Çarpışmalar ve patlamalar

Mahir, oyun salonundaki hava hokeyi masasında bir pulu, masanın ortasında duran eş pula doğru itmeden önce tahminini yüksek sesle söylüyor: «Momentum korunacak, demek ki çarpan pul öbürünü yanına alacak ve ikisi yarı hızla birlikte kayacak.» Pullar çarpışıyor; Mahir'in ittiği pul olduğu yerde duruyor, öbürü ise aynı hızla karşı kaleye fırlıyor. Lerzan iki pulun çarpışan yüzlerine birer parça oyun hamuru yapıştırıp deneyi tekrarlatıyor. Bu kez pullar birbirine yapışıyor ve gerçekten yarı hızla birlikte gidiyor. Mahir şaşırıyor: iki denemede de momentum aynı, sonuçlar ise bambaşka. Hamurlu denemede pulların kinetik enerjisinin yarısı kayboldu. Bu derste çarpışmayı momentumun yanında kinetik enerjiye de bakarak sınıflandırıp her türün sonucunu hesaplıyoruz.

• Yapışan çarpışmada ortak hızı ve ısıya, şekil değişimine giden kinetik enerjiyi hesaplarsın.
• Bir boyutta esnek çarpışmada iki cismin son hızlarını bulur, eşit kütle ve ağır hedef durumlarını tanırsın.
• Balistik sarkaçta çarpışma ile yükselme aşamalarını ayırıp mermi hızını yükseklikten geri hesaplarsın.
• İki boyutlu çarpışmada ve duran cismin iki ya da üç parçaya ayrıldığı patlamada momentumu bileşenleriyle denkleştirirsin.

Momentum her zaman, kinetik enerji bazen

«Momentumun korunumu» dersinde dış kuvvetin net etkisi ihmal edilebildiğinde sistemin toplam momentumunun değişmediğini kurduk. Çarpışma ve patlama bu koşulun en temiz örnekleridir: cisimler birbirini çok kısa sürede ve çok büyük iç kuvvetlerle iter, sürtünme ya da ağırlık gibi dış etkilerin o kısa sürede yaptığı itme önemsizdir. Bu yüzden her çarpışmada, cisimler ne kadar ezilirse ezilsin, toplam momentum çarpışmadan önce ve sonra aynıdır.

Kinetik enerji için durum farklıdır. Kanca deneyindeki hamur, çarpışma anında ezildi ve ısındı; pulların hareket enerjisinin bir kısmı bu iç enerjiye dönüştü. Çarpışmaları bu ölçüye göre ayırırız. Kinetik enerjinin toplamı da korunuyorsa çarpışma esnektir. Bir kısmı ısıya, sese, kalıcı şekil değişimine gidiyorsa esnek olmayan çarpışmadır. Cisimler çarpışmadan sonra birbirine yapışıp tek parça gibi hareket ediyorsa kayıp alabileceği en büyük değere ulaşır; buna tam esnek olmayan çarpışma denir. Gündelik çarpışmaların hemen hepsi bu iki ucun arasında bir yerdedir; sorular ise genellikle uçlardan birini seçer ve hangisi olduğunu söyler.

Yapışan cisimler ve kaybolan enerji

m₁ kütleli cisim v₁, m₂ kütleli cisim v₂ hızıyla gelir ve çarpışınca yapışırsa sonrasında tek bir hız kalır. Momentum denklemi bu hızı doğrudan verir:

m₁ · v₁ + m₂ · v₂ = (m₁ + m₂) · v′

Hızlar işaretleriyle yazılır; zıt yönde gelen cismin hızı eksidir. Kütlesi 2 kg olan oyuncak vagon 6 m/s ile gelip duran 1 kg'lık vagona kancalanırsa ortak hız 12 / 3 = 4 m/s olur. Önceki kinetik enerji ½ · 2 · 36 = 36 J, sonraki ½ · 3 · 16 = 24 J'dür; 12 J kancanın ezilmesine, sese ve ısıya gitmiştir. Hedef başlangıçta duruyorsa kaybolan enerjinin ilk enerjiye oranı m₂ / (m₁ + m₂) çıkar; bu örnekte 1/3. Hafif bir cisim ağır bir duran cisme yapıştığında enerjinin büyük kısmı kaybolur, ağır cisim hafif bir duran cisme yapıştığında küçük bir kısmı.

Eşit kütleli iki cisim eşit hızlarla karşı karşıya gelip yapışırsa toplam momentum sıfırdır ve ikisi de olduğu yerde kalır. Bu durumda kinetik enerjinin tamamı kaybolur; momentum yine korunmuştur, çünkü baştan sıfırdı.

Esnek çarpışma: momentum ve enerji birlikte

Esnek çarpışmada iki son hız bilinmez, buna karşılık iki denklem vardır: momentum ve kinetik enerji. Bir boyutta, ikinci cisim başlangıçta duruyorsa çözüm şu biçimi alır:

v₁′ = (m₁ − m₂) · v₁ / (m₁ + m₂) ve v₂′ = 2 · m₁ · v₁ / (m₁ + m₂)

İkinci cisim de hareket ediyorsa genel ifadeler

v₁′ = [(m₁ − m₂) · v₁ + 2 · m₂ · v₂] / (m₁ + m₂) ve v₂′ = [(m₂ − m₁) · v₂ + 2 · m₁ · v₁] / (m₁ + m₂)

olur. Ezberlemesi kolay bir yan sonuç da bu iki denklemden çıkar: esnek çarpışmada cisimlerin birbirine yaklaşma hızı, çarpışmadan sonra birbirinden uzaklaşma hızına eşittir; yani v₁ − v₂ = v₂′ − v₁′. Momentum denklemiyle bu bağıntı birlikte kullanılırsa kare almadan çözüme ulaşılır. Örneğin üç kilogramlık bir bilye 4 m/s hızla duran 1 kg'lık bilyeye esnek çarparsa çarpanın hızı 2 m/s'ye düşer ama yönü değişmez, hedef 6 m/s ile fırlar. Sağlama: momentum 12 = 6 + 6, kinetik enerji 24 = 6 + 18 joule.

Özel durumlar

Kütleler eşitse formülde m₁ − m₂ sıfırlanır: çarpan cisim durur, hedef çarpanın hızını alır. Kancadaki hamursuz deneyin sonucu budur; iki cisim de hareket hâlindeyse eşit kütleler hızlarını değiş tokuş eder.

Hedef çok ağırsa, örneğin hafif bir top duran ağır bir bloğa esnek çarparsa, m₂ yanında m₁ ihmal edilir: v₁′ yaklaşık −v₁ olur, top neredeyse aynı hızla geri seker, ağır blok ise yerinden zar zor kıpırdar. 100 gramlık bir tenis topu 10 m/s hızla 10 kg'lık duran bloğa çarparsa geri dönüş hızı yaklaşık 9,8 m/s, bloğun hızı yaklaşık 0,2 m/s çıkar. Tersine, ağır bir cisim duran hafif bir cisme esnek çarparsa ağır cisim hemen hemen yavaşlamaz ve hafif cisim çarpanın hızının yaklaşık iki katıyla uzaklaşır.

Çarpan cisim hedeften hafifse geri döner, ağırsa ilerlemeyi aynı yönde sürdürür; v₁′ ifadesindeki m₁ − m₂ farkının işareti bunu söyler.

Balistik sarkaç: önce saplanma, sonra salınım

İple asılı bir tahta bloğa saplanan merminin hızı, bloğun yükseldiği yükseklikten bulunabilir. Bu düzenekte hata, bütün olayı tek bir enerji denklemiyle çözmeye çalışmaktan doğar. Olay iki aşamada okunur. Birinci aşama, merminin bloğa girdiği çok kısa andır: mermi ve blok yapışır, bu bir tam esnek olmayan çarpışmadır ve yalnız momentum korunur, m · v = (m + M) · V. İkinci aşamada blok ile içindeki mermi ipin ucunda salınarak h kadar yükselir. Bu aşamada ağırlık düzeneği yavaşlatır, ip de hareketin yönünü çevirir; dış kuvvetler artık önemsiz olmadığından momentum korunmaz. İp gerilmesi hareket yönüne dik olduğu için iş yapmaz ve sürtünme yoksa mekanik enerji korunur, ½ · (m + M) · V² = (m + M) · g · h. Buradan V = √(2 · g · h) bulunur ve birinci aşamaya geri dönülür. Örneğin 20 g'lık mermi 1,98 kg'lık bloğa saplanıp düzeneği 20 cm yükseltirse ortak hız V = 2 m/s, mermi hızı da 2 · 2 / 0,02 = 200 m/s olur. Merminin 400 J'lük kinetik enerjisinin yalnız 4 J'ü yükselmeye kalır; geri kalanı tahtanın parçalanmasına ve ısınmasına gitmiştir.

İki boyutta çarpışma

Cisimler aynı doğru üzerinde hareket etmiyorsa momentum vektörü bileşenlerine ayrılır ve korunum her eksende ayrı yazılır. Bu, «Vektörlerde toplama ve bileşenler» dersindeki bileşen yönteminin aynısıdır: toplam momentumun x bileşeni çarpışmadan önce ve sonra eşittir, y bileşeni de öyle. Doğu yönünde 4 m/s hızla ilerleyen 3 kg'lık bir oyuncak araç ile kuzey yönünde 8 m/s hızla ilerleyen 2 kg'lık bir oyuncak araç kavşakta çarpışıp yapışırsa x bileşeni 12, y bileşeni 16 kg·m/s olur. Bileşke momentum √(144 + 256) = 20 kg·m/s, ortak hız 20 / 5 = 4 m/s'dir. Yönü tan α = 16 / 12 bağıntısından doğuyla 53° kuzeye çıkar (53°'lik açının sinüsü 0,8, kosinüsü 0,6 olarak alındığında). Bu tür sorularda iki hata öne çıkar: hızları sayı gibi toplamak ve bileşke momentumu kütleye bölmeden hız sanmak.

Eşit kütleli iki cisimden biri duran öbürüne esnek ve merkez dışı çarparsa çarpışmadan sonra iki cismin hızları arasında 90° açı olur. Hava hokeyi pulları sık sık bu biçimde ayrılır.

Patlama: sıfırdan başlayan momentum

Patlamada süreç tersine işler: başlangıçta tek parça olan cisim, iç kuvvetlerle parçalara ayrılır. Cisim duruyorsa toplam momentum sıfırdır ve parçaların momentumlarının vektör toplamı da sıfır olmalıdır. İki parçada bu, parçaların zıt yönlerde eşit büyüklükte momentumla ayrılması demektir: m₁ · v₁ = m₂ · v₂. Hafif parça daha hızlı gider. Kinetik enerji p² / (2m) biçiminde yazılırsa eşit momentumlu parçalarda enerjinin kütleyle ters orantılı paylaşıldığı görülür.

Patlamada kinetik enerji korunmaz; sıfırdan başlayıp artar. Bu enerji yakıtın kimyasal enerjisinden ya da sıkışmış bir yayın esneklik potansiyel enerjisinden gelir. Bu yüzden patlama sorularında kinetik enerjiyi denkleştirmek yanlış olur, ama açığa çıkan enerji sonraki kinetik enerjilerin toplamından bulunur.

Üç parçada son parçanın momentumu, öteki ikisinin bileşke momentumunun tersidir. Duran 4 kg'lık bir kutu üç parçaya ayrılırken 1 kg'lık bir parça doğuya 6 m/s, başka bir 1 kg'lık parça kuzeye 8 m/s hız kazanırsa bu iki parçanın bileşke momentumu 10 kg·m/s olur. Kalan 2 kg'lık parça aynı büyüklükte momentumu güneybatıya taşımalıdır; hızı 5 m/s olur.

Hareket hâlindeki bir cisim patlarsa toplam momentum sıfır değil, patlamadan önceki m · v değeridir. Doğu yönünde uçuşu 10 m/s hızla süren 3 kg'lık bir cisimden 1 kg'lık parça olduğu yerde kalırsa 2 kg'lık parça 15 m/s ile devam eder; bu sırada kinetik enerji 75 J artar.

Soru çözme sırası

Önce olayın türü belirlenir: yapışma, esneklik bilgisi ya da patlama. Ardından yönler seçilip hızlar işaretleriyle yazılır. Momentum her durumda denkleme girer; kinetik enerji yalnız esnek çarpışmada korunum denklemi olarak, ötekilerde kayıp ya da kazanç hesabı olarak kullanılır. Hareket iki boyutluysa her eksen ayrı denklemdir. Bir yükselme, sıkışma ya da kayma aşaması varsa o aşama çarpışmadan ayrılır ve enerjiyle çözülür.

Bu derste cisimleri hep noktasal saydık: kuvvet nereye uygulanırsa uygulansın cisim yalnız yer değiştiriyordu. Boyutu olan bir cisim ise bir eksen çevresinde dönebilir ve bu dönmeyi kuvvetin büyüklüğü tek başına belirlemez; etki çizgisinin eksenden ne kadar uzaktan geçtiği, yani kuvvet kolu, en az onun kadar önemlidir. Net kuvveti sıfır olan iki zıt kuvvetin bile bir cismi çevirebildiği bu döndürme etkisi ve onu ölçen büyüklük «Tork» dersinin konusu.

Örnek 1 — Yapışmada kaybolan enerji

Soru: Sürtünmesiz bir rayda 3 kg'lık araba 4 m/s hızla gelip duran 1 kg'lık arabaya çarpıyor ve ona kenetleniyor. Çarpışmada ısıya, sese ve şekil değişimine giden kinetik enerji kaç joule'dür?

• A) kayıp 24 J
• B) kayıp 16 J
• C) kayıp sıfır
• D) kayıp 6 J
• E) kayıp 18 J

Çözüm: Momentum: 3 · 4 = 4 · v′, ortak hız 3 m/s. Önce ½ · 3 · 16 = 24 J, sonra ½ · 4 · 9 = 18 J; fark 6 J'dür. 24 J enerjinin tamamının kaybolduğunu sanmaktan, 18 J sonraki enerjiyi kayıp sanmaktan gelir. Ortak hızı iki hızın ortalaması (2 m/s) alan öğrenci 16 J bulur; momentum korunuyor diye enerjinin de korunduğunu düşünen sıfır der. Cevap: D.

Örnek 2 — Hafif cisim ağıra esnek çarpıyor

Soru: Hızı 6 m/s olan 1 kg'lık bir bilye, duran 2 kg'lık bilyeye tam merkezden esnek çarpıyor. Çarpışmadan hemen sonra bilyelerin hızları nedir? (İlk hareket yönü pozitif.)

• A) 1 kg: −2 m/s, 2 kg: +4 m/s
• B) 1 kg: 0, 2 kg: +3 m/s
• C) 1 kg: +2 m/s, 2 kg: +2 m/s
• D) 1 kg: +2 m/s, 2 kg: +4 m/s
• E) 1 kg: −6 m/s, 2 kg: +6 m/s

Çözüm: v₁′ = (1 − 2) · 6 / 3 = −2 m/s, v₂′ = 2 · 1 · 6 / 3 = 4 m/s. Sağlama: momentum −2 + 8 = 6, kinetik enerji 2 + 16 = 18 J; ikisi de başlangıçtaki değerdir. B seçeneği eşit kütle kuralını farklı kütlelere uygulamaktan, C yapışma varsaymaktan gelir. D'de momentum 10 olur, işaret unutulmuştur; E'de momentum yine 6 olur ama kinetik enerji 54 J'e çıkar. Cevap: A.

Örnek 3 — Balistik sarkaç

Soru: 40 g'lık bir mermi, iple asılı duran 1,96 kg'lık tahta bloğa yatay saplanıyor; blok ve mermi birlikte 45 cm yükseliyor. Bloğun asılı olduğu laboratuvarda g, 10 m/s² değerinde; mermi bloğa hangi hızla girmiştir?

• A) mermi 150 m/s
• B) mermi 147 m/s
• C) mermi 450 m/s
• D) mermi 15√2 m/s
• E) mermi 3 m/s

Çözüm: İkinci aşamada enerji: V = √(2 · 10 · 0,45) = 3 m/s. Birinci aşamada momentum: 0,04 · v = 2 · 3, v = 150 m/s. Kütle olarak yalnız blok alınırsa 147 m/s, karekök unutulup V = 9 alınırsa 450 m/s çıkar. Merminin kinetik enerjisini doğrudan yükselmeye eşitleyen öğrenci 15√2 m/s bulur; çarpışmadaki enerji kaybını görmezden gelmiştir. 3 m/s, bloğun ortak hızıdır. Cevap: A.

Örnek 4 — Merkez dışı çarpışma

Soru: 200 gramlık bir hava hokeyi pulu doğu yönünde 10 m/s hızla kayarken duran eş pula merkez dışı çarpıyor. Çarpışmadan sonra ilk pulun hızı 8 m/s ve yönü doğuyla 37° kuzeye. Hesapta sin 37° için 0,6, cos 37° için 0,8 kullanılırsa ikinci pulun hızı nedir?

• A) 2 m/s, doğuya
• B) 18 m/s, doğuya
• C) 6 m/s, doğuyla 37° güneye
• D) 10 m/s, doğuyla 53° güneye
• E) 6 m/s, doğuyla 53° güneye

Çözüm: Kütleler eşit olduğu için hızlar üzerinden yazılabilir. x: 10 = 8 · 0,8 + v₂ₓ, v₂ₓ = 3,6 m/s. y: 0 = 8 · 0,6 + v₂ᵧ, v₂ᵧ = −4,8 m/s. Büyüklük √(12,96 + 23,04) = 6 m/s; tan α = 4,8 / 3,6 = 4/3 olduğundan doğuyla 53° güneye. Kinetik enerjiler 10 = 6,4 + 3,6 joule ile tutar, çarpışma esnektir ve iki pulun yolları arasında 37° + 53° = 90° açı vardır. 2 m/s hızları sayı gibi çıkarmaktan, 18 m/s sayı gibi toplamaktan gelir; C açıyı ters orandan okur; 10 m/s ise çarpanın ilk hızının olduğu gibi hedefe geçtiğini sanmaktır. Cevap: E.

• Momentum korunuyor diye kinetik enerjinin de korunduğunu sanmak. Momentum her çarpışmada korunur; kinetik enerji yalnız esnek çarpışmada. Yapışan cisimlerde ve patlamada enerji denklemi kurulmaz.
• Zıt yönlü hızları işaretsiz toplamak. Karşı karşıya gelen cisimlerde bir yön pozitif seçilir; öbür yöndeki hız eksi yazılmazsa ortak hız büyük ve yanlış çıkar.
• Eşit kütle kuralını her esnek çarpışmaya uygulamak. Çarpanın durup hedefin onun hızını alması yalnız kütleler eşitken olur; hafif cisim ağıra çarparsa geri döner.
• Balistik sarkacı tek enerji denklemiyle çözmek. Saplanma anında enerji kaybolur; önce yükseklikten ortak hız, sonra momentumdan mermi hızı bulunur.
• İki boyutta hızları ya da momentumları sayı gibi toplamak. Her eksen ayrı denklemdir; bileşke en sonda Pisagor bağıntısıyla bulunur ve bileşke momentum kütleye bölünmeden hız sayılmaz.
• Patlamada parçaların enerjiyi eşit paylaştığını düşünmek. Duran cisimden ayrılan iki parçanın momentumları eşittir; kinetik enerji kütleyle ters orantılı paylaşılır.