Tork

Pelin kucağında altı kitapla kütüphanenin kendiliğinden kapanan ağır kapısına geliyor. Elleri dolu olduğu için omzunu kapıya dayayıp itiyor; omzu, menteşelere bir karış kadar uzak bir noktaya denk geliyor. Kapı biraz esneyip yerinde kalıyor. «Bu kapı benim için fazla ağır» diyor Pelin. Arkasından gelen Okan kitapları almadan, yalnız işaret parmağıyla kapının kol tarafındaki kenarına bastırıyor ve kapı ağır ağır açılıyor. Okan, Pelin'den daha güçlü değil; kapı da birdenbire hafiflemedi. Değişen tek şey, kuvvetin menteşe çizgisine ne kadar uzaktan uygulandığı. Pelin'in yanılgısı, döndürmenin yalnız kuvvetin büyüklüğüne bağlı olduğunu sanmak. Bu derste döndürme etkisini ölçen büyüklüğü, torku, kuvvetin büyüklüğü, uygulandığı yer ve doğrultusuyla birlikte hesaplıyoruz.

• Bir kuvvetin dönme eksenine göre torkunu kuvvet kolundan ya da dik bileşenden bulursun.
• Açıyla uygulanan kuvvette yalnız dönmeye katılan bileşeni ayırır, sin ile cos'u açının ölçüldüğü doğrultuya göre seçersin.
• Saat yönü ve tersi için bir işaret belirleyip birden çok kuvvetin net torkunu hesaplarsın.
• Kuvvet çiftinin net kuvveti sıfır olduğu hâlde neden döndürdüğünü açıklar, torkunu hesaplarsın.

Aynı kuvvet, farklı sonuç

Kapı menteşelerinden geçen düşey bir çizginin, yani dönme ekseninin çevresinde döner. Kanca sahnesindeki iki itişi sayıyla kuralım. Kapının kol tarafı menteşeden 0,9 m uzakta olsun ve Okan oraya kapı yüzeyine dik 20 N'luk bir kuvvet uygulasın. Pelin aynı 20 N'u menteşeden 0,1 m uzakta uygularsa kapıya dokunan kuvvet aynıdır, ama döndürme etkisi dokuzda birine iner. Pelin'in Okan kadar döndürebilmesi için 180 N'luk bir itişe ihtiyacı vardır. TYT'deki «Kuvvet ve net kuvvet» konusu, kuvvetlerin cismi bir bütün olarak yerinden kaydırmasıyla, yani ötelemeyle ilgilendi; momentum ve çarpışma derslerinde de cisimleri birer nokta gibi düşündük. Dönebilen bir cisimde ise kuvvetin ne kadar büyük olduğu kadar nereye ve hangi doğrultuda uygulandığı da hesaba girer.

Tork ve kuvvet kolu

Bir kuvvetin bir eksen çevresinde döndürme etkisine tork denir. Kuvvetin etki çizgisi, kuvvet okunun iki yana sınırsızca uzatılmış hâlidir. Eksenin bu çizgiye dik uzaklığına kuvvet kolu (d) adı verilir ve tork

τ = F · d

ile hesaplanır. Birimi newton çarpı metredir: N·m. İş de kuvvet ile uzunluğun çarpımıdır, ama orada uzunluk kuvvet doğrultusundaki yer değiştirmedir; torktaki uzunluk ise eksenden etki çizgisine inen dikmedir. Bu yüzden torkun birimi joule diye yazılmaz. Okan'ın torku 20 · 0,9 = 18 N·m, Pelin'inki 20 · 0,1 = 2 N·m'dir. Kapı kolunun menteşenin karşı kenarına takılmasının ve somun anahtarlarının uzun saplı yapılmasının nedeni buradadır: kuvvet kolu büyüdükçe aynı tork daha küçük bir kuvvetle elde edilir. «Skaler ve vektörel büyüklükler» dersinin tablosunda tork vektörel büyüklükler arasındaydı; yönünü aşağıda işaretle ele alacağız.

Açıyla uygulanan kuvvet: yalnız dik bileşen döndürür

Bir somunu 0,4 m uzunluğundaki bir anahtarla sökmeye çalışırken anahtarın ucunu 50 N'la, sapla 37° açı yapacak biçimde çektiğimizi düşünelim. Bu kuvveti, «Vektörlerde toplama ve bileşenler» konusunda yaptığımız gibi iki parçaya ayıralım: biri sap doğrultusunda, öbürü sapa dik. Sap boyunca uzanan 50 · cos 37° = 40 N'luk parça anahtarı somuna doğru bastırır ya da somundan uzaklaştırır; eksenden geçen bir doğru üzerinde kaldığı için hiçbir şeyi çevirmez. Sapa dik olan 50 · sin 37° = 30 N'luk parça çevirir. Tork 30 · 0,4 = 12 N·m olur. Aynı sonuca ikinci yoldan da varılır: kuvvetin etki çizgisi eksenden 0,4 · sin 37° = 0,24 m uzaktan geçer ve 50 · 0,24 = 12 N·m çıkar. İki okuma tek bir formülde birleşir:

τ = F · r · sin θ

Burada r, eksenden kuvvetin uygulandığı noktaya kadar olan uzaklık, θ ise kuvvet ile bu r doğrultusu arasındaki açıdır. Sorularda açı kimi zaman sapa göre değil, sapa dik doğrultuya göre verilir; o durumda döndüren bileşen F · cos θ olur. Formülü ezberlemek yerine her seferinde hangi bileşenin sapa dik kaldığını belirlemek bu karışıklığı önler. Açı 90° olduğunda sinüs 1'e, yani alabileceği en yüksek değere çıkar ve tork da tavan yapar; dik itmek, aynı kuvvetle en çok döndürmenin yoludur.

Eksenden geçen kuvvet döndürmez

Etki çizgisi eksenden geçen bir kuvvetin kuvvet kolu sıfırdır, dolayısıyla torku da sıfırdır. Kapıyı kolundan tutup tam menteşeye doğru, kapı yüzeyi boyunca çekmek kapıyı ne açar ne kapatır; kuvvet büyüdükçe yalnız menteşeler daha çok zorlanır. θ = 0° ya da 180° iken sin θ = 0 olması da aynı şeyi söyler. Bir cisme etki eden kuvvetler arasında eksenin kendisinden gelen tepki kuvveti varsa, o kuvvetin o eksene göre torku hesaba hiç girmez.

Yön ve işaret

Tork bir cismi iki yönden birine çevirebilir: saat yönünde ya da saat yönünün tersinde. Soruya başlarken bir yönü artı seçmek ve sonuna kadar ona bağlı kalmak gerekir; bu derste sayfaya bakan gözlemciye göre saat yönünün tersini artı alıyoruz. Bir kuvvetin hangi yöne çevirdiğini görmenin kolay yolu, eksene raptiye takılmış bir cetveli düşünmektir. Raptiyenin sağında aşağı doğru bastırılan cetvel saat yönünde, solunda aşağı bastırılan cetvel saat yönünün tersinde döner. Torkun vektör olarak yönü dönme eksenine paraleldir ve sağ el kuralıyla bulunur: sağ elin dört parmağı dönme yönünde kıvrıldığında başparmak tork vektörünü gösterir. Kâğıt düzleminde saat yönünün tersine dönüşte başparmak sayfadan okura doğru, saat yönündeki dönüşte sayfanın içine doğrudur. AYT sorularının çoğunda bu yönü artı ve eksi işaretle taşımak yeterlidir.

Birden çok kuvvet: net tork

Bir cisme birden çok kuvvet etki ediyorsa her birinin aynı eksene göre torku ayrı ayrı bulunur ve işaretleriyle toplanır. Ağırlığı önemsenmeyen bir cetvel tam ortasından eksene takılmış olsun. Eksenin 0,5 m solunda 30 N, 0,6 m sağında 20 N aşağı doğru etki etsin. Soldaki kuvvetin torku saat yönünün tersine 15 N·m, sağdakinin saat yönünde 12 N·m'dir. Net tork +15 − 12 = +3 N·m, yani saat yönünün tersine 3 N·m'dir ve cetvel o yöne dönmeye başlar. Büyüklükleri toplayıp 27 N·m bulmak, iki kuvvetin cetveli aynı yöne çevirdiğini varsaymak demektir.

Net torkun değeri seçilen eksene bağlıdır. Aynı çubuğa etki eden aynı kuvvetler bir uca göre başka, öbür uca göre başka bir net tork verebilir. Cisim gerçekten bir menteşeye ya da mile takılıysa eksen odur; serbest bir cisimde ise hangi noktaya göre hesap yapıldığı açıkça söylenmelidir.

Ağırlığın torku

Ağırlık da bir kuvvettir ve uygulandığı nokta eksenden uzaktaysa döndürür. Duvara menteşeli, hafif ve yatay bir kolun 0,5 m ucuna 3 kg'lık bir çanta asılsın. Çantanın ağırlığı 3 · 10 = 30 N, kuvvet kolu 0,5 m, tork 15 N·m'dir. Kol yatayla 37° yapacak biçimde yukarı kaldırılırsa ağırlık hâlâ düşeydir; menteşenin bu düşey çizgiye uzaklığı artık kolun boyu değil, yatay izdüşümüdür: 0,5 · cos 37° = 0,4 m. Tork 12 N·m'ye iner. Kol tam düşey olduğunda ağırlığın etki çizgisi menteşeden geçer ve tork sıfırlanır. Kuvvet kolunu cismin uzunluğuyla karıştırmamak gerekir; ölçülen hep eksenden etki çizgisine inen dikmedir.

Kuvvet çifti

Bir direksiyonu iki elle çevirirken bir el yukarı, öbürü aşağı doğru çeker. Büyüklükleri eşit, yönleri zıt ve etki çizgileri birbirine paralel olan bu iki kuvvete kuvvet çifti denir. Net kuvvetleri sıfırdır: direksiyon yerinden kaymaz. Ama ikisi de onu aynı yöne çevirdiği için torkları toplanır. Yarıçapı 0,2 m olan bir direksiyonun karşılıklı iki noktasına teğet doğrultuda 15'er N uygulanırsa merkeze göre her elin torku 3 N·m, toplam 6 N·m olur. Bu toplam, kuvvetlerden birinin büyüklüğü ile iki etki çizgisi arasındaki uzaklığın çarpımına eşittir: 15 · 0,4 = 6 N·m. Kuvvet çiftinin ayırt edici yanı, torkunun hangi noktaya göre hesaplandığından bağımsız olmasıdır. Ellerden birinin tutuş noktasına göre hesaplasak o elin kuvveti bu noktadan geçer ve sıfır tork verir, öbür el ise 0,4 m'lik kolla yine 6 N·m üretir. Net kuvvetin sıfır olması cismin dönmediğini göstermez; dönmeyi belirleyen net torktur.

Tork sorusunun sırası

Önce dönme ekseni belirlenir ve bir yön artı seçilir. Her kuvvet için etki çizgisi çizilir; eksenden geçenler hemen elenir. Kalanlarda ya eksenden etki çizgisine inen dik uzaklık bulunur ya da kuvvet, eksen ile uygulama noktasını birleştiren doğruya dik ve paralel bileşenlere ayrılıp yalnız dik bileşen kullanılır. Sonra torklar işaretleriyle toplanır ve sonucun hem büyüklüğü hem yönü yazılır.

Torklar birbirini sıfırladığında

Bu dersteki cetvel, kapı ve çubuk örneklerinde net tork hep sıfırdan farklıydı ve cisim bir yöne dönmeye başlıyordu. Tahterevallinin iki ucundaki çocuklar ise yatay durabilir; bir köprü de yükü altında yerinde kalır. Dönmeyen bir cisim için yalnız net torkun sıfırlanması yeter mi, yoksa cismin kaymaması için kuvvetlerin de ayrıca dengelenmesi mi gerekir? Hangi noktanın eksen seçileceği bu durumda neden serbest kalır? Dönmenin ve ötelenmenin birlikte ortadan kalktığı durumu ve iki şartın birlikte kurulduğu hesabı «Denge koşulları» dersi işliyor.

Örnek 1 — Kuvvet kolunu değiştirmek

Soru: Nesrin bir kapıyı menteşeden 0,2 m uzaktaki bir noktadan, kapı yüzeyine dik 60 N'luk kuvvetle itiyor. Aynı torku menteşeden 0,75 m uzaktaki koldan, yine yüzeye dik iterek elde etmek isteseydi kaç newtonluk kuvvet yeterdi?

• A) itiş 225 N
• B) itiş 9 N
• C) itiş 16 N
• D) itiş 45 N
• E) itiş 12 N

Çözüm: İlk itişin torku 60 · 0,2 = 12 N·m'dir. Koldaki kuvvet F için F · 0,75 = 12 yazılır ve F = 16 N bulunur. Uzaklıklar oranı ters kurulursa 60 · 0,75 / 0,2 = 225 N çıkar; 9, torku yeniden uzaklıkla çarpmaktan, 45 kuvveti yalnız yeni uzaklıkla çarpmaktan gelir. 12, N·m cinsinden torkun kuvvet sanılmasıdır. Cevap: C.

Örnek 2 — Açılı çekiş

Soru: Ömür 0,25 m uzunluğundaki bir somun anahtarının ucunu 80 N'luk kuvvetle, kuvvet ile sap arasında 37° açı olacak biçimde çekiyor (Ömür hesabında 37° açının sinüsünü 0,6 ve kosinüsünü 0,8 alıyor). Somuna göre tork kaç N·m'dir?

• A) τ = 16
• B) τ = 12
• C) τ = 20
• D) τ = 9,6
• E) τ = 15

Çözüm: Sapa dik bileşen 80 · sin 37° = 48 N'dur; bu bileşen 0,25 m'lik kolla 48 · 0,25 = 12 N·m tork verir. Sap boyunca kalan 64 N'luk bileşen somundan geçen doğru üzerindedir ve döndürmez. cos ile hesaplayan 16, açıyı hiç hesaba katmayan 20 bulur. 9,6 sinüs ile kosinüsün ikisini birden çarpmaktan, 15 tanjantı kullanmaktan doğar. Cevap: B.

Örnek 3 — Üç kuvvetin net torku

Soru: Ağırlığı önemsenmeyen 1 m uzunluğundaki yatay bir çubuk sol ucundaki O noktasında bir mile takılı ve sağa doğru uzanıyor. Çubuğa üç kuvvet etki ediyor: O'dan 0,4 m uzakta düşey aşağı 20 N; sağ uçta, çubukla 37° açı yapan ve yukarı yönelen 30 N; yine sağ uçta, çubuk boyunca sağa doğru çeken 50 N. Açının sinüsünü 0,6, kosinüsünü 0,8 kabul ederek O'ya göre net torku bulun.

• A) 10 N·m, saat yönünün tersine
• B) 10 N·m, saat yönünde
• C) 26 N·m, saat yönünün tersine
• D) 16 N·m, saat yönünün tersine
• E) 22 N·m, saat yönünün tersine

Çözüm: 20 N'luk kuvvet O'nun sağında aşağı bastırır: saat yönünde 20 · 0,4 = 8 N·m. 30 N'luk kuvvetin çubuğa dik bileşeni (30 · 0,6) on sekiz newtondur ve uçta yukarı iterek saat yönünün tersine 18 · 1 = 18 N·m verir. 50 N'luk kuvvet çubuk boyunca uzanır, etki çizgisi O'dan geçer ve torku sıfırdır. Saat yönünün tersini artı alırsak net tork 18 − 8 = 10 N·m. Yönleri karıştıran B'ye, 18 ile 8'i toplayan C'ye, dik bileşeni cos ile yazan D'ye, açıyı yok sayıp 30 − 8 diyen E'ye varır. Cevap: A.

Örnek 4 — Vana çarkında kuvvet çifti

Soru: Oğuz, çapı 0,5 m olan bir vana çarkını iki eliyle çeviriyor. Elleri çarkın çapının iki ucunda; her el çarka teğet doğrultuda 40 N uyguluyor ve kuvvetler zıt yönlü. Çarkın merkezine göre net tork ile ellerden birinin tutuş noktasına göre net tork sırasıyla kaçar N·m'dir?

• A) merkeze göre 0, tutuşa göre 0
• B) merkeze göre 10, tutuşa göre 20
• C) merkeze göre 20, tutuşa göre 0
• D) merkeze göre 20, tutuşa göre 20
• E) merkeze göre 40, tutuşa göre 20

Çözüm: İki kuvvet bir kuvvet çifti oluşturur ve etki çizgileri arası 0,5 m'dir; tork 40 · 0,5 = 20 N·m olur. Merkeze göre her el 40 · 0,25 = 10 N·m verir ve ikisi aynı yöne çevirdiği için toplam 20 N·m'dir. Tutuş noktasına göre o elin kuvveti noktadan geçer ve sıfır tork verir; öbür el 0,5 m'lik kolla yine 20 N·m üretir. Kuvvet çiftinin torku noktadan bağımsızdır. A, net kuvvet sıfır diye torku da sıfır sanmaktan; B, merkezde tek eli saymaktan; C, tutuşa göre ikinci eli unutmaktan; E, çapı her iki ele ayrı ayrı kol saymaktan gelir. Cevap: D.

• Kuvvet kolunu cismin uzunluğu sanmak. Kol, eksenden kuvvetin etki çizgisine inen dik uzaklıktır; eğik bir kolda asılı ağırlık için bu, kolun yatay izdüşümüdür.
• Dik bileşende sinüs yerine kosinüs yazmak. Açı kuvvet ile sap arasındaysa dik bileşen F · sin θ, sapın dikmesiyle ölçülmüşse F · cos θ olur; önce hangi doğrultuyla ölçüldüğüne bakılır.
• Torkların büyüklüklerini işaretsiz toplamak. Saat yönündeki ve tersindeki torklar zıt işaretlidir; önce bir yön artı seçilir.
• Eksenden geçen kuvvete tork yazmak. Çubuk boyunca çeken ya da menteşeye yönelen kuvvetin kolu sıfırdır.
• Net kuvvet sıfırsa dönme yoktur sanmak. Kuvvet çiftinde net kuvvet sıfırdır, tork ise F · d kadardır.
• Torku joule ile yazmak ya da santimetreyi çevirmemek. Tork N·m ile verilir; uzaklık cm verildiyse metreye çevrilir.