Dönerek öteleme ve eylemsizlik momenti

Hazal mutfak tezgâhına bir kesme tahtası yaslayıp küçük bir rampa kuruyor. Elinde iki silindir var: oklavadan kesilmiş kısa, dolu bir tahta parçası ve aynı çapta, ince cidarlı bir metal boru parçası. Mutfak tartısında ikisi hemen hemen aynı geliyor. Kardeşi İlker'e iddiasını söylüyor: «Serbest düşmede kütle fark etmiyordu. Kütleleri de yarıçapları da aynı; rampanın dibine birlikte varacaklar.» İkisini aynı çizgiden bırakıyor. Dolu tahta her denemede önde iniyor, boru geride kalıyor. Hazal kütleyi tarttı, çapı ölçtü; hesaba katmadığı şey kütlenin silindirin içinde nerede durduğuydu. Bu derste o dağılımı ölçen büyüklüğü, dönen ve aynı anda ilerleyen bir cismin enerjisinin nasıl paylaşıldığını ve rampa yarışını kimin neden kazandığını kuracağız.

• Noktasal kütlelerden oluşan bir sistemin eylemsizlik momentini I = Σ m r² ile hesaplar, eksen değişince sonucun nasıl değiştiğini gösterirsin.
• Halka, disk ve küre için verilen eylemsizlik momentini kullanarak τ = I α ile açısal ivmeyi bulursun.
• Kaymadan yuvarlanan bir cismin toplam kinetik enerjisini öteleme ve dönme payına ayırırsın.
• Aynı yükseklikten bırakılan halka, disk, küre ve kayan cismin eğim sonundaki hızlarını enerji korunumuyla sıralarsın.

Kütlenin nerede durduğu

Önemsiz kütleli, ortasından eksene takılmış bir çubuk düşünelim. Çubuğun iki yanına, eksenden 0,2 m uzağa birer kilogramlık iki ağırlık bağlayıp çubuğu elle çevirmeye çalışalım. Sonra ağırlıkları eksenden 0,4 m uzağa kaydırıp aynı denemeyi yapalım. Toplam kütle değişmedi; yine de ikinci düzeni harekete geçirmek ve durdurmak belirgin biçimde zorlaşır. Ötelemede bir cismin hızlanmaya direncini kütlesi belirler. Dönmede ise bu direnci kütlenin yanında, o kütlenin dönme ekseninden ne kadar uzakta durduğu belirler.

Eylemsizlik momenti

Dönmeye karşı bu direnç eylemsizlik momenti adını alır ve I ile gösterilir. Noktasal kütlelerden oluşan bir sistemde her kütle, eksene olan dik uzaklığının karesiyle çarpılır ve sonuçlar toplanır:

• I = Σ m · r²

Birimi kg·m²'dir. Çubuk örneğine dönersek ilk düzende I = 2 · 1 · 0,2² = 0,08 kg·m², ikinci düzende I = 2 · 1 · 0,4² = 0,32 kg·m² bulunur. Uzaklık iki katına çıktı, eylemsizlik momenti dört katına çıktı; karenin etkisi tam burada görünür. Aynı cismin eylemsizlik momenti eksene de bağlıdır: çubuğu bir ucundan döndürürsek kütlelerden biri eksenin üstüne düşer ve sıfır katkı verir, öteki daha uzağa gider. Bu yüzden «bu cismin eylemsizlik momenti» dendiğinde hangi eksene göre olduğu da söylenmelidir.

Yaygın cisimler için hazır değerler

Sürekli bir cisim, çok sayıda küçük kütlenin toplamıdır; toplama integral gerektirir. AYT'de bu değerler türetilmez, aşağıdaki gibi verilmiş kabul edilir. Hepsi kütlesi m, yarıçapı r olan ve simetri ekseninden geçen bir eksen çevresinde dönen cisimler içindir:

Halkanın bütün kütlesi kenarda, r uzaklığındadır; formülü toplama tanımından hemen çıkar. Diskte kütlenin bir bölümü merkeze yakın olduğundan katsayı küçülür, kürede kütle eksene daha da toplanır. Hazal'ın borusu halka gibi davranır, oklava parçası disk gibi. Aynı m ve r için borunun eylemsizlik momenti tahta parçanınkinin iki katıdır.

Dönmenin Newton yasası

«Tork» dersinde net torkun bir cismi döndürmeye başladığını gördük; ne kadar çabuk döndüreceğini ise eylemsizlik momenti belirler. Ötelemedeki F = m · a bağıntısının dönmedeki karşılığı şudur:

• τ = I · α

Burada α açısal ivmedir, birimi rad/s²'dir. 2 kg kütleli, 0,5 m yarıçaplı dolu bir diskin eylemsizlik momenti ½ · 2 · 0,25 = 0,25 kg·m²'dir. Kenarına teğet doğrultuda 4 N'luk bir kuvvet uygulansın: tork 4 · 0,5 = 2 N·m, açısal ivme 2 / 0,25 = 8 rad/s² olur. Aynı kütle ve yarıçaptaki bir halkada I = 0,5 kg·m² olduğundan aynı tork yalnız 4 rad/s² verir. Kuvvet de tork da aynıyken halkanın daha ağır hızlanmasının nedeni kütlesinin kenarda toplanmasıdır.

Dönme kinetik enerjisi

Sabit bir eksen çevresinde ω açısal hızıyla dönen cismin her parçası «Düzgün çembersel hareket» dersindeki v = ω · r hızıyla hareket eder. Parçaların ½ · m · v² enerjilerini toplayınca her terimde ω² ortak çarpan olarak dışarı çıkar ve geriye Σ m · r², yani I kalır:

• E_dönme = ½ · I · ω²

Yukarıdaki disk 4 rad/s ile dönerken ½ · 0,25 · 16 = 2 J enerji taşır. Bu enerji bir iş karşılığında kazanılır: sabit bir τ torku cismi θ radyan döndürürken τ · θ kadar iş yapar ve iş-enerji teoreminin dönmedeki biçimiyle bu iş dönme kinetik enerjisindeki artışa eşittir. Durgun diske 2 N·m'lik tork 1 rad boyunca uygulanırsa yapılan iş 2 J olur ve disk tam 4 rad/s'ye ulaşır. Bu bağıntı da ötelemenin ½ · m · v² ifadesinin aynası gibidir: kütlenin yerini I, hızın yerini ω alır.

Kaymadan yuvarlanma

Yerde yuvarlanan bir teker hem döner hem ilerler. Yüzeyde kaymıyorsa bir turda çevresi kadar yol alır ve bu, merkezinin hızı ile açısal hızı arasında sabit bir bağ kurar:

• v = ω · r

Bu durumda tekerin yere değen noktası o an yere göre durmaktadır. Bu yüzden oradaki statik sürtünme kuvveti tekeri döndürür ama iş yapmaz; mekanik enerji ısıya dönüşmez. Toplam kinetik enerji iki parçanın toplamıdır:

• E_k = ½ · m · v² + ½ · I · ω²

I = c · m · r² yazıp ω = v / r koyarsak E_k = ½ · m · v² · (1 + c) olur. Halkada c = 1 olduğundan E_k = m · v², diskte ¾ · m · v², kürede 7/10 · m · v² bulunur. Dönme payının toplama oranı c / (1 + c)'dir: halkada enerjinin yarısı, diskte üçte biri, kürede 2/7'si dönmeye gider.

Rampa yarışı

Şimdi Hazal'ın deneyini hesaba dökelim. Bir cisim h yüksekliğinden durgun bırakılıp kaymadan yuvarlanıyorsa, «İş-enerji teoremi» dersinde kurduğumuz enerji hesabı şunu verir: m · g · h = ½ · m · v² · (1 + c). Buradan

• v² = 2 · g · h / (1 + c)

bulunur. Kütle de yarıçap da sadeleşti; sonucu yalnız cismin biçimini anlatan c belirler. h = 1,75 m için kürede v² = 35 / 1,4 = 25, yani v = 5 m/s; diskte v² = 35 / 1,5 ≈ 23,3 ve v ≈ 4,83 m/s; halkada v² = 35 / 2 = 17,5 ve v ≈ 4,18 m/s. c küçüldükçe enerjinin daha büyük bölümü ilerlemeye kalır ve cisim dibe daha hızlı varır. Sıralama küre > disk > halka biçimindedir ve hangi küre, hangi disk olduğu fark etmez. Hazal'ın borusu bu yüzden kaybetti: kütlesi aynıydı ama hepsi kenarda duruyordu.

Kayan cisimle karşılaştırma

Aynı rampadan sürtünmesiz biçimde kayarak inen bir blok dönmez, c = 0 gibi davranır ve bütün potansiyel enerjisi ötelemeye gider: v² = 2 · g · h = 35, v ≈ 5,92 m/s. Bu yüzden kayan blok yuvarlanan her cisimden önce varır. Yuvarlanan cismin yavaş kalması sürtünmenin enerji harcamasından gelmez; enerjinin bir kısmı dönmeye ayrılmıştır ve dipte hâlâ cisimdedir. Kinetik sürtünmeyle kayarak inen bir cisimde ise durum farklıdır: orada sürtünme iş yapar, enerjinin bir bölümü ısıya gider. Bir de şunu unutmamak gerekir: tamamen sürtünmesiz bir rampada küre dönmeye başlayamaz, kayarak iner. Yuvarlanmayı başlatan tork ancak sürtünmeden gelebilir.

Dönme miktarını taşıyan büyüklük

Bu derste eylemsizlik momentini hep sabit tuttuk: disk diskti, halka halkaydı. Oysa dönen bir sistem kütlesinin bir bölümünü eksene çekebilir ya da eksenden uzaklaştırabilir; o zaman I hareketin ortasında değişir. Dışarıdan tork gelmezken I · ω çarpımına ne olur, açısal hız buna nasıl uyar ve ½ · I · ω² ile hesapladığımız dönme enerjisi bu sırada aynı kalır mı? Momentumun dönmedeki eşi olan bu büyüklüğü ve korunumunu «Açısal momentum» dersi kuruyor.

Örnek 1 — Eksen kaydığında

Soru: Önemsiz kütleli, 0,6 m uzunluğunda bir çubuğun bir ucunda 2 kg, öbür ucunda 3 kg'lık noktasal kütle var. Çubuk, 2 kg'lık kütlenin bulunduğu uçtan ve çubuğa dik bir eksen çevresinde döndürülüyor. Sistemin bu eksene göre eylemsizlik momenti kaç kg·m²'dir?

• A) I = 0,45
• B) I = 0,72
• C) I = 1,8
• D) I = 1,08
• E) I = 0,54

Çözüm: Eksen üzerindeki 2 kg'lık kütlenin uzaklığı sıfırdır ve katkı vermez. 3 kg'lık kütle 0,6 m uzaktadır: I = 3 · 0,36 = 1,08 kg·m². 0,45, ekseni çubuğun ortasına koymaktan; 0,72, ekseni öbür uca, 3 kg'lık kütleye almaktan; 1,8, uzaklığın karesini almamaktan; 0,54 ise noktasal kütleye disk formülündeki ½ çarpanını eklemekten gelir. Cevap: D.

Örnek 2 — Bileme taşının durması

Soru: Hasan'ın atölyesindeki bileme taşı dolu bir disk biçiminde; kütlesi 4 kg, yarıçapı 0,25 m ve 20 rad/s ile dönüyor. Motor kapatıldıktan sonra taşın kenarına bastırılan bir kalas, teğet doğrultuda sabit 2 N'luk sürtünme kuvveti uyguluyor. Taş kaç saniyede durur?

• A) t = 5
• B) t = 10
• C) t = 1,25
• D) t = 4
• E) t = 0,2

Çözüm: I = ½ · 4 · 0,25² = 0,125 kg·m². Tork 2 · 0,25 = 0,5 N·m, açısal ivme 0,5 / 0,125 = 4 rad/s². Durma süresi 20 / 4 = 5 s. 10, taşı halka sayıp I = m · r² almaktan; 1,25, torku kuvvet kolu olmadan 2 sanmaktan; 4, küre formülü kullanmaktan; 0,2 ise açısal ivmeyi açısal hıza bölmekten çıkar. Cevap: A.

Örnek 3 — Rampadan inen disk

Soru: Dolu bir silindir 1,2 m yüksekliğindeki bir rampanın tepesinden durgun bırakılıyor ve kaymadan yuvarlanarak iniyor. Dibe vardığında silindirin merkezi hangi hıza (m/s) ulaşmış olur? (g büyüklüğü 10 m/s²)

• A) v = 2√6
• B) v = 2√3
• C) v = 4√3
• D) v = 6
• E) v = 4

Çözüm: Silindirde c = ½ olduğundan m · g · h = ¾ · m · v²: v² = 4 · 10 · 1,2 / 3 = 16, v = 4 m/s. 2√6, dönmeyi unutup cismi kayıyormuş gibi hesaplamaktan; 2√3, halka katsayısını kullanmaktan; 4√3, öteleme enerjisini atıp yalnız dönme payını yazmaktan; 6 ise 1,5 çarpanına bölmek yerine onunla çarpmaktan gelir. Cevap: E.

Örnek 4 — Yuvarlanan topun enerjisi

Soru: Kütlesi 2 kg olan dolu bir küre yatay zeminde kaymadan 3 m/s ile yuvarlanıyor. Kürenin toplam kinetik enerjisi kaç J'dür?

• A) E = 9
• B) E = 3,6
• C) E = 12,6
• D) E = 16,2
• E) E = 13,5

Çözüm: Öteleme payı ½ · 2 · 9 = 9 J. Dönme payı ½ · (2/5 · m · r²) · (v / r)² = 1/5 · 2 · 9 = 3,6 J. Toplam 12,6 J. 9 yalnız ötelemeyi, 3,6 yalnız dönmeyi almaktan; 16,2, dönme enerjisinde ½ çarpanını unutmaktan; 13,5 ise küreye disk katsayısı vermekten çıkar. Cevap: C.

• Eylemsizlik momentini yalnız kütleye bağlamak. Aynı kütle eksenden uzaklaştıkça I uzaklığın karesiyle büyür; halka ile disk aynı m ve r'de farklı I taşır.
• Ekseni belirtmeden I yazmak. Noktasal kütle sistemlerinde eksen değişince her uzaklık değişir; eksen üstündeki kütle sıfır katkı verir.
• Yuvarlanan cisimde yalnız ½ · m · v² yazmak. Kaymadan yuvarlanmada toplam enerji öteleme ile dönme paylarının toplamıdır; dönme payını atlayan öğrenci dipteki hızı kayan cismin hızı kadar bulur.
• Yuvarlanmadaki statik sürtünmeyi enerji kaybı saymak. Temas noktası o an yere göre durduğundan sürtünme iş yapmaz; yuvarlanan cismin kayan bloktan geri kalması enerjinin dönmeye paylaşılmasındandır.
• Rampa yarışında kütleye ya da yarıçapa bakmak. v² = 2 · g · h / (1 + c) bağıntısında m ve r sadeleşir; sırayı yalnız c belirler: küre, disk, halka.