Denge koşulları

Rana bahçe duvarını boyamak için iki sehpanın üstüne 3 m uzunluğunda, 20 kg'lık bir iskele kalası yerleştirmiş; sehpalar kalasın tam uçlarında duruyor. Kendisi 50 kg ve fırçayı rahat sürmek için sol uçtan 0,6 m içeride, hep aynı yerde duruyor. Yarım saat sonra sol sehpanın ayakları bahçe toprağına iki parmak gömülmüş, sağdaki ise ilk koyduğu gibi duruyor. Rana'nın açıklaması hazır: «Kalas kıpırdamadığına göre ağırlığımız iki sehpaya yarı yarıya, 350'şer newton biniyor; demek ki sol taraftaki toprak daha yumuşak.» Toprakta bir fark olabilir, ama hesap Rana'nın bölüşümünü doğrulamıyor. Sol sehpa 500 N, sağ sehpa yalnız 200 N taşıyor. Kalasın kıpırdamaması, yükün eşit paylaşıldığını göstermez; iki desteğin payını, dönmenin de durmuş olması belirler.

• Durgun bir cisim için ötelenme ve dönme dengesi koşullarını birlikte yazar, bilinmeyen kuvvetleri bulursun.
• Bilinmeyen kuvvetlerin geçtiği noktayı eksen seçerek denklemi tek bilinmeyene indirirsin.
• İki desteğe oturan kalas, menteşeli çubuk, duvara dayalı merdiven ve tahterevallide destek tepkilerini, ip gerilmesini ve gereken sürtünmeyi hesaplarsın.
• Üç kuvvetin dengesinde kuvvetleri kapalı üçgen ya da Lami teoremiyle bağlarsın.

Kaymamak ve dönmemek ayrı şeylerdir

Masadaki bir cetvelin iki ucuna, biri sağa öbürü sola, eşit büyüklükte iki kuvvet uyguladığımızı düşünelim. Kuvvetler aynı doğru üzerindeyse cetvel yerinde kalır. Şimdi kuvvetlerin büyüklüğünü ve yönünü koruyup birini cetvelin bir ucuna, öbürünü öteki ucuna, cetvele dik olarak taşıyalım. Net kuvvet yine sıfırdır, ama bu bir kuvvet çiftidir ve cetvel kendi çevresinde dönmeye başlar. Ters durumu da kurmak kolaydır: cetvelin tam ortasından geçen tek bir kuvvet onu çevirmez ama kaydırır. Demek ki bir cismin hareketinde iki ayrı soru vardır: kütle merkezi yerinden gidiyor mu, cisim kendi çevresinde dönüyor mu? Birinin cevabı öbürünün cevabını vermez.

Dengenin iki koşulu

Bir cismin dengede olması için iki şartın birlikte sağlanması gerekir:

• Ötelenme dengesi: cisme etki eden kuvvetlerin vektörel toplamı sıfırdır, ΣF = 0. Düzlemde bu, yatay bileşenlerin toplamının ve düşey bileşenlerin toplamının ayrı ayrı sıfır olması demektir: ΣFx = 0 ve ΣFy = 0.
• Dönme dengesi: herhangi bir noktaya göre torkların işaretli toplamı sıfırdır, Στ = 0.

Bu derste ele aldığımız cisimler duran cisimlerdir; dengeyi bu hâliyle statik denge diye anarız. Sabit hızla kayan bir kızak ya da sabit açısal hızla dönen bir tekerlek de dengededir, çünkü net kuvvet ve net tork orada da sıfırdır; denge, cismin hızının değil ivmesinin sıfır olduğunu söyler.

Kanca sahnesindeki kalas

Rana'nın kalasına dört düşey kuvvet etki ediyor. Kalas düzgün olduğu için 200 N'luk ağırlığını tam ortasından, yani sol uçtan 1,5 m içeriden etki eden tek bir kuvvet olarak alabiliriz. Rana'nın 500 N'luk ağırlığı sol uçtan 0,6 m içeriden bastırır. Sehpaların yukarı doğru tepkilerine N₁ (sol) ve N₂ (sağ) diyelim. Düşey kuvvetlerin dengesi tek bir denklem verir: N₁ + N₂ = 700 N. İki bilinmeyen tek denklemle çözülmez; Rana'nın 350'şer newtonu da bu denklemi sağlar, ama dönme dengesini sağlamaz. İkinci denklemi tork verir.

Torkları sol uca göre yazalım. N₁ tam bu noktadan geçtiği için kuvvet kolu sıfırdır ve denklemden düşer. Saat yönünün tersindeki torkları artı sayarsak N₂ · 3 − 200 · 1,5 − 500 · 0,6 = 0 olur; buradan N₂ · 3 = 600 ve N₂ = 200 N çıkar. Kuvvet dengesine dönünce N₁ = 700 − 200 = 500 N bulunur. Rana desteğe ne kadar yakın durursa o destek yükün o kadar büyük bir kısmını taşır; kalasın kıpırdamaması bu eşitsiz paylaşımın sonucudur.

Tork her noktaya göre sıfırdır

Aynı hesabı kalasın ortasına göre de kurabilirdik. Bu kez kalasın ağırlığı eksenden geçer. N₁ ortanın 1,5 m solunda yukarı iter ve saat yönünde 750 N·m verir; N₂ ortanın 1,5 m sağında yukarı iterek tersine 300 N·m, Rana ortanın 0,9 m solunda aşağı bastırarak tersine 450 N·m verir. Saat yönündeki toplam 750, tersindeki toplam 300 + 450 = 750 N·m'dir; net tork yine sıfırdır. Bu bir rastlantı değildir. Net kuvvet sıfırken ekseni bir yerden başka bir yere kaydırmak, her kuvvetin torkuna kuvvet çarpı kayma kadar bir ek getirir; bu eklerin toplamı da net kuvvetle orantılıdır ve sıfırdır. Bir önceki dersteki kuvvet çiftinin torkunun noktadan bağımsız çıkması da aynı nedene dayanıyordu. Sonuç olarak dengedeki bir cisimde net tork, cismin üstünde ya da dışında seçilen her noktaya göre sıfırdır ve eksen hesabı kolaylaştıracak yere konabilir.

Ekseni bilinmeyenin üstüne koymak

Eksen seçme serbestliğinin pratik kuralı şudur: bulunması istenmeyen ya da en çok bilinmeyen taşıyan kuvvet hangi noktadan geçiyorsa tork o noktaya göre yazılır. O kuvvet denklemden düşer ve geriye tek bilinmeyen kalır. Sol sehpayı merak ediyorsak ekseni sağ uca, sağ sehpayı merak ediyorsak sol uca koyarız. Menteşeli bir çubukta menteşenin uyguladığı kuvvetin hem büyüklüğü hem doğrultusu bilinmez; ekseni menteşeye koymak bu iki bilinmeyeni birden hesaptan çıkarır.

Tahterevalli

Ortasından desteklenen düzgün bir tahterevallide kalasın ağırlığı destekten geçer ve torka katılmaz. Bu durumda dönme dengesi m₁ · g · d₁ = m₂ · g · d₂ biçimini alır; g iki yanda da bulunduğu için sadeleşir ve kütleler ile uzaklıklar ters orantılı olur. Kütlesi 40 kg olan bir çocuk destekten 1,5 m uzağa oturmuşsa 60 kg'lık bir genç onu destekten 1 m uzakta dengeler. Desteğin uyguladığı kuvveti ise ötelenme dengesi verir: iki kişinin ağırlığı ile kalasın ağırlığının toplamına eşittir.

Menteşeli çubuk ve ip

Duvara menteşeyle bağlı, yatay ve düzgün bir çubuk düşünelim. Ağırlığı 40 N, ucunda 60 N'luk bir saksı asılı. Çubuğun ucundan duvara bağlanan ip, çubukla 53° açı yapıyor (sin 53° = 0,8 ve cos 53° = 0,6 alalım). Çubuğun boyu L olsun. Menteşeye göre tork yazınca menteşe kuvveti düşer. İpin çubuğa dik bileşeni T · 0,8'dir; tersine döndürür ve kolu L'dir. Ağırlık L/2 kolla, saksı L kolla saat yönünde döndürür. T · 0,8 · L = 40 · L/2 + 60 · L olur; L sadeleşir ve T · 0,8 = 80, T = 100 N bulunur. Çubuğun boyunun verilmemesi bu yüzden sorun değildir.

Menteşenin kuvvetini bulmak için ötelenme dengesine geçeriz. İpin yatay bileşeni 100 · 0,6 = 60 N'dur ve çubuğu duvara doğru çeker; menteşe çubuğu duvardan dışarı doğru 60 N'la iter. Düşeyde ipin bileşeni 80 N, ağırlıkların toplamı 100 N'dur; aradaki 20 N'u menteşe yukarı doğru sağlar. Menteşe kuvvetinin çubuk boyunca olduğunu varsaymak yaygın bir hatadır; bileşenleri ayrı ayrı bulunmadan doğrultusu bilinmez.

Duvara dayalı merdiven

5 m'lik düzgün bir merdiven sürtünmesiz bir duvara dayanıyor; ayağı duvardan 3 m uzakta, tepesi yerden 4 m yüksekte. Merdivenin ağırlığı 200 N. Merdivene dört kuvvet etki eder: ağırlık, yerin düşey tepkisi N, yerin yatay sürtünme kuvveti ve duvarın yatay tepkisi P. Sürtünmesiz duvar yalnız kendine dik, yani yatay iter. Düşey denge N = 200 N verir; yatay denge sürtünmenin P'ye eşit olmasını ister. Ekseni merdivenin ayağına koyarsak hem N hem sürtünme düşer. Ağırlık ayaktan yatayda 1,5 m uzaktan geçer, P ise yerden 4 m yüksekte etki eder: P · 4 = 200 · 1,5 ve P = 75 N. Yerin bu 75 N'luk sürtünmeyi sağlayabilmesi için k_s · 200 ≥ 75 olmalı; zeminin statik katsayısı en az 0,375'tir. Merdivende bir kişi yukarı çıktıkça P büyür; zemin daha fazla sürtünme sağlayamadığı anda merdivenin ayağı kayar. Bu sınırın nasıl bulunduğunu çözümlü örneklerde göreceğiz.

Üç kuvvetin dengesi: kapalı üçgen ve Lami teoremi

Bir cisim birbirine paralel olmayan yalnız üç kuvvetin etkisinde dengedeyse bu kuvvetlerin etki çizgileri tek bir noktada kesişir. İki kuvvetin kesişim noktasına göre tork yazıldığında o ikisi sıfır tork verir, dolayısıyla üçüncünün de bu noktadan geçmesi gerekir. Ayrıca ΣF = 0 olduğundan üç kuvvet vektörü uç uca eklendiğinde kapalı bir üçgen oluşturur.

Bu üçgen sinüs teoremine bağlanınca Lami teoremi çıkar: her kuvvetin büyüklüğü, öteki ikisinin arasındaki açının sinüsüyle orantılıdır. F₁ / sin α₁ = F₂ / sin α₂ = F₃ / sin α₃ yazılır; α₁, F₂ ile F₃ arasındaki açıdır ve öbürleri de aynı düzende kurulur. 60 N'luk bir avize iki iple asılı olsun; iplerden biri yatayla 37°, öbürü 53° açı yapıyor ve ipler birbirine dik. Bileşenlerle çözersek yatayda T₁ · 0,8 = T₂ · 0,6, düşeyde T₁ · 0,6 + T₂ · 0,8 = 60 olur ve T₁ = 36 N, T₂ = 48 N bulunur. Lami ile aynı sonuç daha kısa yoldan gelir: ipler arası açı 90°'dir; 37°'lik ipin karşısındaki açı (öbür iple ağırlık arası) 143°, sinüsü 0,6'dır; 53°'lik ipin karşısındaki açı 127°, sinüsü 0,8'dir. 60 / 1 = T₁ / 0,6 = T₂ / 0,8 ilişkisi de 36 N ve 48 N verir. Yatayla daha küçük açı yapan ip daha az gerilir; kuvvet üçgeninde ağırlık hipotenüstür ve iki gerilme de ondan küçüktür.

Denge sorusunun akışı

Cisme etki eden bütün kuvvetler sözle ya da kabaca çizilerek listelenir: ağırlıklar, ip gerilmeleri, destek tepkileri, sürtünme. Bilinmeyenlerin en çok kesiştiği nokta eksen seçilir ve tork denklemi yazılır. Kalan bilinmeyenler ΣFx = 0 ve ΣFy = 0 ile bulunur. Sonuç bir kez daha başka bir noktaya göre torkla sınanabilir; dengedeki cisimde bu sınama da sıfır vermelidir.

Ağırlık nereden etki ediyor?

Bu dersteki kalas, çubuk ve merdivenlerin hepsi düzgündü; ağırlıklarını geometrik ortalarından etki eden tek bir kuvvet olarak aldık ve hesap bu kabule dayandı. Bir ucu ötekinden ağır olan bir aletin parmak üstünde dengelendiği nokta ise ortada değildir. Parçaları farklı kütlede olan bir cismin ağırlığının nereden etki ettiğini bulmak için her parçanın konumunu kendi kütlesiyle tartan bir ortalama gerekir; bu nokta, örneğin L biçimli bir levhada, malzemenin dışına bile düşebilir. Kütle merkezinin bu tartılı ortalamayla nasıl hesaplandığını ve ağırlık merkeziyle hangi koşulda aynı nokta sayılabileceğini «Kütle ve ağırlık merkezi» dersi ele alıyor.

Örnek 1 — Tahterevallide yer bulmak

Soru: 4 m uzunluğunda, 150 N ağırlığında düzgün bir tahterevalli ortasından desteklenmiş. 30 kg'lık Sinan desteğin 1,6 m solunda oturuyor. 40 kg'lık Rasim tahterevalliyi yatay tutmak için desteğin sağında nereye oturmalı ve destek tahterevalliye ne kadar kuvvet uygular? Kütleleri onla çarparak (g = 10 m/s²) newtona çeviriniz.

• A) desteğe 1,2 m, destek 700 N
• B) desteğe yaklaşık 2,13 m, destek 850 N
• C) desteğe 1,2 m, destek 850 N
• D) desteğe 0,4 m, destek 850 N
• E) desteğe 1,6 m, destek 700 N

Çözüm: Tahterevallinin ağırlığı destekten geçer ve torka girmez. Desteğe göre 300 · 1,6 = 400 · d yazılır; d = 1,2 m. Destek kuvveti ise bütün düşey yükleri karşılar: 300 + 400 + 150 = 850 N. Uzaklığı kütlelerin ters oranıyla değil düz oranıyla kuran 2,13 m'ye, kalasın ağırlığını unutan 700 N'a varır; 0,4 m iki uzaklığın farkından, 1,6 m ağır olanın da aynı uzaklığa oturması gerektiğini sanmaktan gelir. Cevap: C.

Örnek 2 — Menteşe kuvvetinin bileşenleri

Soru: Duvara menteşeli, yatay ve düzgün bir çubuğun ağırlığı 40 N; ucunda 60 N'luk bir yük asılı. Çubuğun ucundan duvara bağlanan ip çubukla 53° açı yapıyor (sin 53° = 0,8 ve cos 53° = 0,6). İp gerilmesi ile menteşenin çubuğa uyguladığı kuvvetin düşey bileşeni hangisidir?

• A) gerilme 100 N, düşey bileşen sıfır
• B) gerilme 100 N, düşey bileşen 20 N yukarı
• C) gerilme yaklaşık 133 N, düşey bileşen 20 N aşağı
• D) gerilme 80 N, düşey bileşen 20 N yukarı
• E) gerilme 125 N, düşey bileşen 100 N yukarı

Çözüm: Menteşeye göre tork yazılır ve menteşe kuvveti düşer: T · 0,8 · L = 40 · L/2 + 60 · L, buradan T = 100 N. Düşey denge: menteşenin düşey kuvveti + 80 = 100, yani 20 N yukarı. Dik bileşeni kosinüsle yazan 133 N'a, ipin çubuğa dik bileşenini gerilmenin kendisi sanan 80 N'a varır. Menteşenin yalnız yatay ittiğini varsaymak düşey bileşeni sıfır yapar; 125 N ve 100 N, çubuğun ağırlığını da uca koyup ipin düşey katkısını hiç saymamaktan doğar. Cevap: B.

Örnek 3 — Merdivende tırmanan kişi

Soru: 5 m uzunluğunda, 200 N ağırlığında düzgün bir merdiven sürtünmesiz bir duvara dayalı; ayağı duvardan 3 m uzakta, tepesi yerden 4 m yüksekte. 600 N ağırlığındaki Sabri merdivenin ayağından itibaren merdiven boyunca 2,5 m çıkıyor. Duvarın merdivene uyguladığı kuvvet ve merdivenin kaymaması için yerle merdiven arasındaki statik sürtünme katsayısının alabileceği en küçük değer hangisidir?

• A) duvar 75 N, k_s en az yaklaşık 0,094
• B) duvar 300 N, k_s en az 0,5
• C) duvar 400 N, k_s en az 0,5
• D) duvar 300 N, k_s en az 0,375
• E) duvar 240 N, k_s en az 0,3

Çözüm: Merdivenin ağırlığı ve Sabri merdivenin ortasındadır; ikisi de ayaktan yatayda 2,5 · 0,6 = 1,5 m uzaktan bastırır. Ayağa göre tork: P · 4 = 200 · 1,5 + 600 · 1,5 = 1200, P = 300 N. Yatay denge sürtünmenin 300 N olmasını, düşey denge N = 800 N olmasını ister. k_s · 800 ≥ 300 olduğundan k_s ≥ 0,375. Normal kuvvete yalnız Sabri'yi katan 0,5'e varır; kolları yükseklik ve yatay uzaklık yer değiştirilerek kurulursa duvar kuvveti 400 N çıkar. 75 N Sabri'yi torkta unutmaktan, 240 N merdiven boyunu yükseklik yerine kol almaktan gelir. Cevap: D.

Örnek 4 — Destekten taşan kalas

Soru: 4 m uzunluğunda, 300 N ağırlığında düzgün bir kalas, uçlarından 1'er m içeride duran iki desteğe oturuyor. 600 N ağırlığındaki Ruhi kalasın üstünde sağa doğru yürüyor. Kalas devrilmeden Ruhi sağ desteği en çok kaç metre geçebilir?

• A) sağ destekten 0,5 m öteye
• B) sağ destekten 1 m öteye, kalasın ucuna
• C) sağ destekten 2 m öteye
• D) sağ destekten 0,25 m öteye
• E) sağ destekten 1,5 m öteye

Çözüm: Kalas devrilmenin eşiğindeyken sol destek yükü taşımayı bırakır, tepkisi sıfıra iner. Geriye sağ destek, kalasın ağırlığı ve Ruhi kalır. Sağ desteğe göre tork: kalasın ağırlığı desteğin 1 m solundan 300 · 1 = 300 N·m, Ruhi desteğin x kadar sağından 600 · x verir. 600 · x = 300, x = 0,5 m. Oranı ters kuran 2 m'ye, kalasın ucuna kadar gidilebileceğini sanan 1 m'ye ulaşır; 0,25 m kalasın kolunu yarıya bölmekten, 1,5 m kalasın ağırlığını ucuna koymaktan gelir. Cevap: A.

• Dengede yükün desteklere eşit bölündüğünü sanmak. Kuvvet dengesi yalnız toplamı verir; paylaşımı tork denklemi belirler ve yüke yakın destek daha çok taşır.
• Yalnız ΣF = 0 ya da yalnız Στ = 0 yazmak. Uçlarından zıt yönlere itilen cetvelde bileşke sıfırdır ama cetvel döner; ortasından itilen cisim dönmez ama kayar. Denge iki koşulun birlikte sağlanmasıdır.
• Menteşe kuvvetini çubuk doğrultusunda sanmak. Menteşenin yatay ve düşey bileşenleri ayrı ayrı denge denklemlerinden bulunur; yükün yerine göre düşey bileşen aşağı bile çıkabilir.
• Merdivende normal kuvvete tırmanan kişiyi katmamak. Yerin düşey tepkisi merdivenin ve üstündekilerin toplam ağırlığıdır; sürtünme sınırı k_s · N bu toplamla hesaplanır.
• Tahterevallide desteğin kuvvetini çocukların ağırlıkları toplamı saymak. Kalasın kendi ağırlığı torka girmese de destek tepkisine eklenir.
• Kuvvet kolu yerine çubuğun boyunu almak. Eğik merdivende ağırlığın kolu yatay uzaklık, duvar tepkisinin kolu tepe noktasının yüksekliğidir.