksek bir yörüngeye taşınınca kinetik enerjisi azalır ama toplam enerjisi artar; eksi sayı sıfıra yaklaşır. Bu yüzden uyduyu yükseltmek için motorların enerji vermesi gerekir. «Yavaşladı, öyleyse enerji kaybetti» çıkarımı bu noktada yanlıştır: hızdan kaybedilen her joule için potansiyel enerji iki joule artar.

Çemberin gölgesi

Çembersel yörüngedeki bir uyduyu yörünge düzleminin içinden, yandan izleyen bir gözlemci onu bir uçtan öbür uca gidip gelen bir nokta gibi görür: uçlarda durup geri döner, ortadan geçerken en hızlıdır. Dönen bir topun duvardaki gölgesi de aynı biçimde salınır. Düzgün çembersel hareketin bir çap üzerindeki izdüşümü, periyodu çemberin periyoduyla aynı olan bir salınımdır; «Basit harmonik hareketin temelleri» dersinde bu salınımın konumunu, hızını ve ivmesini o çemberden okumayı öğreneceğiz.

Örnek 1 — Yakın ve uzak noktada hız

Soru: Varsayımsal bir kuyruklu yıldızın yörüngesinde yakın nokta Güneş'ten 3d, uzak nokta 7d uzaktadır. Yakın noktadaki hızı 21 km/s ise uzak noktadaki hızı kaç km/s'dir?

• A) v_uzak = 49
• B) v_uzak = 21
• C) v_uzak ≈ 13,7
• D) v_uzak = 9
• E) v_uzak ≈ 3,9

Çözüm: Açısal momentum korunduğundan v_yakın · r_yakın = v_uzak · r_uzak; 21 · 3 / 7 = 9 km/s. 49 oranı ters kurmaktan, 21 hızın korunduğunu sanmaktan gelir; 13,7 oranın karekökünü, 3,9 karesini almaktan çıkar. Cevap: D.

Örnek 2 — İki uydunun periyodu

Soru: Varsayımsal bir gezegenin iç uydusu r yarıçaplı çembersel yörüngede turunu 2 günde atıyor. Aynı gezegenin 4r yarıçaplı yörüngedeki dış uydusunun periyodu kaç gündür?

• A) T_dış = 8
• B) T_dış = 16
• C) T_dış = 4
• D) T_dış = 32
• E) T_dış = 128

Çözüm: İki uydu aynı merkez çevresinde döndüğü için T² / r³ ortaktır. r³ 64 kat büyür, T 8 kat: 2 · 8 = 16 gün. 8 periyodu yarıçapla doğru orantılı sanmaktan, 4 karekök ilişkisinden, 128 küp ilişkisinden gelir. Cevap: B.

Örnek 3 — Yüzeydeki g'den yörünge hızı

Soru: Varsayımsal bir gezegenin yarıçapı 2 · 10⁶ m, yüzeyindeki çekim ivmesi 8 m/s²'dir. Yüzeyden 6 · 10⁶ m yükseklikte çembersel yörüngede dolanan bir uydu saniyede kaç metre yol alır?

• A) v = 4000
• B) v = 8000
• C) v = 2000
• D) v = 4 · 10⁶
• E) v ≈ 2300

Çözüm: G · M = g · R² = 8 · 4 · 10¹² = 3,2 · 10¹³ m³/s². Yörünge yarıçapı merkezden ölçülür: r = 2 · 10⁶ + 6 · 10⁶ = 8 · 10⁶ m. v = √(3,2 · 10¹³ / 8 · 10⁶) = √(4 · 10⁶) = 2000 m/s. Yaklaşık 2300 yüksekliği yarıçap sanmaktan, 4000 yüzeydeki hızı almaktan, 4 · 10⁶ karekökü unutmaktan gelir. Cevap: C.

Örnek 4 — Yörüngeyi yükseltmenin bedeli

Soru: r yarıçaplı çembersel yörüngedeki bir uydunun kinetik enerjisi 6 · 10⁹ J'dür. Uydu 3r yarıçaplı çembersel yörüngeye taşınıyor. Motorların uyduya vermesi gereken en az enerji kaç joule'dür?

• A) 4 · 10⁹
• B) 8 · 10⁹
• C) 2 · 10⁹
• D) 1,2 · 10¹⁰
• E) 6 · 10⁹

Çözüm: İlk toplam enerji E₁ = −Ek = −6 · 10⁹ J. E ∝ −1/r olduğundan 3r'de E₂ = −2 · 10⁹ J. Fark E₂ − E₁ = 4 · 10⁹ J. 8 · 10⁹ yalnız potansiyel enerjideki artıştır ve kinetik enerjinin azalmasını atlar; 2 · 10⁹ yeni kinetik enerjidir. Cevap: A.

• Dıştaki cismi daha hızlı sanmak. Ortak bir milde dönen noktalarda v yarıçapla büyür; çekimle dolanan uydularda v ∝ 1/√r küçülür. Kancadaki maket bu iki durumu karıştırıyordu.
• Yörünge yarıçapına yüksekliği yazmak. r gezegenin merkezinden ölçülür, r = R + h.
• T² / r³ oranını farklı merkezler arasında eşitlemek. Oran merkezdeki kütleye bağlıdır; bir gezegenin uydusu ile bir yıldızın gezegeni aynı oranı paylaşmaz.
• Uydunun kütlesini hıza ya da periyoda katmak. m sadeleşir; ağır ve hafif uydu aynı yörüngede aynı hızla döner. Kinetik ve toplam enerji ise m ile orantılıdır.
• Uyduda çekimi sıfır sanmak. Çekim ivmesi G · M / r² kadar vardır; tartının sıfır göstermesi serbest düşmedendir.
• Yükselen uydunun enerji kaybettiğini düşünmek. Kinetik enerji azalır, toplam enerji artar.