Momentumun korunumu

Kerem buz pateni pistinde amcası Hakan'la yüz yüze, ikisi de kıpırdamadan duruyor. Kerem'in kütlesi 45 kg, amcasınınki 90 kg. «Ben iterim, sen kayarsın» diyor Kerem; «iten taraf yerinde kalır, hareket edecek olan itilendir.» Avuçlarını amcasının göğsüne dayayıp sertçe itiyor. Bir an sonra Hakan yavaşça geriye süzülürken Kerem de ters yöne, üstelik amcasından hızlı kayıyor ve pistin kenarına çarpmamak için kollarını açıyor. Kenarda bekleyen kuzeni İlkay gülüyor: «İten kişi kımıldamaz demiştin.» Bu derste birbirini iten cisimlerin neden ikisinin birden harekete geçtiğini, hızlarının oranını neyin belirlediğini ve dışarıdan bir kuvvet karışmadıkça bir cisim grubunun toplam momentumunun neden hiç değişmediğini göreceğiz.

• Bir cisim grubunu sistem olarak seçip iç ve dış kuvvetleri ayırırsın.
• Dış kuvvetlerin bileşkesi sıfır ya da ihmal edilebilir olduğunda toplam momentumu öncesi ve sonrası için eşitleyip bilinmeyen hızı bulursun.
• Geri tepme, itişme ve hareketli arabaya yük düşmesi gibi durumlarda yalnız korunan bileşeni kullanırsın.
• Kütle merkezinin hızını hesaplar ve iç etkileşmelerin onu değiştirmediğini gösterirsin.

Pistte gerçekte ne oldu?

Kerem'in avuçları amcasını ileri iterken, Newton'un üçüncü yasasından ötürü amcasının göğsü de Kerem'i aynı büyüklükte bir kuvvetle geriye iter. «Newton'un birinci ve üçüncü yasası» dersinde bu kuvvet çiftinin farklı cisimlere etki ettiğini görmüştük; burada üstüne zamanı ekleyelim. İki kuvvet aynı an başlar, aynı an biter, yani etki süreleri de aynıdır. Önceki derste itmeyi F · Δt diye tanımlamış ve bir cismin momentumundaki değişime eşit olduğunu bulmuştuk. Büyüklükleri ve süreleri eşit, yönleri zıt iki kuvvetin itmeleri de büyüklükçe eşit ve zıt yönlüdür. Öyleyse Kerem'in kazandığı momentum ile amcasının kazandığı momentum aynı büyüklükte ve birbirinin tersidir.

Başlangıçta ikisi de durgundu, momentumların toplamı sıfırdı. İtişmeden sonra amcanın momentumunu ileri yönde pozitif alırsak Kerem'inki aynı büyüklükte negatif olur ve toplam yine sıfır kalır. Kerem 2 m/s ile geriye kayıyorsa 45 · 2 = 90 · v eşitliğinden Hakan'ın hızı 1 m/s çıkar. Hafif olan hızlı gider; hızlar kütlelerle ters orantılıdır. Kerem'in «iten yerinde kalır» düşüncesindeki hata da burada görünür: iten ile itilen ayrımı fizik için bir şey ifade etmez, her ikisi aynı itmeyi alır.

Sistem, iç kuvvet ve dış kuvvet

Momentumla çalışırken ilk iş hangi cisimleri birlikte inceleyeceğimizi seçmektir; bu gruba sistem denir. Sistemin içindeki cisimlerin birbirine uyguladığı kuvvetler iç kuvvetlerdir. Her iç kuvvetin eşi yine sistemin içindedir; üçüncü yasa uyarınca ikisinin itmeleri toplanınca sıfır verir. Sistemin dışındaki bir cisimden gelen kuvvet ise dış kuvvettir: Dünya'nın çektiği ağırlık, zeminin tepkisi, sürtünme, hava direnci.

Pistteki örnekte Kerem ile Hakan'ı birlikte sistem seçtik. Ağırlıklar ve buzun tepki kuvvetleri düşey doğrultuda birbirini dengeler; buz sürtünmesini de ihmal ediyoruz. Yatay doğrultuda geriye yalnız iç kuvvetler kalıyor. Yalnız Kerem'i sistem seçseydik amcasının itişi dış kuvvet olurdu ve Kerem'in momentumu elbette değişirdi. Korunum, seçilen sisteme bağlı bir ifadedir.

Korunum yasası

Bir sisteme etki eden dış kuvvetlerin bileşkesi sıfırsa sistemin toplam momentumu değişmez:

• m₁ · v₁ + m₂ · v₂ = m₁ · v₁' + m₂ · v₂'

Burada üslü harfler etkileşmeden sonraki hızlardır. Momentum vektörel bir büyüklüktür, bu yüzden hızlar işaretleriyle yazılır: bir yön pozitif seçilir, ters yöndeki hız eksi alınır. İşaretsiz yazılan tek bir hız bütün hesabı bozar.

Dış kuvvet tam sıfır olmasa da yasa çoğu zaman iş görür. İtişme, ateşleme ya da atlama gibi etkileşmeler çok kısa sürer ve bu sürede iç kuvvetler, sürtünme gibi dış kuvvetlerden çok büyüktür. Sürtünmenin o kısa sürede verdiği itme küçük kalır; etkileşmenin hemen öncesi ile hemen sonrası arasında momentum korunmuş sayılabilir. Etkileşme bittikten sonra cisimlerin sürtünmeyle yavaşlaması ise ayrı bir hareket problemidir.

Durgun başlayan sistemler: itişme ve geri tepme

Toplam momentum başta sıfırsa sonra da sıfırdır. Bu durumda parçalar zıt yönlere, kütleleriyle ters orantılı hızlarla ayrılır: m₁ · v₁ = m₂ · v₂ (büyüklükler).

Varsayımsal bir tüfek düşünelim: kütlesi 4 kg, 10 g'lık mermiyi 400 m/s ile fırlatıyor. Barut gazlarının kütlesini ihmal edersek ateşlemeden önce sistem durgundur. Mermi 0,01 · 400 = 4 kg·m/s momentum kazanır; tüfek aynı büyüklükte momentumla geriye teper ve hızı 4 / 4 = 1 m/s olur. Gramı kilograma çevirmeyi unutan öğrenci 1000 kat büyük bir geri tepme hızı bulur. Tüfeği omzuna sıkıca dayayan 76 kg'lık bir atıcı, tüfekle birlikte 80 kg'lık bir sistem gibi geri teper: 4 / 80 = 0,05 m/s. Omuza dayamanın yararı buradan gelir.

Durgun bir kayıktan karaya doğru yatay sıçrayan 40 kg'lık bir çocuk da aynı kurala uyar. Kayığın kütlesi 120 kg ise ve çocuk 3 m/s yer hızıyla ayrılıyorsa, suyun direnci ihmal edildiğinde kayık 40 · 3 / 120 = 1 m/s ile geriye kaçar. İskeleye uzak duran bir kayıktan atlayanın suya düşmesinin bir nedeni budur.

Kinetik enerjiye bakınca tablo değişir. Pistte Kerem ½ · 45 · 2² = 90 J, Hakan ½ · 90 · 1² = 45 J kinetik enerji kazandı; başta ikisinin de kinetik enerjisi sıfırdı. Bu enerji kasların kimyasal enerjisinden gelir. Momentumlar eşit büyüklükteyken kinetik enerjiler kütleyle ters orantılıdır: hafif olan daha fazla enerji taşır. Momentumun korunması kinetik enerjinin de korunduğu anlamına gelmez.

Yalnız bir doğrultuda korunan momentum

Dış kuvvet bir doğrultuda sıfır, ötekinde sıfırdan farklıysa momentum yalnız ilk doğrultuda korunur. Sürtünmesiz yatay rayda 5 m/s hızla yol alan 30 kg'lık bir arabaya, üstündeki bir kepçeden 20 kg kum düşey olarak boşaltılsın. Kum arabaya yapışıp onunla birlikte hareket eder. Düşerken kumun yatay hızı yoktur; yatay momentum korunduğundan 30 · 5 = 50 · v ve v = 3 m/s bulunur. Kumun düşey momentumu ise rayın arabaya uyguladığı ek tepki kuvvetiyle sönümlenir. Bu tepki bir dış kuvvettir, düşey momentum bu yüzden korunmaz.

Tersi de öğreticidir: arabanın tabanındaki bir delikten kum dökülürse araba yavaşlamaz. Dökülen kum, arabadan ayrıldığı anda onunla aynı yatay hıza sahiptir; arabaya yatay doğrultuda hiçbir kuvvet uygulamadan ayrılır. Kütle azalır, hız aynı kalır.

Eğik atışlarda yalnız yatay bileşen hesaba girer. Durgun bir kaykayın üstünde, kaykayla birlikte kütlesi 64 kg olan bir kişi, 2 kg'lık bir topu yatayın 37° üstüne doğru 10 m/s ile ileri fırlatsın (cos 37° değeri 0,8; sin 37° değeri 0,6). Topun yatay hızı 8 m/s'dir; kişinin geriye kayma hızı 2 · 8 / 64 = 0,25 m/s olur. Fırlatma sırasında kişi ayaklarını kaykaya bastırır, zeminin tepki kuvveti artar; düşey doğrultuda dış kuvvet bulunduğu için orada korunum aranmaz.

Hareketli bir sistemin içindeki etkileşme

Toplam momentum sıfır olmak zorunda değildir. 40 kg ve 60 kg'lık iki patenci birlikte 3 m/s ile kayarken arkadaki öndekini ileri itsin ve öndeki 6 m/s'ye çıksın. İtişten önce toplam momentum 100 · 3 = 300 kg·m/s; itişten sonra da bu değer korunur: 40 · 6 + 60 · v = 300, buradan v = 1 m/s. Arkadaki patenci yavaşlamıştır ama hâlâ ileri gitmektedir. Başlangıç momentumunu sıfır sanan öğrenci 4 m/s geri yönde bir hız bulur.

Kütle merkezinin hızı

Bir sistemin kütle merkezinin hızı, toplam momentumun toplam kütleye bölümüdür:

• v_km = (m₁ · v₁ + m₂ · v₂) / (m₁ + m₂)

Dış kuvvetlerin bileşkesi sıfırsa pay değişmez, payda da değişmez; kütle merkezi sabit hızla gider ya da durgunsa durgun kalır. Pistteki itişmede kütle merkezi başta durgundu ve öyle kaldı. Bunu yollarla da sınayabiliriz: 3 s sonra Kerem 6 m, Hakan 3 m uzaklaşmıştır ve 45 · 6 = 90 · 3 eşitliği kütle merkezinin yerinden kımıldamadığını gösterir. Kum boşaltılan arabada başlangıçtaki kütle merkezi yatay hızı (30 · 5 + 20 · 0) / 50 = 3 m/s idi; boşaltmadan sonraki ortak hız da tam bu değerdir. İç kuvvetler parçaları birbirinden ayırabilir, birbirine yapıştırabilir, ama kütle merkezinin hareketini değiştiremez.

Momentum korunurken enerji nereye gider?

Bu derste kurduğumuz her denklem momentum üzerineydi; kinetik enerjiye ise ne olduğunu yalnız yan gözle izledik. Pistteki itişmede iki kişinin kinetik enerjisi sıfırdan 135 J'ye çıktı, kumlu arabada 375 J'den 225 J'ye indi. Birbirine çarpan iki cisimde sonradan iki hız bilinmiyorsa momentum denklemi tek başına yetmez; ikinci bağıntıyı enerjinin ne kadarının hareket olarak kaldığı verir. Kinetik enerjisini olduğu gibi koruyan çarpışmayı, bir kısmını ezilmeye ve ısıya harcayandan ayırmak, sonra aynı hesabı düzlemde farklı yönlere saçılan parçalara taşımak sıradaki «Çarpışmalar ve patlamalar» dersinde yapılıyor.

Örnek 1 — Buzda itişen iki patenci

Soru: İlkay (50 kg) ile Koray (75 kg) sürtünmesiz kabul edilen buz pistinde yüz yüze durgun dururken birbirini itiyor. İtişmeden sonra İlkay 3 m/s ile kayıyorsa Koray hangi süratle kayar (m/s)?

• A) Koray = 4,5
• B) Koray = 2
• C) Koray = 3
• D) Koray = 0
• E) Koray = 1,2

Çözüm: Sistem başta durgun, toplam momentum sıfır. İtişmeden sonra momentumların büyüklükleri eşittir: 50 · 3 = 75 · v, buradan v = 2 m/s ve yön İlkay'ınkinin tersi. 4,5 m/s, kütle oranını ters kurmaktan; 3 m/s, iki patencinin eşit hızla ayrıldığını sanmaktan; 0, ağır olanın kıpırdamadığını düşünmekten; 1,2 m/s ise İlkay'ın momentumunu iki patencinin toplam kütlesine bölmekten gelir. Cevap: B.

Örnek 2 — Tüfeğin geri tepmesi

Soru: 5 kg'lık bir tüfek, 20 g'lık mermiyi 500 m/s hızla fırlatıyor. Tüfek serbestçe geri teptiğine ve barut gazlarının kütlesi ihmal edildiğine göre tüfek kaç m/s ile geri teper?

• A) geri tepme = 2000
• B) geri tepme = 100
• C) geri tepme = 2
• D) geri tepme = 500
• E) geri tepme = 0

Çözüm: 20 g = 0,02 kg. Merminin momentumu 0,02 · 500 = 10 kg·m/s; tüfek aynı büyüklükte momentumla ters yöne gider: 10 / 5 = 2 m/s. 2000, gramı kilograma çevirmemekten; 100, merminin hızını tüfeğin kütlesine bölmekten; 500, iki parçanın aynı hızla ayrıldığını sanmaktan; 0 ise iç kuvvetlerin tüfeği hareket ettiremeyeceğini düşünmekten çıkar. Cevap: C.

Örnek 3 — Yürüyen arabaya düşen kutu

Soru: Sürtünmesiz yatay rayda 8 m/s ile giden 30 kg'lık bir arabanın içine, 10 kg'lık bir kutu düşey doğrultuda 6 m/s hızla düşüyor ve arabada kalıyor. Kutu düştükten sonra araba hangi süratle gider (m/s)?

• A) ortak hız = 32/3
• B) ortak hız = 7,5
• C) ortak hız = 8
• D) ortak hız = 4√3
• E) ortak hız = 6

Çözüm: Düşey doğrultuda ray tepki uyguladığı için yalnız yatay momentum korunur ve kutunun yatay momentumu sıfırdır: 30 · 8 = 40 · v, v = 6 m/s. 7,5, kutunun düşey momentumunu (10 · 6) yataya eklemekten; 8, kütle artışını yok saymaktan; 4√3, kinetik enerjiyi korunuyor sanmaktan; 32/3 ise kütle oranını ters yazmaktan gelir. Cevap: E.

Örnek 4 — Kaykaydan eğik fırlatma

Soru: Durgun bir kaykayın üstündeki Işıl'ın kaykayla birlikte kütlesi 64 kg'dır. Işıl 2 kg'lık bir sağlık topunu yatayın 37° üstüne doğru, 10 m/s süratle ileri fırlatıyor. Sürtünme ihmal edilirse Işıl kaç m/s ile geriye kayar? (cos 37° değeri 0,8; sin 37° değeri 0,6)

• A) Işıl = 0,25
• B) Işıl = 5/16
• C) Işıl = 3/16
• D) Işıl = 0
• E) Işıl = 4

Çözüm: Fırlatma sırasında zemin düşey doğrultuda ek kuvvet uygular; korunan yalnız yatay momentumdur. Topun yatay hızı 10 · 0,8 çarpımıyla 8 m/s, momentumu 16 kg·m/s; Işıl'ın hızı 16 / 64 = 0,25 m/s. 5/16, topun hızının tamamını yatay almaktan; 3/16, sinüs ile kosinüsü karıştırmaktan; 0, top eğik atıldığı için yatayda etki olmadığını sanmaktan; 4 ise oranı ters kurmaktan çıkar. Cevap: A.

• İten cismin yerinde kaldığını sanmak. İtişmede iki cisim aynı büyüklükte ve zıt yönlü itme alır; iten ile itilen arasında fiziksel bir fark yoktur, durgun başlayan iki cisim de harekete geçer.
• Hızları işaretsiz yazmak. Momentum vektördür; zıt yönlü hızlardan biri eksi alınmazsa hareketli sistem sorularında hem büyüklük hem yön yanlış çıkar.
• Düşey momentumu yatayla toplamak. Hareketli arabaya düşey düşen yük yatay momentum getirmez; düşey doğrultuda rayın tepkisi dış kuvvettir, orada korunum aranmaz.
• Momentumla birlikte kinetik enerjiyi de korumak. İtişmede enerji kaslardan ya da barut gazlarından eklenir, yapışmada kaybolur; kinetik enerjiyle kurulan denklem çeldirici değer verir.
• Birimi çevirmeden hesaplamak. Mermi kütlesi gramla verilir; kilograma çevrilmezse geri tepme hızı bin kat büyük çıkar.
• Dökülen kumun arabayı hızlandırdığını sanmak. Tabandan dökülen kum arabayla aynı yatay hızla ayrılır; kütle azalır, hız değişmez.