Kaldıraç ve makaralar

Vedat, amcasının tek katlı evinin damını onarmasına yardım ediyor. Kiremit dolu kova 300 N; saçağa asılı sabit makaradan geçen ipi çekerken bu ağırlığın tamamı Vedat'ın kollarına biniyor. Amcası ipin bir ucunu saçağa bağlıyor, kovayı ipin üstünde kayan ikinci bir makaraya asıyor ve serbest ucu yine yukarıdaki makaradan geçiriyor. Vedat artık 150 N ile çekiyor ve sevinçle «İşi yarıya indirdik, yarı sürede biter» diyor. Kova 6 m'lik saçağa varınca elinden 12 m ip geçmiş oluyor; çektiği kuvvet yarıya inmiş, yolu iki katına çıkmıştır. 300 · 6 ile 150 · 12 aynı sayıyı, 1800 J'ü verir. Vedat, küçülen kuvveti küçülen iş sanıyor. Bu derste kaldıraçları ve makaraları bu hesap üzerinden çözüyoruz.

• Bir basit makinede kuvvet kazancı ile yol kaybını iş eşitliğinden bağlar, mekanik avantajı ve verimi hesaplarsın.
• Kaldıracı destek, yük ve kuvvetin sırasına göre sınıflandırır, ağırlığı olan kaldıraçta gereken kuvveti tork dengesiyle bulursun.
• Sabit, hareketli ve ağırlıklı makaralardan kurulu düzeneklerde ip kolu sayarak kuvveti ve tavana binen yükü hesaplarsın.
• İp uzunluğunun değişmediğini kullanarak yükün ve ip ucunun yollarını ve hızlarını ilişkilendirirsin.

Basit makine işi azaltmaz

Kancadaki çatı düzeneğinde Vedat'ın verdiği enerji ile kovanın kazandığı potansiyel enerji aynı çıktı; eşitlik tesadüf sayılmaz. TYT'deki «İş» dersinde iş, kuvvet ile kuvvet doğrultusundaki yolun çarpımı olarak tanımlandı; «Verim» dersinde de rampaların, makaraların ve kaldıraçların kuvvetten kazandırıp işten kazandırmadığı söylendi. Şimdi bu cümleyi hesaba çeviriyoruz. Sürtünmesiz ve parçaları hafif bir makinede elin yaptığı iş yüke aktarılan işe eşittir:

F · x_F = G · x_G

Burada F uygulanan kuvvet, x_F onun yolu; G yükün ağırlığı, x_G yükün yer değiştirmesidir. Kuvvet küçüldükçe el daha uzun bir yol gider. Basit makine bize ağır bir yükü küçük bir kuvvetle kaldırma ya da kuvvetin yönünü değiştirme olanağı verir; bedeli yoldur, çoğu zaman da zamandır.

Mekanik avantaj ve verim

Bir makinenin kuvveti kaç kat büyüttüğünü kuvvet kazancı, öbür adıyla mekanik avantaj gösterir: yükün uygulanan kuvvete oranı, G / F. Kancadaki ikinci düzenekte bu oran 300 / 150 = 2'dir. Sürtünme ve makine ağırlığı yokken aynı oran, iş eşitliğinden, yolların ters oranına da eşittir: x_F / x_G. Gerçek bir makinede sürtünme ve parçaların ağırlığı yüzünden el biraz daha fazla kuvvet uygular. Bu durumda verim, yüke aktarılan yararlı işin elin verdiği işe oranıdır:

verim = (G · x_G) / (F · x_F)

Örneğin bir düzenekte 250 N'luk kuvvetle ip 4 m çekilip 900 N'luk yük 1 m kaldırılıyorsa yararlı iş 900 J, verilen iş 1000 J, verim %90'dır. Aynı sonuç gerçek mekanik avantajın (900 / 250 = 3,6) yol oranına (4) bölünmesiyle de bulunur. Verim %100'ü geçemez; geçtiği çıkan bir hesap, oranın ters kurulduğunu gösterir.

Kaldıraç: bir destek, iki kol

Kaldıraç, bir destek noktası çevresinde dönebilen sert bir çubuktur. Yük ve kuvvet çubuğu destek çevresinde zıt yönlere çevirmeye çalışır ve çubuk dengedeyken iki tork eşittir. «Tork» dersinde tanımlanan kuvvet kolunu, «Denge koşulları» dersindeki net tork sıfır şartıyla birleştirirsek

F · a = G · b

yazılır; a desteğin kuvvetin etki çizgisine, b de yükün etki çizgisine dik uzaklığıdır. 1,2 m'lik bir levyeyi ucundan 0,2 m içerideki bir taşın üstüne dayayıp kısa ucun altına 600 N'luk bir kaya sıkıştıralım. El öbür uçtan bastırırsa a = 1,0 m, b = 0,2 m olur ve F = 600 · 0,2 / 1,0 = 120 N bulunur. Mekanik avantaj 5'tir; kaya 5 cm kalkarken el 25 cm iner. Desteğe binen kuvvet, «Denge koşulları» dersindeki ikinci şarttan, yani düşey kuvvetlerin dengesinden gelir.

Kaldıracın üç türü

Kaldıraçları ayıran, destek (D), yük (Y) ve kuvvetin (K) çubuk üzerindeki sırasıdır.

Birinci türde sonuç, kolların hangisinin uzun olduğuna bağlıdır. İkinci türde kuvvet desteğe yükten daha uzaktadır; el arabasında tekerlek ekseni destek, tutamaklar kuvvet noktasıdır. Tutamaklar eksenden 1,4 m uzaktaysa ve yükün ağırlığı eksenden 0,4 m uzaktan etki ediyorsa 700 N'luk yük 200 N ile kaldırılır. Üçüncü türde ise kuvvetten kayıp vardır ama karşılığında uç daha çok yol alır ve daha hızlı hareket eder. Varsayımsal ölçülerle ön kolu düşünelim: dirsek destek, kasın kemiğe tutunduğu nokta dirsekten 4 cm, avuçtaki 30 N'luk yük 32 cm uzakta olsun. Kasın çekmesi gereken kuvvet 30 · 32 / 4 = 240 N'dur; buna karşılık kas 1 cm kısalınca el 8 cm yükselir.

Ağırlığı olan kaldıraç

Çubuğun kendi ağırlığı ihmal edilemiyorsa o da bir kuvvettir. «Kütle ve ağırlık merkezi» dersinde düzgün bir çubuğun ağırlığının ortasından etki ettiği gösterildi; tork dengesine bu noktadan bir terim daha eklenir. Ağırlığı 200 N olan 3 m'lik düzgün bir kalası, bir ucuna 1 m uzaklıktaki desteğe oturtalım. Kısa uçta 900 N'luk bir yük, uzun uçta el var. Kalasın orta noktası desteğin 0,5 m uzun tarafındadır ve el ile aynı yöne çevirir:

F · 2 + 200 · 0,5 = 900 · 1, buradan F = 400 N.

Kalasın ağırlığını unutan 450 N bulur. Ağırlık merkezi yük tarafında kalsaydı terim öbür yana geçecek ve gereken kuvvet artacaktı. Desteğe binen kuvvet üç düşey kuvvetin toplamıdır: 900 + 200 + 400 = 1500 N.

Sabit makara

Ekseni bir yere bağlı, yalnız kendi çevresinde dönen makaraya sabit makara denir. Ekseni orta noktada, iki ip kolu eksenden eşit uzaklıkta olduğu için eşit kollu bir kaldıraç gibi davranır: ideal durumda F = G. Kuvvetten kazanç yoktur, kazanılan yönün değişmesidir; aşağı çekerek yukarı kaldırmak, insanın kendi ağırlığını işe katmasını sağlar. Makarayı tavana bağlayan askı iki ip kolunu birden taşır. 200 N'luk yük durgun tutulurken askıya 400 N biner; makaranın kendi ağırlığı varsa bu sayıya eklenir. Sabit makaranın ağırlığı ise çekilen kuvveti değiştirmez, çünkü o ağırlık eksenden geçer.

Hareketli makara

Yük, ipin üstünde asılı duran makaranın eksenine bağlanır; ipin bir ucu tavana tutturulur, öbür ucu yukarı çekilir. Bu makarayı iki ip kolu taşır ve her iki kolda da aynı gerilme vardır. Makara hafif ve sürtünmesizse 2F = G, yani F = G / 2 olur. Tork diliyle bakarsak destek, tavana bağlı ipin makaraya değdiği noktadır; yük merkezde yarıçap kadar uzakta, kuvvet ise çap kadar uzaktadır. Hareketli makara ikinci türden bir kaldıraçtır.

Makaranın ağırlığı P ise o da yükle birlikte kalkar: 2F = G + P. 360 N'luk bir yük 40 N'luk bir hareketli makaraya asılırsa F = 200 N olur. Yük h kadar kalkarken el 2h çeker; yararlı iş 360 · h, verilen iş 200 · 2h = 400 · h, verim %90'dır. Sürtünmesiz ama ağır bir hareketli makaranın verimi G / (G + P) ile bulunur.

Palanga: ip kollarını saymak

Tavana asılı bir blokta birkaç sabit makara, yükün asıldığı alt blokta birkaç hareketli makara bulunan ve tek bir ipin hepsinden dolandığı düzeneğe palanga denir. İpin her yerinde gerilme aynı olduğundan hesabın anahtarı, alt bloğu taşıyan ip kollarını saymaktır. Alt blok n kolla asılıysa

n · F = G + P

yazılır; P alt bloğun ağırlığıdır. Alt bloğu dört kol taşıyorsa, yük 800 N ve blok 40 N ise F = 840 / 4 = 210 N olur. Sayarken yalnız alt bloğa değen ya da ona bağlı kollar alınır. Üstteki bloktan ele inen serbest uç, alt bloğu taşımaz ve sayılmaz; serbest uç alt bloktan çıkıp yukarı doğru çekiliyorsa o da bir koldur.

İp boyu değişmez: yollar ve hızlar

İp esnemediği için toplam uzunluğu sabittir. Yük h kadar yükseldiğinde alt bloğu taşıyan n kolun her biri h kadar kısalır; kısalan toplam n · h uzunluk serbest uçtan dışarı çıkmak zorundadır. Bu yüzden ideal palangada ip ucu yükün n katı yol alır. Dört kollu düzenekte yük 1,5 m kalkınca 6 m ip çekilir. Yollar her an bu oranda olduğundan hızlar da aynı orandadır: v_uç = n · v_yük. Hareketli makarada yük saniyede yarım metre yükseliyorsa el aynı sürede bir metre ip çeker. Güç dilinde de sonuç aynıdır: ideal durumda F · v_uç = G · v_yük. Kuvvet n kat küçülürken hız n kat büyür; makine gücü artırmaz.

İki hareketli makara üst üste bağlanırsa, yani yükü taşıyan makaranın serbest ucu ikinci bir hareketli makaranın eksenine tutturulursa her basamak kuvveti ayrı ayrı yarılar. Ağırlıksız makaralarda kuvvet dörtte bire iner, el yükün dört katı yol alır. Makaralar ağırsa hesap alttan başlar: önce alttaki makaranın ipindeki gerilme bulunur, sonra bu gerilme üstteki makaranın yükü sayılır.

Kaldıraç ve makaradan sonra

Kaldıraçta kuvveti yüke kolların oranı, makarada alt bloğu taşıyan kolların sayısı bağladı; ikisinin arkasında da aynı iş eşitliği duruyordu. Yük düşey kaldırılmak yerine bir rampa boyunca itilirse, kazancı rampanın uzunluğu ile çıkılan yükseklik mi belirler? Bir vidanın dişleri neden sarılmış bir rampa gibi okunabilir ve bir turda ne kadar ilerler? Kola bağlı bir silindire sarılan ipte kolun ve silindirin yarıçapları kuvveti nasıl paylaşır? Birbirine geçen iki dişlide diş sayıları tur sayılarını ve dönme yönünü nasıl belirler, araya üçüncü bir dişli girince ne değişir? «Eğik düzlem, çıkrık ve dişliler» dersi aynı eşitliği bu düzeneklere taşıyor.

Örnek 1 — El arabasında tutamak kuvveti

Soru: Yasemin bahçede bir el arabasıyla toprak taşıyor. Tekerlek ekseni ile tutamaklar arasındaki yatay uzaklık 1,5 m; arabanın içindeki toprağın ağırlık merkezi eksenden 0,5 m uzakta ve toprak 900 N. Arabanın kendi ağırlığını önemsemezsek tutamakları yerden kaldırmak için Yasemin'in uygulaması gereken düşey kuvvet ne kadardır?

• A) tutamakta 2700 N
• B) tutamakta 450 N
• C) tutamakta 600 N
• D) tutamakta 300 N
• E) tutamakta 900 N

Çözüm: El arabası ikinci tür kaldıraçtır: destek tekerlek ekseni, yük ortada, kuvvet uçtadır. Eksene göre tork dengesi F · 1,5 = 900 · 0,5 verir ve F = 300 N olur. Kolları ters kuran 2700 N bulur. 450 N, kuvvet kolunu yük ile tutamak arasındaki 1,0 m'lik uzaklık sanmaktan gelir. 600 N tekerleğe binen kuvvettir (900 − 300); 900 N ise basit makinenin hiç kazanç sağlamadığını varsaymaktır. Cevap: D.

Örnek 2 — Kalasın ağırlığı hesaba girince

Soru: Ağırlığı 150 N, boyu 4 m olan düzgün bir kalas, uçlarından birine 1 m uzaklıktaki desteğe oturuyor. Kalasın kısa ucunda 600 N'luk bir sandık duruyor. Zafer uzun uçtan düşey aşağı bastırarak kalası yatay tutmak istiyor. Zafer'in kuvveti (F) ve desteğe binen kuvvet (N) hangisidir?

• A) F = 200 N, N = 800 N
• B) F = 150 N, N = 900 N
• C) F = 250 N, N = 1000 N
• D) F = 150 N, N = 750 N
• E) F = 150 N, N = 600 N

Çözüm: Kalasın orta noktası uçtan 2 m, desteğin 1 m uzun tarafındadır. Desteğe göre sandık bir yöne 600 · 1 = 600 N·m çevirir; Zafer'in kuvveti 3 m'lik kolla ve kalasın ağırlığı 1 m'lik kolla öbür yöne çevirir: F · 3 + 150 · 1 = 600, buradan F = 150 N. Desteğe binen kuvvet düşey kuvvetlerin toplamıdır: 600 + 150 + 150 = 900 N. Kalası ağırlıksız sayan A'ya, ağırlığı yük tarafına koyan C'ye, desteğin Zafer'in kuvvetini de taşıdığını unutan D'ye, yalnız sandığı sayan E'ye ulaşır. Cevap: B.

Örnek 3 — Ağır bloklu palanga

Soru: Bir atölyede 540 N'luk motor bloğu, alt bloğu dört ip koluyla asılı bir palangayla kaldırılıyor. Alt bloğun makaralarıyla birlikte ağırlığı 60 N, sürtünme önemsiz. İpi çeken Vildan'ın kuvveti ve düzeneğin verimi nedir?

• A) F = 135 N, verim %100
• B) F = 300 N, verim %90
• C) F = 150 N, verim %10
• D) F = 150 N, verim %111
• E) F = 150 N, verim %90

Çözüm: Dört kol alt bloğu ve yükü birlikte taşır: 4F = 540 + 60, F = 150 N. Yük 2 m kalksa ip 8 m çekilir; yararlı iş 540 · 2 = 1080 J, verilen iş 150 · 8 = 1200 J, verim 1080 / 1200 = %90'dır. Kısa yoldan G / (G + P) = 540 / 600 de aynı oranı verir. A bloğun ağırlığını unutur; B yalnız iki kol sayar. C kaybolan payı (60 / 600) verim sanır; D oranı ters kurar ve %100'ü aşan bir değer bulur. Cevap: E.

Örnek 4 — Hızlar ve güç

Soru: Bir sabit makara ile bir hareketli makaradan kurulu ideal düzenekte 400 N'luk bir yük, hareketli makaranın eksenine asılı. Yavuz ipin serbest ucunu sabit makaradan aşağı doğru 1,2 m/s sabit hızla çekiyor. Yükün yükselme hızı ve Yavuz'un harcadığı güç nedir?

• A) v = 2,4 m/s, güç 480 W
• B) v = 0,6 m/s, güç 120 W
• C) v = 0,6 m/s, güç 240 W
• D) v = 1,2 m/s, güç 240 W
• E) v = 0,6 m/s, güç 480 W

Çözüm: Hareketli makarayı iki kol taşıdığından ip ucu yükün iki katı hızla gider; yük 0,6 m/s ile yükselir. Yavuz 200 N ile çeker ve gücü 200 · 1,2 = 240 W'tır. Yükün kazandığı güç de 400 · 0,6 = 240 W'tır; ideal makine gücü korur. A hız oranını ters kurar. B kuvveti yükün hızıyla çarpar; D sabit makara varmış gibi hızları eşit alır; E yükün ağırlığını ipin hızıyla çarpar. Cevap: C.

• Kuvvet kazancını iş kazancı sanmak. İdeal makinede F · x_F = G · x_G'dir; kuvvet ne kadar küçülürse el o kadar uzun yol alır. Sürtünme varsa verilen iş yararlı işten büyüktür, küçük olamaz.
• Palangada serbest ucu kol saymak. Alt bloğu taşıyan kollar sayılır. Üst bloktan ele inen uç alt bloğa değmez; yalnız serbest uç alt bloktan çıkıp yukarı çekiliyorsa sayılır.
• Hareketli makaranın ağırlığını unutmak, sabit makaranın ağırlığını kuvvete katmak. Hareketli makara yükle birlikte kalkar ve n · F = G + P olur. Sabit makaranın ağırlığı eksenden geçer; çekiş kuvvetini değil, askıya binen yükü artırır.
• Kaldıraç türünü çubuğun biçiminden okumak. Tür, destek, yük ve kuvvetin sırasıyla belirlenir; ortada yük varsa ikinci, kuvvet varsa üçüncü türdür.
• Kalasın ağırlığını yanlış kola koymak. Düzgün çubuğun ağırlığı ortasındadır; kolu uçtan değil destekten ölçülür.
• Hız oranını ters kurmak. Kuvveti n kat küçülten düzenekte ip ucu yükten n kat hızlı gider; yük ip ucundan yavaştır.