Kütle ve ağırlık merkezi

Tuğba yeni aldığı süpürgeyi sapından tek eliyle yatay taşımak istiyor. Tahta sapın boyunu şerit metreyle ölçmüş, 120 cm; elini tam 60. santimetreye koyuyor. Süpürge hemen fırçalı başından aşağı yatıyor. Tuğba elini fırçaya doğru biraz kaydırıyor, sonra biraz daha; süpürge ancak fırçaya 30 cm kala yatay duruyor. Ağabeyi Utku bir de iddia atıyor: «Buradan testereyle kesersek iki parça aynı ağırlıkta olur, ne de olsa dengede.» Tuğba'nın ilk yanılgısı, bir cismin dengelendiği noktayı boyunun ortası sanmak; Utku'nunki, denge noktasının cismi iki eşit kütleye böldüğünü düşünmek. Bu derste dengenin yaşandığı o noktayı, kütle merkezini, koordinatlarla hesaplıyor; cismin asıldığında nasıl duracağını ve ne zaman devrileceğini ondan okuyoruz.

• Noktasal kütlelerden ve düzgün parçalardan oluşan bir sistemin kütle merkezini bir ve iki boyutta koordinatla hesaplarsın.
• Parçası kesilip çıkarılmış levhanın kütle merkezini çıkan parçayı eksi kütle sayarak bulursun.
• Serbestçe asılan bir cismin hangi açıyla duracağını ağırlık merkezinden belirlersin.
• Bir cismin devrilme sınırını ve dengesinin kararlı, kararsız ya da nötr olduğunu ağırlık merkezinin konumundan ayırt edersin.

Süpürge neden ortasından dengelenmedi?

Süpürgeyi iki parçalı bir sistem gibi düşünelim. Sap 1,2 m boyunda ve 0,6 kg kütlede düzgün bir çubuk; fırçalı baş da 0,6 kg ve kolaylık için sapın ucunda toplanmış sayılsın. Sapın kendi ağırlığı ortasına, yani boş uçtan 0,6 m uzağa yüklenir; başın ağırlığı ise 1,2 m'dedir. Tuğba sapı 0,6 m'den tuttuğunda sapın ağırlığı elinin tam üstündedir ve hiç döndürmez, ama başın 6 N'luk ağırlığı 0,6 m'lik kolla 3,6 N·m'lik bir tork üretir. «Tork» dersindeki hesap burada doğrudan iş görür: süpürgenin yatay kalması için elin, iki ağırlığın torklarını birbirine eşitleyen yerde olması gerekir. O yer boş uçtan 0,9 m uzaktadır ve aşağıda bunu bir formülle bulacağız.

Noktasal kütleler: ağırlıklı ortalama

Bir doğru üzerinde x₁, x₂, … konumlarında m₁, m₂, … kütleleri varsa kütle merkezinin konumu

x_km = (m₁ · x₁ + m₂ · x₂ + …) / (m₁ + m₂ + …)

ile hesaplanır. Bu, konumların sıradan ortalaması değil, her konumun kendi kütlesiyle tartıldığı ortalamadır. Süpürge için x_km = (0,6 · 0,6 + 0,6 · 1,2) / 1,2 = 0,9 m bulunur. Başka bir sayısal deneme: x = 0'da 2 kg, x = 5 m'de 3 kg varsa x_km = 15 / 5 = 3 m olur. Bu nokta iki kütlenin arasında, ama ağır olana daha yakındır: 2 kg'lık cisme uzaklığı 3 m, 3 kg'lık cisme uzaklığı ise 2 m; kütle ile uzaklık çarpımları (2 · 3 ile 3 · 2) birbirini tutar. İki kütleli bir sistemde m₁ · d₁ = m₂ · d₂ bağıntısı, kütle merkezine göre iki ağırlığın torklarının eşit olduğunu söyler.

Utku'nun yanılgısını da bu eşitlik çözer. Süpürge 0,9 m'den kesilirse sap tarafındaki parça 0,45 kg'dır. Baş tarafındaki parçada 0,3 m'lik sap kalıntısı (0,15 kg) ile baş birlikte 0,75 kg eder. Denge, kütlelerin değil, kütle ile kol çarpımlarının eşitliğidir: kısa kalan ve kesim noktasına yakın duran parça daha ağırdır.

«Momentumun korunumu» dersinde kütle merkezinin hızını toplam momentumun toplam kütleye bölümü olarak yazmıştık. Konum formülü onun kardeşidir; hızların yerine konumlar tartılır.

İki boyutta kütle merkezi

Kütleler bir düzlemde dağılmışsa yatay ve düşey koordinatlar birbirinden bağımsız hesaplanır:

x_km = Σ m · x / Σ m ve y_km = Σ m · y / Σ m

Örneğin (0; 0) noktasında 2 kg, (4; 0) noktasında 2 kg ve (2; 3) noktasında 4 kg olsun (uzaklıklar metre). x_km = (0 + 8 + 8) / 8 = 2 m ve y_km = (0 + 0 + 12) / 8 = 1,5 m çıkar. Kütle merkezi (2; 1,5) noktasındadır. Her koordinat için payda aynı kalır: sistemin toplam kütlesi.

Kütle merkezi ve ağırlık merkezi

Kütle merkezi kütlenin dağılımından bulunan geometrik bir noktadır. Ağırlık merkezi ise cismin bütün ağırlığının etki ettiği varsayılabilecek noktadır: parçaların ağırlıklarının bu noktaya göre torkları toplamda sıfır verir. Yerçekimi ivmesi cismin her yerinde aynıysa her parçanın ağırlığı kütlesiyle aynı oranda büyür ve iki nokta çakışır. YKS düzeyindeki sorularda g bütün cisim boyunca 10 m/s² kabul edildiğinden bu varsayım geçerlidir; iki terimin ayrıldığı durum, g'nin cismin bir ucundan öbürüne fark edilir biçimde değiştiği çok büyük cisimlerdir. Bu derste ikisini aynı nokta sayıyoruz.

Simetriden okumak: düzgün cisimler

Kütlesi her yere eşit dağılmış, yani düzgün bir cisimde kütle merkezi simetri ekseninin üzerindedir; birden çok simetri ekseni varsa bunların kesiştiği yerdedir. Düzgün bir çubuğunki orta noktasında, dikdörtgen ya da kare levhanınki köşegenlerin kesiştiği yerde, dolu dairesel diskinki merkezindedir. Düzgün üçgen levhanın kütle merkezi kenarortayların kesiştiği noktadır ve koordinatları üç köşenin koordinat ortalamasıdır. Kütle merkezi cismin malzemesinin üzerinde olmak zorunda değildir: bir halkanın ya da yüzüğün kütle merkezi ortadaki boşluktadır.

Parçalara bölerek: L levha ve birleştirilmiş çubuklar

Karmaşık bir cismi, kütle merkezi bilinen düzgün parçalara bölüp her parçayı kendi merkezinde toplanmış bir noktasal kütle gibi kullanırız. Düzgün bir levhada kütle alanla orantılı olduğundan kütle yerine alan yazmak yeter. Bir L levhayı iki dikdörtgene ayıralım (ölçüler cm): yatay kol 0 ≤ x ≤ 60, 0 ≤ y ≤ 20 (alanı 1200, merkezi (30; 10)), dikey kol 0 ≤ x ≤ 20, 20 ≤ y ≤ 60 (alanı 800, merkezi (10; 40)). x_km = (1200 · 30 + 800 · 10) / 2000 = 22 cm, y_km = (1200 · 10 + 800 · 40) / 2000 = 22 cm. (22; 22) noktası levhanın içinde değil, iki kolun arasındaki boş köşededir; L biçimi halka gibi kütle merkezini malzemenin dışına taşıyabilir.

Çubuklar uç uca eklenince de yöntem aynıdır. 0,6 m boyunda 2 kg'lık bir çubuğun ucuna 0,4 m boyunda 3 kg'lık başka bir çubuk eklenirse merkezler 0,3 m ve 0,8 m'dedir; x_km = (2 · 0,3 + 3 · 0,8) / 5 = 0,6 m çıkar. Kütle merkezi tam ekleme yerine düşer.

Bir parçayı çıkarmak: negatif kütle

Levhadan bir parça kesilip atıldığında kalan biçimi parçalara bölmek zahmetli olabilir. Daha kısa yol, kesilmemiş levhayı artı, çıkan parçayı eksi kütle saymaktır. 60 cm × 40 cm'lik düzgün bir levha 0 ≤ x ≤ 60, 0 ≤ y ≤ 40 bölgesini kaplasın ve 40 ≤ x ≤ 60, 0 ≤ y ≤ 20 bölgesindeki kare köşe kesilip atılsın. Tam levhanın alanı 2400, merkezi (30; 20); çıkan karenin alanı 400, merkezi (50; 10). x_km = (2400 · 30 − 400 · 50) / (2400 − 400) = 26 cm ve y_km = (2400 · 20 − 400 · 10) / 2000 = 22 cm. Kalan levhanın kütle merkezi (26; 22) noktasına, yani kesilen köşeden uzaklaşarak sola ve yukarı kaydı. Paydada da çıkan alan düşülür: 2400 değil 2000 yazılır. Disk ve deliklerde aynı yol izlenir, yalnız alanlar yarıçapın karesiyle orantılı alınır.

Asılan cisim nasıl durur?

Bir levha tek bir noktadan iple ya da çiviyle asılıp serbest bırakılırsa salınır ve sonunda ağırlık merkezi asılma noktasının tam altına gelecek biçimde durur. Bunun nedeni torktur: ağırlık merkezi düşeyin yanında kaldıkça ağırlığın asılma noktasına göre bir kolu vardır ve cismi döndürür; ancak etki çizgisi asılma noktasından geçtiğinde tork sıfırlanır. Yukarıdaki L levhayı iki kolun birleştiği dış köşeden, yani (0; 0) noktasından asalım. Bu köşeyi (22; 22) noktasına bağlayan çizgi düşey olur; çizgi iki dış kenarla da 45° yaptığından levha iki kolu aşağıya eşit açıyla sarkarak durur. Kütle merkezi malzemenin dışında olsa bile asılma noktasının altına gelen yine odur. Atölyede kütle merkezini deneyle bulmanın yolu da budur: levha önce bir noktadan, sonra başka bir noktadan asılır, her seferinde asılma noktasından düşey bir çizgi çekilir ve çizgilerin kesiştiği yer ağırlık merkezidir.

Devrilme sınırı

Yerde duran bir cisim, ağırlık merkezinden geçen düşey çizgi destek yüzeyinin, yani zemine değdiği tabanın içinde kaldıkça kendiliğinden doğrulur. Cisim bir kenarı üzerinde yan yatırılınca bu düşey, o kenara yaklaşır. Kenarı geçtiği anda ağırlığın kenara göre torku yön değiştirir ve cisim devrilir. Tabanı b genişliğinde, ağırlık merkezi zeminden h yükseklikte olan simetrik bir cisim için sınır açısı tan θ = (b / 2) / h ile bulunur. Genişliği 0,6 m, yüksekliği 0,8 m olan düzgün bir kutunun ağırlık merkezi 0,4 m yüksektedir; tan θ = 0,3 / 0,4 = 0,75 ve kutu 37°'yi aşınca devrilir. Ağırlık merkezini alçaltmak ya da tabanı genişletmek bu açıyı büyütür ve cismi devrilmeye karşı dayanıklı kılar.

Kararlı, kararsız ve nötr denge

Dengedeki bir cismi biraz yerinden oynattığımızda neye döneceğine ağırlık merkezinin yüksekliği karar verir. Küçük bir itişte ağırlık merkezi yükseliyorsa cisim bırakıldığında eski yerine döner: kararlı denge. Bir kâsenin dibindeki bilye ve asılma noktasının altında sallanan levha böyledir. Ağırlık merkezi alçalıyorsa cisim kendiliğinden uzaklaşır: kararsız denge. Ucunun üstünde duran kalem, kubbenin tepesindeki bilye bu türdendir. Ağırlık merkezinin yüksekliği değişmiyorsa cisim yeni konumunda da kalır: nötr denge. Düz zemindeki bilye ve tam merkezinden mile takılmış düzgün disk her konumda dengededir. Mile takılı bir çubuk için kural kısadır: mil ağırlık merkezinin üstündeyse kararlı, altındaysa kararsız, tam üzerindeyse nötr. Enerji diliyle söylersek kararlı dengede cismin kütle çekim potansiyel enerjisi çevresindeki konumlara göre en küçük, kararsız dengede en büyük değerindedir; nötr dengede komşu konumlarla aynıdır.

Ağırlık merkezinden kaldıraca

Bu dersteki süpürgede, çubuklarda ve dolapta cismin kendi ağırlığını tek bir noktaya topladık. Bir levye bir taşın üstüne dayanıp kısa ucuyla ağır bir kayanın altına sokulduğunda bu nokta yeniden hesaba girer: uzun ucu bastıran el kayadan çok daha küçük bir kuvvetle işi görür, ama kaya birkaç santimetre kalkarken el çok daha uzun bir yol iner. Kuvvetten kazanılan şey bedava mıdır, yoksa yoldan ödenir mi? Levyenin kendi ağırlığı ağırlık merkezinden etki ettiğinde gereken kuvvet artar mı, azalır mı? Bir ipi birkaç makaradan geçirmek yükü kollar arasında nasıl paylaştırır? «Kaldıraç ve makaralar» dersi bu soruları kuvvet kazancı ve verimle hesaplıyor.

Örnek 1 — Çekicin denge noktası

Soru: Bir çekicin 0,4 m boyunda, 0,4 kg kütleli düzgün tahta sapının ucunda 1,2 kg'lık demir başı var (baş noktasal sayılsın). Çekiç, sapın boş ucundan kaç metre uzaktan tek parmakla tutulursa yatay dengede kalır?

• A) boş uçtan 0,2 m
• B) boş uçtan 0,56 m
• C) boş uçtan 0,05 m
• D) boş uçtan 0,35 m
• E) boş uçtan 0,4 m

Çözüm: Sap kendi orta noktasında, yani 0,2 m'de toplanmış bir kütle gibi davranır; baş 0,4 m'dedir. x_km = (0,4 · 0,2 + 1,2 · 0,4) / (0,4 + 1,2) = 0,56 / 1,6 = 0,35 m. Paydayı unutup 0,56'da bırakan B'ye, sapın geometrik ortasını alan A'ya, bütün kütleyi başta sanan E'ye gider. 0,05 m, bulunan noktanın baş tarafındaki uca uzaklığıdır; soru boş uçtan ölçüm istediği için C yanlıştır. Ağır baş, denge noktasını neredeyse kendi üstüne çeker. Cevap: D.

Örnek 2 — L levhanın kütle merkezi

Soru: Düzgün, ince bir L levha iki dikdörtgenden oluşuyor (ölçüler cm): birincisi 0 ≤ x ≤ 50 ve 0 ≤ y ≤ 10, ikincisi 0 ≤ x ≤ 10 ve 10 ≤ y ≤ 40 bölgesini kaplıyor. Levhanın kütle merkezinin koordinatları nedir?

• A) (x; y) = (15; 15)
• B) (x; y) = (17,5; 12,5)
• C) (x; y) = (25; 20)
• D) (x; y) = (12,5; 17,5)
• E) (x; y) = (10; 10)

Çözüm: Alanlar 50 · 10 = 500 ve 10 · 30 = 300, merkezler (25; 5) ve (5; 25). x_km = (500 · 25 + 300 · 5) / 800 = 17,5 ve y_km = (500 · 5 + 300 · 25) / 800 = 12,5. İki merkezin ağırlıksız ortalaması A'yı, alanları ters eşleştirmek D'yi, levhayı çevreleyen 50 × 40'lık dikdörtgenin merkezini almak C'yi verir. E iç köşenin kendisidir. (17,5; 12,5) noktasında malzeme yoktur: x > 10 olduğu için dikey kolda, y > 10 olduğu için yatay kolda kalmaz. Cevap: B.

Örnek 3 — Delikli disk

Soru: Yarıçapı 30 cm olan düzgün bir diskten, kenarı diskin kenarına içten değen 15 cm yarıçaplı bir daire kesiliyor; deliğin merkezi diskin merkezinin 15 cm sağında. Kalan levhanın kütle merkezi nerededir?

• A) merkezin 5 cm sağında
• B) merkezin 15 cm solunda
• C) merkezin 3,75 cm solunda
• D) tam merkezde
• E) merkezin 5 cm solunda

Çözüm: Kütleler alanla, alanlar yarıçapın karesiyle orantılıdır: tam disk 4 birim, delik 1 birim. Sağı artı alırsak x_km = (4 · 0 − 1 · 15) / (4 − 1) = −5 cm. Kütleleri yarıçapla orantılı sanan (2 ve 1) B'yi, paydada tam diskin kütlesini bırakan C'yi, işareti çeviren A'yı bulur. Disk simetrikti, ama delik simetriyi bozdu; D bunu atlar. Cevap: E.

Örnek 4 — Dolabı yüklemek

Soru: 40 kg kütleli, 1,2 m genişliğinde, 1,6 m yüksekliğinde düzgün bir dolap boşken ağırlık merkezi tam ortasında. Dolap bir alt kenarı üzerinde yan yatırılıyor. Sonra alt rafına, ağırlık merkezi zeminden 0,1 m yüksekte kalacak biçimde 40 kg kitap diziliyor. Boş ve dolu dolap için, kendiliğinden devrilmeden yatırılabilecek en büyük açılar hangisidir? (tan 37° = 0,75, tan 53° ≈ 1,33 alınız.)

• A) boş 53°, dolu 37°
• B) boş 37°, dolu 37°
• C) boş 37°, dolu 53°
• D) boş 53°, dolu 53°
• E) boş 37°, dolu dolap hiç devrilmez

Çözüm: Boş dolapta ağırlık merkezi 0,8 m yüksekte, tabanın yarısı 0,6 m; tan θ = 0,6 / 0,8 = 0,75, θ = 37°. Doluyken ağırlık merkezinin yüksekliği (40 · 0,8 + 40 · 0,1) / 80 = 0,45 m'ye iner; tan θ = 0,6 / 0,45 ≈ 1,33, θ = 53°. Oranı ters kuran A'ya, yükün devrilmeyi etkilemediğini düşünen B'ye varır. Ağırlık merkezinin düşeyi tabandan çıkabildiği sürece dolu dolap da devrilir; E bu yüzden yanlıştır. Cevap: C.

• Kütle merkezini cismin boyunun ortası sanmak. Bu yalnız düzgün cisimlerde doğrudur; ağır bir uç, merkezi kendine doğru çeker.
• Denge noktasının cismi iki eşit kütleye böldüğünü düşünmek. Eşit olan kütle ile kol çarpımlarıdır; kesim noktasına yakın kalan parça daha ağırdır.
• Paydayı unutmak ya da konumları ağırlıksız ortalamak. Σ m · x, toplam kütleye bölünmeden bir konum değildir; her konum kendi kütlesiyle çarpılır.
• Negatif kütle yönteminde paydayı düzeltmemek. Çıkan parçanın kütlesi hem paydan hem paydadan düşülür; kalan merkez delikten uzaklaşır.
• Levhada kütleyi kenar uzunluğu ya da yarıçapla orantılı almak. Düzgün levhada kütle alanla orantılıdır; disk ve deliklerde yarıçapın karesi kullanılır.
• Devrilmede tabanın tamamını kullanmak. Sınır açısında ağırlık merkezinin düşeyi tabanın kenarına ulaşır; tan θ'da tabanın yarısı ile ağırlık merkezinin yüksekliği oranlanır.