Eğik düzlem, çıkrık ve dişliler

Robotik kulübünün rampa yarışına bir hafta kala Bora, küçük arabasını hızlandırmanın yolunu bulduğunu düşünüyor. Motor milindeki dişliye dokunmadan tekerlek miline takılı 12 dişli dişliyi söküyor, yerine üç kat büyük, 36 dişli bir dişli takıyor. «Büyük dişli, büyük hız» diyor; «tekerleğe kocaman bir çark bağladım, araba uçacak.» Düz pistte araba eskisinden belirgin biçimde yavaş gidiyor. Ama pistin sonundaki dik rampada, önceki denemelerde yarı yolda kalan araba bu kez tepeye kadar tırmanıyor. Bora'nın yanılgısı, dişlinin büyüklüğünü hızla eşlemek. Büyük dişli tekerleğin turunu azalttı, karşılığında tekerleğe daha büyük tork ulaştırdı. Bu derste dişlileri, kasnakları, çıkrığı, vidayı ve rampanın kendisini birer makine olarak okuyup bu takası hesaplıyoruz.

• Eğik düzlemde ve vidada iş eşitliğini kurup gereken kuvveti, ideal ve gerçek mekanik avantajı, verimi bulursun.
• Çıkrıkta tork dengesinden kola uygulanacak kuvveti, bir turda kolun ve ipin aldığı yolu bulursun.
• Dişli ve kasnak düzeneklerinde her parçanın tur sayısını ve dönme yönünü izlersin.
• Dişli oranından çıkış milindeki torku ve hız ile kuvvet arasındaki takası yorumlarsın.

Kaldıraçtan sonra aynı hesap

«Kaldıraç ve makaralar» dersinde mekanik avantajı (kuvvet kazancı), yükün elin uyguladığı kuvvetin kaç katı olduğunu söyleyen G / F oranıyla tanımlamış ve sürtünmesiz bir makinede kuvvet ile yolunun çarpımının yük ile yolununkine eşit kaldığını görmüştük:

F · (kuvvetin yolu) = G · (yükün yolu)

Bu derste aynı eşitliği yeni düzeneklere taşıyoruz. Her makinede ilk iş, yük belli bir miktar yükselirken kuvvetin uygulandığı noktanın ne kadar yol aldığını bulmaktır. İdeal mekanik avantaj bu iki yolun oranıdır; sürtünme varsa gerçek avantaj ondan küçük kalır. Rampada iki yol eğimin uzunluğu ile yüksekliğidir, vidada kolun çizdiği çember ile vidanın bir turdaki ilerlemesi, çıkrıkta kolun ve silindirin çevreleri. Dişlilerde aynı takas yol ile kuvvet arasında değil, tur sayısı ile tork arasında görülür.

Eğik düzlem bir makine olarak

«Eğik düzlemde hareket» dersinde eğimdeki cismin ağırlığını eğime paralel ve dik bileşenlere ayırmıştık. Şimdi aynı eğime başka bir gözle bakıyoruz: yükü h yüksekliğine çıkarmanın bir aracı olarak. Sürtünme yoksa ve kuvvet eğime paralel uygulanıyorsa, yükü L uzunluğundaki eğim boyunca sabit hızla çıkaran kuvvetin işi yükün potansiyel enerjisindeki artışa eşittir:

F · L = G · h

Ağırlığı 900 N olan bir varil 4,5 m uzunluğundaki bir rampayla 1,2 m yükseğe çıkarılacak olsun. Eğime paralel kuvvet 900 · 1,2 / 4,5 = 240 N bulunur. İdeal mekanik avantaj L / h = 3,75'tir. Bu sonuç bileşen hesabıyla da çelişmez, çünkü h / L oranı eğim açısının sinüsüdür ve F = G · sin θ aynı sayıyı verir. Eğim yatıklaştıkça L büyür, gereken kuvvet küçülür; bedeli, yükü daha uzun bir yol boyunca itmektir.

Sürtünmeli eğim ve verim

TYT'deki «Verim» dersinde rampa için kurduğumuz oran burada da geçerlidir. Gerçek bir rampada yükü sabit hızla çıkarmak için ideal kuvvete sürtünmeyi yenecek kadar ek kuvvet gerekir. Az önceki rampada sürtünme kuvveti 60 N ise itme kuvveti 240 + 60 = 300 N olur. Yararlı iş G · h = 1080 J, verilen iş F · L = 1350 J'dür. Verim bu ikisinin oranıdır:

verim = (G · h) / (F · L)

Bu örnekte 1080 / 1350 = 0,8, yani yüzde 80 çıkar. Aynı oran avantajlarla da okunabilir: gerçek mekanik avantaj 900 / 300 = 3, ideal olanı 3,75'tir ve 3 / 3,75 yine 0,8'dir. Verim düştükçe gerçek avantaj ideal değerden uzaklaşır; ideal avantaj ise yalnız L ve h'ye bağlı kalır.

Vida: sarılmış bir eğik düzlem

Kâğıttan dik üçgen biçiminde bir parça kesip uzun kenarı bir kalemin çevresine gelecek biçimde sardığımızda üçgenin eğik kenarı kalemin üstünde sarmal bir çizgi bırakır. Vidanın dişleri tam da böyle sarılmış bir eğik düzlemdir. Vida bir tur döndüğünde bir diş aralığı kadar ilerler; bu uzaklığa vida adımı (a) denir. Vidayı r uzunluğundaki bir kolla çeviren el bir turda 2π · r yol alırken yük yalnız a kadar yükselir. İdeal vida için:

F · 2π · r = G · a

Lastik değiştirirken kullanılan krikolara benzeyen, düşey vidalı varsayımsal bir kriko düşünelim: kol 0,25 m, adım 5 mm, π = 3 alınsın. Elin bir turdaki yolu 2 · 3 · 0,25 = 1,5 m, yükünki 0,005 m'dir; ideal mekanik avantaj 300 olur. Krikonun taşıdığı yük 6000 N ise kola 20 N yeter. Vidalarda sürtünme büyüktür; verim yüzde 40 olsaydı aynı yük için 50 N gerekirdi. Aracın köşesini 3 cm kaldırmak için vida 0,03 / 0,005 = 6 tur atmalı, el de 6 · 1,5 = 9 m yol çizmelidir.

Çıkrık

Çıkrık, aynı mile bağlı bir silindir ile bir koldan oluşur. Yükü taşıyan ip yarıçapı r olan silindire sarılır, kuvvet ise milden R uzaklıktaki kola uygulanır. Mil dönme eksenidir ve ipin gerilmesi ile kola uygulanan kuvvet bu eksene göre zıt yönde tork üretir. «Denge koşulları» dersinde kurduğumuz tork dengesi çıkrıkta tek satıra iner:

F · R = G · r

Bir şantiyede 200 N'luk harç kovasını çeken el çıkrığında silindirin yarıçapı 0,1 m, kol 0,4 m olsun. Kova sabit hızla yükselirken kola 200 · 0,1 / 0,4 = 50 N uygulanır. Kol bir tur attığında elin yolu kolun çizdiği çemberin çevresi, 2 · 3 · 0,4 = 2,4 m'dir; ipin silindire sarılan kısmı ise silindirin çevresi kadar, 0,6 m'dir. İş yine eşit: 50 · 2,4 = 200 · 0,6 = 120 J. Mekanik avantaj R / r = 4'tür. Burada dikkat edilecek nokta, ipin yolunu kolun değil silindirin çevresinin belirlemesidir.

Birbirine geçen dişliler

Dişlilerin kenarları birbirine geçtiği için temas noktasında kaymazlar; iki dişlinin kenarındaki bir nokta aynı sürede aynı yayı tarar. Buna kenarların çevresel hızlarının eşitliği diyoruz. Dişler aynı büyüklükte açıldığı için bir dişlinin diş sayısı yarıçapıyla orantılıdır. 12 dişli bir dişli 36 dişli bir dişliyi çevirsin. Küçük dişli bir turda 12 dişini temas noktasından geçirir; büyüğün tam bir tur atması için 36 dişin geçmesi, yani küçüğün üç tur atması gerekir. Küçük dişli 90 tur atarken büyük dişli 30 tur atar. Genel kural:

n₁ · f₁ = n₂ · f₂ ya da r₁ · f₁ = r₂ · f₂

Burada n diş sayısı, f tur sayısıdır; tur sayısı diş sayısıyla ters orantılıdır. Yönlere gelince, temas noktasında iki kenar aynı yöne gittiği için dişlilerin kendileri zıt yönlerde döner: biri saat yönündeyse öteki saat yönünün tersindedir. İki dişlinin arasına üçüncü bir dişli konursa yön bir kez daha döner ve uçtaki dişliler aynı yöne çevrilir. Aradaki bu ara dişli tur oranını değiştirmez: 12 dişliden 20 dişliye, oradan 36 dişliye geçen hareket yine 90 turu 30 tura indirir, çünkü ara dişlinin diş sayısı bir hesapta çarpar, ötekinde böler.

Kayışla bağlı kasnaklar

İki kasnak kaymayan bir kayışla bağlandığında kayış her iki kasnağın kenarında aynı hızla ilerler, bu yüzden r₁ · f₁ = r₂ · f₂ eşitliği burada da geçerlidir. Fark yöndedir: düz bir kayış iki kasnağı aynı yönde çevirir. Yarıçapı 10 cm olan kasnak 50 tur atarken yarıçapı 25 cm olan kasnak aynı yönde 20 tur atar. Kayış iki kasnak arasında sekiz biçiminde çaprazlanırsa dönme yönleri zıtlaşır, tur oranı değişmez. Bisiklet zinciri de bu anlamda bir kayıştır ve ön dişliyle arka dişliyi aynı yönde döndürür.

Aynı mile takılı dişliler

Aynı mile sıkıca takılmış iki dişli bir bütün gibi döner: tur sayıları da yönleri de aynıdır. Çevresel hızları ise eşit değildir; aynı sürede büyük olanın kenarı daha uzun bir çember çizer, bu yüzden kenar hızı yarıçapla orantılıdır. Kademeli düzenekler bu iki kuralı ardı ardına kullanır. 10 dişli A dişlisi 30 dişli B'yi çevirsin; B'nin miline 12 dişli C takılı olsun ve C de 36 dişli D'yi çevirsin. A 90 tur atarken B 30 tur atar, C de B ile aynı milde olduğu için 30 tur atar, D ise 30 · 12 / 36 = 10 tura iner. Yön için zinciri adım adım izleriz: A saat yönündeyse B tersine döner, C onunla aynı yöne, D yeniden saat yönüne.

Dişlilerde tork

Temas noktasında iki dişli birbirine büyüklükçe eşit, yönce zıt kuvvetler uygular. Bu ortak kuvvet her dişlinin kendi yarıçapıyla çarpılınca torklar yarıçaplarla orantılı çıkar. 12 dişli bir motor dişlisi 4 N·m torkla 36 dişliyi çeviriyorsa, sürtünmesiz durumda büyük dişlinin torku 4 · 36 / 12 = 12 N·m olur; buna karşılık tur sayısı üçte bire iner. Tur sayısı ile torkun çarpımı korunur. Kancadaki arabada da olan budur: tekerlek milindeki dişli 12 dişten 36 dişe çıkınca tekerleğin turu üçte bire indi, tekerleğe ulaşan tork üç katına çıktı. Bu, enerjinin korunumunun dişlideki biçimidir: küçük dişliden büyüğe aktarılan hareket torktan kazandırır, turdan kaybettirir. Büyük dişliyle küçüğü çevirmek tam tersini yapar; tur sayısı artar, tork azalır.

Bisiklet vitesi

Bisikletin pedalları ön dişliyi, zincir de arka tekerleğe bağlı arka dişliyi döndürür. Pedalın bir turunda arka dişli, ön dişlinin diş sayısının arka dişlininkine oranı kadar tur atar. Yokuşta bisikletli arkada daha büyük bir dişliye geçer: pedalın her turu tekerleği daha az döndürür, ama zincirin ilettiği aynı kuvvet daha büyük bir yarıçapta çalıştığı için arka tekerleğe daha büyük tork ulaşır. Düz yolda küçük arka dişli tercih edilir; pedal her turda tekerleği daha çok döndürür, buna karşılık daha büyük kuvvet ister. Hangi oranın seçileceği yola ve sürücünün temposuna bağlıdır; burada geçerli olan, iş eşitliğinin vitesin her konumunda bozulmamasıdır.

Soru çözme sırası

Önce makinenin türünü ve kuvvetin ile yükün yollarını belirle. Eğik düzlemde L ile h'yi, vidada 2π · r ile a'yı, çıkrıkta R ile r'yi eşleştir ve iş eşitliğini kur. Sürtünme ya da verim verilmişse ideal kuvveti verime böl. Dişli sorularında her bağlantıyı ayrı ayrı yaz: birbirine geçen dişlide çevresel hız eşit ve yön ters, kayışta çevresel hız eşit ve yön aynı, ortak milde tur sayısı ve yön aynı. Yönü en son, zincirin başından sonuna sayarak bul.

Bu derste dönmeyi çoğunlukla tur sayısıyla ölçtük; bir turun kaç saniye sürdüğü hesaba pek girmedi. Dişlinin kenarındaki bir diş, sabit bir çember üzerinde hiç yavaşlamadan dolaşırken bile hızının yönü her an değişir. Bir turun süresi olan periyot, yarıçaptan bağımsız olarak dönmenin ne kadar hızlı olduğunu söyleyen açısal hız ve sürati değişmeyen bir cismin neden ivmelendiği «Düzgün çembersel hareket» dersinin konusu; ortak mildeki dişlilerin aynı turu atıp farklı kenar hızlarına sahip olması orada yeni bir adla karşımıza çıkacak.

Örnek 1 — Sürtünmesiz rampada kuvvet

Soru: 1200 N'luk bir dolap, 3,2 m uzunluğundaki sürtünmesiz bir rampa boyunca 0,8 m yükseğe, eğime paralel tutulan bir kuvvetle hızı değişmeden çıkarılıyor. Bu kuvvet kaç newtondur?

• A) F = 960
• B) F = 375
• C) F = 4800
• D) F = 300
• E) F = 1200

Çözüm: F · L = G · h eşitliğinden F = 1200 · 0,8 / 3,2 = 300 N. 4800 L ile h'nin yer değiştirmesinden, 960 L'yi hiç kullanmamaktan, 375 ise h'yi atlamaktan gelir. Cevap: D.

Örnek 2 — Verim ve sürtünme kuvveti

Soru: 750 N'luk bir yük 6 m uzunluğundaki bir rampada eğime paralel 200 N'luk kuvvetle sabit hızla 1,2 m yükseğe çıkarılıyor. Rampanın verimi ve yüke etki eden sürtünme kuvveti nedir?

• A) %75 ve 200 N
• B) %75 ve 50 N
• C) %80 ve 50 N
• D) %25 ve 150 N
• E) %133 ve 50 N

Çözüm: Yararlı iş 750 · 1,2 = 900 J, verilen iş 200 · 6 = 1200 J; verim 900 / 1200 = 0,75. İdeal kuvvet 900 / 6 = 150 N olduğundan sürtünme 200 − 150 = 50 N'dur. Yüzde 133 oranı ters kurmaktan gelir ve yüzde yüzü aşan bir verim enerjinin korunumuna aykırıdır. Cevap: B.

Örnek 3 — Çıkrıkta kuvvet ve yükselme

Soru: Bir çıkrıkta kolun uzunluğu 0,5 m, ipin sarıldığı silindirin yarıçapı 0,1 m'dir. Ağırlığı 400 N olan bir kasa sürtünmesiz olarak sabit hızla çekilmektedir. Kola uygulanması gereken kuvvet ve kol 5 tur attığında yükün yükselmesi nedir? (π = 3)

• A) 80 N ve 3 m
• B) 80 N ve 15 m
• C) 2000 N ve 3 m
• D) 80 N ve 0,5 m
• E) 400 N ve 3 m

Çözüm: Tork dengesi F · 0,5 = 400 · 0,1 eşitliğinden F = 80 N verir. Her turda ip silindirin çevresi kadar, 2 · 3 · 0,1 = 0,6 m sarılır; 5 turda yük 3 m yükselir. 15 m kolun ucunun yoludur. Cevap: A.

Örnek 4 — Kademeli dişli düzeneği

Soru: 10 dişli A dişlisi 30 dişli B'yi çeviriyor. B'nin miline 12 dişli C takılı ve C, 36 dişli D'ye geçmiş. A saat yönünde 90 tur atarken D'nin tur sayısı ve dönme yönü nedir?

• A) D 30 tur atar, A'nın tersine döner
• B) D 270 tur atar, A ile aynı yöne döner
• C) D 10 tur atar, A'nın tersine döner
• D) D 30 tur atar, A ile aynı yöne döner
• E) D 10 tur atar, A ile aynı yöne döner

Çözüm: A ile B arasında 90 · 10 / 30 = 30 tur. C aynı milde olduğu için 30 tur atar ve B ile aynı yöne döner. D'de 30 · 12 / 36 = 10 tur. Yön: A saat yönünde, B tersine, C tersine, D yeniden saat yönünde. Cevap: E.

• Büyük dişliyi büyük hız sanmak. Çevrilen dişli büyüdükçe tur sayısı azalır, tork artar; kancadaki araba bu yüzden düzde yavaşladı, rampada güçlendi.
• Eğik düzlemde L ile h'yi yer değiştirmek. Gereken kuvvet G · h / L'dir; uzun rampa kuvveti küçültür, büyütmez.
• Çıkrıkta ipin yolunu kolun yolu sanmak. Bir turda ip silindirin çevresi kadar, kolun ucu ise kolun çizdiği çemberin çevresi kadar yol alır.
• Vidada 2π'yi unutmak. Elin bir turdaki yolu kolun uzunluğu değil, 2π · r'dir.
• Verimi ideal kuvvetle çarpmak. Gerçek kuvvet ideal kuvvetin verime bölümüdür; çarpınca sürtünmeli makine idealinden kolay görünür.
• Bütün bağlantılarda yönü ters saymak. Birbirine geçen dişliler zıt yöne, düz kayışla bağlı kasnaklar ve aynı mildeki dişliler aynı yöne döner.