Açısal momentum

Kıvanç odasındaki döner sandalyeye oturmuş, iki eline birer dambıl almış, kollarını yana açmış. Ablası Leman sandalyeyi bir kez çevirip elini çekiyor. Kıvanç kendinden emin: «Artık beni kimse itmiyor. İtilmeyen bir şeyin hızı değişmez; kollarımı ne yaparsam yapayım aynı hızla döneceğim.» Sonra dambılları göğsüne çekiyor ve sandalye birden öyle hızlanıyor ki ayaklarını yere sürtüp durmak zorunda kalıyor. Kollarını yeniden açınca dönüş yavaşlıyor. Kıvanç'ın kuralı düz bir yolda kayan cisim için doğruydu; dönen bir cisimde sabit kalan büyüklük ise açısal hız değil. Bu derste o büyüklüğü tanımlıyor, onu neyin değiştirdiğini buluyor ve sandalyenin hızlanmasını sayıyla açıklıyoruz.

• Noktasal bir cismin açısal momentumunu m · v · d ile, dönen bir katı cisminkini I · ω ile hesaplarsın.
• Net torku açısal momentumun değişme hızı olarak yazıp tork, süre ya da hız değişimini bulursun.
• Dış tork yokken I₁ · ω₁ = I₂ · ω₂ eşitliğini kurup yeni açısal hızı ve kinetik enerjideki değişimi hesaplarsın.
• Merkeze doğru çeken bir kuvvetin torkunun neden sıfır olduğunu gösterip yarıçapı değişen cismin hızını bulursun.

Çizgisel momentumun dönmedeki karşılığı

«İtme ve momentum» dersinde kütle ile hızın çarpımını hareketin miktarı olarak tanımlamış, net kuvveti p = m · v büyüklüğünün değişme hızı diye yazmıştık: F = Δp / Δt. «Momentumun korunumu» dersi de dış kuvvet yoksa toplam momentumun sabit kaldığını gösterdi. Kıvanç'ın aklındaki kural buydu. Dönmede her çizgisel büyüklüğün bir eşi vardır ve benzetme satır satır kurulabilir:

Önceki derste eylemsizlik momentinin kütlenin eksene nasıl dağıldığına bağlı olduğunu gördük. Bu tablodaki asıl yenilik şudur: ötelemede kütle bir cismin kendi özelliğidir ve hareket sırasında değişmez; I ise kütle eksenden uzaklaşıp yaklaştıkça değişebilir. Kıvanç'ı şaşırtan şey tam olarak buradan doğar.

Noktasal cismin açısal momentumu

İpin ucunda r yarıçaplı bir çember çizen küçük bir cismin eksene göre açısal momentumu

L = m · v · r

olur. Birimi kg·m²/s'dir. Bir top (m = 0,2 kg) boyu 0,5 m olan ipin ucunda saniyede 4 m yol alarak dolanıyorsa L = 0,2 · 4 · 0,5 = 0,4 kg·m²/s bulunur. Aynı sonuç I · ω ile de çıkar: noktasal cismin eylemsizlik momenti m · r² = 0,05 kg·m², açısal hızı v / r = 8 rad/s ve çarpımları yine 0,4'tür.

Açısal momentum yalnız çembersel harekete özgü değildir; her zaman bir noktaya göre tanımlanır. Düz bir çizgide giden cismin O noktasına göre açısal momentumu m · v · d'dir; d, O'dan hız doğrultusuna inen dik uzaklıktır. «Tork» dersinde kuvvet kolu nasıl kuvvetin etki çizgisine dik ölçüldüyse burada da uzaklık hız çizgisine dik ölçülür. Cisim O'dan uzaklaşsa bile bu dik uzaklık değişmez; net kuvvet yoksa m · v · d sabit kalır. Çember üzerindeki cisimde hız yarıçapa her an dik olduğundan d ile r çakışır.

Katı cisim ve yön

Mile takılı bir diskin her parçası aynı ω ile döner; parçaların m · v · r katkıları toplanınca L = I · ω çıkar. Eylemsizlik momenti 0,6 kg·m² olan ve 5 rad/s ile dönen bir diskin açısal momentumu 3 kg·m²/s'dir.

Açısal momentum vektörel bir büyüklüktür ve torkla aynı kuralla yönlendirilir: sağ elin parmakları dönüşü izleyecek biçimde kıvrıldığında başparmak L'yi gösterir. Yukarıdan bakana göre saat yönünün tersine dönen bir disk için L yukarı, saat yönünde dönen için aşağı bakar. Aynı mil üzerinde zıt yönlere dönen iki diskin toplam açısal momentumu, büyüklüklerin farkıdır. AYT hesaplarında bu yönü bir dönme yönünü artı seçerek işaretle taşımak yeter.

Tork açısal momentumu değiştirir

F = Δp / Δt eşitliğinin dönmedeki eşi τ = ΔL / Δt'dir. Bir taşlama makinesinin diski (I = 0,4 kg·m²) duruştan 3 s'de 30 rad/s'ye çıkıyorsa açısal momentumu 0'dan 12 kg·m²/s'ye yükselmiştir. Motorun sağladığı ortalama net tork 12 / 3 = 4 N·m'dir. Eşitlik ters yönde de okunur: τ · Δt çarpımı açısal momentumdaki değişimi verir, tıpkı itmenin momentum değişimini vermesi gibi. Tork dönmeye karşı yöndeyse L azalır; frenlenen bir tekerlekte ΔL ile tork, açısal hızın tersini gösterir.

Dış tork yoksa L korunur

Net dış tork sıfırsa ΔL = 0'dır ve

I₁ · ω₁ = I₂ · ω₂

yazılır. Sistemin parçaları birbirini itip çekebilir; bu iç kuvvetlerin torkları çiftler hâlinde birbirini götürür. Kıvanç'ın sandalyesinde yatak sürtünmesini ihmal edelim. Varsayımsal değerlerle, kollar açıkken Kıvanç, sandalye ve dambıllardan oluşan sistemin I'sı 3 kg·m², açısal hızı 2 rad/s olsun. Dambıllar göğse çekilince I 1,2 kg·m²'ye düşsün. Açısal momentum 6 kg·m²/s'de kaldığından yeni açısal hız 6 / 1,2 = 5 rad/s olur. Leman'ın elini çektiği andan sonra sisteme dışarıdan tork gelmedi; bu yüzden korunan L oldu, ω değil.

Enerji neden korunmaz?

Dönme kinetik enerjisi önce ½ · 3 · 2² = 6 J, sonra ½ · 1,2 · 5² = 15 J'dür. Açısal momentum sabitken enerji 9 J artmıştır. Bu enerji Kıvanç'ın kaslarından gelir: dambıllar çember çizdiği için onları çember üzerinde tutmak bile merkeze yönelen bir kuvvet ister; Kıvanç bu kuvvetle dambılları içe doğru yer değiştirdiğinde kuvvet yönünde yol alınır ve kaslar pozitif iş yapar. Kolları yeniden açınca olay tersine işler: ω düşer, enerji azalır ve kaslar bu kez yavaşça bırakarak negatif iş yapar. Eₖ = L² / (2 · I) yazılırsa L sabitken enerjinin I ile ters orantılı olduğu doğrudan görülür.

Dönen bir platforma bir cismin yerleşmesi ters yönden aynı dersi verir. Eylemsizlik momenti 2 kg·m² olan bir platform 3 rad/s ile dönerken üstüne, eksenden 1 m uzağa kütlesi 1 kg olan kum torbası düşey olarak bırakılsın. Torba eksen çevresinde dönmeden geldiği için sisteme açısal momentum taşımaz; I = 2 + 1 · 1² = 3 kg·m² olur ve ω = 6 / 3 = 2 rad/s'ye iner. Enerji 9 J'den 6 J'ye düşer: 3 J, torba platforma yapışana kadar sürtünmeyle ısıya dönüşmüştür. Tamamen esnek olmayan çarpışmada momentum korunurken kinetik enerjinin bir kısmının ısıya gitmesiyle aynı durumdur.

Merkeze çeken ip

Sürtünmesi ihmal edilen yatay bir masanın ortasında bir delik olsun. Delikten geçen ipin üst ucuna bağlı bloğun kütlesi 0,5 kg; blok deliğin çevresinde 0,6 m yarıçaplı bir çember çizerek 2 m/s ile dönüyor; ipin alt ucunu tutan biri ipi aşağı çekip yarıçapı 0,2 m'ye indiriyor. İp bloğa hep deliğe doğru çeker; kuvvetin etki çizgisi deliğin üzerinden geçtiği için deliğe göre torku sıfırdır. Öyleyse m · v · r korunur: 2 · 0,6 = v · 0,2 ve v = 6 m/s. Kinetik enerji 1 J'den 9 J'ye çıkar; aradaki 8 J'yi ipi çeken el sağlar. Yarıçap üçte birine indiğinde hız üç katına, enerji dokuz katına çıkmıştır.

Güneş'e yaklaşan gezegen

Aynı mantık gökyüzünde de çalışır. Bir gezegeni yörüngesinde tutan çekim kuvveti hep Güneş'e doğrudur; Güneş'e göre torku sıfırdır ve gezegenin açısal momentumu yörünge boyunca değişmez. Yörünge tam çember değil de bir elips olduğunda gezegen Güneş'e yaklaştığı bölgede uzaklık küçülür, korunan L hızın artmasını gerektirir; uzak bölgede gezegen yavaşlar. Bu dersin sınırı bu nitel sonuçtur. Delikteki ipin gerilmesini elle ayarlayabiliyorduk; gezegeni tutan çekimin büyüklüğü ise iki kütleye ve aradaki uzaklığa nasıl bağlıdır? Ağırlık dediğimiz kuvvetle aynı kökten mi gelir? Bu kuvvetin evrensel yasasını, ters kare bağımlılığını ve G sabitini «Kütle çekim yasası» dersi kuruyor.

Örnek 1 — İpin ucundaki cisim

Soru: Küçük bir cisim (m = 0,5 kg) 0,4 m yarıçaplı yatay bir çember üzerinde 10 rad/s açısal hızla dönüyor. Cismin dönme eksenine göre açısal momentumu kaç kg·m²/s'dir?

• A) L = 2
• B) L = 0,32
• C) L = 5
• D) L = 0,8
• E) L = 20

Çözüm: Önce çizgisel hız bulunur: v = ω · r = 10 · 0,4 = 4 m/s. Açısal momentum m · v · r = 0,5 · 4 · 0,4 = 0,8 kg·m²/s olur; I = m · r² = 0,08 kg·m² ile I · ω da aynı sonucu verir. 2, yarıçapı hiç kullanmayıp m · v yazmaktan ya da v yerine ω koymaktan gelir. 0,32 yarıçapı iki kez çarpmaktan, 5 yarıçapa bölmekten, 20 ise merkezcil kuvvet ifadesi m · ω² · r ile karıştırmaktan doğar. Cevap: D.

Örnek 2 — Frenlenen tekerlek

Soru: Eylemsizlik momenti 0,5 kg·m² olan bir tekerlek 20 rad/s ile dönerken fren uygulanıyor ve 4 s sonra açısal hızı 8 rad/s'ye iniyor. Frenin uyguladığı ortalama torkun büyüklüğü ve yönü nedir?

• A) 6 N·m, dönmeye zıt
• B) 1,5 N·m, dönmeyle aynı yönde
• C) 1,5 N·m, dönmeye zıt
• D) 3,5 N·m, dönmeye zıt
• E) 3 N·m, dönmeye zıt

Çözüm: İlk açısal momentum 0,5 · 20 = 10, son açısal momentum 0,5 · 8 = 4 kg·m²/s'dir. ΔL = −6 kg·m²/s ve τ = ΔL / Δt = −6 / 4 = −1,5 N·m. Eksi işaret torkun dönme yönünün tersine olduğunu söyler; L azalıyorsa tork dönmeye karşıdır. A süreye bölmeyi unutur, D iki hızı toplar, E açısal ivmeyi (−3 rad/s²) torkla karıştırır, B ise yönü kaçırır. Cevap: C.

Örnek 3 — Döner sandalyede kolları toplamak

Soru: Sürtünmesiz dönen bir sandalyedeki öğrenci ile dambıllarının eylemsizlik momenti kollar açıkken 4 kg·m², açısal hızı 1,5 rad/s. Öğrenci kollarını toplayınca eylemsizlik momenti 1,6 kg·m²'ye iniyor. Yeni açısal hız ve dönme kinetik enerjisindeki değişim nedir?

• A) ω = 3,75 rad/s; enerji 6,75 J azalır
• B) ω = 3,75 rad/s; enerji değişmez
• C) ω = 0,6 rad/s; enerji 6,75 J azalır
• D) ω ≈ 2,37 rad/s; enerji değişmez
• E) ω = 3,75 rad/s; enerji 6,75 J artar

Çözüm: Dış tork olmadığından 4 · 1,5 = 1,6 · ω₂ ve ω₂ = 3,75 rad/s. Enerji önce ½ · 4 · 1,5² = 4,5 J, sonra ½ · 1,6 · 3,75² = 11,25 J'dür; artış 6,75 J'dür ve kolları içe çeken kasların işinden gelir. B açısal momentumla birlikte enerjinin de korunduğunu varsayar; D yalnız enerjiyi koruyup ω₂ = 1,5 · √(4 / 1,6) bulur. C oranı ters kurar, A artışın işaretini çevirir. Cevap: E.

Örnek 4 — Delikten çekilen ip

Soru: Sürtünmesiz yatay bir masada duran blok 0,4 kg kütlelidir ve masanın ortasındaki delikten geçen ipe bağlı olarak 0,8 m yarıçaplı çember üzerinde 1,5 m/s süratle dolanıyor. İp aşağıdan yavaşça çekilerek yarıçap 0,2 m'ye indiriliyor. Bloğun yeni sürati ve ipi çekenin yaptığı iş nedir?

• A) 1,5 m/s; iş sıfır
• B) 6 m/s; 6,75 J
• C) 0,375 m/s; iş sıfır
• D) 24 m/s; 6,75 J
• E) 6 m/s; 7,2 J

Çözüm: İp hep deliğe doğru çektiği için deliğe göre torku sıfırdır ve m · v · r korunur: 1,5 · 0,8 = v · 0,2, v = 6 m/s. Kinetik enerji ½ · 0,4 · 1,5² = 0,45 J'den ½ · 0,4 · 6² = 7,2 J'ye çıkar; çekenin işi aradaki 6,75 J'dür. A süratin sabit kaldığını, C açısal hızın sabit kaldığını varsayar; D yarıçap oranını kareler, E ilk enerjiyi çıkarmayı unutur. Cevap: B.

• Dış tork yokken açısal hızı sabit sanmak. Korunan I · ω çarpımıdır; I küçülürse ω aynı oranda büyür. Kancadaki Kıvanç'ın hatası buydu.
• Açısal momentum korunuyor diye enerjiyi de korumak. Kollar toplanınca ya da ip çekilince kinetik enerji artar, cisim platforma yapışınca azalır; enerjiyle kurulan hesap kök içeren yanlış bir ω verir.
• Doğru üzerinde giden cismin açısal momentumunu sıfır saymak ya da uzaklığı yanlış almak. L = m · v · d'deki d, noktadan hız doğrultusuna inen dik uzaklıktır; cisme olan doğrudan uzaklık değildir.
• Merkeze çeken kuvvete tork yazmak. İp gerilmesi ya da Güneş'in çekimi dönme merkezine doğru olduğu için o merkeze göre tork vermez; bu kuvvetler çizgisel hızı değiştirse de L'yi değiştirmez.
• Zıt yönlü dönüşleri toplamak. Aynı eksende ters dönen iki diskin açısal momentumları işaretle toplanır; büyüklükleri eklemek yönü atlamaktır.
• τ = ΔL / Δt'de süreyi unutmak. Açısal momentum değişimi tork değil, tork ile sürenin çarpımıdır; birim kg·m²/s ile N·m'yi karıştırmamak gerekir.